En el pizarron se tienen escritos $14$ números enteros, no necesariamente distintos, que verifican la propiedad de que al borrar cualquiera de ellos, se pueden agrupar los trece restantes en tres montones de igual suma.
(a) Pruebe que cada uno de los $14$ números es multiplo de $3$.
(b) ¿Es posible que alguno de los $14$ números no sea el $0$?
bueno supongo que quite X y se sumaron los otros numeros y formaron tres grupos con la misma suma en este caso la usma de cada grupo sera Y, ya que son tres grupos la suma de ellos es 3Y por lo tanto 3Y congruente con 0 mod 3 por lo tanto es multiplo de 3 y si kiero kitar otro numero enves de X digamos Z le debemos sumar a 3Y el valor x y restarle Z y seguira cumpliendo con 3Y+X-Z congruente con 0 mod 3 por lo tanto los 14 numeros son multiplo de 3
ResponderBorrarSolo has demostrado que todos tienen la misma congruencia mod 3, sin embargo ya a partir de ahi es facil acabar el inciso a.
Borrary si es posible ya que creo tres grupos, k en dos tengan 5 numeros y en el tercer grupo solo tengan 3 entonces en los grupos de 5 tenga los mismo numeros por lo tanto tienes la misama suma que vas a ser impar y creada por puros multiplos del 3 por lo tanto en donde son 3 numeros si habra una suma que cumpla con ser multiplo de 3 y sea la misma suma y aunque estoy hablando de un caso en especial solo tenia que demostrar que era posible esto sin importar el caso
ResponderBorrarbueno primero kreo dos grupos iguales k tengan 5 numeros por lo tanto su suma es la misma y otro k tenga tres, ya que la suma de de los otros dos grupos es la misma, y tiene 5 numeros iguales, los kuales deben de ser multiplos del 3 y son 5 v+w+x+y+z sabemos k habra un numero (v+w) y otro (x+y) que sean multiplos de tres y no necesariamente uno de los 5 numeros sea 0 por lo tanto si es posible k uno de los numeros sea 0, y aun que lo demostre con un caso en especial solo tenia k demostrar k no era obligatorio el uso del 0
ResponderBorrarCreo que si te quitaran algun otro de los numeros que tienes no cumpliría con lo de $3x$ entonces no cumpliria con el primero de los requisitos de que se pueda quitar cualquier número
BorrarA) Sean $a_1,a_2,a_3,....,a_14$ los $14$ números, sean $b_1,b_2,b_3,...,b_14$ las congruencias $(mod.3)$ de los $14$ números (con $a_i\equiv b_i\pmod{3}\$ ) . Tenemos que para dividir $13$ números en $3$ montones y la suma de cada montón sea entera, la suma de los $13$ números debe ser múltiplo de $3$ $\Rightarrow$
ResponderBorrar$3|a_1+a_2+a_3+...+a_13$ (En el caso en que se borra $a_14$ )
$3|a_1+a_2+a_3+...+a_12+a_14$ (En el caso en que se borra $a_13$ )
$\Rightarrow$ $3|a_13-a_14$ $\Rightarrow$ $3|b_13-b_14$, si $b_i$ es una congruencia del $0$ al $2$ $\Rightarrow$ $b_13=b_14$ , análogamente tenemos que: $b_1=b_2=b_3=...=b_14$ , si $3|a_1+a_2+a_3+...+a_13$ $\Rightarrow$ $3|b_1+b_2+b_3+...+b_13$ $\Rightarrow$ debido a la igualdad en las congruencias de los $14$ números, $3|13(b_i)$ , si $mcd(3, 13)=1$ $\Rightarrow$ por euclides: $3|b_i$ $\therefore$ todos los términos son múltiplos de $3$ .
Inciso a bien. Sigue intentando el b.
BorrarB) Si todos son múltiplos de $3$, entonces la suma de cada montón también lo es, sea $3k$ tal suma, entonces la suma de todos es $9k$, si dividimos todos los números entre $3$, tendremos que la suma de cada montón es: $k$ y la suma de todos es $3k$, esto aplica para cualesquiera $13$ números seleccionados, entonces se repite el inciso A), por lo que volvemos a dividir entre $3$ y se vuelve a repetir el inciso A),...., se repite infinidad de veces, si no podemos tener números con valor infinito $\Rightarrow$ todos deben ser iguales a $0$. Q.E.D.
