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jueves, 30 de agosto de 2012
Problema del Día. Geometría (30 de Agosto)
En el triangulo rectangulo $ABC$ con ángulo recto en $A$, sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AE$ y $BC$ son perpendiculares, y $BD=DC=EC=1$. Determine la longitud del lado $AC$.
Yo dibuje un círculo donde BC es el diámetro. Luego tracé la mediatriz de $BC$ y a uno de los puntos donde cortaba a la circunferenca lo llamé X. El punto A puede estar en cualquier lugar del arco CX. El punto D será donde AB y la mediatriz de ED se intersecten. Esto es porque BDC es un triángulo isósceles por la igualdad BD=DC=EC. Entonces EDC tambien es un triangulo isósceles. Si trazamos una paralela a BC desde el punto D nos daremos cuenta de que EB es menor que DB'. Como esto sucede, y AE es perpendicular a BC el punto D no existiria ya que AB nunca se intersectaria con la mediatriz de BC y esto debe suceder porque para que BD=DC, AB debe ser igual o mayor que AC. Por lo tanto no se puede hacer un triangulo que cumpla con estas caracteristicas.
Se veria mas padre si pudiera ponerle los dibujitos, jajaja
Como $AE$ es perpendicular a $BC$ Tenemos que forma un ángulo recto, llamemos $\alpha$ a $\angle$ $ABC$ y $\beta$ $=$ $\angle$ $ACE$ Vemos que $\angle$ $BAE$ $=$ $\beta$ y $\angle$ $EAC$ $=$ $\alpha$
Por lo tanto $\triangle ABC$ $\sim$ $\triangle EAC$
Bueno yo primero hise notar el triángulo $BDC$ porque es isósceles por lados iguales, marco la haltura $AE$ y $D$ lo pongo con $M$ que es el punto medio de la recta $BC$ va a quedar perpendicular la recta $DM$ a $BC$, Nombro la intersección de $AE$ y $BD$ como $F$, me queda el triángulo $FBE$ que es congruente por $aa$ al triángulo $MDC$ y este a su ves al triángulo $AEC$ por esto tendrán las mismas razones. Mas tarde lo termino.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384382991632501&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384383114965822&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
No revise si toda el algebra esta bien, pero todavia no acabas. Necesitas saber cuanto vale $y$. Te recomiendo poner toda tu solucion en un solo comentario.
Vemos que el $\triangle CEA$ y el $\triangle CAB$ , comparten el $\angle ACB$ y además tienen un ángulo recto, por lo tanto son semejantes por Angulo - Angulo : $\frac{CE}{CA} = \frac{EA}{AB} = \frac{AC}{BC}$ $\frac{1}{CA} = \frac{AC}{BC}$ $\Rightarrow AC^2 = BC$ Sustuimos $AC$ y $BC$ : $(AD + 1)^2 = EB + 1$ $AD^2 + 2AD + 1 = EB + 1$ $AD^2 + 2AD = EB$ $AD^2 = EB - 2AD$
Decimos que el $\angle ADB = \alpha$ . $\Rightarrow \angle CAE = (180 - 90 - \alpha ) = (90 - \alpha )$ y su complemento que es el $\angle EAB = \alpha$ ; y por lo tanto, $\triangle AEB \sim \triangle CAB$ por Angulo - Angulo: $\frac{AE}{CA} = \frac{EB}{AB} = \frac{BA}{BC}$ $\Rightarrow AB^2 = BC \times EB = (EB + 1) \times EB = EB^2 +EB$
