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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
viernes, 31 de agosto de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (31 de Agosto)
Si se sabe que:
\[ 34! = 295,232,799,cd9,604,140,847,618,609,643,5ab,000,000 \]
determine los digitos $a,b,c,d$ sin utilizar calculadora o talacha.
Para que se forme cada cero al final de $34!$ debe haber una pareja de factores $(2,5)$ , lógicamente solo voy a contar los factores $5$ ya que los factores $2$ son mas, por cada múltiplo de $5$ del $1$ al $34$ hay un factor $5$ , aqui van $6$ factores $5$ , por cada múltiplo de $25$ hay otro factor $5$ , solo hay uno $\rightarrow$ solo hay $7$ factores $5$ $\rightarrow$ $34!$ tiene $7$ ceros al final $\rightarrow$ $b=0$ , con solo contar los factores $2$ que se forman con múltiplos de $2$ , vemos que hay mas de $$frac\{32}{2}$$ $=$ $16$ factores $2$ , entonces al dividir entre $10000000$ quitamos los últimos $7$ ceros y el número que nos queda, termina en $35a$ y quedan los suficientes factores $2$ (mas de $3$ ) para que este nuevo número sea divisible por $8$ , aplicando el criterio de divisibilidad del $8$ , $8|352$ $\rightarrow$ $a=2$ . La suma de dígitos de $32!$ es $141+c+d$ , pero $34!$ es múltiplo $9$ entonces $9|141+c+d$ $\rightarrow$ $141+c+d=(3, 12)$ tomando en cuenta que $0<(c,d)<9$ y por ende que: $0<(c+d)<18$ , por el criterio divisibilidad del $11$ , tenemos que $11|(80+d)-(66+c)=14+d-c$ , $14+d-c$ es a lo mas $23$ (cuando $d=9$ , $c=0$ ) y a lo menos es $5$ (cuando $d=0$ , $c=9$ ) por lo que $14+d-c=(11,22)$ $\rightarrow$ $d-c=(-3,8)$ así que desarrollamos los $4$ casos: caso: $d-c=(-3)$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=0$ $\rightarrow$ $d=0$ $\rightarrow$ $c=3$ $cumple!!!$ caso: $d-c=(-3)$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=9$ , lo cual es impar y no cumple. caso: $d-c=8$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=11$ , lo cual es impar y no cumple. caso: $d-c=8$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=20$ $\rightarrow$ $d=10$ $!$ ya que d es de un solo dígito y ya. Solo el primer caso cumple, concluimos que: $a=2$ , $b=0$ , $c=3$ , $d=0$
*A partir de donde puse: $11|(80+d)-(66+c)$ es: $11|(80+d)-(61+c)=19+d-c$ , $19+d-c$ es a lo mas $28$ (cuando $d=9$ , $c=0$ ) y a lo menos es $10$ (cuando $d=0$ , $c=9$ ) por lo que $19+d-c=(11,22)$ $\rightarrow$ $d-c=(-8,3)$ así que desarrollamos los $4$ casos: caso: $d-c=(-8)$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=-5$ , lo cual es negativo y no cumple caso: $d-c=(-8)$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=4$ $\rigtarrow$ d=2 $\rightarrow$ $c=10$ $!$ c tiene un dígito por lo que no cumple. caso: $d-c=3$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=6$ $\rightarrow$ $d=3$ $\rightarrow$ $c=0$ , $cumple!!!$ caso: $d-c=3$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=15$ , lo cual es impar y no cumple y ya. Solo el primer caso cumple, concluimos que: $a=2$ , $b=0$ , $c=0$ , $d=3$
Lo primero sería determinar cuántos 0's hay al final del número. Se añade un $0$ cada vez que multiplicamos por $10 (2\times5)$ . Buscamos cuantos 5's hay en la factorización de $34!$ . Va a haber uno en cada múltiplo de $5$ hasta el $34$: $\bullet 5=1\times5$ ... $\bullet 10=2\times5$ ... $\bullet 15=3\times5$ $\bullet 20=4\times5$ ... $\bullet 25=5\times5$ ... $\bullet 30=6\times5$ $*$ Podemos ver que para el $25$, se van a contar dos 5's porque es $5^2$ . Hay siete 5's, que se pueden multiplicar por cualquier par y obtendríamos siete 0's. $\therefore$ como ya hay seis 0's, $\Rightarrow b = 0$ .
Ahora buscamos el valor de $a$ . Para obtener el último dígito de $n$ , se multiplica su último dígito por el último de $(n-1)$ . $*$ Por último dígito, me refiero el que esta hasta la derecha, pero sin tomar en cuenta los 0's, al igual que al estar multiplicando. Buscamos el último dígito de cada factorial hasta $34$ y así obtener $a$ : $\bullet 1! \rightarrow 1$ … $\bullet 2! \rightarrow 2$ … $\bullet 3! \rightarrow 6$ … $\bullet 4! \rightarrow 4$ … $\bullet 5! \rightarrow 2$ $\bullet 6! \rightarrow 2$ … $\bullet 7! \rightarrow 4$ … $\bullet 8! \rightarrow 2$ … $\bullet 9! \rightarrow 8$ … $\bullet 10! \rightarrow 8$ $\bullet 11! \rightarrow 8$ … $\bullet 12! \rightarrow 6$ … $\bullet 13! \rightarrow 8$ … $\bullet 14! \rightarrow 2$ … $\bullet 15! \rightarrow 2$ $\bullet 16! \rightarrow 2$ … $\bullet 17! \rightarrow 4$ … $\bullet 18! \rightarrow 2$ … $\bullet 19! \rightarrow 8$ … $\bullet 20! \rightarrow 8$ $\bullet 21! \rightarrow 8$ … $\bullet 22! \rightarrow 6$ … $\bullet 23! \rightarrow 8$ … $\bullet 24! \rightarrow 2$ … $\bullet 25! \rightarrow 2$ $\bullet 26! \rightarrow 2$ … $\bullet 27! \rightarrow 4$ … $\bullet 28! \rightarrow 2$ … $\bullet 29! \rightarrow 8$ … $\bullet 30! \rightarrow 8$ $\bullet 31! \rightarrow 8$ … $\bullet 32! \rightarrow 6$ … $\bullet 33! \rightarrow 8$ … $\bullet 34! \rightarrow 2$ Obtenemos que el último dígito (sin contar los 0's) de $34!$ es $2$ . $\Rightarrow a = 2$
Sabemos que $34!$ es múltiplo de $9$ y $11$ ,por lo tanto, va a cumplir sus criterios de divisibilidad. Para el criterio del $9$ , sumamos todos los dígitos. La suma es igual a $141 + c + d$ . Nos damos cuenta que los múltiplos de $9$ después de $141$ son $144$ , $153$ , $162$ . Para que los dígitos sumen esos múltiplos de $9$ , $c + d$ debe ser $3$ u $11$ . Para que sumen $162$ ya no se puede porque $c + d$ debe ser $19$ y lo máximo que se puede es $18$; con $c = d = 9$ . $\therefore$ los posibles valores para $c$ y $d$ son: $\underline{c - d}$ 3 – 0 2 – 1 1 – 2 0 – 3 ....ó.... $\underline{c - d}$ 9 – 3 8 – 4 7 – 5 6 – 6 5 – 7 4 – 8 3 – 9 Ahora para el $11$ , sumamos los dígitos en posición impar y en posición par: Pos Imp: $2 + 5 + 3 + 7 + 9 + d + 6 + 4 + 4 + 8 + 7 + 1 + 6 + 9 + 4 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 = 80 + d$ Pos Par: $9 + 2 + 2 + 9 + c + 9 + 0 + 1 + 0 + 4 + 6 + 8 + 0 + 6 + 3 + 2 + 0 + 0 + 0 = 61 + c$ Pos Imp - Pos Par = Múltiplo de 11 $(80 + d) - (61 + c) = 19 + d - c$ $19 + d + c$ = Múltiplo de 11 = $8 + d - c$ En el caso en que el múltiplo es 0, los casos posibles son: $\underline{c - d}$ 8 – 0 9 – 1 Y en el caso donde el múltiplo es 11, los casos posibles son: $\underline{c - d}$ 0 – 3 1 – 4 2 – 5 3 – 6 4 – 7 5 – 8 6 – 9 $*$ No se puede que el múltiplo sea 22 o más porque la suma máxima posible es: $8 + 9 - 0 = 17$, que es menor a 22.