Borrarprimero nos damos cuenta que si quitamos un numero $a$ del conjunto de 14 elementos entonces la suma de los otros 13 es $3x$, luego si quitamos un un numero $b$ del conjunto de 13 elementos y en su lugar ponemos a $a$ la suma del nuevo conjunto de 13 elementos es $3y$ lo que significa que $a$ y $b$ tienen la misma congruencia modulo 3
ResponderBorrary si hacemos lo mismo concada uno de los numeros nos damos cuenta que todos los numeros tienen la misma congruencia modulo 3
luego digamos que los numeros son congruentes a $n$ $mod 3$ entonces $13n$ es multiplo de 3 entonces los numeros c¿son congruentes a 0 modulo 3
Inciso a bien. Sigue intentando el b.
Borrara) Tenemos 14 numeros, los cuales cumplen que si quitamos uno, nos queda de resultado $3x$. Los números serán $n_1,n_2,n_3,...,n_1_4$. Entonces si quitamos $n_14$ tendremos de resultado 3x. Si quitamos $n_13$ tendremos de resultado $3y$ $\rightarrow$ si $3|3y$ y $3|3x$ y $3|3x-3y$. Si repetimos esto varias veces nos damos cuenta de que todos los numeros son multiplos de 3 porque si no, no se podrian agrupar en 3 grupos con la misma suma.
ResponderBorrarHay que argumentar lo de "porque si no, no se podrian agrupar en 3 grupos con la misma suma", de todos modos ya con lo que demostraste de que todos tienen la misma congruencia mod 3, ya casi lo tienes.
BorrarEs que si al quitar alguno de los numeros no nos queda un multiplo de 3 ya no cumplira con un requisito. Como la suma de todos excepto $n_1_4$ es divisible entre $3$ y la suma de todos los numeros a excepcion de $n_1_3$ tambien lo es. La diferencia sera un multiplo de 3. Lo repetimos muchas veces y nos damos cuenta de que todos tienen la misma congruencia. Si todos tienen la misma congruencia, debera ser 0 para que la suma de 13 de ellos escogidos al azar sea un multiplo de 3. Por lo tanto todos son multiplos de $3$
BorrarDividimos cada una de las $a$ entre $3$. La suma de los 3 conjuntos que nos quedan despues de quitar cada $a$ se divide entre 3 para cada caso donde quitamos cada $a$. Entonces cada una de las $a's$ divididas entre 3 siguen teniendo la misma congruencia modulo 3. Entonces todas son congruentes a 0 mod 3 como en el inciso a. Al notar esto, nos damos cuenta de que cada una de las $a$ iniciales era multiplo de 9. Si repetimos esto nos vamos dando cuenta de que $a$ es multplo de una potencia de 3 cada vez mayor. Si repetimos esto infinitamente, nos daremos cuenta de que las a tienen infinitos factores 3 y el unico numero que cumple con esto es 0. Por lo tanto todas las a deben de ser 0.
BorrarTenemos números del $a1$ al $a14$ , tenemos $P.D.$ que si se borra cualquier $a$ se cumplirá que se puedan juntar tres montones de $a$'s que nos den sumas iguales y las $a$'s deben ser múltiplos de 3. Bueno si las $a$'s son congruentes a 0 mod 3 se pede decir que $a1+[a2-a2]+a3…+a14=3N$, y $3N/3=N$. Solo falta demostrar si hace falta o no bueno, se demuestra diciendo que 0 es congruente a 0 mod 3 y se termina diciendo que no importa si esta o no esta
ResponderBorrar$a1$ $+$ $(a2-a2)$ $+$ $a3$…$a14=3N$
BorrarSigue intentando.
Borrarporque cuando uno va a subir su solucion, ya todos los demas ya subieron las suyas y ya hay una igual a la que uno va a subir -.-
ResponderBorrarIrrelevante, de todos modos subela.
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065191564281&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater y tambien http://www.facebook.com/photo.php?fbid=385065231564277&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarNo me queda claro tu intento del inciso a.
