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jueves, 30 de agosto de 2012

Problema del Día. Geometría (30 de Agosto)

En el triangulo rectangulo ABC con ángulo recto en A, sean D y E puntos en los lados AC y BC, respectivamente, tales que AE y BC son perpendiculares, y BD=DC=EC=1. Determine la longitud del lado AC.

54 comentarios:

  1. Yo dibuje un círculo donde BC es el diámetro. Luego tracé la mediatriz de BC y a uno de los puntos donde cortaba a la circunferenca lo llamé X. El punto A puede estar en cualquier lugar del arco CX. El punto D será donde AB y la mediatriz de ED se intersecten. Esto es porque BDC es un triángulo isósceles por la igualdad BD=DC=EC. Entonces EDC tambien es un triangulo isósceles. Si trazamos una paralela a BC desde el punto D nos daremos cuenta de que EB es menor que DB'. Como esto sucede, y AE es perpendicular a BC el punto D no existiria ya que AB nunca se intersectaria con la mediatriz de BC y esto debe suceder porque para que BD=DC, AB debe ser igual o mayor que AC. Por lo tanto no se puede hacer un triangulo que cumpla con estas caracteristicas.

    Se veria mas padre si pudiera ponerle los dibujitos, jajaja

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  2. Encontramos que BAE AEC por Ángulo- Ángulo.Encontramos: BEAE = EAEC = BAAC (EA) (AC) = (EC) (BA) AC = BAEA

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    1. Porque: AC = BAEA

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    2. El problema aun no esta resuelto, el lado AC tiene medidas especificas que tu debes de averiguar,

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  3. Respuestas
    1. Solo despejo la ecuacion de las semejanzas de los triangulos

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  4. Aplicando Pitágoras en \triangleABE tenemos que: AB2 BE2 = AE2 AB2 BE2 + EC2 = AE2 + EC2 , Por Pitágoras en \triangleAEC tenemos que AE2 + EC2 = AC2 , AC2 = (AD+DC)2 = AD2 + 2(AD)(DC) + DC2 , DC2 =DC=1 (AD+DC)2 = AD2 +2AD+1 = AC2 = AE2 + EC2 = AB2 BE2 + EC2 AB2 BE2 + EC2 = AD2 +2AD+1 AB2 BE2 + EC2 + AB2 = AD2 +2AD+1 + AB2 , sabemos por Pitágoras en \triangleABC que AD2 +2AD+1 + AB2 = BC2 = (BE+EC)2 = BE2 + 2(BE)(EC) + EC2 , si EC2 =EC=1 (BE+EC)2 = BE2 + 2(BE) +1 , tenemos entonces que: AB2 BE2 + EC2 + AB2 = BE2 + 2(BE) +1 2 AB2 BE2 = BE2 + 2(BE) 2 AB2 = 2 ( BE2 + BE ) AB2 = BE2 +BE , si AB2 = BE2 + EA2 EA2 = BE

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  5. Como AE es perpendicular a BC Tenemos que forma un ángulo recto, llamemos α a ABC y β = ACE Vemos que BAE = β y EAC = α

    Por lo tanto ABC EAC

    Entonces: ABEA = AD+11 = BE+1AD+1

    Pues AC = AD+1 y BC = BE+1

    Por lo tanto: (AD+1)2 = (BE+1)
    Lo que es igual a (AC)2 = BC

    Ahora vemos que ABC EBA por AA

    Por lo tanto: ABEB = ACEA = BCAB

    De donde sacamos: AB2 = \BE×BC$EndondetenemosqueBC=BE+1EntoncesAB^2= BE \times BE+1\Porpitágorasenel\triangle ABDTenemosque:AB2^ + AD^2=1Sustituimos:BE^2 + BE + BE - 2AD=1BE+1^2=2AD + 2BC^2=2ACUtilizamoslaprimerrazónquehabiamosobtenido,igualandolaconlaúltimaynosquedaque:AC^4=BC^2=2ACPorlotanto:AC^3=2EndondeobtenemosqueAC=\root {3} \of {2}\$