Vemos las posibles combinaciones para que sea múltiplo de 9 y 11, y el único caso en que $c$ y $d$ concuerdan es: $c = 0$ y $d = 3$ .
$\therefore \boxed{a = 2 , b = 0 , c = 0 , d = 3 }$
Aqui una correción... donde dice: Nos damos cuenta que los múltiplos de $9$ después de $141$ son $144$ , $153$ , $162$ . Para que los dígitos sumen esos múltiplos de $9$ , $c + d$ debe ser $3$ u $11$ . $\color{red} \text{Aqui debe ser 12, enves de 11; aunque en la solucion si use 12.}$ Para que sumen $162$ ya no se puede porque $c + d$ debe ser $19$ y lo máximo que se puede es $18$; con $c = d = 9$ . $\color{red} \text{Aqui debe ser 21, enves de 19.}$
primero nos damos cuenta que 34! tiene 7 factores 5 y como hay mas factores dos que factores 5 entonces hay 7 ceros entonces $b=0$ luego nos fijamos que 34! tien mas de 10 factores 2 entonces si,lo dividimos entre 10000000 el numero tendria al final los digitos $35a$ entonces $ 8/35a $ entonces $a=2$ luego por el criterio de divisivilidad del 11 tenemos que $11/(80+d)-(61+c)$ entonces $11/19+d-c$ entonces $d-c=-3,8$ y por el criterio de divisivilidad del 9 tenemos quue $9/141+c+d$ entonces $c+d= 3, 12$ y si comparamos las dos igualdades que acavamos de poner nos damos cuenta que si $d-c=-3 entonces d+c=3 entonces d=0 y c=3 y si d-c=8 entonces d+c=12 pero entonces c=10 y no se puede ya que es un digito entonces d=0 y c=3$ entonces al final tenemos que $a=2 b=0 c=3 d=0 $
Primero buscamos cuantos 0's debe tener $34!$ - $34!$ tiene un 0 por cada factor 5 que hayamos en los factores de $34!$ (5,10,15,20,5*5,30), son 7 factores de 5 → debe haber 7 0's, obtenemos que $b=0$.
Después nos damos cuenta que si quitamos los $0's$, $a$ queda como ultimo dígito, encontramos el valor de $a$ multiplicando el ultimo dígito de cada factor de $34!$ sin contar los 7 10's: -Si factorizamos $10$, 10 $=$ 2*5, tenemos que quitar 7 factores de 2 y 7 factores de 5 y nos queda la siguiente multiplicación: $2 * 3 * 3 * 4 * 6 * 6 * 7 * 8 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4 * 7 * 8 * 9 * 1 *2 *3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4$ Solo multiplicamos el ultimo dígito de cada factor porque solo nos interesa por el momento el ultimo factor del resultado. El ultimo dígito de la multiplicación es $2$ y $a=2$
Ahora sumamos los digitos en posiciones pares e impares, para utilizar los criterios del $9$ y $11$ $2+ 5+ 3+ 7+ 9+ d+ 10+ 4+ 15+ 16+ 4+ 5 = 80 + d$ $9+ 4+ 9+ c+ 9+ 5+ 14+ 11 = 61 + c$
Con esto encontramos que $80+61=141$, base a esto la suma máxima es $141+18=159$ suponiendo que $c=9$ y $d=9$.
Buscamos múltiplos de 9 tal que sean mayores a $141$ pero menores que $159$, los números que cumplen con lo anterior son: $144$ y $153$.
En el caso de 144: - $d+c=3$ esto es posible si tienen los siguientes valores y cumplen el criterio del $11$ $d=0$ y $c=3$ $80-64=16$ no cumple $d=3$ y $c=0$ $83-61=22$ cumple $d=2$ y $c=1$ $82-62=20$ no cumple $d=1$ y $c=2$ $81-63=18$ no cumple
En el caso de 153: - $d+c=12$ y tiene que cumplir con el criterio de $11$ $d=9$ y $c=3$ $89-64=25$ no cumple $d=3$ y $c=9$ $83-70=13$ no cumple $d=8$ y $c=4$ $88-65=23$ no cumple $d=4$ y $c=8$ $84-69=15$ no cumple $d=7$ y $c=5$ $87-66=21$ no cumple $d=5$ y $c=7$ $85-68=17$ no cumple $d=6$ y $c=6$ $86-67=19$ no cumple
Con esto encontramos que el único caso que cumple es $d=3= y $c=0$
Finalmente $a=2$, $b=0$, $c=0$ y $d=3$, es el único caso donde se cumplen los criterios del $9$ y $11$, con la cantidad de $0's$ al final de $34!$ y con la multiplicación del ultimo dígito de cada numero que forma $34!$
Finalmente $a=2$ $b=0$ $c=0$ $d=3$ es el único caso donde se cumplen los criterios del $9$ $11$, con la cantidad de $0$ al final de $34!$ y con la multiplicación del ultimo dígito de cada numero que forma $34!$
Olvide mencionar que en la multiplicacion aparte de quitar los factores de $5$ quite los numeros: $16$ contiene $4$ veces el numero $2$ $4$ contiene $2$ veces a $2$ $2$
porque necesitaba quitar la misma cantidad de $2$ 's que de $5$ 's
$35a$ debe ser divisible por $8$ y $4$ $52$ y $56$ don múltiplos de $4$ $352$ no es múltiplo de $8$ y $356$ no es múltiplo de $8$ Concluimos que $a=2$ por que se cumplen los criterios, y nos evitamos hacer la multiplicación de los últimos dígitos
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065131564287&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&comment_id=903675&ref=notif¬if_t=photo_comment, tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065278230939&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065301564270&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065344897599&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
34! tiene 7 factores 5 (uno en 5,10,15,20,30 y dos en 25) y más de 7 factores 2 (al menos 1 en cada par y es producto de 17 pares), entonces tiene 7 factores 10 y tiene 7 0's al final. b es el 7° número de derecha a izquierda, entonces b=0. Consideramos $ \frac{34!}{10^7} $ para trabajar con los dígitos hasta a. Eso tiene más de 3 factores 2 (había más de 17 y quitamos solo 7), entonces es divisible entre 8. Por el criterio de divisibilidad del 8, 35a es múltiplo de 8, entonces a=2 (352 es múltiplo de 8). 34! es múltiplo de 9, entonces 0≡2+5+2+3+2+7+c+d+6+4+1+4+8+4+7+6+1+8+6+6+4+3+5+2≡c+d+6 (mod 9) y c+d≡3 (mod 9) 34! es múltiplo de 11, entonces 0≡2-9+5-2+3-2+7-9+9-c+d-9+6-0+4-1+4-0+8-4+7-6+1-8+6-0+9-6+4-3+5-2≡-c+d+19≡-c+d+8 (mod 11) entonces -c+d≡3 (mod 11) c, d son un solo dígito, entonces c+d está entre 0 y 18, y d-c entré -9 y 9. c+d≡3 (mod 9) entonces c+d=3,12 -c+d≡3 (mod 11) entonces -c+d=-8,3 Hay 4 casos: * c+d=3 y -c+d=-8 => 2d=-5 => d=-5/2 pero d es entero. * c+d=3 y -c+d=3 => 2d=6 => d=3 => c=0 * c+d=12 y -c+d=-8 => 2d=4 => d=2 => c=10 pero c es un solo dígito. * c+d=12 y -c+d=3 => 2d=9 => d=9/2 pero d es un entero. a=2, b=0, c=0, d=3
34! tiene más de 17 factores 2 (hay al menos uno en cada par [4=2*2, 6=2*3, 8=2*2*2, 10=2*5,...] y en 34! se multiplican 17 pares), al quitar los 7 0's del final, se divide 34! entre 10^7 que es quitar 7 factores 5 y 7 factores 2, entonces quedan al menos 10 factores 2. El número que queda tiene más de 10 factores 2, entonces se pueden juntar 3 en un factor 8, entonces 295,232...964,35a tiene un factor 8 y por lo tanto es divisible entre 8.