Borrar(a) Sean $a_1,a_2,...,a_14$ los números. $a_1+a_2+...+a_14=3M+a_i$ porque al quitar $a_i$, los demás hacen 3 grupos de suma M.
ResponderBorrar$3M+a_i=3N+a_j$ entonces $3M+a_i \equiv 3N+a_j \pmod{3}$ => $a_i \equiv a_j \pmod{3}$ => todas las a's son congruentes mod 3.
Si a≡1 (mod 3), la suma de 13 a's es congruente a 1 (mod 3) y no se puede dividir en tres grupos de igual suma.
Si a≡2 (mod 3), la suma de 13 a's es congruente a 2 (mod 3) y pasa lo mismo.
Por lo tanto todas las a's son múltiplo de 3.
Inciso a bien. Sigue intentando el b.
BorrarTenemos un conjunto de $14$ elementos de un conjuto N, sabemos que al quitar un elemento, (para este ejemplo el elemento 14), la suma de ello nos da un multiplo de tres, pues asi, al formar los grupos de tres, resultaria un entero, con lo que tenemos que a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=$3x$,donde 3x es congruente con cero modulo3, y que N congruente con a14(mod 3),y usando cualquier "a" pasa esto, como la suma de los montones deve ser la misma,sabemos que esta suma será un entero, si no no podria agrupar formandola, lo que nos lleva a que todos los numeros contenidos en N, son multiplos de 3
ResponderBorrarNo me queda claro porque con eso ya tienes que todos son multiplos de 3.
BorrarAlguien ha contestado el inciso b?
ResponderBorrarNo del todo.
BorrarTenemos el conjunto $ A = a_1 , a_2, ... , a_14 $
ResponderBorrarDel que se desprenden subconjuntos de 13 elementos, tales que pueden ser agrupados en 3 grupos con una suma igual, a la cual llamaremos $x$. Entonces tenemos que al quitar cualquier $a_i$ , la suma de todos los demás es $3x$ en donde 3 divide a la suma, al quitar $a_14$ se mantiene esta propiedad.
Al quitar $a_13$ como se mantiene, podemos garantizar que esto se mantiene divisible entre 3, por lo cual la congruencia modulo 3 de $a_14$ y $a_13$ es igual, en donde pasa lo mismo para cualquier $a_i$
Por lo cual tenemos que todos tienen la misma congruencia modulo 3, entonces si fueran congruntes con 1 modulo 3, sería al quitar cualquier 13, el cual no sería divisible por 3, si la congruencia es 2, seria 26, no divisible entre dos.
Por lo tanto, hemos demostrado que todos los miembros del conjunto $A$ son divisibles entre 3.
Inciso a bien. Sigue intentando el b.
Borrar$\text{Sea }A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots,a_{14}\}\text{ y } S=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{14}$
ResponderBorrar$\text{Primero vemos que como sin importar cual elemento eliminemos, siempre se podran formar 3 conjuntos con la misma suma, entonces} 3|S-a_i\text{ donde }1\le i\le 14$
$\text{Luego tenemos que:}$
$3|a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{13}+a_{14}$
$3|a_1+a_3+a_4+\ldots+a_{13}+a_{14}$
$3|a_1+a_2+a_4+\ldots+a_{13}+a_{14}$
$\vdots$
$3|a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{12}+a_{14}$
$3|a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{12}+a_{13}$
$\text{Luego tenemos que como 3 divide a cada una de las expresiones anteriores, 3 divide a su suma:}$
$3|13(a_1)+13(a_2)+\ldots+13(a_{13})+13(a_{14})$
$\Rightarrow 3|13(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{14})=13S$
$\text{Luego, como }(3,13)=1\Rightarrow 3|S$
$\text{Pero teniamos que }3|S-a_i\Rightarrow3|S-(S-a_i)=a_i$
$\therefore\boxed{\text{3 divide a cada uno de los 14 numeros.}}$
Inciso a bien. Sigue intentando el b.
BorrarTenemos 14 numeros y vamos a quitar 2 numeros; entonces nos quedan 3 grupos con diferente cantidad de números cada uno, los cuales suman “x”, y tenemos que:
ResponderBorrar“a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=3x”
lo que lo hace múltiplo de “3”, y por lo tanto divisible entre “3” y lo hace congruente con “0 modulo 3”; ahora si queremos quitar a la suma “a1” y agregarle “a14”, tenemos como resultado de la suma otra vez “3x” porque sea cual sea el orden, seguirá siendo la misma suma y otra vez sigue siendo congruente con “0 modulo 3”; lo que nos indica que “a “sea cual sea “a=múltiplo de 3”.
