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martes, 18 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (17 de septiembre)
Dado $\triangle ABC$. Las bisectrices de los angulos $A,B,C$ intersectan al circuncirculo en $D,E,F$ respectivamente. Demostrar que $AD$ es perpendicular a $EF$
sea $K$ el punto donde se intercectan las lineas $EF$ y $AB$ y sea $N$ el punto donde se intercectan $EF$ y $AD$. tenemos que $\angle CAD=\angle DAB=\alpha$ , $\angle CBE=\angle EBA=\gamma$ y $\angle ACF=\angle FCB=\beta$ entonces por abrir el mismo arco $\angle ABF=\angle ACF= \beta$ por el mismo argumento $\angle CAB=\angle CFB=2 \alpha$ y por el mismo argumento $\angle EFC=\angle EBC=\gamma$ entonces por $\triangle ABC$ sabemos que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180$ entonces $\alpha+\gamma+\beta=90$ y como en el $\triangle KFB$ tenemos en los angulos $\gamma+2\alpha+\beta=90+\alpha$ entonces para completar los 180 $\angle BKF=90-\alpha$ y por opuestos por el vertice $\angle AKN=90-\alpha$ y para completar los 180 $\angle ANK=90$ y acabamos.
En $\triangle{ABC}$ la suma de ángulos es: $2\alpha+2\beta+2\theta=180^{o}\Rightarrow 2(\alpha+\beta+\theta)=180^{o}\Rightarrow\alpha+\beta+\theta=90^{o}$. En $\triangle{FHD}$ la suma de ángulos es: $\alpha+\beta+\theta+\angle{FHD}=180^{o}$, si $\alpha+\beta+\theta=90^{o}\Rightarrow90+\angle{FHD}=180^{o}\Rightarrow\angle{FHD}=90^{o}\therefore FE\perp AD$ Q.E.D.
En este problema nombre los angulos de las bisectrices y el punto de intercecion de $AD$ y $EF$ el cual llamare como $G$ y los angulos iguales en $A$ como alfa y en $B$ beta y en $C$ teta , entonces tengo 2 alfa, 2 beta, 2 teta y bueno estos estan en un mismo triangulo por tanto su suma es de 180 grados y si divido entre dos tengo 90°= alfa+ beta+ teta entonces temgo esto bueno tambien sace angulos primero empese trasando el cuadrilatero ciclico $EFBC$ y el $AFDC$ con esto tengo que el angulo $ACD$ = $CFD$ = alfa y el angulo $EBC$ = $EFC$ = beta y el angulo $ACF$ = $ADF$ = teta con esto tengo el triangulo $GFD$ que tiene en angulos 180-(alfa+beta+teta)= 90° por tanto la recta $EF$ es perpendicular a la recta $AD$
Sea $G$ el punto de intersección de $AD$ y $EF$. Sean $\angle CAB=2\alpha,\angle ABC=2\beta,\angle BCA=2\theta$, entonces $2\alpha +2 \beta +2\theta =180$ y $\alpha + \beta +\theta =90$. $\angle AEF=ACF=\theta$ porque $CF$ es bisectriz de $\angle BCA$ y abren el mismo arco. $\angle EAD=\angle CAD+\angle EAC=\angle CAD+\angle EBC=\beta +\alpha$. Vemos la suma de ángulos internos de $\triangle EAG$, $180=\angle EAG+\angle AGE+\angle GEA=\angle EAD+\angle AGE+\angle AEF=\alpha +\beta +\theta +\angle AGE=90+\angle AGE \Rightarrow \angle AGE=90$ $\Rightarrow AD \perp EF$.
Sea $ABE = EBC = ADE$ Pues abre el arco AE Sea $ BCF = FCA = FEB $ Pues abre el arco BF Sea $ BAD = DAC = BED $ Pues abre el arco BD Como $ 2ABE + 2BCF + 2BAD = 180$ Entonces $ ADE+FEB+BED = 90$ Sea $P$ la interseccion de $EF$ con $AD$ Por lo cual en el triangulo $FDP$ el mismo angulo debe ser 90, por lo cual $AD$ es perpendicular a $EF$ Q.E.D.
