Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día. Geometría (30 de Agosto)

jueves, 30 de agosto de 2012

Problema del Día. Geometría (30 de Agosto)

En el triangulo rectangulo

$ABC$ con ángulo recto en

$A$ , sean

$D$ y

$E$ puntos en los lados

$AC$ y

$BC$ , respectivamente, tales que

$AE$ y

$BC$ son perpendiculares, y

$BD=DC=EC=1$ . Determine la longitud del lado

$AC$ .

54 comentarios:

Unknown30 de agosto de 2012, 5:27 p.m.
eso no se puede
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Pepe Flores30 de agosto de 2012, 6:45 p.m.
Yo dibuje un círculo donde BC es el diámetro. Luego tracé la mediatriz de $BC$ y a uno de los puntos donde cortaba a la circunferenca lo llamé X. El punto A puede estar en cualquier lugar del arco CX. El punto D será donde AB y la mediatriz de ED se intersecten. Esto es porque BDC es un triángulo isósceles por la igualdad BD=DC=EC. Entonces EDC tambien es un triangulo isósceles. Si trazamos una paralela a BC desde el punto D nos daremos cuenta de que EB es menor que DB'. Como esto sucede, y AE es perpendicular a BC el punto D no existiria ya que AB nunca se intersectaria con la mediatriz de BC y esto debe suceder porque para que BD=DC, AB debe ser igual o mayor que AC. Por lo tanto no se puede hacer un triangulo que cumpla con estas caracteristicas.

Se veria mas padre si pudiera ponerle los dibujitos, jajaja
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Unknown30 de agosto de 2012, 6:54 p.m.
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Unknown30 de agosto de 2012, 7:01 p.m.
Encontramos que $\triangle BAE$ $\sim$ $\triangle AEC$ por Ángulo- Ángulo.Encontramos: $\frac{BE}{AE}$ $=$ $\frac{EA}{EC}$ $=$ $\frac{BA}{AC}$ $\rightarrow$ $(EA)$ $(AC)$ $=$ $(EC)$ $(BA)$ $\rightarrow$ $AC$ $=$ $\frac{BA}{EA}$
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Rocha30 de agosto de 2012, 8:48 p.m.
Porque: $AC$ $=$ $\frac{BA}{EA}$
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Unknown30 de agosto de 2012, 9:11 p.m.
Aplicando Pitágoras en $\triangleABE$ tenemos que: $AB^2$ $-$ $BE^2$ $=$ $AE^2$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AE^2$ $+$ $EC^2$ , Por Pitágoras en $\triangleAEC$ tenemos que $AE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AC^2$ , $AC^2$ $=$ $(AD+DC)^2$ $=$ $AD^2$ $+$ $2(AD)(DC)$ $+$ $DC^2$ , $DC^2$ $=DC=1$ $\rightarrow$ $(AD+DC)^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $=$ $AC^2$ $=$ $AE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $+$ $AB^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $+$ $AB^2$ , sabemos por Pitágoras en $\triangleABC$ que $AD^2$ $+2AD+1$ $+$ $AB^2$ $=$ $BC^2$ $=$ $(BE+EC)^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)(EC)$ $+$ $EC^2$ , si $EC^2$ $=EC=1$ $\rightarrow$ $(BE+EC)^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $+1$ , tenemos entonces que: $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $+$ $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $+1$ $\rightarrow$ $2$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $\rightarrow$ $2$ $AB^2$ $=$ $2$ $($ $BE^2$ $+$ $BE$ $)$ $\rightarrow$ $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+BE$ , si $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $EA^2$ $\rightarrow$ $EA^2$ $=$ $BE$
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Ricardo G.30 de agosto de 2012, 9:56 p.m.
Como $AE$ es perpendicular a $BC$ Tenemos que forma un ángulo recto, llamemos $\alpha$ a $\angle$ $ABC$ y $\beta$ $=$ $\angle$ $ACE$ Vemos que $\angle$ $BAE$ $=$ $\beta$ y $\angle$ $EAC$ $=$ $\alpha$