Ahora, no puede haber un número distinto a “cero” porque los “3” grupos que se forman contienen diferente cantidad de números:
1ero=5 números=cantidad impar
2do=4 números=cantidad par
3ro=4 números=cantidad par
Pero los 3 montones suman x, supongamos que todos son cero y solo hay un 3 para que siga siendo modulo 3, entonces la suma no podría ser igual nunca.
Ahora si hacemos que todos los números son distintos a cero múltiplo de 3, a excepción de 1, el cual sea cero, tenemos que “a14=0”, entonces si lo como siempre va haber 3 grupos que sumen 3x, estos 3 grupos van a tener una cantidad de números diferente, lo que hace q no se pueda usar ningún cero.
Por ejemplo: si ponemos el cero en el grupo de 5, eso implica que los otros 4 numeros serán iguales a los cuatro números del 2do grupo e iguales a la suma del 3er grupo, pero como el problema dice que al borrar un numero del pizarrón, se puede q al borrarse el cero ya no se pueda ninguna combinación para que la suma de los tres grupos sea igual.
Si usamos el cero en el grupo de 4, alguna vez pasara lo mismo, si borramos el cero en la suma, no habrá ninguna combinación para que los tres grupos den la misma suma.
Usar 2 ceros es hacer lo mismo, tarde o temprano tendremos q borrar uno y no se podría, lo mismo pasaría con poner 3 o mas ceros, asi que yo pienso que no se deben de usar ceros y que todos los números deben ser distintos a cero.
*De echo todavía no se q serie de números cumple con las reglas del enunciado de que al borrar uno los otros 3 grupos se pueden agrupar de tal forma q su suma sea la misma.
Como me aseguras que $x$ se mantiene constante? Podria pasar que para un acomodo $x$ vale una cosa, y para otro acomodo $x$ vale otra.
BorrarTenemos que si quitamos cualquier número del conjunto, tendremos tres sumas iguales, diferentes en cada caso, y cada una será múltiplo de $3$ :
ResponderBorrar$\bullet a_2 , a_3 , a_4 , \dotso , a_{12} , a_{13} , a_{14} = 3 A \cong 0( mod 3 )$
$\bullet a_1 , a_3 , a_4 , \dotso , a_{12} , a_{13} , a_{14} = 3 B \cong 0 ( mod 3 )$
$\bullet a_1 , a_2 , a_4 , \dotso , a_{12} , a_{13} , a_{14} = 3 C \cong 0 ( mod 3 )$
$\vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots$
$\bullet a_1 , a_2 , a_3 , \dotso , a_{11} , a_{13} , a_{14} = 3 L \cong 0 ( mod 3 )$
$\bullet a_1 , a_2 , a_3 , \dotso , a_{11} , a_{12} , a_{14} = 3 M \cong 0 ( mod 3 )$
$\bullet a_1 , a_2 , a_4 , \dotso , a_{11} , a_{12} , a_{13} = 3 N \cong 0 ( mod 3 )$
Nos damos cuenta de que al quitar cualquiera de los números la congruencia es la misma, entonces la congruencia de todos lo números es la misma:
$a_1 , a_2 , a_3 , \dotso , a_{12} , a_{13} , a_{14} \cong m ( mod 3 )$
Donde $m$ puede ser $0 , 1 , 2$
También nos damos que la suma de las 13 series númericas de arriba va a tener la misma congruencia a cada una de las series:
$13 (a_1 + a_2 + a_3 + \dotso + a_{12} + a_{13} + a_{14}) = 13 X \cong 0 (mod 3)$
Donde $X$ es la suma de los catorce números.
Lo que significa que $ 3 \mid 13X$, como $13X$ es un producto de dos cosas, entonces $3$ tiene que dividir a $13$ o $X$, pero sabemos que $3 \nmid 13 \Rightarrow 3 \mid X$ .
