Solucion del problema del minimo

Aqui les cuento una solución corta (comparada con las soluciones que dieron el Yogui y Avila, usando una de mis identidades algebraicas favoritas!!!

Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3-3xyz=1. Encuentra el minimo de
x^2+y^2+z^2.

1. x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=1/2 [(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)]
=1 (por hipótesis)

2. Sea A=x+y+z y B=x^2+y^2+z^2. De 1. se ve que A > 0.

3. Entonces 1=A(B- [(A^2-B)/2] ) ( para ver esto, note que A^2-B=2(xy+yz+zx) )

4. Despejando, se obtiene que 3B=A^2 + 2/A= A^2+ 1/A + 1/A

5. Como A > 0 podemos aplicar MG-MA para ver que B >= 1 y el minimo se alcanza para (x,y,z)=(1,0,0)

Acerca de los resultados de los examenes de entrenamiento, creo que no haremos ningun corte, tal vez un segundo, pero nada mas. A los chihuahuenses no les fue muy bien que digamos (todavia faltan problemas por revisar), pero en general a todos les fue mal el segundo dia, asi que la diferencia no es muy grande, creo que Memo, Isai, Dosalin y Karina se pueden recuperar, hasta ahorita los tres hasta arriba son, el centro de Morelos, Bruno de Morelos y el de Oaxaca.