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domingo, 23 de septiembre de 2012
Problema del día. Algebra (23 de septiembre)
Determina todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que a−b es un número primo y ab es un cuadrado perfecto.
Como ab es un cuadrado, la suma de los exponentes de cada factor primo en a y b es par. Si a=p2n+1k,b=p2m+1l, con p primo, a−b=p2n+1k−p2m+1l=p(p2nk−p2ml), que sólo sería primo si (p2nk−p2ml)=1, entonces son consecutivos y (p2nk,p2ml)=1, entonces n,m=0 y k,l no tienen factores en común. k,l tienen que ser cuadrados y a la vez consecutivos, pero eso no se puede. Si a=p2nk,b=p2ml, a−b=(p2nk)(p2ml)=p2(p2n−2k−p2m−2l) que no es primo. Entonces a,b no tienen factores en común y a=x2,b=y2 con x,y positivos y (x,y)=1. a−b=x2−y2=(x+y)(x−y) que sólo es primo si uno de (x+y),(x−y) es primo y el otro es 1 (si uno tuviera varios factores primos su producto no sería primo, igual si los dos fueran primos). Como y es positivo, x+y>x−y, entonces x−y=1 y x=y+1. Entonces x,y son números consecutivos que sumados dan un primo. Entonces a,b son todos los números tales que a=(y+1)2,b=y2 donde y es un número tal que 2y+1 es un primo (a,b tienen que tener esa forma, y para cualquier y que para el que 2y+1 es primo existen a,b).
Me fijo que como a,b son enteros entonces m2 tambien lo es. Luego m=√ab Entonces (a,b) tienen raiz cuadrada exacta: sea a=x2 y b=y2. Entonces a−b=x2−y2=(x+y)(x−y)=p entonces como p es primo x+y=p y x−y=1. Y si restamos ambas ecuaciones nos queda que 2y=p−1p=2y+1. Entonces para sacar el valor de a solo sustituyo y me queda que x2−y2=2y+1x2=y2+2y+1=(y+1)2 entonces como a=x2. Todos los enterosa,b que satisfacen las condiciones del problema son para todas las y que existen tales que 2y+1 es primo y (a,b)=(y+12),y
Donde puse a=x2 y b=y2 solo se cumple si mcd(a,b)=1: Supongamos que a y b no son primos relativos Entonces sea el mcd(a,b)=d con d>1 entonces a=d∗k y b=d∗j entonces a−b=d∗k−d∗j=d(k−j)=p como p es primo y d>1 entonces d=p y k−j=1. Entonces ab=(d∗k)(d∗j)=d2∗kj=d2(k(k−1))=m2.Entonces: m=d∗√k(k−1) entonces como la raiz de k(k−1) debe ser entera y como k y k−1 son primos relativos la raiz de k y la de k−1 debe ser entera lo cual es una contradiccion ya que k y k−1 son consecutivos.entonces k−j=p y d=1 como queriamos demostrar.
primero me fije en que comoab=k2 entonces √a√b=k2 entoncs los dos numeros son cuadrados perfectos entonces digamos a=x2,b=y2 entonces sabemos que a−b=p=x2−y2=(x−y)(x+y) pero como p es primo entonces x+y=P,x−Y=1 y es facil ver que para que x+y=p y eso es lo unico q llevo hasta ahora.
Bien, sólo falta ver que para decir que a y b son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como a=2 y b=8, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta)
Primero nos fijamos en que si ab=r2 entonces √a√b=r Si sumamos los exponentes de cada factor primo de a y b el resultado sera un numero par de exponente en cada primo. Hasta ahi es a donde he llegado.
Intento.- Tenemos 2 casos: Caso mcd(a,b)=x⇒a=xy,b=xz⇒a−b=xy−xz=x(y−z) lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso, y−z=1⇒x es primo. Caso mcd(a,b)=1⇒a=x2,b=y2⇒a−b=x2−y2=(x+y)(x−y), lo cual debe ser primo, por lo que x+y o x−y es primo, si x+y=1 entonces alguno es igual a 0, pero a o b tendría que ser igual a 0 sabemos que son enteros positivos, por lo tanto x−y=1, x+y es primo.
