Septimo examen de entrenamiento

Problema 1.
En la figura siguiente, las circunferencias $C_1$ y $C_2$ se cortan en $A$ y $B$. Una recta por $B$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $C$ y $D$, respectivamente; otra recta por $B$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $E$ y $F$, respectivamente. La recta $CF$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BP$ y $QB$ respectivamente. Muestra que si $CD=EF$ entonces $C,F,M,N$ estan sobre una misma circunferencia.


Problema 2.
Los numeros naturales $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ tienen la propiedad de que para $1 \leq i,j \leq n$ con $i \neq j$, $a_j$ es divisible entre $a_j - a_i$. Muestra que para todo par de indices $i < j$ se tiene que, \[ i a_j \leq j a_i \] Problema 3.
Sean $a,b,c$ numeros reales positivos con $a+b+c \geq 6$. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
\[ a^2 + b^2 + c^2 + \frac{a}{b^2 +c+1} + \frac{b}{c^2 +a+1} + \frac{c}{a^2 +b+1} \]

Problema 4.
Sea $D$ un punto sobre el lado $BD$ del triangulo acutangulo $ABC$. La circunferencia de diametro $BC$ corta a las rectas $AB$ y $AD$ en $X$ y $P$, respectivamente. La circunferencia de diametro $DC$ corta a las rectas $AD$ y $AC$ en $Q$ y $Y$, respectivamente. Por el punto $A$ se trazan perpendiculares a $PX$ y $QY$ con pies de las perpendiculares $M$ y $N$, respectivamente. Muestra que los triangulos $AMN$ y $ABC$ son semejantes si y solo si la recta $AD$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

Sexto examen de entrenamiento

Problema 1.
Encuentre el valor minimo de
\[ \frac{a+b+c}{2} - \frac{[a,b]+[b,c]+[c,a]}{a+b+c}\]
donde $a,b,c$ son enteros mayores a 1, y $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

Problema 2.
Todo cuadrito unitario de una cuadricula de $n \times n$ se ha coloreado con uno de dos colores (rojo y negro) y de manera que entre todos los cuadritos de $2 \times 2$ esten presentes todas las coloraciones de cuadrados $2 \times 2$ (las coloraciones de cuadrados de $2 \times 2$ obtenidas de otra al rotar o al reflejar se consideran diferentes).
$(a)$ Encuentre el menor valor posible para $n$.
$(b)$ Para el menor valor posible $n$, encuentre el menor numero de cuadritos rojos que se van a necesitar para una coloracion como la que se señala.

Problema 3.
Sea $M$ un punto sobre el lado $BC$ del triangulo $ABC$. Una circunferencia $C$ es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$, respectivamente; y tambien tangente (externamente) al circuncirculo de $AMC$ en $P$. Muestra que si $TK$ es paralelo a $AM$ entonces los circuncirculos de $APT$ y $KPC$ son tangentes.

Problema 4.
Para un numero primo $p$, encuentre el numero de ternas $(a,b,c)$ formadas con numeros del conjunto {1, 2, 3, ..., 2$p^2$} que satisfacen,
\[ \frac{[a,c]+[b,c]}{a+b} = \frac{c( p^2 +1)}{p^2 +2} \]
Aqui, $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.