En la figura siguiente, las circunferencias C1 y C2 se cortan en A y B. Una recta por B corta a C1 y C2 en C y D, respectivamente; otra recta por B corta a C1 y C2 en E y F, respectivamente. La recta CF corta a C1 y C2 en P y Q, respectivamente. Sea M y N los puntos medios de los arcos BP y QB respectivamente. Muestra que si CD=EF entonces C,F,M,N estan sobre una misma circunferencia.

Problema 2.
Los numeros naturales a1<a2<⋯<an tienen la propiedad de que para 1≤i,j≤n con i≠j, aj es divisible entre aj−ai. Muestra que para todo par de indices i<j se tiene que, iaj≤jai Problema 3.
Sean a,b,c numeros reales positivos con a+b+c≥6. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
a2+b2+c2+ab2+c+1+bc2+a+1+ca2+b+1
Problema 4.
Sea D un punto sobre el lado BD del triangulo acutangulo ABC. La circunferencia de diametro BC corta a las rectas AB y AD en X y P, respectivamente. La circunferencia de diametro DC corta a las rectas AD y AC en Q y Y, respectivamente. Por el punto A se trazan perpendiculares a PX y QY con pies de las perpendiculares M y N, respectivamente. Muestra que los triangulos AMN y ABC son semejantes si y solo si la recta AD pasa por el circuncentro de ABC.