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sábado, 19 de marzo de 2011

Septimo examen de entrenamiento

Problema 1.
En la figura siguiente, las circunferencias C1 y C2 se cortan en A y B. Una recta por B corta a C1 y C2 en C y D, respectivamente; otra recta por B corta a C1 y C2 en E y F, respectivamente. La recta CF corta a C1 y C2 en P y Q, respectivamente. Sea M y N los puntos medios de los arcos BP y QB respectivamente. Muestra que si CD=EF entonces C,F,M,N estan sobre una misma circunferencia.


Problema 2.
Los numeros naturales a1<a2<<an tienen la propiedad de que para 1i,jn con ij, aj es divisible entre ajai. Muestra que para todo par de indices i<j se tiene que, iajjai Problema 3.
Sean a,b,c numeros reales positivos con a+b+c6. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
a2+b2+c2+ab2+c+1+bc2+a+1+ca2+b+1

Problema 4.
Sea D un punto sobre el lado BD del triangulo acutangulo ABC. La circunferencia de diametro BC corta a las rectas AB y AD en X y P, respectivamente. La circunferencia de diametro DC corta a las rectas AD y AC en Q y Y, respectivamente. Por el punto A se trazan perpendiculares a PX y QY con pies de las perpendiculares M y N, respectivamente. Muestra que los triangulos AMN y ABC son semejantes si y solo si la recta AD pasa por el circuncentro de ABC.

Sexto examen de entrenamiento

Problema 1.
Encuentre el valor minimo de
a+b+c2[a,b]+[b,c]+[c,a]a+b+c
donde a,b,c son enteros mayores a 1, y [x,y] es el minimo comun multiplo de x,y.

Problema 2.
Todo cuadrito unitario de una cuadricula de n×n se ha coloreado con uno de dos colores (rojo y negro) y de manera que entre todos los cuadritos de 2×2 esten presentes todas las coloraciones de cuadrados 2×2 (las coloraciones de cuadrados de 2×2 obtenidas de otra al rotar o al reflejar se consideran diferentes).
(a) Encuentre el menor valor posible para n.
(b) Para el menor valor posible n, encuentre el menor numero de cuadritos rojos que se van a necesitar para una coloracion como la que se señala.

Problema 3.
Sea M un punto sobre el lado BC del triangulo ABC. Una circunferencia C es tangente a AB y BM en T y K, respectivamente; y tambien tangente (externamente) al circuncirculo de AMC en P. Muestra que si TK es paralelo a AM entonces los circuncirculos de APT y KPC son tangentes.

Problema 4.
Para un numero primo p, encuentre el numero de ternas (a,b,c) formadas con numeros del conjunto {1, 2, 3, ..., 2p2} que satisfacen,
[a,c]+[b,c]a+b=c(p2+1)p2+2
Aqui, [x,y] es el minimo comun multiplo de x,y.