Aplicamos Pitágoras en el $\triangle DAB$ : $AD^2 + AB^2 = DB^2$ $EB - 2DA + EB^2 + EB = 1$ $2EB + EB^2 = 2AD + 1$ Sumamos 1 en cada lado $\rightarrow 2EB + EB^2 + 1 = 2AD + 2$ Vemos que lo que está en la derecha es un binomio al cuadrado. $\Rightarrow (EB + 1)^2 = 2(AD + 1) = BC^2 = 2CA$
Es facil ver que por la semejanza de $\triangle{ABC}$ con $\triangle{ACE}$ se cumple que $AC^2=BC$, entonces como $ABC$ es un triangulo rectangulo se cumple que $AB^2+AC^2=BC^2=AC^4$. Por Pitagoras $AC^+AB^2=BC^2=(AD+1)^2+AB^2=AD^2+2AD+1+AB^2$ pero como AD+1 =AC entonces lo anterior es igual a $AD^2+AD+AC+AB^2$, pero por pitagoras $AD^2+AB^2=BD^2=1 enotnces lo anterior es igual a $BD^2+AD+AC=1+2AD+1=2+2AD=2(AD+1)=2AC$. Enotnces si $BC^2=2AC$ se cumple que $2AC=AC^4$ entonces $AC^3=2$ entonces $AC=\root{3}\of{2}$
primero saque por pitagoras en el triangulo $ABC$ que $(ac^2)+(ab^2)=bc^2$ pero como $ac=ad+1$ entopnces $bc^2=(ad+1)^2+ab^2=ad^2+2ad+1+ab^2$ pero como $ac=ad+1$ entonces $bc^2=ad^2+ad+ac+ab^2$ pero por pitagoras en el triangulo $adb$ tenemos que $ad^2+ab^2=bd^2=1$ entonces $bc^2=bd^2+ad+ac=2(ad+1)$ pero como $ad+1=ac$ entonces $bc^2=2ac$ louego por los triangulos $cea$ y $cab$ tenemos que $bc=ac^2$ entonces $bc^2=ac^4$ entonces $2ac=ac^4$ dividiendo entre $ac$ nos da $2=ac^3$ y despejando $ac$ nos da que $ac=$ raiz cubica de dos
yo, todavia no aprendo bien como hacer las formulas, pero las voy a copiar:)) primero se da cuenta uno de los 2 triangulos semejantez que comparten el angulo en c y uno de 90 grados, q son los triaangulos $\triangle{ABC}$ y $\triangle{ACE}$, entonces podemos decir q el triangulo $ABC$ q es uno triangulo rectangulo podemos usar pitagoras y $AB^2+AC^2=BC^2$ q esto tambien es igual a $AC^4$, Ahora en el triangulo $\triangle{DAB}$ tambiense puede aplicar pitagoras, q es $AD^2 + AB^2 = 1$ y la hasta ahi voy
Primero nos fijamos en que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$ $\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$ $\Rightarrow AC^2=BC$ $\Rightarrow (AD+1)^2=EB+1\Rightarrow AD^2+2AD+1=EB+1$ $\Rightarrow AD^2=EB-2AD$
Luego observamos que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BEA}$ $\Rightarrow\frac{AE}{CA}=\frac{EC}{EA}=\frac{AC}{BA}$ $\Rightarrow AE^2=BE$ Por Pitágoras en $\triangle{ABE}$ $AE^2+BE^2=AB^2\Rightarrow BE+BE^2=AB^2$
Luego, por Pitágoras en $\triangle{ABD}$: $AD^2+AB^2=DB^2$ Pero tenemos que $AD^2=EB-2AD$, $AB^2=EB^2+EB$ y $DB^2=1$ $\Rightarrow (EB-2AD)+(EB^2+EB)=1$ $\Rightarrow 2EB+EB^2=2AD+1$ $\Rightarrow EB^2+2EB+1=2AD+2\Rightarrow (EB+1)^2=2(AD+1)$ Además tenemos que $EB+1=BC$ y $AD+1=AC$, sustituimos y queda: $BC^2=2AC$, pero además teníamos que $AC^2=BC\Rightarrow AC^4=2AC$ $\Rightarrow AC^3=2$ $\Rightarrow AC=\root{3}\of{2}$