Por lo tanto $\triangle ABC$ $\sim$ $\triangle EAC$

Entonces: $\frac{AB}{EA}$ $=$ $\frac{AD+1}{1}$ $=$ $\frac{BE+1}{AD+1}$

Pues $AC$ $=$ $AD+1$ y $BC$ $=$ $BE+1$

Por lo tanto: $(AD+1)^2$ $=$ $(BE+1)$
Lo que es igual a $(AC)^2$ $=$ $BC$

Ahora vemos que $\triangle ABC$ $\sim$ $\triangle EBA$ por AA

Por lo tanto: $\frac{AB}{EB}$ $=$ $\frac{AC}{EA}$ $=$ $\frac{BC}{AB}$

De donde sacamos: $AB^2$ $=$ \ $BE \times BC\$ En donde tenemos que$ BC=BE+1 $Entonces$ AB^2= BE \times BE+1\ $Por pitágoras en el$ \triangle ABD $Tenemos que:$ AB2^ + AD^2=1 $Sustituimos:$ BE^2 + BE + BE - 2AD=1BE+1^2=2AD + 2BC^2=2AC $Utilizamos la primer razón que habiamos obtenido, igualandola con la última y nos queda que:$ AC^4=BC^2=2AC $Por lo tanto:$ AC^3=2 $En donde obtenemos que$ AC=\root {3} \of {2}\$
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Unknown30 de agosto de 2012, 9:59 p.m.
Bueno yo primero hise notar el triángulo $BDC$ porque es isósceles por lados iguales, marco la haltura $AE$ y $D$ lo pongo con $M$ que es el punto medio de la recta $BC$ va a quedar perpendicular la recta $DM$ a $BC$ ,
Nombro la intersección de $AE$ y $BD$ como $F$ , me queda el triángulo $FBE$ que es congruente por $aa$ al triángulo $MDC$ y este a su ves al triángulo $AEC$ por esto tendrán las mismas razones. Mas tarde lo termino.
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Unknown31 de agosto de 2012, 8:36 a.m.
aun no aprendo a comentar :l podría mandar una foto?
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Unknown1 de septiembre de 2012, 12:36 a.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384382991632501&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384383114965822&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:48 p.m.
supongo que AB mide y, bc mide z +1, y ac mide x + 1
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:50 p.m.
por lo tanto se que (y)^2 + (x+1)^2 = (z+1)^2
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:51 p.m.
entonces y^2 + x^2 + 2x + 1 = z^2 + 2z + 1
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:52 p.m.
en el triangulo ABD sus lados son AD=x, AB=y y BD 1
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:53 p.m.
entonces el lado X= 1-y^2
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:54 p.m.
entonces tengo que que el lado AC=2-y^2
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:57 p.m.
y entonces (4-4y+y^2)+y^2 = BC^2 = (z+1)^2
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Unknown1 de septiembre de 2012, 1:59 p.m.
y si resto el lado DC a AC tengo que el lado Ad mide la raiz cuadrada de(3-4y+y^2)
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Unknown1 de septiembre de 2012, 2:02 p.m.
y (3-4y+y^2)+(y^2)= 1
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Unknown1 de septiembre de 2012, 2:03 p.m.
por lo tanto el lado AC mide 6-8y+3y^2 ya que sustituyo Dc por el valor de BD
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Unknown2 de septiembre de 2012, 2:35 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater
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Unknown2 de septiembre de 2012, 2:36 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater
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Diego Astiazarán2 de septiembre de 2012, 3:27 p.m.
Vemos que el $\triangle CEA$ y el $\triangle CAB$ , comparten el $\angle ACB$ y además tienen un ángulo recto, por lo tanto son semejantes por Angulo - Angulo :
$\frac{CE}{CA} = \frac{EA}{AB} = \frac{AC}{BC}$
$\frac{1}{CA} = \frac{AC}{BC}$
$\Rightarrow AC^2 = BC$
Sustuimos $AC$ y $BC$ :
$(AD + 1)^2 = EB + 1$
$AD^2 + 2AD + 1 = EB + 1$
$AD^2 + 2AD = EB$
$AD^2 = EB - 2AD$