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  6. Bueno yo primero hise notar el triángulo BDC porque es isósceles por lados iguales, marco la haltura AE y D lo pongo con M que es el punto medio de la recta BC va a quedar perpendicular la recta DM a BC,
    Nombro la intersección de AE y BD como F, me queda el triángulo FBE que es congruente por aa al triángulo MDC y este a su ves al triángulo AEC por esto tendrán las mismas razones. Mas tarde lo termino.

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  7. aun no aprendo a comentar :l podría mandar una foto?

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  8. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384382991632501&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=384383114965822&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater

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    1. Para acabar necesitas una de dos cosas:
      *Usar pitagoras
      *Trazar la altura de BDC

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  9. supongo que AB mide y, bc mide z +1, y ac mide x + 1

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  10. por lo tanto se que (y)^2 + (x+1)^2 = (z+1)^2

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  11. entonces y^2 + x^2 + 2x + 1 = z^2 + 2z + 1

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  12. en el triangulo ABD sus lados son AD=x, AB=y y BD 1

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  13. entonces tengo que que el lado AC=2-y^2

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  14. y entonces (4-4y+y^2)+y^2 = BC^2 = (z+1)^2

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  15. y si resto el lado DC a AC tengo que el lado Ad mide la raiz cuadrada de(3-4y+y^2)

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  16. por lo tanto el lado AC mide 6-8y+3y^2 ya que sustituyo Dc por el valor de BD

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    1. No revise si toda el algebra esta bien, pero todavia no acabas. Necesitas saber cuanto vale y. Te recomiendo poner toda tu solucion en un solo comentario.

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  17. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater

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    1. Te recomiendo que si vas a subir una foto, ponle orden a tu intento de solucion. Sigue intentando.

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  18. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4552647858494&set=a.4512585016948.187169.1360331970&type=3&theater

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  19. Vemos que el CEA y el CAB , comparten el ACB y además tienen un ángulo recto, por lo tanto son semejantes por Angulo - Angulo :
    CECA=EAAB=ACBC
    1CA=ACBC
    AC2=BC
    Sustuimos AC y BC :
    (AD+1)2=EB+1
    AD2+2AD+1=EB+1
    AD2+2AD=EB
    AD2=EB2AD

    Decimos que el ADB=α .
    CAE=(18090α)=(90α) y su complemento que es el EAB=α ; y por lo tanto, AEBCAB por Angulo - Angulo:
    AECA=EBAB=BABC
    AB2=BC×EB=(EB+1)×EB=EB2+EB

    Aplicamos Pitágoras en el DAB :
    AD2+AB2=DB2
    EB2DA+EB2+EB=1
    2EB+EB2=2AD+1
    Sumamos 1 en cada lado 2EB+EB2+1=2AD+2
    Vemos que lo que está en la derecha es un binomio al cuadrado.
    (EB+1)2=2(AD+1)=BC2=2CA

    Teníamos que AC2=BC ; igualamos ambas razones:
    AC4=BC2=2CA
    AC4=2CA
    AC3=2

    AC=32

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  20. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=IMG_0079.jpg

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  21. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=IMG_0079.jpg

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  22. Respuestas
    1. Sigue intentando, traza la altura de BDC.