Sea $\angle BAC$ $=2\alpha$, $\angle BAC=2\beta$ y $\angle BCA=2\theta$ entonces $\alpha+\beta+\theta$=90°.Pero $\angle FDA=\angle FCA=\theta$ ya que abren el mismo arco $FA$.Analogamente $\angle CFD=\angle DAC=\alpha$ y $\angle EFC=\angle EBC=\beta$. Sea $N$ el punto de intersecccion de $AD$ con$FE$ entonces la suma de los angulos internos de $\triangle FND$ es: $\alpha+\beta+\theta+\angle FND=180°$, pero $\alpha+\beta+\theta$=90° entonces para completar los 180°, el angulo $FND$ debe medir 90 grados. $Q.E.D$
Nos fijamos en el cíclico $EFBC$ y en ángulos inscritos. Sean los angulos: $\angle CAB =2\alpha$ que abren $\widehat{CB}$ $\angle ABC =2\beta$ que abren $\widehat{AC}$ $\angle BCA =2\theta$ que abren $\widehat{AB}$ por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades: $\angle CAB =2\alpha =\angle CEB =\angle CFB$ $\angle ABC =2\beta =\angle AFC =\angle ADC $ $\angle BCA =2\theta =$\angle BEA =\angle BDA$ Con base en que son bisectrices encontramos: $\angle CAD =\alpha=\angle DAB $que abren $\widehat{CD}=\widehat{BD}$ $\angle EBC =\beta=\angle EBA=\angle ECA=\angle ACE$ porque abren $\widehat{EA}=$\widehat{EC}$ $\angle ACF =\theta =\angle FBC=\angle FBA=\angle AEF=\angle FEB=\angle FBA$ Tenemos en el cuadrilatero ciclico $EFBC$ que $4\alpha + 4\beta + 4\theta=360$ entonces $2\alpha + 2\beta + 2\theta=180$ $\alpha + \beta + \theta=90$ Llamemos $K$ ala interseccion de $EF$ con $AD$, tenemos al $\trangle{EKA} en donde $\angle EAK = \beta + \alpha$ y $\angle AEK = \theta$ $\therefore$ $\angle AKE=180-(\alpha + \beta + \theta) = (2\alpha + 2\beta + 2\theta)-/\alpha + \beta + \theta)=\alpha + \beta + \theta=90°$ esto se cumple y $Q.E.D$
Nos fijamos en el cíclico $EFBC$ y en ángulos inscritos. Sean los angulos: $\angle CAB =2\alpha$ que abren $\widehat{CB}$ $\angle ABC =2\beta$ que abren $\widehat{AC}$ $\angle BCA =2\theta$ que abren $\widehat{AB}$ por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades: $\angle CAB =2\alpha =\angle CEB =\angle CFB$ $\angle ABC =2\beta =\angle AFC =\angle ADC $ $\angle BCA =2\theta =$\angle BEA =\angle BDA$
Con base en que son bisectrices encontramos: $\angle CAD =\alpha =\angle DAB $ que abren $\widehat{CD} = \widehat{BD}$ $\angle EBC = \beta= \angle EBA= \angle ECA= \angle ACE$ porque abren $\widehat{EA}$= $\widehat{EC}$ $\angle ACF = \theta = \angle FBC= \angle FBA= \angle AEF= \angle FEB= \angle FBA$ Tenemos en el cuadrilatero ciclico $EFBC$ que $4\alpha + 4\beta + 4\theta=360$ entonces $2\alpha + 2\beta + 2\theta=180$ $\alpha + \beta + \theta=90$ Llamemos $K$ ala interseccion de $EF$ con $AD$, tenemos al $\trangle{EKA} en donde $\angle EAK = $ $ \beta $ $+ \alpha$ y $\angle AEK =$ $ \theta$ $\therefore$ $\angle AKE=180$ $-$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $= 2\alpha$ $ + 2\beta$ $ + 2\theta$ $-$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $=$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $=90°$ esto se cumple y $Q.E.D$
Comenzamos dando valores a los ángulos divididos por las bisectrices: $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$ $\angle CBE = \angle ABE = \beta$ $\angle ACF = \angle BCF = \theta$ Ya que esos son los ángulos interiores del $\triangle ABC$ , tenemos que $2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^o$ , y por lo tanto $\alpha + \beta + \theta = 90^o$ . Ahora podemos ver como hay algunos angulos angulos que abren el mismo arco: $\angle BFC = \angle CEB = \angle BAC = 2\alpha$ $\angle CDA = \angle AFC = \angle CBA = 2\beta$ $\angle AEB = \angle BDA = \angle ACB = 2\theta$ Ahora nos fijamos en los cuadrilateros cíclicos $AFBC$ , $BDCA$ y $CEAB$ , vemos que todos tiene un par de angulos opuestos los cuales les faltan uno a cada uno, los cuales son los siguientes: $\angle FBA = \angle FAB = \theta$ $\angle DCB = \angle DBC = \alpha$ $\angle EAC = \angle ECA = \beta$ Llamamos $J$ al punto de intersección de $AD$ y $EF$ . Vemos que $\angle FCA$ abre el mismo arco que $\angle FEA$ , $\Rightarrow \angle FEA = \theta$ Ahora nos fijamos en el $\triangle AJE$ $\angle AJE = 180^o - (\alpha + \beta + \theta)$ $\angle AJE = 180^o - 90^o$ $\angle AJE = 90^o$ $\therefore AD$ es perpendicular a $EF$ .