En el primer caso, después de que llegas a que x es primo, cómo descartas ese caso? (falta decir por qué el producto no puede ser cuadrado.) En el segundo caso, falta concluir (decir que a=(y+1)2,b=y2 con 2y+1=p)
Solución completa.- Tenemos 2 casos: Caso 1.- mcd(a,b)=x⇒a=xy,b=xz⇒a−b=xy−xz=z(y−z) lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso: y−z=1⇒y=z+1,x es primo. De lo anterior tenemos que: ab=x2yz=x2z(z+1), lo cual debe ser cuadrado perfecto, entonces si x2 ya lo es, tendremos que: z(z+1) es un cuadrado perfecto, como mcd(z,z+1)=1⇒z,z+1 son cuadrados perfectos, lo cual es facil ver que no se puede pues: z+1=n2,z=m2⇒n2−m2=(n+m)(n−m)=1⇒n+m=n−m⇒m=−m⇒m=0⇒z=0⇒b=0 lo cual es una contradicción pues b es un entero positivo. Caso 2.- mcd(a,b)=1⇒a=x2,b=y2⇒a−b=x2−y2=(x+y)(x−y) lo cual debe ser primo, (x−y)\textless(x+y)⇒x−y=1⇒x=y+1⇒x+y=2y+1 lo cual debe ser primo. Sabemos que 2y+1 puede representar a cualquier primo impar, por lo tanto, existe una pareja por cada primo existente.
Vemos que ab es un cuadrado perfecto, por lo que √ab$debeserunentero,deahí,definimos:a = m^2yb = n^2vemosquem^2 - n^2esunnúmeroprimo,endondeestoesiguala(m+n)(m-n)ycomoesunprimo,yambossonpositivos,vemosquem-n = 1ym+nesunnúmeroprimo.Deaquisumamosm+n+m-n=p+1=2myobtenemosquea= \frac{(p+1)^2}{2}\Analogamentelasrestamosyobtenemosqueb= \frac{(p-1)^2}{2}\Porloqueab= (\frac{(p+1)^2}{2}\)(\frac{(p+1)^2}{2}\)Dedondeexpandimosyfactorizamos,ynosqueda:ab= (\frac{(p^2-1)}{4}\)^2Endondep = m+n = a-bEntoncesab= (\frac{((a-b)^2-1)}{4}\)^2Deaqui,ab= (\frac{(1)}{16}\)((a-b)^4-2(a-b)^2+1) Y de ahi en adelante, segui factorizando, quedo una ecuación de cuarto grado, la cual resolvi en 5 páginas, y me quedo que las posibles raices de b son a−1 o a+1 Pero de ahi ya no sale nada bonito. Hasta ahi he llegado.
Falta ver que para decir que a y b son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como a=2 y b=8, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta). Además, tienes un error en el despeje de a y b, debería quedar a=(p+12)2 y b=(p−12)2
Como ab es un cuadrado, la suma de los exponentes de cada factor primo en a y b es par.
ResponderBorrarSi a=p2n+1k,b=p2m+1l, con p primo, a−b=p2n+1k−p2m+1l=p(p2nk−p2ml), que sólo sería primo si (p2nk−p2ml)=1, entonces son consecutivos y (p2nk,p2ml)=1, entonces n,m=0 y k,l no tienen factores en común. k,l tienen que ser cuadrados y a la vez consecutivos, pero eso no se puede.
Si a=p2nk,b=p2ml, a−b=(p2nk)(p2ml)=p2(p2n−2k−p2m−2l) que no es primo.
Entonces a,b no tienen factores en común y a=x2,b=y2 con x,y positivos y (x,y)=1. a−b=x2−y2=(x+y)(x−y) que sólo es primo si uno de (x+y),(x−y) es primo y el otro es 1 (si uno tuviera varios factores primos su producto no sería primo, igual si los dos fueran primos).