Primero busque los 0's que hay al final del numero, para eso escribí todos los números que componen 34!= 34*33*.......*3*2*1; después fue haciendo parejas de los números que eran múltiplos de 5 y los que eran múltiplos de 2, hasta que ya no se pudieran hacer parejas, ya que todo múltiplo de 5 multiplicado por uno de 2 terminara en 0 o varios 0's, después sume los 0's que me daban esas operaciones al final y en total fueron 7 0's y de ahí deduje que b es 0.
Para encontrar cuanto era a, hice lo siguiente: Quite todos los 0's que había y deje las 3 ultimas cifras que eran 35a y llegue a la conclusión de que este numero debía ser múltiplo de 4 y 8, así que el único numero que cumplía para que fuera a era el 2, ya que 352/4=88 y 352/8=44; así que a=2.
Por ultimo para encontrar el valor de c y d, hice los siguiente: Encontré que el numero 34! tenia que ser múltiplo de 9 y de 11 ya que había un factor 9 y un 11 que no habíamos utilizado, entonces hice la suma para sacar que números son divisibles entre 9 y 11. Para el 9 sume todos los números = 141+c+d y para el 11, impares= 80+d y pares= 61+c.. El mayor valor que podía tener c y d era 9. Después sume 80+61=141 y 89+70=159 (ya que 80+9=89 y 61+9= 70), después saque cuales eran los múltiplos de 9 que estaban entre esos números y salio que eran 144 y 153, después empece tomando que c valía 0 y a partir de ahí fui acomodando los números para que se formara el múltiplo de 11 y el único que cumplió fue el 144, siendo c=0 y d=3.
como 34! tiene 7 factores 5, y mas de 7 factores 2, =>34! termina en 7 ceros, de aqui que b=0. luego como si dividimos 34! entre $10^7$ nos queda que sigue siendo multiplo de 8, => 35a es ultiplo de 8 y de ahi que a=2. Luego me fijo que 9 divide a 34!=> 9 divide a la suma de digitos =141+c+d. => 141+c+d=(144,153) c+d=(3,12). Ademas por el criterio del 11, se tiene que 11 divide a 80+d-66-c=14+d-c. => d-c=(-3,-8). viendo cada caso: 1.- c+d=3 y -c+d=-8 2d=-5 d=-5/2 pero d es entero. 2.-c+d=3 y -c+d=3 2d=6 d=3 c=0 3.- c+d=12 y -c+d=-8 2d=4 d=2 c=10 pero c es un solo dígito. 4.- c+d=12 y -c+d=3 2d=9 d=9/2 pero d es un entero. Entonces: a=2, b=0, c=0, d=3
Vemos que el $34!$ contiene 7 factores 5 y a lo menos 7 factores 2, esto nos da un factor 10 por cada 2*5, tenemos 7 factores 10, en donde tenemos 7 ceros al final del número por lo cual, $b = 0$
Si dividimos $34!$ entre 10 a la 6, lo que nos deja con los digitos $5a0$ vemos los posibles casos y por divisibilidad del 8, $a=2$
Ahora vemos la divisibilidad del 9, nos da una suma de 141+c+d, en donde c+d es 2 o 12.
Por divisibilidad del 11, tenemos la suma: 14+d-c. En donde 3+d-c es divisible entre 11, en donde puede ser -3 o -8
Entonces vemos: c+d=12 y d-c= -8 d+8=c =12-d ==> 2d+8=12 d= 2 en donde c=10, pero como es de un solo digito, no cumple. c+d=12 y d-c=3 d=c+3 2c+3=12 c=9/2 Pero debe ser entero c+d=3 y d-c=3 d=c+3 2c+3=3 c=0 y d=3 c+d=3 y d-c= -8 d+8=c=3-d ==> 2d+8=3 d=-5/2 Pero como es un entero, no se puede.