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    2. https://plus.google.com/u/0/photos/100066737030455211829/albums/posts/5788327467902410978

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  23. Tenemos que DAB es un triángulo rectángulo, por lo que cumple Pitágoras:
    AD2 + AB2 = BD2 = 12 = 1
    Tenemos que en ABC , ABC + 90o + ACB = 180o , en EAC , EAC + 90o + ACB = 180o por el criterio de semejanza AA , ECA ACB , a partir de esta semejanza, sacamos razones:
    1AC=ACBC=EAAB AC2=BC . Sustituyendo valores, ya que AC=AD+1,BC=BE+1 (AD+1)2 = BE+1 AD2 + 2AD+1 = BE+1 AD2 = BE2AD
    En AD2+AB2=BD2=12=1 sustituimos AD2 y AB2 y tenemos: BE2AD+BE2+BE=1 2BE + BE2 = 2AD+1 2BE + BE2 = 2AD+1 2BE + BE2 + 1 = 2AD+2 (BE+1)2 = 2(AD+1) = BC2 = 2AC
    Tenemos que: AC2 = BC , BC2 = 2AC AC4 = 2AC AC3 = 2 AC= \root{3}\of{2}

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  24. Es facil ver que por la semejanza de \triangle{ABC} con \triangle{ACE} se cumple que AC^2=BC, entonces como ABC es un triangulo rectangulo se cumple que AB^2+AC^2=BC^2=AC^4.
    Por Pitagoras AC^+AB^2=BC^2=(AD+1)^2+AB^2=AD^2+2AD+1+AB^2
    pero como AD+1 =AC entonces lo anterior es igual a AD^2+AD+AC+AB^2, pero por pitagoras AD^2+AB^2=BD^2=1 enotnces lo anterior es igual a BD^2+AD+AC=1+2AD+1=2+2AD=2(AD+1)=2AC. Enotnces si BC^2=2AC se cumple que 2AC=AC^4 entonces AC^3=2 entonces AC=\root{3}\of{2}$

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  25. primero saque por pitagoras en el triangulo ABC que
    (ac^2)+(ab^2)=bc^2 pero como ac=ad+1 entopnces bc^2=(ad+1)^2+ab^2=ad^2+2ad+1+ab^2 pero como ac=ad+1 entonces bc^2=ad^2+ad+ac+ab^2 pero por pitagoras en el triangulo adb tenemos que ad^2+ab^2=bd^2=1 entonces bc^2=bd^2+ad+ac=2(ad+1) pero como ad+1=ac entonces bc^2=2ac
    louego por los triangulos cea y cab tenemos que bc=ac^2
    entonces bc^2=ac^4 entonces 2ac=ac^4 dividiendo entre ac nos da 2=ac^3 y despejando ac nos da que ac= raiz cubica de dos

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  26. yo, todavia no aprendo bien como hacer las formulas, pero las voy a copiar:))
    primero se da cuenta uno de los 2 triangulos semejantez que comparten el angulo en c y uno de 90 grados, q son los triaangulos \triangle{ABC} y \triangle{ACE}, entonces podemos decir q el triangulo ABC q es uno triangulo rectangulo podemos usar pitagoras y AB^2+AC^2=BC^2 q esto tambien es igual a AC^4,
    Ahora en el triangulo \triangle{DAB} tambiense puede aplicar pitagoras, q es AD^2 + AB^2 = 1 y la hasta ahi voy

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  27. Primero nos fijamos en que \triangle{AEC}\sim\triangle{BAC}
    \Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC}
    \Rightarrow AC^2=BC
    \Rightarrow (AD+1)^2=EB+1\Rightarrow AD^2+2AD+1=EB+1
    \Rightarrow AD^2=EB-2AD

    Luego observamos que \triangle{AEC}\sim\triangle{BEA}
    \Rightarrow\frac{AE}{CA}=\frac{EC}{EA}=\frac{AC}{BA}
    \Rightarrow AE^2=BE
    Por Pitágoras en \triangle{ABE}
    AE^2+BE^2=AB^2\Rightarrow BE+BE^2=AB^2

    Luego, por Pitágoras en \triangle{ABD}:
    AD^2+AB^2=DB^2
    Pero tenemos que AD^2=EB-2AD, AB^2=EB^2+EB y DB^2=1
    \Rightarrow (EB-2AD)+(EB^2+EB)=1
    \Rightarrow 2EB+EB^2=2AD+1
    \Rightarrow EB^2+2EB+1=2AD+2\Rightarrow (EB+1)^2=2(AD+1)
    Además tenemos que EB+1=BC y AD+1=AC, sustituimos y queda:
    BC^2=2AC, pero además teníamos que AC^2=BC\Rightarrow AC^4=2AC
    \Rightarrow AC^3=2
    \Rightarrow AC=\root{3}\of{2}

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  28. Y así fue como le gané esta épica batalla al Latex.