Entonces ahora tenemos:
$3 \mid (a_1 + a_2 + a_3 + \dotso + a_{12} + a_{13} + a_{14})$
Teníamos que $3$ divide a cualquier suma de trece números $(X - a_{1 , 2 , \dotso , 13 , 14})$ .
En base a las últimas dos cosas, llego a:
$3 \mid (a_1 + a_2 + a_3 + \dotso + a_{12} + a_{13} + a_{14}) - (X - a_{1 , 2 , \dotso , 13 , 14}) = a_{1 , 2 , \dotso , 13 , 14}$
$\therefore$ todas las $a$'s, es decir,los catorce números son múltiplos de $3$ .
Sobre que si puede o no haber $0$'s, mi solución no completa por el momento es:
BorrarLos tres grupos pueden quedar con las siguiente cantidad de números cada uno:
$1 \mathunderscore 1 \mathunderscore 11$
$1 \mathunderscore 2 \mathunderscore 10$
$1 \mathunderscore 3 \mathunderscore 9$
$1 \mathunderscore 4 \mathunderscore 8$
$1 \mathunderscore 5 \mathunderscore 7$
$1 \mathunderscore 6 \mathunderscore 6$
$2 \mathunderscore 2 \mathunderscore 9$
$2 \mathunderscore 3 \mathunderscore 8$
$2 \mathunderscore 4 \mathunderscore 7$
$2 \mathunderscore 5 \mathunderscore 6$
$3 \mathunderscore 3 \mathunderscore 7$
$3 \mathunderscore 4 \mathunderscore 6$
$3 \mathunderscore 5 \mathunderscore 5$
$4 \mathunderscore 4 \mathunderscore 5$
El primer grupo queda descartado, porque si donde solo hay un número fuera $0$ , para que los demas grupos tengan la misma suma, también tendrían que ser $0$ .
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BorrarPara los demás grupos...
BorrarDigamos que quito un número de algún montón y ponemos el que había sobrado en su lugar. Ya que la suma de los otros montones no cambió, el número que quitamos y el que pusimos debe ser igual. $\Rightarrow a_1 = a_2$
Si hacemos el mismo procedimiento pero ahora quitando los demas numeros en cada caso, tendremos:
$a_1 = a_2 = a_3 = \dotso = a_{12} = a_{13} = a_{14}$
Si tenemos que valen un múltiplo de $3$ mayor a $0$ , las sumas no serían iguales porque ningún montón tiene la misma cantidad de números.
$\therefore a_1 = a_2 = a_3 = \dotso = a_{12} = a_{13} = a_{14} = 0$
Supongamos que quitamos $a_i$ y agregamos $a_j$, como me aseguras que para el nuevo acomodo que contiene a $a_j$ los otros dos montones que no cambian de suma siguen existiendo? Podria pasar que los montones con $a_i$ y con $a_j$ son completamente diferentes.
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BorrarLo que pues en los primeros dos comentarios esta bien?
BorrarNo entiendo a eso de que los montones ya no existen....
Un caso a lo que me refiero es:
$*$ Monton $1$ : $a_1 , a_2 , a_3 , a_4$
$*$ Monton $2$ : $a_5 , a_6 , a_7 , a_8, a_9$
$*$ Monton $3$ : $a_{10} , a_{11} , a_{12} , a_{13}$
$* a_{14}$ es el que quitamos.
Tenemos:
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13}$
Quitamos $a_5$ y ponemos $a_{14}$ .Esto es lo que debe pasar:$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_{14} + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13}$
$\Rightarrow a_5 = a_{14}$ .
Y ya todo igual a lo que dije en el comentario anterior...
Sigo sin entender eso de que los montones ya no existen!
Para $\(a_1,a_2 \cdots ,a_{13}\)$ tienes que los tres montones iguales son:
Borrar$*$ Monton $1$ : $a_1 , a_2 , a_3 , a_4$
$*$ Monton $2$ : $a_5 , a_6 , a_7 , a_8, a_9$
$*$ Monton $3$ : $a_{10} , a_{11} , a_{12} , a_{13}$
Pero para $\(a_1,a_2,a_3,a_4, a_6, \cdots ,a_{13}, a_{14}\)$ los tres montones iguales no necesariamente coinciden, podrian ser:
$*$ Monton $1$ : $a_1 , a_3 , a_7 , a_9$
$*$ Monton $2$ : $a_2 , a_4 , a_6 , a_8, a_{10}$
$*$ Monton $3$ : $a_{14} , a_{11} , a_{12} , a_{13}$
rumbo al nacional
ResponderBorrarComo que le quiero entender a tu inciso b, pero no esta muy claro. Trata de explicar de manera ordenada.