Como AE y BC son perpendiculares, $ \angle AEC=90°$. ABC y EAC tienen un ángulo de 90° y comparten $ \angle BCA$, entonces son semejantes por AA, de aquí tenemos que $ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{EC} $, como EC=1, $ \frac{BC}{AC}=AC$=>$BC=AC^2$. ADB es rectángulo, entonces por Pitágoras $AB^2+AD^2=BD^2$. BD=1, entonces $BD^2=1$. ABC es rectángulo, entonces $AB^2+AC^2=BC^2$ => $AB^2=BC^2-AC^2$. AD=AC-DC=AC-1, entonces $AD^2=(AC-1)^2=AC^2-2(AC)+1$. Sustituimos $AB^2,BD^2,AD^2$ en $AB^2+AD^2=BD^2$. Tenemos $(BC^2-AC^2)+(AC^2-2(AC)+1)=1$. Sustituimos $BC$: $(AC^2)^2-AC^2+AC^2-2(AC)+1=1$. =>$AC^4-2(AC)=0$ =>$AC^4=2(AC)$ =>$AC^3=2$ =>$AC= \root {3} \of {2}$
Encontramos algunas semejanzas que puedes ser utiles como:
a) $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$ entonces: $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$ de aqui obtenemos que $AC^2=BC$
b) $\triangle{AEB}\sim\triangle{CEA}$ entonces: $\frac{AE}{CE}=\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AC}$ de aqui sacamos que: $\AC=\frac{AB}{AE}$
Después observamos que $\triangle{ABC}$ es triangulo rectángulo y cumple con: $AB^2+(AD+1)^2 = BC^2$ podemos sustituir y queda $AB^2 + AD^2 + 2AD + 1 = (AC^2)^2 = AC^4$. Pero encontramos que al aplicar pitagoras en $\triangle{BAD}$ $AB^2 + AD^2 = BD^2 = 1$ entonces podemos sustituir $AB^2$ y $AD^2$ por $1$ y nos queda de la siguiente forma: $2AD + 2 = (AC^2)^2 = AC^4$. - $2AD + 2 = AC^4$ nos damos cuenta que podemos factorizar de la siguiente forma $2(AD + 1) = AC^4$ y $(AD+1)= AC$ entonces queda que $2(AC) = AC^4$ por ultimo despejamos y queda: $2=AC^3$ y que $AC=\root{3}\of{2}$
Los triángulos ABC, EBA y EAC son semejantes Encontramos que EA/BA=AC/BC=EC/AC Sustituimos EX por 1 y nos queda asi: EA/BA=AC/BC=1/AC De ahi observamos que nos sirven las dos ultimas razones(AC/BC=1/AC) Ahi encontramos que BC=AC↑2 Despues vemos que: AC=(AD+1), entonces AC↑2= (AD+1)↑2; realizando la operacion nos queda AD↑2+AD+AD+1= AC↑2, que simplificada es AD↑2+2AD+1= AC↑2 Despues usamos Pitagoras en el triangulo ABC y queda lo siguiente: BA↑2+AD↑2+2AD+1= BE+1= BC↑2 Despues usamos Pitagoras en el triangulo BDA y sale lo siguiente: BA↑2+AD↑2=1 Despues encontramos que 2AD+2)=AC↑4 Vamos despejando y nos queda que la respuesta es: Raiz cubica de 2
eso no se puede
ResponderBorrarSi se puede
BorrarYo dibuje un círculo donde BC es el diámetro. Luego tracé la mediatriz de $BC$ y a uno de los puntos donde cortaba a la circunferenca lo llamé X. El punto A puede estar en cualquier lugar del arco CX. El punto D será donde AB y la mediatriz de ED se intersecten. Esto es porque BDC es un triángulo isósceles por la igualdad BD=DC=EC. Entonces EDC tambien es un triangulo isósceles. Si trazamos una paralela a BC desde el punto D nos daremos cuenta de que EB es menor que DB'. Como esto sucede, y AE es perpendicular a BC el punto D no existiria ya que AB nunca se intersectaria con la mediatriz de BC y esto debe suceder porque para que BD=DC, AB debe ser igual o mayor que AC. Por lo tanto no se puede hacer un triangulo que cumpla con estas caracteristicas.
ResponderBorrarSe veria mas padre si pudiera ponerle los dibujitos, jajaja
Si se puede
Borrarcomo?
Borrarponer los dibujitos o hacer el triangulo?
BorrarEs un triangulo de medidas especificas.