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  29. Como AE y BC son perpendiculares, \angle AEC=90°. ABC y EAC tienen un ángulo de 90° y comparten \angle BCA, entonces son semejantes por AA, de aquí tenemos que \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{EC} , como EC=1, \frac{BC}{AC}=AC=>BC=AC^2.
    ADB es rectángulo, entonces por Pitágoras AB^2+AD^2=BD^2.
    BD=1, entonces BD^2=1.
    ABC es rectángulo, entonces AB^2+AC^2=BC^2 => AB^2=BC^2-AC^2.
    AD=AC-DC=AC-1, entonces AD^2=(AC-1)^2=AC^2-2(AC)+1.
    Sustituimos AB^2,BD^2,AD^2 en AB^2+AD^2=BD^2. Tenemos (BC^2-AC^2)+(AC^2-2(AC)+1)=1. Sustituimos BC: (AC^2)^2-AC^2+AC^2-2(AC)+1=1.
    =>AC^4-2(AC)=0
    =>AC^4=2(AC)
    =>AC^3=2
    =>AC= \root {3} \of {2}

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  30. lo puse en la pagina de rumbo al nacional

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  31. Encontramos algunas semejanzas que puedes ser utiles como:

    a) \triangle{AEC}\sim\triangle{BAC} entonces: \frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{AC} de aqui obtenemos que AC^2=BC

    b) \triangle{AEB}\sim\triangle{CEA} entonces: \frac{AE}{CE}=\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AC} de aqui sacamos que: \AC=\frac{AB}{AE}

    Después observamos que \triangle{ABC} es triangulo rectángulo y cumple con: AB^2+(AD+1)^2 = BC^2 podemos sustituir y queda AB^2 + AD^2 + 2AD + 1 = (AC^2)^2 = AC^4. Pero encontramos que al aplicar pitagoras en \triangle{BAD} AB^2 + AD^2 = BD^2 = 1 entonces podemos sustituir AB^2 y AD^2 por 1 y nos queda de la siguiente forma: 2AD + 2 = (AC^2)^2 = AC^4.
    - 2AD + 2 = AC^4 nos damos cuenta que podemos factorizar de la siguiente forma 2(AD + 1) = AC^4 y (AD+1)= AC entonces queda que 2(AC) = AC^4 por ultimo despejamos y queda: 2=AC^3 y que AC=\root{3}\of{2}

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  32. Los triángulos ABC, EBA y EAC son semejantes
    Encontramos que EA/BA=AC/BC=EC/AC
    Sustituimos EX por 1 y nos queda asi:
    EA/BA=AC/BC=1/AC
    De ahi observamos que nos sirven las dos ultimas razones(AC/BC=1/AC)
    Ahi encontramos que BC=AC↑2
    Despues vemos que: AC=(AD+1), entonces AC↑2= (AD+1)↑2; realizando la operacion nos queda AD↑2+AD+AD+1= AC↑2, que simplificada es AD↑2+2AD+1= AC↑2
    Despues usamos Pitagoras en el triangulo ABC y queda lo siguiente:
    BA↑2+AD↑2+2AD+1= BE+1= BC↑2
    Despues usamos Pitagoras en el triangulo BDA y sale lo siguiente:
    BA↑2+AD↑2=1
    Despues encontramos que 2AD+2)=AC↑4
    Vamos despejando y nos queda que la respuesta es:
    Raiz cubica de 2

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