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domingo, 23 de septiembre de 2012
Problema del día. Algebra (23 de septiembre)
Determina todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y $ab$ es un cuadrado perfecto.
Como $ab$ es un cuadrado, la suma de los exponentes de cada factor primo en $a$ y $b$ es par. Si $a=p^{2n+1}k, b=p^{2m+1}l$, con $p$ primo, $a-b=p^{2n+1}k-p^{2m+1}l=p(p^{2n}k-p^{2m}l)$, que sólo sería primo si $(p^{2n}k-p^{2m}l)=1$, entonces son consecutivos y $(p^{2n}k,p^{2m}l)=1$, entonces $n,m=0$ y $k,l$ no tienen factores en común. $k,l$ tienen que ser cuadrados y a la vez consecutivos, pero eso no se puede. Si $a=p^{2n}k, b=p^{2m}l$, $a-b=(p^{2n}k)(p^{2m}l)=p^2(p^{2n-2}k-p^{2m-2}l)$ que no es primo. Entonces $a,b$ no tienen factores en común y $a=x^2,b=y^2$ con $x,y$ positivos y $(x,y)=1$. $a-b=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ que sólo es primo si uno de $(x+y),(x-y)$ es primo y el otro es 1 (si uno tuviera varios factores primos su producto no sería primo, igual si los dos fueran primos). Como $y$ es positivo, $x+y>x-y$, entonces $x-y=1$ y $x=y+1$. Entonces $x,y$ son números consecutivos que sumados dan un primo. Entonces $a,b$ son todos los números tales que $a=(y+1)^2,b=y^2$ donde $y$ es un número tal que 2y+1 es un primo ($a,b$ tienen que tener esa forma, y para cualquier $y$ que para el que 2y+1 es primo existen $a,b$).
$\therefore\forall\; y\in\mathbb{Z}^+ \text{ tal que }2y+1=p\$ $\exists\: a,b\in\mathbb{Z}^+ \text{ con } a=(y+1)^2,b=y^2\text{ que cumplen }a-b=p,ab=n^2$
Me fijo que como $a,b$ son enteros entonces $m^2$ tambien lo es. Luego $m=\sqrt{ab}$ Entonces (a,b) tienen raiz cuadrada exacta: sea $a=x^2$ y $b=y^2$. Entonces $a-b=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=p$ entonces como $p$ es primo $x+y=p$ y $x-y=1$. Y si restamos ambas ecuaciones nos queda que $2y=p-1$ $p=2y+1$. Entonces para sacar el valor de $a$ solo sustituyo y me queda que $x^2-y^2=2y+1$ $x^2=y^2+2y+1=(y+1)^2$ entonces como $a=x^2$. Todos los enteros$a,b$ que satisfacen las condiciones del problema son para todas las $y$ que existen tales que 2y+1 es primo y $(a,b)=(y+1^2),y$
Donde puse $a=x^2$ y $b=y^2$ solo se cumple si $mcd(a,b)=1$: Supongamos que $a$ y $b$ no son primos relativos Entonces sea el $mcd(a,b)=d$ con $d>1$ entonces $a=d*k$ y $b=d*j$ entonces $a-b=d*k-d*j=d(k-j)=p$ como $p$ es primo y $d>1$ entonces $d=p$ y $k-j=1$. Entonces $ab=(d*k)(d*j)=d^2*kj=d^2(k(k-1))=m^2$.Entonces: $m=d*\sqrt{k(k-1)}$ entonces como la raiz de $k(k-1)$ debe ser entera y como $k$ y $k-1$ son primos relativos la raiz de $k$ y la de $k-1$ debe ser entera lo cual es una contradiccion ya que $k$ y $k-1$ son consecutivos.entonces $k-j=p$ y $d=1$ como queriamos demostrar.
primero me fije en que como$ab=k^2$ entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}=k^2$ entoncs los dos numeros son cuadrados perfectos entonces digamos $a=x^2,b=y^2$ entonces sabemos que $a-b=p=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ pero como $p$ es primo entonces $x+y=P,x-Y=1$ y es facil ver que para que $x+y=p$ y eso es lo unico q llevo hasta ahora.
Bien, sólo falta ver que para decir que $a$ y $b$ son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como $a=2$ y $b=8$, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta)
Primero nos fijamos en que si $ab=r^2$ entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}=r$ Si sumamos los exponentes de cada factor primo de $a$ y $b$ el resultado sera un numero par de exponente en cada primo. Hasta ahi es a donde he llegado.