BorrarEncontramos que $\triangle BAE$ $\sim$ $\triangle AEC$ por Ángulo- Ángulo.Encontramos: $\frac{BE}{AE}$ $=$ $\frac{EA}{EC}$ $=$ $\frac{BA}{AC}$ $\rightarrow$ $(EA)$ $(AC)$ $=$ $(EC)$ $(BA)$ $\rightarrow$ $AC$ $=$ $\frac{BA}{EA}$
ResponderBorrarPorque: $AC$ $=$ $\frac{BA}{EA}$
BorrarEl problema aun no esta resuelto, el lado $AC$ tiene medidas especificas que tu debes de averiguar,
BorrarPorque: $AC$ $=$ $\frac{BA}{EA}$
ResponderBorrarSolo despejo la ecuacion de las semejanzas de los triangulos
BorrarAplicando Pitágoras en $\triangleABE$ tenemos que: $AB^2$ $-$ $BE^2$ $=$ $AE^2$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AE^2$ $+$ $EC^2$ , Por Pitágoras en $\triangleAEC$ tenemos que $AE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AC^2$ , $AC^2$ $=$ $(AD+DC)^2$ $=$ $AD^2$ $+$ $2(AD)(DC)$ $+$ $DC^2$ , $DC^2$ $=DC=1$ $\rightarrow$ $(AD+DC)^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $=$ $AC^2$ $=$ $AE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $\rightarrow$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $+$ $AB^2$ $=$ $AD^2$ $+2AD+1$ $+$ $AB^2$ , sabemos por Pitágoras en $\triangleABC$ que $AD^2$ $+2AD+1$ $+$ $AB^2$ $=$ $BC^2$ $=$ $(BE+EC)^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)(EC)$ $+$ $EC^2$ , si $EC^2$ $=EC=1$ $\rightarrow$ $(BE+EC)^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $+1$ , tenemos entonces que: $AB^2$ $-$ $BE^2$ $+$ $EC^2$ $+$ $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $+1$ $\rightarrow$ $2$ $AB^2$ $-$ $BE^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $2(BE)$ $\rightarrow$ $2$ $AB^2$ $=$ $2$ $($ $BE^2$ $+$ $BE$ $)$ $\rightarrow$ $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+BE$ , si $AB^2$ $=$ $BE^2$ $+$ $EA^2$ $\rightarrow$ $EA^2$ $=$ $BE$
ResponderBorrarque hariamos sin pitagoras XD
BorrarComo $AE$ es perpendicular a $BC$ Tenemos que forma un ángulo recto, llamemos $\alpha$ a $\angle$ $ABC$ y $\beta$ $=$ $\angle$ $ACE$ Vemos que $\angle$ $BAE$ $=$ $\beta$ y $\angle$ $EAC$ $=$ $\alpha$
ResponderBorrarPor lo tanto $\triangle ABC$ $\sim$ $\triangle EAC$
Entonces: $\frac{AB}{EA}$ $=$ $\frac{AD+1}{1}$ $=$ $\frac{BE+1}{AD+1}$
Pues $AC$ $=$ $AD+1$ y $BC$ $=$ $BE+1$
Por lo tanto: $(AD+1)^2$ $=$ $(BE+1)$
Lo que es igual a $(AC)^2$ $=$ $BC$
Ahora vemos que $\triangle ABC$ $\sim$ $\triangle EBA$ por AA
Por lo tanto: $\frac{AB}{EB}$ $=$ $\frac{AC}{EA}$ $=$ $\frac{BC}{AB}$
De donde sacamos: $AB^2$ $=$ \$ BE \times BC\$
En donde tenemos que $BC$ $=$ $BE+1$
Entonces $AB^2$ $=$ $ BE \times BE+1\$
Por pitágoras en el $\triangle ABD$
Tenemos que: $AB2^ + AD^2$ $=$ $1$
Sustituimos:
$BE^2 + BE + BE - 2AD$ $=$ $1$
$BE+1^2$ $=$ $2AD + 2$
$BC^2$ $=$ $2AC$
Utilizamos la primer razón que habiamos obtenido, igualandola con la última y nos queda que:
$AC^4$ $=$ $BC^2$ $=$ $2AC$
Por lo tanto:
$AC^3$ $=$ $2$
En donde obtenemos que $AC$ $=$ $\root {3} \of {2}\$
Bueno yo primero hise notar el triángulo $BDC$ porque es isósceles por lados iguales, marco la haltura $AE$ y $D$ lo pongo con $M$ que es el punto medio de la recta $BC$ va a quedar perpendicular la recta $DM$ a $BC$,
ResponderBorrarNombro la intersección de $AE$ y $BD$ como $F$, me queda el triángulo $FBE$ que es congruente por $aa$ al triángulo $MDC$ y este a su ves al triángulo $AEC$ por esto tendrán las mismas razones. Mas tarde lo termino.
Vas muy bien, busca triangulos semejantes para concluir.
Borraraun no aprendo a comentar :l podría mandar una foto?