$\text{Lo primero que vemos es que en 34! hay exactamente 7 factores 5, y al menos el mismo numero de factores 2}$$\Rightarrow 10^7|34!\Rightarrow$$\text{34! tiene exactamente 7 ceros a la derecha.}$ $\Rightarrow\boxed{b=0}$ $\text{Luego vemos que aún quedan al menos tres factores 2}$$\Rightarrow 8|\frac{34!}{10^7}$ $\text{Por criterio de divisibilidad del 8}$ $8|\overline{35a}\Rightarrow\boxed{a=2}$ $\text{Ahora nos fijamos en que la suma de digitos de 34!, sin contar c y d, es congruente a 6 mod 9, pero sabemos que 9|34!}$ $\Rightarrow c+d \equiv 3 \mod{9} \Rightarrow\left\{\begin{matrix} c+d=3\\ c+d=12\end{matrix}\right$ $\text{Luego, aplicando el criterio de divisibilidad del 11, obtenemos que la suma alternada de digitos da igual a}$ $\pm19$ $\textsc{SPDG}\text{ empezamos restando, por lo tanto la suma alterna es igual a -19}$$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} c-d=-3\\ c-d=8\end{matrix}\right$ $\text{Con esto nos quedan 4 casos:}$ $\medskip\left\begin{matrix} c+d=3\\ c-d=-3\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=0\Rightarrow \boxed{c=0, d=3}$ $\medskip\left\begin{matrix} c+d=3\\ c-d=8\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=11\Rightarrow c=\frac{11}{2} \textsc{ CONTRADICCION } c\in\mathbb{N}$ $\medskip\left\begin{matrix} c+d=12\\ c-d=3\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=15\Rightarrow c=\frac{15}{2} \textsc{ CONTRADICCION } c\in\mathbb{N}$ $\medskip\left\begin{matrix} c+d=12\\ c-d=8\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=20\Rightarrow c=\frac{20}{2}=10 \textsc{ CONTRADICCION } 0 \le c \le 9$ $\medskip\therefore \boxed{\text{Los unicos valores posibles son } a=2, b=0, c=0, d=3}$
Primero nos damos cuenta de que $34!$ tiene 7 factores $5$ y al menos 17 factores $2$ (1 por cada par al menos). Entonces $34!$ tiene 7 $0's$ al final. $\rightarrow\$ $b=0$ Usamos 7 factores $2$ con los otros 7 factores $5$ pero aun nos quedan al menos 10 factores 2 al menos. Entonces es multiplo de 8. Dividimos $34!$ entre $2^7*5^7$ para eliminar los ceros y nos queda que los ultimos digitos son 35a. $8|35a$ $\rightarrow\$ $a=2$ porque 352 es el unico numero que tiene un 3 en las centenas, 5 en las decenas y es multiplo de 2. $\rightarrow\$ $a=2$ Tambien sabemos que el numero es multiplo de 9 y para facilitarnos las cosas dividimos ese numero entre $10000000$. La suma de todos sus digitos debe ser igual a un multiplo de 9. Entonces $141+c+d\equiv0\mod{9}$ Entonces $c+d=3 o 12$ Como tambien es multiplo de 11 cumple con su criterio. Entonces la suma de los digitos nones desde la izquierda menos la suma de los pares debera ser un multiplo de 11. Al estar $c$ y $d$ juntos estos se restaran. Entonces $11|(80+d)-(61+c)$. Entonces $19+d-c$ es a lo mas 28 cuando $d=9$ y $c=0$ y a lo menos 10 cuando $d=0$ y $c=9$ Debemos obtener 11 o 22 en la operacion $19+d-c$ y que $d+c=3$ o $d+c=12$ El unico caso en el que cumple con ambos requisitos es cuando $d=3$ y $c=0$ Por lo tanto estos son los valores de sus digitos. $a=2$, $b=0$, $c=0$ y $d=3$
Hay que saber que el numero 34! termina en ceros, esto es porque del 34 al 1 hay varios factores del 5 que son el “5-10-15-20-25-30” que en total son 6 números y por lo tanto debe haber 6 ceros, pero el 25 es 5 al cuadrado, por lo tanto se le agrega un cero al gran numero, y en la séptima posición del numero de 34! es b, entonces se puede saber que b=0. Después eliminamos los ceros para hacer la cifra mas pequeña y ver cual es el ultimo numero diferente a cero que como se sabe, que en todos los números factoriales son pares, porque siempre se multiplican por 2, a excepción de 1! Q no se multiplica por 2; y en el 34! Hay 7 ceros, de todas formas la siguiente cifra será par porque si tomamos en cuenta el numero que esta hasta la derecha diferente a 0, entonces ese numero será par; los posibles números son “2-4-6-8” y se sabe que el numero 34! Cuenta con 4 o mas factores de 2, lo que hace la cifra divisible entre 8; entonces usamos el criterio de divisibilidad del 8 entre los números mayores a 351 y menores a 359, y el único numero que cumle es el 352, por lo tanto a=2 Ahora aplicamos los criterios de divisibilidad a todo el numero para saber el valor de c y d, Aplicando todos los criterios, para no escribirlos todos, me quedo q es divisible entre 9, lo que hace la siguente formula: 141 + c + d = múltiplo de 9, las sumas posibles para q sea múltiplo de 9 es 144-153, como c<9 y también d<9, entonces ya no llegan al siguiente múltiplo de 9 que es 162, y para estas sumas, entonces c+d= a “3” o “11”; ahora, para que de 3 las sumas posibles son: 0+3=3 - 1+2=3 - 2+1=3 - 3+0=3 Pero como están acomodados, la letra c es negativa y resta para el criterio de divisibilidad del 11 y la d esta sumando, por lo tanto d a lo máximo puede ser 9 y c también a lo máximo puede ser 9, entonces no se puede que c+d =11. Por eso solo importa q la suma de estos números de 3 como esta en la tabla anterior y d tiene que ser mayor a c, ahora hacemos las siguientes pruebas con las sumas anteriores para que siga siendo múltiplo de 9 y la única resta q da es la de 3-0=3 donde d=3 y c=0; por lo tanto ese es el resultado. ,a=2 b=0 c=0 d=3
Se inicia sacando los factores 5 de $34!$ esta 2 y 5,10, 12 y 15, 20, 22 y 25 y 30 en total son 7 por 25 que es$5^2$ entonces esto significa que $b=0$ entonces en los múltiplos de 34 se ve cuando se multiplica 5 el primer dígito es 0, $34*5=170, se queda en la cuenta queda 170 + $N*10$ en este caso N puede ser 2,4,6,8 por los múltiplos de cuatro ya que es el primero no se altera, 0 no se puede porque solo se dispone 7 "0" en los primeros dígitos bueno probando cada uno de los primeros dígitos note que el 2 hacia seguimiento a las demás números, como se ve en una tabla del 4 hay un patrón de primer dígito que es 2,4,6,8,0 y se repite como en $34*1=34$,$34*6=204$, fui sumando en una tabla donde puse todos los dígitos de $34!$ y la suma de la que se formaba hasta llegar a $d$,$c$ y quedo que $d$ seria igual a 3 + M + L, M podría ser 2 y 6, y L 0 o 7 claro M seria el ultimo dígito de un numero cuyo primer dígito debía ser 1 ante esto solo podría ser 2 o 6 de 102 y 136 este numero debe ser su primer dígito 1 por que el dígito medio es 0 que biene siendo $34*6=204$ + 8 de Del ultimo dígito de $34*7=238$ entonces queda 102 + el anterior que quedaría entre 1 y 2, 0 y 3 y viendo, sumando note también que debería ser también 102 con 2+0 +3 que quedo 5 y también 4+0+1 también dio 5 entonces d=c=5 y finalmente $a=2$, $b=0$, $c=5$. $d=5$
lo que hare es hacer la operacion, jajaja.
ResponderBorrarlas comas son para separar cada 3 digitos?