Decimos que el $\angle ADB = \alpha$ .
$\Rightarrow \angle CAE = (180 - 90 - \alpha ) = (90 - \alpha )$ y su complemento que es el $\angle EAB = \alpha$ ; y por lo tanto, $\triangle AEB \sim \triangle CAB$ por Angulo - Angulo:
$\frac{AE}{CA} = \frac{EB}{AB} = \frac{BA}{BC}$
$\Rightarrow AB^2 = BC \times EB = (EB + 1) \times EB = EB^2 +EB$

Aplicamos Pitágoras en el $\triangle DAB$ :
$AD^2 + AB^2 = DB^2$
$EB - 2DA + EB^2 + EB = 1$
$2EB + EB^2 = 2AD + 1$
Sumamos 1 en cada lado $\rightarrow 2EB + EB^2 + 1 = 2AD + 2$
Vemos que lo que está en la derecha es un binomio al cuadrado.
$\Rightarrow (EB + 1)^2 = 2(AD + 1) = BC^2 = 2CA$

Teníamos que $AC^2 = BC$ ; igualamos ambas razones:
$AC^4 = BC^2 = 2CA$
$\Rightarrow AC^4 = 2CA$
$AC^3 = 2$

$\boxed {AC = \root {3} \of {2}}$
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Anónimo3 de septiembre de 2012, 12:22 a.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=IMG_0079.jpg
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Anónimo3 de septiembre de 2012, 12:23 a.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=IMG_0079.jpg
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Anónimo3 de septiembre de 2012, 12:23 a.m.
alguna sugerencia?
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Unknown3 de septiembre de 2012, 3:25 p.m.
Tenemos que $\triangle{DAB}$ es un triángulo rectángulo, por lo que cumple Pitágoras:
$AD^2$ + $AB^2$ $=$ $BD^2$ $=$ $1^2$ $=$ $1$
Tenemos que en $\triangle{ABC}$ , $\angle{ABC}$ $+$ $90^o$ $+$ $\angle{ACB}$ $=$ $180^o$ , en $\triangle{EAC}$ , $\angle{EAC}$ $+$ $90^o$ $+$ $\angle{ACB}$ $=$ $180^o$ $\Rightarrow$ por el criterio de semejanza AA , $\triangle{ECA}$ $\sim$ $\triangle{ACB}$ , a partir de esta semejanza, sacamos razones:
$\frac{1}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{EA}{AB}$ $\Rightarrow$ $\bullet AC^{2}=BC$ . Sustituyendo valores, ya que $AC=AD+1, BC=BE+1$ $\Rightarrow$ $(AD+1)^2$ $=$ $BE+1$ $\rightarrow$ $AD^2$ $+$ $2AD+1$ $=$ $BE+1$ $\rightarrow$ $AD^2$ $=$ $BE-2AD$
En $AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}=1^{2}=1$ sustituimos $AD^{2}$ y $AB^{2}$ y tenemos: $BE-2AD+ BE^{2} +BE=1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $=$ $2AD+1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $=$ $2AD+1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $+$ $1$ $=$ $2AD+2$ $\rightarrow$ $(BE+1)^2$ $=$ $2(AD+1)$ $=$ $\bullet BC^2$ $=$ $2AC$
Tenemos que: $AC^2$ $=$ $BC$ , $BC^2$ $=$ $2AC$ $\Rightarrow$ $AC^4$ $=$ $2AC$ $\Rightarrow$ $AC^3$ $=$ $2$ $\therefore$ $AC= \root{3}\of{2}$