Intento.- Tenemos $2$ casos: Caso $mcd(a,b)=x\Rightarrow a=xy, b=xz\Rightarrow a-b=xy-xz=x(y-z)$ lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso, $y-z=1\Rightarrow x$ es primo. Caso $mcd (a,b)=1\Rightarrow a=x^{2}, b=y^{2}\Rightarrow a-b=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$, lo cual debe ser primo, por lo que $x+y$ o $x-y$ es primo, si $x+y=1$ entonces alguno es igual a $0$, pero $a$ o $b$ tendría que ser igual a $0$ sabemos que son enteros positivos, por lo tanto $x-y=1$, $x+y$ es primo.
En el primer caso, después de que llegas a que $x$ es primo, cómo descartas ese caso? (falta decir por qué el producto no puede ser cuadrado.) En el segundo caso, falta concluir (decir que $a=(y+1)^2, b=y^2$ con $2y+1=p$)
Solución completa.- Tenemos $2$ casos: Caso 1.- $mcd(a, b)=x\Rightarrow a=xy, b=xz\Rightarrow a-b=xy-xz=z(y-z)$ lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso: $y-z=1\Rightarrow y=z+1, x$ es primo. De lo anterior tenemos que: $ab=x^{2}yz=x^{2}z(z+1)$, lo cual debe ser cuadrado perfecto, entonces si $x^{2}$ ya lo es, tendremos que: $z(z+1)$ es un cuadrado perfecto, como $mcd(z, z+1)=1\Rightarrow z, z+1$ son cuadrados perfectos, lo cual es facil ver que no se puede pues: $z+1=n^{2}, z=m^{2}\Rightarrow n^{2}-m^{2}=(n+m)(n-m)=1\Rightarrow n+m=n-m\Rightarrow m=-m\Rightarrow m=0\Rightarrow z=0\Rightarrow b=0$ lo cual es una contradicción pues $b$ es un entero positivo. Caso 2.- $mcd(a, b)=1\Rightarrow a=x^{2}, b=y^{2}\Rightarrow a-b=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ lo cual debe ser primo, $(x-y) \textless (x+y)\Rightarrow x-y=1\Rightarrow x=y+1\Rightarrow x+y=2y+1$ lo cual debe ser primo. Sabemos que $2y+1$ puede representar a cualquier primo impar, por lo tanto, existe una pareja por cada primo existente.
Vemos que $ab$ es un cuadrado perfecto, por lo que $\sqrt{ab}\$ debe ser un entero, de ahí, definimos: $a = m^2$ y $b = n^2$ vemos que $m^2 - n^2$ es un número primo, en donde esto es igual a $(m+n)(m-n)$ y como es un primo, y ambos son positivos, vemos que $m-n = 1$ y $m+n$ es un número primo. De aqui sumamos $m+n+m-n=p+1=2m$ y obtenemos que $a= \frac{(p+1)^2}{2}\$ Analogamente las restamos y obtenemos que $b= \frac{(p-1)^2}{2}\$ Por lo que $ab= (\frac{(p+1)^2}{2}\)(\frac{(p+1)^2}{2}\)$ De donde expandimos y factorizamos, y nos queda: $ab= (\frac{(p^2-1)}{4}\)^2$ En donde $p = m+n = a-b$ Entonces $ab= (\frac{((a-b)^2-1)}{4}\)^2$ De aqui, $ab= (\frac{(1)}{16}\)((a-b)^4-2(a-b)^2+1) Y de ahi en adelante, segui factorizando, quedo una ecuación de cuarto grado, la cual resolvi en 5 páginas, y me quedo que las posibles raices de $b$ son $a-1$ o $a+1$ Pero de ahi ya no sale nada bonito. Hasta ahi he llegado.
Falta ver que para decir que $a$ y $b$ son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como $a=2$ y $b=8$, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta). Además, tienes un error en el despeje de $a$ y $b$, debería quedar $a= (\frac{p+1}{2})^2$ y $b= (\frac{p-1}{2})^2$
Como $ab$ es un cuadrado, la suma de los exponentes de cada factor primo en $a$ y $b$ es par.
ResponderBorrarSi $a=p^{2n+1}k, b=p^{2m+1}l$, con $p$ primo, $a-b=p^{2n+1}k-p^{2m+1}l=p(p^{2n}k-p^{2m}l)$, que sólo sería primo si $(p^{2n}k-p^{2m}l)=1$, entonces son consecutivos y $(p^{2n}k,p^{2m}l)=1$, entonces $n,m=0$ y $k,l$ no tienen factores en común. $k,l$ tienen que ser cuadrados y a la vez consecutivos, pero eso no se puede.
Si $a=p^{2n}k, b=p^{2m}l$, $a-b=(p^{2n}k)(p^{2m}l)=p^2(p^{2n-2}k-p^{2m-2}l)$ que no es primo.