BorrarComo sugerencia para el inciso b: divide todos los números entre 3, observa que pasa con los nuevos números similar a lo que ya hiciste con el inciso a.
ResponderBorrarceo que ya es tarde pero esta es mi solucion:
ResponderBorrarVeo que si sumamos los tres montones, sera igual a tres veces la suma de cada monton, igual a la suma de 13 de los 14 numeros del pizarron,haciendo lo mismo para cada caso veo que todos los numeros tienen la misma congruencia modulo 3(pues viendo que la suma de los 14 numeros es congruente a cada uno de los 14 enteros modulo 3 al hacer el caso en el que cada numero se borra )entoces si todos los numero tienen la misma congruencia modulo 3 S.P.D.G 3 divide a la suma de los primeros trece numeros entocnes 3 divide a la suma de sus congruencias y 3 divide a 13 x(0,1,2) pero para que 3 lo divida la congruencia debe ser 0, entonces 3 divide a todos los numeros.
B) primero intente hallar un acomodo que si cumpla, luego de no encontrarlo intente demostrar que debia estar el 0, para esto use que como 3 divide a todos los numeros, 9 divide a la suma de cualesquiera tres montones ya que 9 divide a 3 por la suma de un monton,( la sumade cada monton sera multiplo de 3). entonces todos los numero tienen la misma congruencia modulo 9, y asi es facil ver por la solucion del inciso a que 9 divide a todos los numeros.Con el mismo argumento 27,81,243,.... dividen a los 14 numeros.viendo esto solo se cumpliria cuando aparece el 0 es multiplo de todos los nhumeros.
:)
BorrarDividimos cada una de las $a's$ entre $3$. Como su suma tambien se dividio entre $3$ al igual que cada una de las sumas de cada $13$ terminos, se sigue cumpliendo que para cualesquiera $13$ se puede formar tres grupos con igual suma. Luego nos fijamos en que al igual que en el inciso a, cada uno de los numeros debe ser multiplo de $3$, lo cual implica que los numeros originales era todos multiplos de $9$. Luego repetimos este paso indefinidas veces y tendremos que cada vez una potencia de 3 mayor tiene que dividir a cada uno de los numeros.
ResponderBorrarSupongamos que existe un entero $n$ distinto de $0$ que cumple. Luego nos fijamos en que siempre habra una potencia de $3$ tal que $3^k\ge n$. Luego, solo hay que repetir el paso $k-1$ veces para llegar a una contradiccion. Por lo tanto, todos los numeros tienen que ser iguales a 0.
(b) Llamamos a los números $a_1,a_2,...a_{14}$. Supongamos que todos los números son múltiplos de $3^n$, entonces son de la forma $3^nk$. La suma en cada grupo es $3^nk_i+...+3^nk_j=3^n(k_i+...+k_j)=3^nk_k+...+3^nk_l=3^n(k_k+...+k_l)$, entonces la suma de los tres grupos de k's es igual y cada k es múltiplo de 3 (se demuestra con el inciso a), entonces cada a es de la forma $3^{n+1}q$, entonces por inducción todas las a's son múltiplo de 3^n para cualquier n (el caso base es demostrar que son múltiplo de 3).
ResponderBorrarSupongamos que hay un número x distinto de 0 escrito, entonces debe ser múltiplo de cualquier potencia de 3, en particular de $3^x$ pero es una contradicción porque $3^x|x$ implica $3^x \le |x|$ pero $|x|<3^x$ para cualquier x distinta de 0.
Por lo tanto todos son 0.
:)
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000361.jpg#!oZZ5QQcurrentZZhttp%3A%2F%2Fs739.photobucket.com%2Falbums%2Fxx34%2Fleo0_9506%2FOmmch%2F%3Faction%3Dview%26current%3DIMG_0083.jpg
ResponderBorrarDESDE HACE MUCHO LO TENGO HECHO Y NO SALIA