Como y es positivo, x+y>x−y, entonces x−y=1 y x=y+1. Entonces x,y son números consecutivos que sumados dan un primo.
Entonces a,b son todos los números tales que a=(y+1)2,b=y2 donde y es un número tal que 2y+1 es un primo (a,b tienen que tener esa forma, y para cualquier y que para el que 2y+1 es primo existen a,b).
Correcto.
ResponderBorrarSea mcd(a,b)=k
ResponderBorrarSea a1=ak,b1=bk
⇒a−b=a1k−b1k=k(a1−b1)=p
⇒k=p,(a1−b1)=1ok=1,(a1−b1)=p
∙Caso 1: k=p,a1−b1=1
⇒a1=b1+1
⇒a=k(b1+1),b=kb1
⇒ab=(k2)(b1+1)(b1)=n2⇒(b1+1)(b1)=m2
Supongamos quem≤b1⇒m\textlessb1+1
⇒m2\textlessb1(b1+1)
Supongamos que m≥b1+1⇒m\textgreaterb1
⇒m2\textgreaterb1(b1+1)
⇒b1\textlessm\textlessb1+1\textsccontradiccionm∈Z
⇒a1−b1≠1
∙Caso 2: k=1,a1−b1=p
Como k=(a,b)=1,ab=n2⇒a=x2,b=y2
Luego a−b=x2−y2=(x+y)(x−y)=p
⇒x−y=1,x+y=p
⇒2y+1=p
∴∀y∈Z+ tal que 2y+1=p$\exists\: a,b\in\mathbb{Z}^+ \text{ con } a=(y+1)^2,b=y^2\text{ que cumplen }a-b=p,ab=n^2$
Correcto.
BorrarMe fijo que como a,b son enteros entonces m2 tambien lo es. Luego
ResponderBorrarm=√ab Entonces (a,b) tienen raiz cuadrada exacta: sea a=x2 y b=y2. Entonces a−b=x2−y2=(x+y)(x−y)=p entonces como p es primo x+y=p y x−y=1. Y si restamos ambas ecuaciones nos queda que 2y=p−1 p=2y+1. Entonces para sacar el valor de a solo sustituyo y me queda que x2−y2=2y+1 x2=y2+2y+1=(y+1)2 entonces como a=x2. Todos los enterosa,b que satisfacen las condiciones del problema son para todas las y que existen tales que 2y+1 es primo y (a,b)=(y+12),y
Donde puse a=x2 y b=y2 solo se cumple si mcd(a,b)=1:
BorrarSupongamos que a y b no son primos relativos Entonces sea el mcd(a,b)=d con d>1 entonces a=d∗k y b=d∗j entonces
a−b=d∗k−d∗j=d(k−j)=p como p es primo y d>1 entonces
d=p y k−j=1.
Entonces ab=(d∗k)(d∗j)=d2∗kj=d2(k(k−1))=m2.Entonces:
m=d∗√k(k−1) entonces como la raiz de k(k−1) debe ser entera y como k y k−1 son primos relativos la raiz de k y la de k−1 debe ser entera lo cual es una contradiccion ya que k y k−1 son consecutivos.entonces k−j=p y d=1 como queriamos demostrar.
Correcto.
Borrarhasta aqui llevo
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=390108677727619&set=a.389248274480326.91304.100001854706497&type=3&theater
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ResponderBorrarprimero me fije en que comoab=k2 entonces √a√b=k2 entoncs los dos numeros son cuadrados perfectos entonces digamos a=x2,b=y2 entonces sabemos que a−b=p=x2−y2=(x−y)(x+y) pero como p es primo entonces x+y=P,x−Y=1 y es facil ver que para que x+y=p y eso es lo unico q llevo hasta ahora.
