Quinto examen de entrenamiento

Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son $a_0, a_1, a_2,$ ... entonces,
$a_0 =0$
$a_{2n-1} = a_{2n-2} +n$ y $a_{2n} = a_{2n-1} +n$, para los enteros $n \geq 1$
Encuentra todos los enteros $k \geq 0$ para los que $a_k$ es el cuadrado de un entero.

Problema 2.
Sea $N$ el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ que satisfacen,
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1 \]
El numero $N$ es par o impar?
Nota: $(1,2,3,4,5) \neq (1,2,3,5,4)$.

Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de $P$, corta a A y B en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $C$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en $P$, y sea $D$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en $P$.
Sea $E$ la interseccion de $AP$ con $BC$ y sea $F$ la interseccion de $BP$ con $AD$. Sea $M$ la reflexion de $P$ con respecto al punto medio de $AB$.
Muestra que $AMBEQF$ en un hexagono ciclico.

Problema 4.
Muestra que para todo entero $n \geq 0$, existe una permutacion $(a_0, a_1, ... , a_n)$ de ( 0, 1, ..., $n$) de manera que:
$k+ a_k$ es un cuadrado para toda $k \in$ { 0, 1, ..., $n$}.

Cuarto examen de entrenamiento

Problema 1.
Sea $ABC$ un triangulo y $P$ un punto dentro del triangulo y sobre la mediatriz de $AB$. Sobre los lados $BC$ y $CA$ se construyen externamente los triangulos $CBQ$ y $ACR$, de manera que los triangulos $ABP$, $CBQ$ y $ACR$ sean semejantes. (Los puntos $Q$ y $A$ estan en lados opuestos con respecto a $BC$; y los puntos $R$ y $B$ estan en lados opuestos con respecto a $AC$). Muestra que los puntos $P$, $Q$, $C$ y $R$ son los vertices de un paralelogramo.

Problema 2.
Encuentra el mayor entero no negativo $k$ para el que existe un entero $n$ con la siguiente propiedad:
$n$ es cuadrado perfecto con al menos $k+1$ digitos y para cada $i \textless k$, el entero que se obtiene al quitar los ultimos $i$ digitos a $n$ es un cuadrado perfecto.
(Si $i=1$ se debe quitar el digito de las unidades; si $i=2$ se quitan el digito de las unidades y el digito de las decenas, etc.)

Problema 3:
En el plano se dan 5 segmentos. Se ha comprobado que en 9 de las 10 maneras de elegir 3 segmentos de los 5, se puede formar con los segmentos elegidos un triangulo acutangulo. Muestra que en la decima manera de elegir 3 segmentos de los 5, tambien se puede formar un triangulo con los segmentos elegidos.

Problema 4:
Sobre una recta $l$ hay 3 puntos diferentes $A$, $B$, $P$ en ese orden. Sea $a$ la recta por $A$ perpendicular a $l$ y sea $b$ la recta por $B$ perpendicular a $l$. Una recta por $P$, diferente de $l$, corta a la recta $a$ en $Q$ y corta a la recta $b$ en $R$. La recta por $A$ perpendicular a $BQ$ corta a $BQ$ en $L$ y corta $BR$ en $T$. La recta por $B$ perpendicular a $AR$ corta a $AR$ en $K$ y a $AQ$ en $S$.
$(a)$ Muestra que $P$, $T$, $S$ son colineales.
$(b)$ Muestra que $P$, $K$, $L$ son colineales.