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=384382991632501&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384383114965822&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarPara acabar necesitas una de dos cosas:
Borrar*Usar pitagoras
*Trazar la altura de $BDC$
supongo que AB mide y, bc mide z +1, y ac mide x + 1
ResponderBorrarpor lo tanto se que (y)^2 + (x+1)^2 = (z+1)^2
ResponderBorrarentonces y^2 + x^2 + 2x + 1 = z^2 + 2z + 1
ResponderBorraren el triangulo ABD sus lados son AD=x, AB=y y BD 1
ResponderBorrarentonces el lado X= 1-y^2
ResponderBorrarentonces tengo que que el lado AC=2-y^2
ResponderBorrary entonces (4-4y+y^2)+y^2 = BC^2 = (z+1)^2
ResponderBorrary si resto el lado DC a AC tengo que el lado Ad mide la raiz cuadrada de(3-4y+y^2)
ResponderBorrary (3-4y+y^2)+(y^2)= 1
ResponderBorrarpor lo tanto el lado AC mide 6-8y+3y^2 ya que sustituyo Dc por el valor de BD
ResponderBorrarNo revise si toda el algebra esta bien, pero todavia no acabas. Necesitas saber cuanto vale $y$. Te recomiendo poner toda tu solucion en un solo comentario.
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarTe recomiendo que si vas a subir una foto, ponle orden a tu intento de solucion. Sigue intentando.
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarVemos que el $\triangle CEA$ y el $\triangle CAB$ , comparten el $\angle ACB$ y además tienen un ángulo recto, por lo tanto son semejantes por Angulo - Angulo :
ResponderBorrar$\frac{CE}{CA} = \frac{EA}{AB} = \frac{AC}{BC}$
$\frac{1}{CA} = \frac{AC}{BC}$
$\Rightarrow AC^2 = BC$
Sustuimos $AC$ y $BC$ :
$(AD + 1)^2 = EB + 1$
$AD^2 + 2AD + 1 = EB + 1$
$AD^2 + 2AD = EB$
$AD^2 = EB - 2AD$
Decimos que el $\angle ADB = \alpha$ .
$\Rightarrow \angle CAE = (180 - 90 - \alpha ) = (90 - \alpha )$ y su complemento que es el $\angle EAB = \alpha$ ; y por lo tanto, $\triangle AEB \sim \triangle CAB$ por Angulo - Angulo:
$\frac{AE}{CA} = \frac{EB}{AB} = \frac{BA}{BC}$
$\Rightarrow AB^2 = BC \times EB = (EB + 1) \times EB = EB^2 +EB$
Aplicamos Pitágoras en el $\triangle DAB$ :
$AD^2 + AB^2 = DB^2$
$EB - 2DA + EB^2 + EB = 1$
$2EB + EB^2 = 2AD + 1$
Sumamos 1 en cada lado $\rightarrow 2EB + EB^2 + 1 = 2AD + 2$
Vemos que lo que está en la derecha es un binomio al cuadrado.
$\Rightarrow (EB + 1)^2 = 2(AD + 1) = BC^2 = 2CA$
Teníamos que $AC^2 = BC$ ; igualamos ambas razones:
$AC^4 = BC^2 = 2CA$
$\Rightarrow AC^4 = 2CA$
$AC^3 = 2$
$\boxed {AC = \root {3} \of {2}}$
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=IMG_0079.jpg
ResponderBorrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=IMG_0079.jpg
ResponderBorraralguna sugerencia?
ResponderBorrarSigue intentando, traza la altura de $BDC$.