Primero voy a darle los nombres a los angulos $\angle BAD=\angle CAD=\alpha$ $\angle ABE=\angle CBE=\beta$ $\angle ACF=\angle BCF=\theta$
Ahora le pondre nombre a 2 puntos que usare. La interseccion de $EF$ y $AC$ se llamara $R$. La interseccion de $AD$ y $EF$ se llamara $S$.
Como loS 6 juntos forman los angulos internos de $ABC$ suman 180 grados. Si lo dividimos entre 2 nos queda $\alpha+\beta+\theta=90^o$
Ahora nos vamos a fijar en los arcos $AF$ y $EC$.
Sabemos que $\angle EBC=\theta$ entonces tambien $\angle EAC=\theta$ porque abren el arco $EC$.
Tambien sabemos que $\angle ACF=\theta$ entonces tambien $\angle AEF=\theta$ porque ambos abren el arco $AF$.
$\angle EAC+\angle AEF+\angle ARE=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$ porque son los angulos del triangulo $ARE$ $\beta+\theta+\angle ARE=2\alpha+2\beta+2\theta$ $\angle ARE=2\alpha+\beta+\theta$
$\angle ARE+\angle ARS=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$ porque $ES$ es una linea. Entonces $\angle ARE+\angle ARS=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$ $2\alpha+\beta+\theta+\angle ARS=2\alpha+2\beta+2\theta$ $\angle ARS=\beta+\theta$
$ARS$ es otro triangulo y sus angulos son: $\angle CAD$, $\angle ARS$, y $\angle ASR$
Sabemos que: $\angle CAD+\angle ARS+\angle ASR=2\alpha+2\beta+2\theta$ $\alpha+\beta+\theta+\angle ASR=2\alpha+2\beta+2\theta$ $\angle ASR=\alpha+\beta+\theta$ Por lo tanto $\angle ASR=90^o$ asi que $EF$ es perpendicular con $AD$
sea $K$ el punto donde se intercectan las lineas $EF$ y $AB$ y sea $N$ el punto donde se intercectan $EF$ y $AD$. tenemos que $\angle CAD=\angle DAB=\alpha$ , $\angle CBE=\angle EBA=\gamma$ y $\angle ACF=\angle FCB=\beta$ entonces por abrir el mismo arco $\angle ABF=\angle ACF= \beta$ por el mismo argumento $\angle CAB=\angle CFB=2 \alpha$
ResponderBorrary por el mismo argumento $\angle EFC=\angle EBC=\gamma$ entonces por $\triangle ABC$ sabemos que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180$ entonces $\alpha+\gamma+\beta=90$ y como en el $\triangle KFB$ tenemos en los angulos $\gamma+2\alpha+\beta=90+\alpha$ entonces para completar los 180 $\angle BKF=90-\alpha$ y por opuestos por el vertice $\angle AKN=90-\alpha$ y para completar los 180 $\angle ANK=90$ y acabamos.
Sea $H$ la intersección de $FE$ con $AD$.
ResponderBorrar$\bullet$ Sea $\angle{ABE}=\angle{EBC}=\alpha\Rightarrow\angle{EBC}=\widehat{EC}=\angle{CFE}=\alpha$
$\bullet$ Sea $\angle{ACF}=\angle{FCB}=\beta\Rightarrow\angle{ACF}=\widehat{FA}=\angle{FDA}=\beta$
$\bullet$ Sea $\angle{BAD}=\angle{DAC}=\theta\Rightarrow\angle{DAC}=\widehat{DC}=\angle{DFC}=\theta$
En $\triangle{ABC}$ la suma de ángulos es: $2\alpha+2\beta+2\theta=180^{o}\Rightarrow 2(\alpha+\beta+\theta)=180^{o}\Rightarrow\alpha+\beta+\theta=90^{o}$.