ResponderBorrarSi
ResponderBorrarPara que se forme cada cero al final de $34!$ debe haber una pareja de factores $(2,5)$ , lógicamente solo voy a contar los factores $5$ ya que los factores $2$ son mas, por cada múltiplo de $5$ del $1$ al $34$ hay un factor $5$ , aqui van $6$ factores $5$ , por cada múltiplo de $25$ hay otro factor $5$ , solo hay uno $\rightarrow$ solo hay $7$ factores $5$ $\rightarrow$ $34!$ tiene $7$ ceros al final $\rightarrow$ $b=0$ , con solo contar los factores $2$ que se forman con múltiplos de $2$ , vemos que hay mas de $$frac\{32}{2}$$ $=$ $16$ factores $2$ , entonces al dividir entre $10000000$ quitamos los últimos $7$ ceros y el número que nos queda, termina en $35a$ y quedan los suficientes factores $2$ (mas de $3$ ) para que este nuevo número sea divisible por $8$ , aplicando el criterio de divisibilidad del $8$ , $8|352$ $\rightarrow$ $a=2$ . La suma de dígitos de $32!$ es $141+c+d$ , pero $34!$ es múltiplo $9$ entonces $9|141+c+d$ $\rightarrow$ $141+c+d=(3, 12)$ tomando en cuenta que $0<(c,d)<9$ y por ende que: $0<(c+d)<18$ , por el criterio divisibilidad del $11$ , tenemos que $11|(80+d)-(66+c)=14+d-c$ , $14+d-c$ es a lo mas $23$ (cuando $d=9$ , $c=0$ ) y a lo menos es $5$ (cuando $d=0$ , $c=9$ ) por lo que $14+d-c=(11,22)$ $\rightarrow$ $d-c=(-3,8)$ así que desarrollamos los $4$ casos:
ResponderBorrarcaso: $d-c=(-3)$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=0$ $\rightarrow$ $d=0$ $\rightarrow$ $c=3$ $cumple!!!$
caso: $d-c=(-3)$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=9$ , lo cual es impar y no cumple.
caso: $d-c=8$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=11$ , lo cual es impar y no cumple.
caso: $d-c=8$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=20$ $\rightarrow$ $d=10$ $!$ ya que d es de un solo dígito y ya.
Solo el primer caso cumple, concluimos que: $a=2$ , $b=0$ , $c=3$ , $d=0$
yo me quede atorado en la parte de $0<(c+d)<18$ y ya no supe que hacer, gracias arturo :D
Borrar*A partir de donde puse: $11|(80+d)-(66+c)$ es: $11|(80+d)-(61+c)=19+d-c$ , $19+d-c$ es a lo mas $28$ (cuando $d=9$ , $c=0$ ) y a lo menos es $10$ (cuando $d=0$ , $c=9$ ) por lo que $19+d-c=(11,22)$ $\rightarrow$ $d-c=(-8,3)$ así que desarrollamos los $4$ casos:
Borrarcaso: $d-c=(-8)$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=-5$ , lo cual es negativo y no cumple
caso: $d-c=(-8)$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=4$ $\rigtarrow$ d=2 $\rightarrow$ $c=10$ $!$ c tiene un dígito por lo que no cumple.
caso: $d-c=3$ , $d+c=3$ .- sumamos todo: $2d=6$ $\rightarrow$ $d=3$ $\rightarrow$ $c=0$ , $cumple!!!$
caso: $d-c=3$ , $d+c=12$ .- sumamos todo: $2d=15$ , lo cual es impar y no cumple y ya.
Solo el primer caso cumple, concluimos que: $a=2$ , $b=0$ , $c=0$ , $d=3$
donde puse: $$frac{32}{2}$$ $=$ $16$ factores $2$ en realidad es: \$\frac{34}{2}\$ $=$ $17$ factores $2$
ResponderBorrarLo primero sería determinar cuántos 0's hay al final del número.
ResponderBorrarSe añade un $0$ cada vez que multiplicamos por $10 (2\times5)$ .
Buscamos cuantos 5's hay en la factorización de $34!$ .
Va a haber uno en cada múltiplo de $5$ hasta el $34$:
$\bullet 5=1\times5$ ... $\bullet 10=2\times5$ ... $\bullet 15=3\times5$
$\bullet 20=4\times5$ ... $\bullet 25=5\times5$ ... $\bullet 30=6\times5$
$*$ Podemos ver que para el $25$, se van a contar dos 5's porque es $5^2$ .
Hay siete 5's, que se pueden multiplicar por cualquier par y obtendríamos siete 0's.
$\therefore$ como ya hay seis 0's, $\Rightarrow b = 0$ .
Ahora buscamos el valor de $a$ .
Para obtener el último dígito de $n$ , se multiplica su último dígito por el último de $(n-1)$ .
$*$ Por último dígito, me refiero el que esta hasta la derecha, pero sin tomar en cuenta los 0's, al igual que al estar multiplicando.
Buscamos el último dígito de cada factorial hasta $34$ y así obtener $a$ :
$\bullet 1! \rightarrow 1$ … $\bullet 2! \rightarrow 2$ … $\bullet 3! \rightarrow 6$ … $\bullet 4! \rightarrow 4$ … $\bullet 5! \rightarrow 2$
$\bullet 6! \rightarrow 2$ … $\bullet 7! \rightarrow 4$ … $\bullet 8! \rightarrow 2$ … $\bullet 9! \rightarrow 8$ … $\bullet 10! \rightarrow 8$
$\bullet 11! \rightarrow 8$ … $\bullet 12! \rightarrow 6$ … $\bullet 13! \rightarrow 8$ … $\bullet 14! \rightarrow 2$ … $\bullet 15! \rightarrow 2$
$\bullet 16! \rightarrow 2$ … $\bullet 17! \rightarrow 4$ … $\bullet 18! \rightarrow 2$ … $\bullet 19! \rightarrow 8$ … $\bullet 20! \rightarrow 8$
$\bullet 21! \rightarrow 8$ … $\bullet 22! \rightarrow 6$ … $\bullet 23! \rightarrow 8$ … $\bullet 24! \rightarrow 2$ … $\bullet 25! \rightarrow 2$
$\bullet 26! \rightarrow 2$ … $\bullet 27! \rightarrow 4$ … $\bullet 28! \rightarrow 2$ … $\bullet 29! \rightarrow 8$ … $\bullet 30! \rightarrow 8$
$\bullet 31! \rightarrow 8$ … $\bullet 32! \rightarrow 6$ … $\bullet 33! \rightarrow 8$ … $\bullet 34! \rightarrow 2$
Obtenemos que el último dígito (sin contar los 0's) de $34!$ es $2$ .
$\Rightarrow a = 2$
Sabemos que $34!$ es múltiplo de $9$ y $11$ ,por lo tanto, va a cumplir sus criterios de divisibilidad.
Para el criterio del $9$ , sumamos todos los dígitos.
La suma es igual a $141 + c + d$ .
Nos damos cuenta que los múltiplos de $9$ después de $141$ son $144$ , $153$ , $162$ .
Para que los dígitos sumen esos múltiplos de $9$ , $c + d$ debe ser $3$ u $11$ .
Para que sumen $162$ ya no se puede porque $c + d$ debe ser $19$ y lo máximo que se puede es $18$; con $c = d = 9$ .
$\therefore$ los posibles valores para $c$ y $d$ son:
$\underline{c - d}$
3 – 0
2 – 1
1 – 2
0 – 3
....ó....
