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miércoles, 2 de febrero de 2011

Quinto examen de entrenamiento

Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son a0,a1,a2, ... entonces,
a0=0
a2n1=a2n2+n y a2n=a2n1+n, para los enteros n1
Encuentra todos los enteros k0 para los que ak es el cuadrado de un entero.

Problema 2.
Sea N el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos (a1,a2,a3,a4,a5) que satisfacen,
1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=1
El numero N es par o impar?
Nota: (1,2,3,4,5)(1,2,3,5,4).

Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en P y Q. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de P, corta a A y B en A y B respectivamente. Sea C el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en P, y sea D el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en P.
Sea E la interseccion de AP con BC y sea F la interseccion de BP con AD. Sea M la reflexion de P con respecto al punto medio de AB.
Muestra que AMBEQF en un hexagono ciclico.

Problema 4.
Muestra que para todo entero n0, existe una permutacion (a0,a1,...,an) de ( 0, 1, ..., n) de manera que:
k+ak es un cuadrado para toda k { 0, 1, ..., n}.

Cuarto examen de entrenamiento

Problema 1.
Sea ABC un triangulo y P un punto dentro del triangulo y sobre la mediatriz de AB. Sobre los lados BC y CA se construyen externamente los triangulos CBQ y ACR, de manera que los triangulos ABP, CBQ y ACR sean semejantes. (Los puntos Q y A estan en lados opuestos con respecto a BC; y los puntos R y B estan en lados opuestos con respecto a AC). Muestra que los puntos P, Q, C y R son los vertices de un paralelogramo.

Problema 2.
Encuentra el mayor entero no negativo k para el que existe un entero n con la siguiente propiedad:
n es cuadrado perfecto con al menos k+1 digitos y para cada i\textlessk, el entero que se obtiene al quitar los ultimos i digitos a n es un cuadrado perfecto.
(Si i=1 se debe quitar el digito de las unidades; si i=2 se quitan el digito de las unidades y el digito de las decenas, etc.)

Problema 3:
En el plano se dan 5 segmentos. Se ha comprobado que en 9 de las 10 maneras de elegir 3 segmentos de los 5, se puede formar con los segmentos elegidos un triangulo acutangulo. Muestra que en la decima manera de elegir 3 segmentos de los 5, tambien se puede formar un triangulo con los segmentos elegidos.

Problema 4:
Sobre una recta l hay 3 puntos diferentes A, B, P en ese orden. Sea a la recta por A perpendicular a l y sea b la recta por B perpendicular a l. Una recta por P, diferente de l, corta a la recta a en Q y corta a la recta b en R. La recta por A perpendicular a BQ corta a BQ en L y corta BR en T. La recta por B perpendicular a AR corta a AR en K y a AQ en S.
(a) Muestra que P, T, S son colineales.
(b) Muestra que P, K, L son colineales.