En $\triangle{FHD}$ la suma de ángulos es: $\alpha+\beta+\theta+\angle{FHD}=180^{o}$, si $\alpha+\beta+\theta=90^{o}\Rightarrow90+\angle{FHD}=180^{o}\Rightarrow\angle{FHD}=90^{o}\therefore FE\perp AD$ Q.E.D.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM00055[1]_zps1fb2df54.jpg
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4631719715241&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarEn este problema nombre los angulos de las bisectrices y el punto de intercecion de $AD$ y $EF$ el cual llamare como $G$ y los angulos iguales en $A$ como alfa y en $B$ beta y en $C$ teta , entonces tengo 2 alfa, 2 beta, 2 teta y bueno estos estan en un mismo triangulo por tanto su suma es de 180 grados y si divido entre dos tengo 90°= alfa+ beta+ teta entonces temgo esto bueno tambien sace angulos primero empese trasando el cuadrilatero ciclico $EFBC$ y el $AFDC$ con esto tengo que el angulo $ACD$ = $CFD$ = alfa y el angulo $EBC$ = $EFC$ = beta y el angulo $ACF$ = $ADF$ = teta con esto tengo el triangulo $GFD$ que tiene en angulos 180-(alfa+beta+teta)= 90° por tanto la recta $EF$ es perpendicular a la recta $AD$
ResponderBorrarTienes un error de dedo
BorrarPero esta bien el problema
:)
Sea $G$ el punto de intersección de $AD$ y $EF$.
ResponderBorrarSean $\angle CAB=2\alpha,\angle ABC=2\beta,\angle BCA=2\theta$, entonces $2\alpha +2 \beta +2\theta =180$ y $\alpha + \beta +\theta =90$.
$\angle AEF=ACF=\theta$ porque $CF$ es bisectriz de $\angle BCA$ y abren el mismo arco.
$\angle EAD=\angle CAD+\angle EAC=\angle CAD+\angle EBC=\beta +\alpha$.
Vemos la suma de ángulos internos de $\triangle EAG$, $180=\angle EAG+\angle AGE+\angle GEA=\angle EAD+\angle AGE+\angle AEF=\alpha +\beta +\theta +\angle AGE=90+\angle AGE \Rightarrow \angle AGE=90$
$\Rightarrow AD \perp EF$.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4631719715241&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarCheca tu problema.
BorrarTu trazaste el incirculo en lugar del circuncirculo
segun yo lo habia posteado en la mañana, pero no se pego
ResponderBorrar:l
Si esta bien el otro que subiste
BorrarSea $ABE = EBC = ADE$ Pues abre el arco AE
ResponderBorrarSea $ BCF = FCA = FEB $ Pues abre el arco BF
Sea $ BAD = DAC = BED $ Pues abre el arco BD
Como $ 2ABE + 2BCF + 2BAD = 180$
Entonces $ ADE+FEB+BED = 90$
Sea $P$ la interseccion de $EF$ con $AD$
Por lo cual en el triangulo $FDP$ el mismo angulo debe ser 90, por lo cual $AD$ es perpendicular a $EF$
Q.E.D.
Sea $\angle BAC$ $=2\alpha$, $\angle BAC=2\beta$ y $\angle BCA=2\theta$ entonces $\alpha+\beta+\theta$=90°.Pero $\angle FDA=\angle FCA=\theta$ ya que abren el mismo arco $FA$.Analogamente $\angle CFD=\angle DAC=\alpha$ y $\angle EFC=\angle EBC=\beta$.
ResponderBorrarSea $N$ el punto de intersecccion de $AD$ con$FE$ entonces la suma de los angulos internos de $\triangle FND$ es: $\alpha+\beta+\theta+\angle FND=180°$, pero $\alpha+\beta+\theta$=90° entonces para completar los 180°, el angulo $FND$ debe medir 90 grados.
$Q.E.D$
Nos fijamos en el cíclico $EFBC$ y en ángulos inscritos.