$\underline{c - d}$
9 – 3
8 – 4
7 – 5
6 – 6
5 – 7
4 – 8
3 – 9
Ahora para el $11$ , sumamos los dígitos en posición impar y en posición par:
Pos Imp:
$2 + 5 + 3 + 7 + 9 + d + 6 + 4 + 4 + 8 + 7 + 1 + 6 + 9 + 4 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 = 80 + d$
Pos Par:
$9 + 2 + 2 + 9 + c + 9 + 0 + 1 + 0 + 4 + 6 + 8 + 0 + 6 + 3 + 2 + 0 + 0 + 0 = 61 + c$
Pos Imp - Pos Par = Múltiplo de 11
$(80 + d) - (61 + c) = 19 + d - c$
$19 + d + c$ = Múltiplo de 11 = $8 + d - c$
En el caso en que el múltiplo es 0, los casos posibles son:
$\underline{c - d}$
8 – 0
9 – 1
Y en el caso donde el múltiplo es 11, los casos posibles son:
$\underline{c - d}$
0 – 3
1 – 4
2 – 5
3 – 6
4 – 7
5 – 8
6 – 9
$*$ No se puede que el múltiplo sea 22 o más porque la suma máxima posible es: $8 + 9 - 0 = 17$, que es menor a 22.
Vemos las posibles combinaciones para que sea múltiplo de 9 y 11, y el único caso en que $c$ y $d$ concuerdan es: $c = 0$ y $d = 3$ .
$\therefore \boxed{a = 2 , b = 0 , c = 0 , d = 3 }$
Aqui una correción... donde dice:
BorrarNos damos cuenta que los múltiplos de $9$ después de $141$ son $144$ , $153$ , $162$ .
Para que los dígitos sumen esos múltiplos de $9$ , $c + d$ debe ser $3$ u $11$ . $\color{red} \text{Aqui debe ser 12, enves de 11; aunque en la solucion si use 12.}$
Para que sumen $162$ ya no se puede porque $c + d$ debe ser $19$ y lo máximo que se puede es $18$; con $c = d = 9$ . $\color{red} \text{Aqui debe ser 21, enves de 19.}$
pues uso criterio de divisivilidad del 11 y 9 ya que son los mas utiles
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ResponderBorrara+b+c+d puede ser igual a 32,23,14,5 por criterio del 9 y la diferencia del criterio del 11 puede ser 11,22,33
ResponderBorrarPublica el resto de tu solución porfas
Borrarprimero nos damos cuenta que 34! tiene 7 factores 5 y como hay mas factores dos que factores 5 entonces hay 7 ceros entonces $b=0$
ResponderBorrarluego nos fijamos que 34! tien mas de 10 factores 2 entonces si,lo dividimos entre 10000000 el numero tendria al final los digitos $35a$ entonces $ 8/35a $ entonces $a=2$
luego por el criterio de divisivilidad del 11 tenemos que $11/(80+d)-(61+c)$ entonces $11/19+d-c$ entonces $d-c=-3,8$
y por el criterio de divisivilidad del 9 tenemos quue $9/141+c+d$ entonces $c+d= 3, 12$ y si comparamos las dos igualdades que acavamos de poner nos damos cuenta que si $d-c=-3 entonces d+c=3 entonces d=0 y c=3 y si d-c=8 entonces d+c=12 pero entonces c=10 y no se puede ya que es un digito entonces d=0 y c=3$ entonces al final tenemos que $a=2 b=0 c=3 d=0 $
Primero buscamos cuantos 0's debe tener $34!$
ResponderBorrar- $34!$ tiene un 0 por cada factor 5 que hayamos en los factores de $34!$ (5,10,15,20,5*5,30), son 7 factores de 5 → debe haber 7 0's, obtenemos que $b=0$.
Después nos damos cuenta que si quitamos los $0's$, $a$ queda como ultimo dígito, encontramos el valor de $a$ multiplicando el ultimo dígito de cada factor de $34!$ sin contar los 7 10's:
-Si factorizamos $10$, 10 $=$ 2*5, tenemos que quitar 7 factores de 2 y 7 factores de 5 y nos queda la siguiente multiplicación:
$2 * 3 * 3 * 4 * 6 * 6 * 7 * 8 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4 * 7 * 8 * 9 * 1 *2 *3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 * 1 * 2 * 3 * 4$
Solo multiplicamos el ultimo dígito de cada factor porque solo nos interesa por el momento el ultimo factor del resultado.
El ultimo dígito de la multiplicación es $2$ y $a=2$
Ahora sumamos los digitos en posiciones pares e impares, para utilizar los criterios del $9$ y $11$
$2+ 5+ 3+ 7+ 9+ d+ 10+ 4+ 15+ 16+ 4+ 5 = 80 + d$
$9+ 4+ 9+ c+ 9+ 5+ 14+ 11 = 61 + c$
Con esto encontramos que $80+61=141$, base a esto la suma máxima es $141+18=159$ suponiendo que $c=9$ y $d=9$.
Buscamos múltiplos de 9 tal que sean mayores a $141$ pero menores que $159$, los números que cumplen con lo anterior son: $144$ y $153$.
En el caso de 144:
- $d+c=3$ esto es posible si tienen los siguientes valores y
cumplen el criterio del $11$
$d=0$ y $c=3$ $80-64=16$ no cumple
$d=3$ y $c=0$ $83-61=22$ cumple
$d=2$ y $c=1$ $82-62=20$ no cumple
$d=1$ y $c=2$ $81-63=18$ no cumple
En el caso de 153:
- $d+c=12$ y tiene que cumplir con el criterio de $11$
$d=9$ y $c=3$ $89-64=25$ no cumple
$d=3$ y $c=9$ $83-70=13$ no cumple
$d=8$ y $c=4$ $88-65=23$ no cumple
$d=4$ y $c=8$ $84-69=15$ no cumple
$d=7$ y $c=5$ $87-66=21$ no cumple
$d=5$ y $c=7$ $85-68=17$ no cumple
$d=6$ y $c=6$ $86-67=19$ no cumple
Con esto encontramos que el único caso que cumple es $d=3= y $c=0$
Finalmente $a=2$, $b=0$, $c=0$ y $d=3$, es el único caso donde se cumplen los criterios del $9$ y $11$, con la cantidad de $0's$ al final de $34!$ y con la multiplicación del ultimo dígito de cada numero que forma $34!$
ResponderBorrarFinalmente $a=2$ $b=0$ $c=0$ $d=3$ es el único caso donde se cumplen los criterios del $9$ $11$, con la cantidad de $0$ al final de $34!$ y con la multiplicación del ultimo dígito de cada numero que forma $34!$
Olvide mencionar que en la multiplicacion aparte de quitar los factores de $5$ quite los numeros:
ResponderBorrar$16$ contiene $4$ veces el numero $2$
$4$ contiene $2$ veces a $2$
$2$
porque necesitaba quitar la misma cantidad de $2$ 's que de $5$ 's
$35a$ debe ser divisible por $8$ y $4$
ResponderBorrar$52$ y $56$ don múltiplos de $4$
$352$ no es múltiplo de $8$ y $356$ no es múltiplo de $8$
Concluimos que $a=2$ por que se cumplen los criterios, y nos evitamos hacer la multiplicación de los últimos dígitos
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065131564287&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&comment_id=903675&ref=notif¬if_t=photo_comment, tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065278230939&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065301564270&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065344897599&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarVas bien, trata de obtener $a$ antes de usar los criterios del $9$ y $11$
Borrar34! tiene 7 factores 5 (uno en 5,10,15,20,30 y dos en 25) y más de 7 factores 2 (al menos 1 en cada par y es producto de 17 pares), entonces tiene 7 factores 10 y tiene 7 0's al final. b es el 7° número de derecha a izquierda, entonces b=0.