Borrarhttps://plus.google.com/u/0/photos/100066737030455211829/albums/posts/5788327467902410978
BorrarTenemos que $\triangle{DAB}$ es un triángulo rectángulo, por lo que cumple Pitágoras:
ResponderBorrar$AD^2$ + $AB^2$ $=$ $BD^2$ $=$ $1^2$ $=$ $1$
Tenemos que en $\triangle{ABC}$ , $\angle{ABC}$ $+$ $90^o$ $+$ $\angle{ACB}$ $=$ $180^o$ , en $\triangle{EAC}$ , $\angle{EAC}$ $+$ $90^o$ $+$ $\angle{ACB}$ $=$ $180^o$ $\Rightarrow$ por el criterio de semejanza AA , $\triangle{ECA}$ $\sim$ $\triangle{ACB}$ , a partir de esta semejanza, sacamos razones:
$\frac{1}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{EA}{AB}$ $\Rightarrow$ $\bullet AC^{2}=BC$ . Sustituyendo valores, ya que $AC=AD+1, BC=BE+1$ $\Rightarrow$ $(AD+1)^2$ $=$ $BE+1$ $\rightarrow$ $AD^2$ $+$ $2AD+1$ $=$ $BE+1$ $\rightarrow$ $AD^2$ $=$ $BE-2AD$
En $AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}=1^{2}=1$ sustituimos $AD^{2}$ y $AB^{2}$ y tenemos: $BE-2AD+ BE^{2} +BE=1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $=$ $2AD+1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $=$ $2AD+1$ $\rightarrow$ $2BE$ $+$ $BE^2$ $+$ $1$ $=$ $2AD+2$ $\rightarrow$ $(BE+1)^2$ $=$ $2(AD+1)$ $=$ $\bullet BC^2$ $=$ $2AC$
Tenemos que: $AC^2$ $=$ $BC$ , $BC^2$ $=$ $2AC$ $\Rightarrow$ $AC^4$ $=$ $2AC$ $\Rightarrow$ $AC^3$ $=$ $2$ $\therefore$ $AC= \root{3}\of{2}$
Es facil ver que por la semejanza de $\triangle{ABC}$ con $\triangle{ACE}$ se cumple que $AC^2=BC$, entonces como $ABC$ es un triangulo rectangulo se cumple que $AB^2+AC^2=BC^2=AC^4$.
ResponderBorrarPor Pitagoras $AC^+AB^2=BC^2=(AD+1)^2+AB^2=AD^2+2AD+1+AB^2$
pero como AD+1 =AC entonces lo anterior es igual a $AD^2+AD+AC+AB^2$, pero por pitagoras $AD^2+AB^2=BD^2=1 enotnces lo anterior es igual a $BD^2+AD+AC=1+2AD+1=2+2AD=2(AD+1)=2AC$.
Enotnces si $BC^2=2AC$ se cumple que $2AC=AC^4$ entonces $AC^3=2$ entonces $AC=\root{3}\of{2}$
:)
Borrar(Arregla tu $\LaTeX{}$
primero saque por pitagoras en el triangulo $ABC$ que
ResponderBorrar$(ac^2)+(ab^2)=bc^2$ pero como $ac=ad+1$ entopnces $bc^2=(ad+1)^2+ab^2=ad^2+2ad+1+ab^2$ pero como $ac=ad+1$ entonces $bc^2=ad^2+ad+ac+ab^2$ pero por pitagoras en el triangulo $adb$ tenemos que $ad^2+ab^2=bd^2=1$ entonces $bc^2=bd^2+ad+ac=2(ad+1)$ pero como $ad+1=ac$ entonces $bc^2=2ac$
louego por los triangulos $cea$ y $cab$ tenemos que $bc=ac^2$
entonces $bc^2=ac^4$ entonces $2ac=ac^4$ dividiendo entre $ac$ nos da $2=ac^3$ y despejando $ac$ nos da que $ac=$ raiz cubica de dos
:)
Borrar(De preferencia usa letras mayusculas para los puntos)
yo, todavia no aprendo bien como hacer las formulas, pero las voy a copiar:))
ResponderBorrarprimero se da cuenta uno de los 2 triangulos semejantez que comparten el angulo en c y uno de 90 grados, q son los triaangulos $\triangle{ABC}$ y $\triangle{ACE}$, entonces podemos decir q el triangulo $ABC$ q es uno triangulo rectangulo podemos usar pitagoras y $AB^2+AC^2=BC^2$ q esto tambien es igual a $AC^4$,
Ahora en el triangulo $\triangle{DAB}$ tambiense puede aplicar pitagoras, q es $AD^2 + AB^2 = 1$ y la hasta ahi voy
Sigue intentando
BorrarPrimero nos fijamos en que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$
ResponderBorrar$\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$
$\Rightarrow AC^2=BC$
$\Rightarrow (AD+1)^2=EB+1\Rightarrow AD^2+2AD+1=EB+1$
$\Rightarrow AD^2=EB-2AD$
Luego observamos que $\triangle{AEC}\sim\triangle{BEA}$
$\Rightarrow\frac{AE}{CA}=\frac{EC}{EA}=\frac{AC}{BA}$
$\Rightarrow AE^2=BE$
Por Pitágoras en $\triangle{ABE}$
$AE^2+BE^2=AB^2\Rightarrow BE+BE^2=AB^2$
Luego, por Pitágoras en $\triangle{ABD}$:
$AD^2+AB^2=DB^2$
Pero tenemos que $AD^2=EB-2AD$, $AB^2=EB^2+EB$ y $DB^2=1$
$\Rightarrow (EB-2AD)+(EB^2+EB)=1$
$\Rightarrow 2EB+EB^2=2AD+1$
$\Rightarrow EB^2+2EB+1=2AD+2\Rightarrow (EB+1)^2=2(AD+1)$
Además tenemos que $EB+1=BC$ y $AD+1=AC$, sustituimos y queda:
$BC^2=2AC$, pero además teníamos que $AC^2=BC\Rightarrow AC^4=2AC$
$\Rightarrow AC^3=2$
$\Rightarrow AC=\root{3}\of{2}$
Y así fue como le gané esta épica batalla al Latex.