Entonces $a,b$ no tienen factores en común y $a=x^2,b=y^2$ con $x,y$ positivos y $(x,y)=1$. $a-b=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ que sólo es primo si uno de $(x+y),(x-y)$ es primo y el otro es 1 (si uno tuviera varios factores primos su producto no sería primo, igual si los dos fueran primos).
Como $y$ es positivo, $x+y>x-y$, entonces $x-y=1$ y $x=y+1$. Entonces $x,y$ son números consecutivos que sumados dan un primo.
Entonces $a,b$ son todos los números tales que $a=(y+1)^2,b=y^2$ donde $y$ es un número tal que 2y+1 es un primo ($a,b$ tienen que tener esa forma, y para cualquier $y$ que para el que 2y+1 es primo existen $a,b$).
Correcto.
ResponderBorrar$\text{Sea mcd}(a,b)=k$
ResponderBorrar$\text{Sea } a_1=\frac{a}{k},b_1=\frac{b}{k}$
$\Rightarrow a-b = a_1k-b_1k=k(a_1-b_1)=p$
$\Rightarrow k=p,(a_1-b_1)=1 o k=1,(a_1-b_1)=p$
$\bullet\text{Caso 1: }k=p,a_1-b_1=1$
$\Rightarrow a_1=b_1+1$
$\Rightarrow a=k(b_1+1),b=kb_1$
$\Rightarrow ab=(k^2)(b_1+1)(b_1)=n^2\Rightarrow (b_1+1)(b_1)=m^2$
$\text{Supongamos que} m\le b_1\Rightarrow m\textless b_1+1$
$\Rightarrow m^2\textless b_1(b_1+1)$
$\text{Supongamos que } m\ge b_1+1\Rightarrow m\textgreater b_1$
$\Rightarrow m^2\textgreater b_1(b_1+1)$
$\Rightarrow b_1\textless m\textless b_1+1\textsc{ contradiccion } m\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow a_1-b_1\ne 1$
$\bullet\text{Caso 2: }k=1,a_1-b_1=p$
$\text{Como }k=(a,b)=1,ab=n^2\Rightarrow a=x^2,b=y^2$
$\text{Luego }a-b=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=p$
$\Rightarrow x-y=1,x+y=p$
$\Rightarrow 2y+1=p$
$\therefore\forall\; y\in\mathbb{Z}^+ \text{ tal que }2y+1=p\$
$\exists\: a,b\in\mathbb{Z}^+ \text{ con } a=(y+1)^2,b=y^2\text{ que cumplen }a-b=p,ab=n^2$
Correcto.
BorrarMe fijo que como $a,b$ son enteros entonces $m^2$ tambien lo es. Luego
ResponderBorrar$m=\sqrt{ab}$ Entonces (a,b) tienen raiz cuadrada exacta: sea $a=x^2$ y $b=y^2$. Entonces $a-b=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=p$ entonces como $p$ es primo $x+y=p$ y $x-y=1$. Y si restamos ambas ecuaciones nos queda que $2y=p-1$ $p=2y+1$. Entonces para sacar el valor de $a$ solo sustituyo y me queda que $x^2-y^2=2y+1$ $x^2=y^2+2y+1=(y+1)^2$ entonces como $a=x^2$. Todos los enteros$a,b$ que satisfacen las condiciones del problema son para todas las $y$ que existen tales que 2y+1 es primo y $(a,b)=(y+1^2),y$
Donde puse $a=x^2$ y $b=y^2$ solo se cumple si $mcd(a,b)=1$:
BorrarSupongamos que $a$ y $b$ no son primos relativos Entonces sea el $mcd(a,b)=d$ con $d>1$ entonces $a=d*k$ y $b=d*j$ entonces
$a-b=d*k-d*j=d(k-j)=p$ como $p$ es primo y $d>1$ entonces
$d=p$ y $k-j=1$.
Entonces $ab=(d*k)(d*j)=d^2*kj=d^2(k(k-1))=m^2$.Entonces:
$m=d*\sqrt{k(k-1)}$ entonces como la raiz de $k(k-1)$ debe ser entera y como $k$ y $k-1$ son primos relativos la raiz de $k$ y la de $k-1$ debe ser entera lo cual es una contradiccion ya que $k$ y $k-1$ son consecutivos.entonces $k-j=p$ y $d=1$ como queriamos demostrar.
Correcto.
Borrarhasta aqui llevo
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=390108677727619&set=a.389248274480326.91304.100001854706497&type=3&theater
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ResponderBorrarprimero me fije en que como$ab=k^2$ entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}=k^2$ entoncs los dos numeros son cuadrados perfectos entonces digamos $a=x^2,b=y^2$ entonces sabemos que $a-b=p=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ pero como $p$ es primo entonces $x+y=P,x-Y=1$ y es facil ver que para que $x+y=p$ y eso es lo unico q llevo hasta ahora.