ResponderBorrarConsideramos $ \frac{34!}{10^7} $ para trabajar con los dígitos hasta a. Eso tiene más de 3 factores 2 (había más de 17 y quitamos solo 7), entonces es divisible entre 8. Por el criterio de divisibilidad del 8, 35a es múltiplo de 8, entonces a=2 (352 es múltiplo de 8).
34! es múltiplo de 9, entonces 0≡2+5+2+3+2+7+c+d+6+4+1+4+8+4+7+6+1+8+6+6+4+3+5+2≡c+d+6 (mod 9) y c+d≡3 (mod 9)
34! es múltiplo de 11, entonces 0≡2-9+5-2+3-2+7-9+9-c+d-9+6-0+4-1+4-0+8-4+7-6+1-8+6-0+9-6+4-3+5-2≡-c+d+19≡-c+d+8 (mod 11) entonces -c+d≡3 (mod 11)
c, d son un solo dígito, entonces c+d está entre 0 y 18, y d-c entré -9 y 9.
c+d≡3 (mod 9) entonces c+d=3,12
-c+d≡3 (mod 11) entonces -c+d=-8,3
Hay 4 casos:
* c+d=3 y -c+d=-8 => 2d=-5 => d=-5/2 pero d es entero.
* c+d=3 y -c+d=3 => 2d=6 => d=3 => c=0
* c+d=12 y -c+d=-8 => 2d=4 => d=2 => c=10 pero c es un solo dígito.
* c+d=12 y -c+d=3 => 2d=9 => d=9/2 pero d es un entero.
a=2, b=0, c=0, d=3
estoy atorada en la parte, de porque debe ser divisible entre 8?:l
Borrar34! tiene más de 17 factores 2 (hay al menos uno en cada par [4=2*2, 6=2*3, 8=2*2*2, 10=2*5,...] y en 34! se multiplican 17 pares), al quitar los 7 0's del final, se divide 34! entre 10^7 que es quitar 7 factores 5 y 7 factores 2, entonces quedan al menos 10 factores 2.
BorrarEl número que queda tiene más de 10 factores 2, entonces se pueden juntar 3 en un factor 8, entonces 295,232...964,35a tiene un factor 8 y por lo tanto es divisible entre 8.
gracias Chacón:)
BorrarPrimero busque los 0's que hay al final del numero, para eso escribí todos los números que componen 34!= 34*33*.......*3*2*1; después fue haciendo parejas de los números que eran múltiplos de 5 y los que eran múltiplos de 2, hasta que ya no se pudieran hacer parejas, ya que todo múltiplo de 5 multiplicado por uno de 2 terminara en 0 o varios 0's, después sume los 0's que me daban esas operaciones al final y en total fueron 7 0's y de ahí deduje que b es 0.
ResponderBorrarPara encontrar cuanto era a, hice lo siguiente:
Quite todos los 0's que había y deje las 3 ultimas cifras que eran 35a y llegue a la conclusión de que este numero debía ser múltiplo de 4 y 8, así que el único numero que cumplía para que fuera a era el 2, ya que 352/4=88 y 352/8=44; así que a=2.
Por ultimo para encontrar el valor de c y d, hice los siguiente:
Encontré que el numero 34! tenia que ser múltiplo de 9 y de 11 ya que había un factor 9 y un 11 que no habíamos utilizado, entonces hice la suma para sacar que números son divisibles entre 9 y 11.
Para el 9 sume todos los números = 141+c+d y para el 11, impares= 80+d y pares= 61+c..
El mayor valor que podía tener c y d era 9.
Después sume 80+61=141 y 89+70=159 (ya que 80+9=89 y 61+9= 70), después saque cuales eran los múltiplos de 9 que estaban entre esos números y salio que eran 144 y 153, después empece tomando que c valía 0 y a partir de ahí fui acomodando los números para que se formara el múltiplo de 11 y el único que cumplió fue el 144, siendo c=0 y d=3.
s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=IMG_0076.jpg
ResponderBorrarcomo 34! tiene 7 factores 5, y mas de 7 factores 2, =>34! termina en 7 ceros, de aqui que b=0. luego como si dividimos 34! entre $10^7$ nos queda que sigue siendo multiplo de 8, => 35a es ultiplo de 8 y de ahi que a=2. Luego me fijo que 9 divide a 34!=> 9 divide a la suma de digitos =141+c+d. => 141+c+d=(144,153) c+d=(3,12).
ResponderBorrarAdemas por el criterio del 11,
se tiene que 11 divide a 80+d-66-c=14+d-c. => d-c=(-3,-8). viendo cada caso:
1.- c+d=3 y -c+d=-8 2d=-5 d=-5/2 pero d es entero.
2.-c+d=3 y -c+d=3 2d=6 d=3 c=0
3.- c+d=12 y -c+d=-8 2d=4 d=2 c=10 pero c es un solo dígito.
4.- c+d=12 y -c+d=3 2d=9 d=9/2 pero d es un entero.
Entonces: a=2, b=0, c=0, d=3
Vemos que el $34!$ contiene 7 factores 5 y a lo menos 7 factores 2, esto nos da un factor 10 por cada 2*5, tenemos 7 factores 10, en donde tenemos 7 ceros al final del número por lo cual, $b = 0$
ResponderBorrarSi dividimos $34!$ entre 10 a la 6, lo que nos deja con los digitos $5a0$ vemos los posibles casos y por divisibilidad del 8, $a=2$
Ahora vemos la divisibilidad del 9, nos da una suma de 141+c+d, en donde c+d es 2 o 12.
Por divisibilidad del 11, tenemos la suma: 14+d-c. En donde 3+d-c es divisible entre 11, en donde puede ser -3 o -8
Entonces vemos:
c+d=12 y d-c= -8 d+8=c =12-d ==> 2d+8=12 d= 2 en donde c=10, pero como es de un solo digito, no cumple.
c+d=12 y d-c=3 d=c+3 2c+3=12 c=9/2 Pero debe ser entero
c+d=3 y d-c=3 d=c+3 2c+3=3 c=0 y d=3
c+d=3 y d-c= -8 d+8=c=3-d ==> 2d+8=3 d=-5/2 Pero como es un entero, no se puede.