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antonio lopez3 de septiembre de 2012, 6:10 p.m.
Es facil ver que por la semejanza de $\triangle{ABC}$ con $\triangle{ACE}$ se cumple que $AC^2=BC$ , entonces como $ABC$ es un triangulo rectangulo se cumple que $AB^2+AC^2=BC^2=AC^4$ .
Por Pitagoras $AC^+AB^2=BC^2=(AD+1)^2+AB^2=AD^2+2AD+1+AB^2$
pero como AD+1 =AC entonces lo anterior es igual a $AD^2+AD+AC+AB^2$ , pero por pitagoras $AD^2+AB^2=BD^2=1 enotnces lo anterior es igual a$ BD^2+AD+AC=1+2AD+1=2+2AD=2(AD+1)=2AC $. Enotnces si$ BC^2=2AC $se cumple que$ 2AC=AC^4 $entonces$ AC^3=2 $entonces$ AC=\root{3}\of{2}$
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martin contreras carrera3 de septiembre de 2012, 7:01 p.m.
primero saque por pitagoras en el triangulo $ABC$ que
$(ac^2)+(ab^2)=bc^2$ pero como $ac=ad+1$ entopnces $bc^2=(ad+1)^2+ab^2=ad^2+2ad+1+ab^2$ pero como $ac=ad+1$ entonces $bc^2=ad^2+ad+ac+ab^2$ pero por pitagoras en el triangulo $adb$ tenemos que $ad^2+ab^2=bd^2=1$ entonces $bc^2=bd^2+ad+ac=2(ad+1)$ pero como $ad+1=ac$ entonces $bc^2=2ac$
louego por los triangulos $cea$ y $cab$ tenemos que $bc=ac^2$
entonces $bc^2=ac^4$ entonces $2ac=ac^4$ dividiendo entre $ac$ nos da $2=ac^3$ y despejando $ac$ nos da que $ac=$ raiz cubica de dos
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Unknown3 de septiembre de 2012, 7:33 p.m.
yo, todavia no aprendo bien como hacer las formulas, pero las voy a copiar:))
primero se da cuenta uno de los 2 triangulos semejantez que comparten el angulo en c y uno de 90 grados, q son los triaangulos $\triangle{ABC}$ y $\triangle{ACE}$ , entonces podemos decir q el triangulo $ABC$ q es uno triangulo rectangulo podemos usar pitagoras y $AB^2+AC^2=BC^2$ q esto tambien es igual a $AC^4$ ,
Ahora en el triangulo $\triangle{DAB}$ tambiense puede aplicar pitagoras, q es $AD^2 + AB^2 = 1$ y la hasta ahi voy
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Luis Carlos García3 de septiembre de 2012, 8:27 p.m.
Primero nos fijamos en que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$
$\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$
$\Rightarrow AC^2=BC$
$\Rightarrow (AD+1)^2=EB+1\Rightarrow AD^2+2AD+1=EB+1$
$\Rightarrow AD^2=EB-2AD$

Luego observamos que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BEA}$
$\Rightarrow\frac{AE}{CA}=\frac{EC}{EA}=\frac{AC}{BA}$
$\Rightarrow AE^2=BE$
Por Pitágoras en $\triangle{ABE}$
$AE^2+BE^2=AB^2\Rightarrow BE+BE^2=AB^2$