ResponderBorrarBien, sólo falta ver que para decir que a y b son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como a=2 y b=8, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta)
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ResponderBorrarPrimero nos fijamos en que si ab=r2 entonces √a√b=r
ResponderBorrarSi sumamos los exponentes de cada factor primo de a y b el resultado sera un numero par de exponente en cada primo. Hasta ahi es a donde he llegado.
Incompleto.
BorrarIntento.-
ResponderBorrarTenemos 2 casos:
Caso mcd(a,b)=x⇒a=xy,b=xz⇒a−b=xy−xz=x(y−z) lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso, y−z=1⇒x es primo.
Caso mcd(a,b)=1⇒a=x2,b=y2⇒a−b=x2−y2=(x+y)(x−y), lo cual debe ser primo, por lo que x+y o x−y es primo, si x+y=1 entonces alguno es igual a 0, pero a o b tendría que ser igual a 0 sabemos que son enteros positivos, por lo tanto x−y=1, x+y es primo.
En el primer caso, después de que llegas a que x es primo, cómo descartas ese caso? (falta decir por qué el producto no puede ser cuadrado.)
BorrarEn el segundo caso, falta concluir (decir que a=(y+1)2,b=y2 con 2y+1=p)
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BorrarSolución completa.-
BorrarTenemos 2 casos:
Caso 1.-
mcd(a,b)=x⇒a=xy,b=xz⇒a−b=xy−xz=z(y−z) lo cual debe ser primo, para no salirnos de este caso: y−z=1⇒y=z+1,x es primo. De lo anterior tenemos que: ab=x2yz=x2z(z+1), lo cual debe ser cuadrado perfecto, entonces si x2 ya lo es, tendremos que: z(z+1) es un cuadrado perfecto, como mcd(z,z+1)=1⇒z,z+1 son cuadrados perfectos, lo cual es facil ver que no se puede pues: z+1=n2,z=m2⇒n2−m2=(n+m)(n−m)=1⇒n+m=n−m⇒m=−m⇒m=0⇒z=0⇒b=0 lo cual es una contradicción pues b es un entero positivo.
Caso 2.-
mcd(a,b)=1⇒a=x2,b=y2⇒a−b=x2−y2=(x+y)(x−y)
lo cual debe ser primo,
(x−y)\textless(x+y)⇒x−y=1⇒x=y+1⇒x+y=2y+1 lo cual debe ser primo. Sabemos que 2y+1 puede representar a cualquier primo impar, por lo tanto, existe una pareja por cada primo existente.
Correcto.
BorrarVemos que ab es un cuadrado perfecto, por lo que √ab$debeserunentero,deahí,definimos:a = m^2yb = n^2vemosquem^2 - n^2esunnúmeroprimo,endondeestoesiguala(m+n)(m-n)ycomoesunprimo,yambossonpositivos,vemosquem-n = 1ym+nesunnúmeroprimo.Deaquisumamosm+n+m-n=p+1=2myobtenemosquea= \frac{(p+1)^2}{2}\Analogamentelasrestamosyobtenemosqueb= \frac{(p-1)^2}{2}\Porloqueab= (\frac{(p+1)^2}{2}\)(\frac{(p+1)^2}{2}\)Dedondeexpandimosyfactorizamos,ynosqueda:ab= (\frac{(p^2-1)}{4}\)^2Endondep = m+n = a-bEntoncesab= (\frac{((a-b)^2-1)}{4}\)^2Deaqui,ab= (\frac{(1)}{16}\)((a-b)^4-2(a-b)^2+1)
ResponderBorrarY de ahi en adelante, segui factorizando, quedo una ecuación de cuarto grado, la cual resolvi en 5 páginas, y me quedo que las posibles raices de b son a−1 o a+1 Pero de ahi ya no sale nada bonito. Hasta ahi he llegado.
Falta ver que para decir que a y b son cuadrados perfectos primero tienes que demostrar que son primos relativos (podría pasar algo como a=2 y b=8, donde el producto es un cuadrado pero ninguno lo es por su cuenta).
BorrarAdemás, tienes un error en el despeje de a y b, debería quedar a=(p+12)2 y b=(p−12)2