ResponderBorrarBien, sólo falta ver que para decir que $a$ y $b$ son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como $a=2$ y $b=8$, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta)
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ResponderBorrarPrimero nos fijamos en que si $ab=r^2$ entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}=r$
ResponderBorrarSi sumamos los exponentes de cada factor primo de $a$ y $b$ el resultado sera un numero par de exponente en cada primo. Hasta ahi es a donde he llegado.
Incompleto.
BorrarIntento.-
ResponderBorrarTenemos $2$ casos:
Caso $mcd(a,b)=x\Rightarrow a=xy, b=xz\Rightarrow a-b=xy-xz=x(y-z)$ lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso, $y-z=1\Rightarrow x$ es primo.
Caso $mcd (a,b)=1\Rightarrow a=x^{2}, b=y^{2}\Rightarrow a-b=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$, lo cual debe ser primo, por lo que $x+y$ o $x-y$ es primo, si $x+y=1$ entonces alguno es igual a $0$, pero $a$ o $b$ tendría que ser igual a $0$ sabemos que son enteros positivos, por lo tanto $x-y=1$, $x+y$ es primo.
En el primer caso, después de que llegas a que $x$ es primo, cómo descartas ese caso? (falta decir por qué el producto no puede ser cuadrado.)
BorrarEn el segundo caso, falta concluir (decir que $a=(y+1)^2, b=y^2$ con $2y+1=p$)
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
BorrarSolución completa.-
BorrarTenemos $2$ casos:
Caso 1.-
$mcd(a, b)=x\Rightarrow a=xy, b=xz\Rightarrow a-b=xy-xz=z(y-z)$ lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso: $y-z=1\Rightarrow y=z+1, x$ es primo. De lo anterior tenemos que: $ab=x^{2}yz=x^{2}z(z+1)$, lo cual debe ser cuadrado perfecto, entonces si $x^{2}$ ya lo es, tendremos que: $z(z+1)$ es un cuadrado perfecto, como $mcd(z, z+1)=1\Rightarrow z, z+1$ son cuadrados perfectos, lo cual es facil ver que no se puede pues: $z+1=n^{2}, z=m^{2}\Rightarrow n^{2}-m^{2}=(n+m)(n-m)=1\Rightarrow n+m=n-m\Rightarrow m=-m\Rightarrow m=0\Rightarrow z=0\Rightarrow b=0$ lo cual es una contradicción pues $b$ es un entero positivo.
Caso 2.-
$mcd(a, b)=1\Rightarrow a=x^{2}, b=y^{2}\Rightarrow a-b=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$
lo cual debe ser primo,
$(x-y) \textless (x+y)\Rightarrow x-y=1\Rightarrow x=y+1\Rightarrow x+y=2y+1$ lo cual debe ser primo. Sabemos que $2y+1$ puede representar a cualquier primo impar, por lo tanto, existe una pareja por cada primo existente.
Correcto.
BorrarVemos que $ab$ es un cuadrado perfecto, por lo que $\sqrt{ab}\$ debe ser un entero, de ahí, definimos: $a = m^2$ y $b = n^2$ vemos que $m^2 - n^2$ es un número primo, en donde esto es igual a $(m+n)(m-n)$ y como es un primo, y ambos son positivos, vemos que $m-n = 1$ y $m+n$ es un número primo.
ResponderBorrarDe aqui sumamos $m+n+m-n=p+1=2m$ y obtenemos que $a= \frac{(p+1)^2}{2}\$
Analogamente las restamos y obtenemos que $b= \frac{(p-1)^2}{2}\$
Por lo que $ab= (\frac{(p+1)^2}{2}\)(\frac{(p+1)^2}{2}\)$
De donde expandimos y factorizamos, y nos queda:
$ab= (\frac{(p^2-1)}{4}\)^2$
En donde $p = m+n = a-b$
Entonces $ab= (\frac{((a-b)^2-1)}{4}\)^2$
De aqui, $ab= (\frac{(1)}{16}\)((a-b)^4-2(a-b)^2+1)
Y de ahi en adelante, segui factorizando, quedo una ecuación de cuarto grado, la cual resolvi en 5 páginas, y me quedo que las posibles raices de $b$ son $a-1$ o $a+1$ Pero de ahi ya no sale nada bonito. Hasta ahi he llegado.
Falta ver que para decir que $a$ y $b$ son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como $a=2$ y $b=8$, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta).
BorrarAdemás, tienes un error en el despeje de $a$ y $b$, debería quedar $a= (\frac{p+1}{2})^2$ y $b= (\frac{p-1}{2})^2$