Por lo cual a=2, b=0, c=0 y d=3
$\text{Lo primero que vemos es que en 34! hay exactamente 7 factores 5, y al menos el mismo numero de factores 2}$$\Rightarrow 10^7|34!\Rightarrow$$\text{34! tiene exactamente 7 ceros a la derecha.}$
ResponderBorrar$\Rightarrow\boxed{b=0}$
$\text{Luego vemos que aún quedan al menos tres factores 2}$$\Rightarrow 8|\frac{34!}{10^7}$
$\text{Por criterio de divisibilidad del 8}$
$8|\overline{35a}\Rightarrow\boxed{a=2}$
$\text{Ahora nos fijamos en que la suma de digitos de 34!, sin contar c y d, es congruente a 6 mod 9, pero sabemos que 9|34!}$
$\Rightarrow c+d \equiv 3 \mod{9} \Rightarrow\left\{\begin{matrix} c+d=3\\ c+d=12\end{matrix}\right$
$\text{Luego, aplicando el criterio de divisibilidad del 11, obtenemos que la suma alternada de digitos da igual a}$ $\pm19$
$\textsc{SPDG}\text{ empezamos restando, por lo tanto la suma alterna es igual a -19}$$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} c-d=-3\\ c-d=8\end{matrix}\right$
$\text{Con esto nos quedan 4 casos:}$
$\medskip\left\begin{matrix} c+d=3\\ c-d=-3\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=0\Rightarrow \boxed{c=0, d=3}$
$\medskip\left\begin{matrix} c+d=3\\ c-d=8\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=11\Rightarrow c=\frac{11}{2} \textsc{ CONTRADICCION } c\in\mathbb{N}$
$\medskip\left\begin{matrix} c+d=12\\ c-d=3\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=15\Rightarrow c=\frac{15}{2} \textsc{ CONTRADICCION } c\in\mathbb{N}$
$\medskip\left\begin{matrix} c+d=12\\ c-d=8\end{matrix}\right\Rightarrow 2c=20\Rightarrow c=\frac{20}{2}=10 \textsc{ CONTRADICCION } 0 \le c \le 9$
$\medskip\therefore \boxed{\text{Los unicos valores posibles son } a=2, b=0, c=0, d=3}$
http://www.facebook.com/media/set/?set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3 son 4 hojas
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/groups/501380896556141/ ahi esta
ResponderBorraren rumbo al nacional
ResponderBorrarPrimero nos damos cuenta de que $34!$ tiene 7 factores $5$ y al menos 17 factores $2$ (1 por cada par al menos). Entonces $34!$ tiene 7 $0's$ al final. $\rightarrow\$ $b=0$
ResponderBorrarUsamos 7 factores $2$ con los otros 7 factores $5$ pero aun nos quedan al menos 10 factores 2 al menos. Entonces es multiplo de 8. Dividimos $34!$ entre $2^7*5^7$ para eliminar los ceros y nos queda que los ultimos digitos son 35a. $8|35a$ $\rightarrow\$ $a=2$ porque 352 es el unico numero que tiene un 3 en las centenas, 5 en las decenas y es multiplo de 2. $\rightarrow\$ $a=2$
Tambien sabemos que el numero es multiplo de 9 y para facilitarnos las cosas dividimos ese numero entre $10000000$. La suma de todos sus digitos debe ser igual a un multiplo de 9. Entonces $141+c+d\equiv0\mod{9}$
Entonces $c+d=3 o 12$
Como tambien es multiplo de 11 cumple con su criterio. Entonces la suma de los digitos nones desde la izquierda menos la suma de los pares debera ser un multiplo de 11. Al estar $c$ y $d$ juntos estos se restaran.
Entonces $11|(80+d)-(61+c)$. Entonces $19+d-c$ es a lo mas 28 cuando $d=9$ y $c=0$ y a lo menos 10 cuando $d=0$ y $c=9$
Debemos obtener 11 o 22 en la operacion $19+d-c$ y que $d+c=3$ o $d+c=12$
El unico caso en el que cumple con ambos requisitos es cuando $d=3$ y $c=0$
Por lo tanto estos son los valores de sus digitos. $a=2$, $b=0$, $c=0$ y $d=3$
Hay que saber que el numero 34! termina en ceros, esto es porque del 34 al 1 hay varios factores del 5 que son el “5-10-15-20-25-30” que en total son 6 números y por lo tanto debe haber 6 ceros, pero el 25 es 5 al cuadrado, por lo tanto se le agrega un cero al gran numero, y en la séptima posición del numero de 34! es b, entonces se puede saber que b=0.
ResponderBorrarDespués eliminamos los ceros para hacer la cifra mas pequeña y ver cual es el ultimo numero diferente a cero que como se sabe, que en todos los números factoriales son pares, porque siempre se multiplican por 2, a excepción de 1! Q no se multiplica por 2; y en el 34! Hay 7 ceros, de todas formas la siguiente cifra será par porque si tomamos en cuenta el numero que esta hasta la derecha diferente a 0, entonces ese numero será par; los posibles números son “2-4-6-8” y se sabe que el numero 34! Cuenta con 4 o mas factores de 2, lo que hace la cifra divisible entre 8; entonces usamos el criterio de divisibilidad del 8 entre los números mayores a 351 y menores a 359, y el único numero que cumle es el 352, por lo tanto a=2
Ahora aplicamos los criterios de divisibilidad a todo el numero para saber el valor de c y d,
Aplicando todos los criterios, para no escribirlos todos, me quedo q es divisible entre 9, lo que hace la siguente formula: 141 + c + d = múltiplo de 9, las sumas posibles para q sea múltiplo de 9 es 144-153, como c<9 y también d<9, entonces ya no llegan al siguiente múltiplo de 9 que es 162, y para estas sumas, entonces c+d= a “3” o “11”; ahora, para que de 3 las sumas posibles son:
0+3=3 - 1+2=3 - 2+1=3 - 3+0=3
Pero como están acomodados, la letra c es negativa y resta para el criterio de divisibilidad del 11 y la d esta sumando, por lo tanto d a lo máximo puede ser 9 y c también a lo máximo puede ser 9, entonces no se puede que c+d =11. Por eso solo importa q la suma de estos números de 3 como esta en la tabla anterior y d tiene que ser mayor a c, ahora hacemos las siguientes pruebas con las sumas anteriores para que siga siendo múltiplo de 9 y la única resta q da es la de 3-0=3 donde d=3 y c=0; por lo tanto ese es el resultado.
,a=2 b=0 c=0 d=3
Se inicia sacando los factores 5 de $34!$ esta 2 y 5,10, 12 y 15, 20, 22 y 25 y 30 en total son 7 por 25 que es$5^2$ entonces esto significa que $b=0$ entonces en los múltiplos de 34 se ve cuando se multiplica 5 el primer dígito es 0, $34*5=170, se queda en la cuenta queda 170 + $N*10$ en este caso N puede ser 2,4,6,8 por los múltiplos de cuatro ya que es el primero no se altera, 0 no se puede porque solo se dispone 7 "0" en los primeros dígitos bueno probando cada uno de los primeros dígitos note que el 2 hacia seguimiento a las demás números, como se ve en una tabla del 4 hay un patrón de primer dígito que es 2,4,6,8,0 y se repite como en $34*1=34$,$34*6=204$, fui sumando en una tabla donde puse todos los dígitos de $34!$ y la suma de la que se formaba hasta llegar a $d$,$c$ y quedo que $d$ seria igual a 3 + M + L, M podría ser 2 y 6, y L 0 o 7 claro M seria el ultimo dígito de un numero cuyo primer dígito debía ser 1 ante esto solo podría ser 2 o 6 de 102 y 136 este numero debe ser su primer dígito 1 por que el dígito medio es 0 que biene siendo $34*6=204$ + 8 de Del ultimo dígito de $34*7=238$ entonces queda 102 + el anterior que quedaría entre 1 y 2, 0 y 3 y viendo, sumando note también que debería ser también 102 con 2+0 +3 que quedo 5 y también 4+0+1 también dio 5 entonces d=c=5 y finalmente $a=2$, $b=0$, $c=5$. $d=5$
ResponderBorrarRevisa lo que hiciste. Los valores de $c$ y $d$ son incorrectos. Intenta usar los criterios del $9$ y $11$
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