Luego, por Pitágoras en $\triangle{ABD}$ :
$AD^2+AB^2=DB^2$
Pero tenemos que $AD^2=EB-2AD$ , $AB^2=EB^2+EB$ y $DB^2=1$
$\Rightarrow (EB-2AD)+(EB^2+EB)=1$
$\Rightarrow 2EB+EB^2=2AD+1$
$\Rightarrow EB^2+2EB+1=2AD+2\Rightarrow (EB+1)^2=2(AD+1)$
Además tenemos que $EB+1=BC$ y $AD+1=AC$ , sustituimos y queda:
$BC^2=2AC$ , pero además teníamos que $AC^2=BC\Rightarrow AC^4=2AC$
$\Rightarrow AC^3=2$
$\Rightarrow AC=\root{3}\of{2}$
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Luis Carlos García3 de septiembre de 2012, 8:29 p.m.
Y así fue como le gané esta épica batalla al Latex.
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Luis Chacón3 de septiembre de 2012, 9:10 p.m.
Como AE y BC son perpendiculares, $\angle AEC=90°$ . ABC y EAC tienen un ángulo de 90° y comparten $\angle BCA$ , entonces son semejantes por AA, de aquí tenemos que $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{EC}$ , como EC=1, $\frac{BC}{AC}=AC$ => $BC=AC^2$ .
ADB es rectángulo, entonces por Pitágoras $AB^2+AD^2=BD^2$ .
BD=1, entonces $BD^2=1$ .
ABC es rectángulo, entonces $AB^2+AC^2=BC^2$ => $AB^2=BC^2-AC^2$ .
AD=AC-DC=AC-1, entonces $AD^2=(AC-1)^2=AC^2-2(AC)+1$ .
Sustituimos $AB^2,BD^2,AD^2$ en $AB^2+AD^2=BD^2$ . Tenemos $(BC^2-AC^2)+(AC^2-2(AC)+1)=1$ . Sustituimos $BC$ : $(AC^2)^2-AC^2+AC^2-2(AC)+1=1$ .
=> $AC^4-2(AC)=0$
=> $AC^4=2(AC)$
=> $AC^3=2$
=> $AC= \root {3} \of {2}$
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Unknown4 de septiembre de 2012, 5:34 p.m.
lo puse en la pagina de rumbo al nacional
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Unknown4 de septiembre de 2012, 8:00 p.m.
Encontramos algunas semejanzas que puedes ser utiles como:

a) $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$ entonces: $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$ de aqui obtenemos que $AC^2=BC$

b) $\triangle{AEB}\sim\triangle{CEA}$ entonces: $\frac{AE}{CE}=\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AC}$ de aqui sacamos que: $\AC=\frac{AB}{AE}$

Después observamos que $\triangle{ABC}$ es triangulo rectángulo y cumple con: $AB^2+(AD+1)^2 = BC^2$ podemos sustituir y queda $AB^2 + AD^2 + 2AD + 1 = (AC^2)^2 = AC^4$ . Pero encontramos que al aplicar pitagoras en $\triangle{BAD}$ $AB^2 + AD^2 = BD^2 = 1$ entonces podemos sustituir $AB^2$ y $AD^2$ por $1$ y nos queda de la siguiente forma: $2AD + 2 = (AC^2)^2 = AC^4$ .
- $2AD + 2 = AC^4$ nos damos cuenta que podemos factorizar de la siguiente forma $2(AD + 1) = AC^4$ y $(AD+1)= AC$ entonces queda que $2(AC) = AC^4$ por ultimo despejamos y queda: $2=AC^3$ y que $AC=\root{3}\of{2}$
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Unknown11 de septiembre de 2012, 9:27 p.m.
Los triángulos ABC, EBA y EAC son semejantes
Encontramos que EA/BA=AC/BC=EC/AC
Sustituimos EX por 1 y nos queda asi:
EA/BA=AC/BC=1/AC
De ahi observamos que nos sirven las dos ultimas razones(AC/BC=1/AC)
Ahi encontramos que BC=AC↑2
Despues vemos que: AC=(AD+1), entonces AC↑2= (AD+1)↑2; realizando la operacion nos queda AD↑2+AD+AD+1= AC↑2, que simplificada es AD↑2+2AD+1= AC↑2
Despues usamos Pitagoras en el triangulo ABC y queda lo siguiente:
BA↑2+AD↑2+2AD+1= BE+1= BC↑2
Despues usamos Pitagoras en el triangulo BDA y sale lo siguiente:
BA↑2+AD↑2=1
Despues encontramos que 2AD+2)=AC↑4
Vamos despejando y nos queda que la respuesta es:
Raiz cubica de 2
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jueves, 30 de agosto de 2012

Problema del Día. Geometría (30 de Agosto)

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