ResponderBorrarComo AE y BC son perpendiculares, $ \angle AEC=90°$. ABC y EAC tienen un ángulo de 90° y comparten $ \angle BCA$, entonces son semejantes por AA, de aquí tenemos que $ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{EC} $, como EC=1, $ \frac{BC}{AC}=AC$=>$BC=AC^2$.
ResponderBorrarADB es rectángulo, entonces por Pitágoras $AB^2+AD^2=BD^2$.
BD=1, entonces $BD^2=1$.
ABC es rectángulo, entonces $AB^2+AC^2=BC^2$ => $AB^2=BC^2-AC^2$.
AD=AC-DC=AC-1, entonces $AD^2=(AC-1)^2=AC^2-2(AC)+1$.
Sustituimos $AB^2,BD^2,AD^2$ en $AB^2+AD^2=BD^2$. Tenemos $(BC^2-AC^2)+(AC^2-2(AC)+1)=1$. Sustituimos $BC$: $(AC^2)^2-AC^2+AC^2-2(AC)+1=1$.
=>$AC^4-2(AC)=0$
=>$AC^4=2(AC)$
=>$AC^3=2$
=>$AC= \root {3} \of {2}$
lo puse en la pagina de rumbo al nacional
ResponderBorrarEncontramos algunas semejanzas que puedes ser utiles como:
ResponderBorrara) $\triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}$ entonces: $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}$ de aqui obtenemos que $AC^2=BC$
b) $\triangle{AEB}\sim\triangle{CEA}$ entonces: $\frac{AE}{CE}=\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AC}$ de aqui sacamos que: $\AC=\frac{AB}{AE}$
Después observamos que $\triangle{ABC}$ es triangulo rectángulo y cumple con: $AB^2+(AD+1)^2 = BC^2$ podemos sustituir y queda $AB^2 + AD^2 + 2AD + 1 = (AC^2)^2 = AC^4$. Pero encontramos que al aplicar pitagoras en $\triangle{BAD}$ $AB^2 + AD^2 = BD^2 = 1$ entonces podemos sustituir $AB^2$ y $AD^2$ por $1$ y nos queda de la siguiente forma: $2AD + 2 = (AC^2)^2 = AC^4$.
- $2AD + 2 = AC^4$ nos damos cuenta que podemos factorizar de la siguiente forma $2(AD + 1) = AC^4$ y $(AD+1)= AC$ entonces queda que $2(AC) = AC^4$ por ultimo despejamos y queda: $2=AC^3$ y que $AC=\root{3}\of{2}$
Los triángulos ABC, EBA y EAC son semejantes
ResponderBorrarEncontramos que EA/BA=AC/BC=EC/AC
Sustituimos EX por 1 y nos queda asi:
EA/BA=AC/BC=1/AC
De ahi observamos que nos sirven las dos ultimas razones(AC/BC=1/AC)
Ahi encontramos que BC=AC↑2
Despues vemos que: AC=(AD+1), entonces AC↑2= (AD+1)↑2; realizando la operacion nos queda AD↑2+AD+AD+1= AC↑2, que simplificada es AD↑2+2AD+1= AC↑2
Despues usamos Pitagoras en el triangulo ABC y queda lo siguiente:
BA↑2+AD↑2+2AD+1= BE+1= BC↑2
Despues usamos Pitagoras en el triangulo BDA y sale lo siguiente:
BA↑2+AD↑2=1
Despues encontramos que 2AD+2)=AC↑4
Vamos despejando y nos queda que la respuesta es:
Raiz cubica de 2