ResponderBorrarSean los angulos:
$\angle CAB =2\alpha$ que abren $\widehat{CB}$
$\angle ABC =2\beta$ que abren $\widehat{AC}$
$\angle BCA =2\theta$ que abren $\widehat{AB}$
por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades:
$\angle CAB =2\alpha =\angle CEB =\angle CFB$
$\angle ABC =2\beta =\angle AFC =\angle ADC $
$\angle BCA =2\theta =$\angle BEA =\angle BDA$
Con base en que son bisectrices encontramos:
$\angle CAD =\alpha=\angle DAB $que abren $\widehat{CD}=\widehat{BD}$
$\angle EBC =\beta=\angle EBA=\angle ECA=\angle ACE$ porque abren $\widehat{EA}=$\widehat{EC}$
$\angle ACF =\theta =\angle FBC=\angle FBA=\angle AEF=\angle FEB=\angle FBA$
Tenemos en el cuadrilatero ciclico $EFBC$ que
$4\alpha + 4\beta + 4\theta=360$ entonces
$2\alpha + 2\beta + 2\theta=180$
$\alpha + \beta + \theta=90$
Llamemos $K$ ala interseccion de $EF$ con $AD$, tenemos al $\trangle{EKA} en donde $\angle EAK = \beta + \alpha$ y $\angle AEK = \theta$ $\therefore$ $\angle AKE=180-(\alpha + \beta + \theta) = (2\alpha + 2\beta + 2\theta)-/\alpha + \beta + \theta)=\alpha + \beta + \theta=90°$ esto se cumple y $Q.E.D$
Nos fijamos en el cíclico $EFBC$ y en ángulos inscritos.
ResponderBorrarSean los angulos:
$\angle CAB =2\alpha$ que abren $\widehat{CB}$
$\angle ABC =2\beta$ que abren $\widehat{AC}$
$\angle BCA =2\theta$ que abren $\widehat{AB}$
por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades:
$\angle CAB =2\alpha =\angle CEB =\angle CFB$
$\angle ABC =2\beta =\angle AFC =\angle ADC $
$\angle BCA =2\theta =$\angle BEA =\angle BDA$
Con base en que son bisectrices encontramos:
$\angle CAD =\alpha =\angle DAB $ que abren $\widehat{CD} = \widehat{BD}$
$\angle EBC = \beta= \angle EBA= \angle ECA= \angle ACE$ porque abren $\widehat{EA}$= $\widehat{EC}$
$\angle ACF = \theta = \angle FBC= \angle FBA= \angle AEF= \angle FEB= \angle FBA$
Tenemos en el cuadrilatero ciclico $EFBC$ que
$4\alpha + 4\beta + 4\theta=360$ entonces
$2\alpha + 2\beta + 2\theta=180$
$\alpha + \beta + \theta=90$
Llamemos $K$ ala interseccion de $EF$ con $AD$, tenemos al $\trangle{EKA} en donde $\angle EAK = $ $ \beta $ $+ \alpha$ y $\angle AEK =$ $ \theta$ $\therefore$ $\angle AKE=180$ $-$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $= 2\alpha$ $ + 2\beta$ $ + 2\theta$ $-$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $=$ $\alpha +$ $ \beta +$ $ \theta$ $=90°$ esto se cumple y $Q.E.D$
rumbo al nacional
ResponderBorrarBien
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=391682054235928&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarBien
BorrarComenzamos dando valores a los ángulos divididos por las bisectrices:
ResponderBorrar$\angle BAD = \angle CAD = \alpha$
$\angle CBE = \angle ABE = \beta$
$\angle ACF = \angle BCF = \theta$
Ya que esos son los ángulos interiores del $\triangle ABC$ , tenemos que $2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^o$ , y por lo tanto $\alpha + \beta + \theta = 90^o$ .
Ahora podemos ver como hay algunos angulos angulos que abren el mismo arco:
$\angle BFC = \angle CEB = \angle BAC = 2\alpha$
$\angle CDA = \angle AFC = \angle CBA = 2\beta$
$\angle AEB = \angle BDA = \angle ACB = 2\theta$
Ahora nos fijamos en los cuadrilateros cíclicos $AFBC$ , $BDCA$ y $CEAB$ , vemos que todos tiene un par de angulos opuestos los cuales les faltan uno a cada uno, los cuales son los siguientes:
$\angle FBA = \angle FAB = \theta$
$\angle DCB = \angle DBC = \alpha$
$\angle EAC = \angle ECA = \beta$
Llamamos $J$ al punto de intersección de $AD$ y $EF$ .
Vemos que $\angle FCA$ abre el mismo arco que $\angle FEA$ , $\Rightarrow \angle FEA = \theta$
Ahora nos fijamos en el $\triangle AJE$
$\angle AJE = 180^o - (\alpha + \beta + \theta)$
$\angle AJE = 180^o - 90^o$
$\angle AJE = 90^o$
$\therefore AD$ es perpendicular a $EF$ .
Primero voy a darle los nombres a los angulos
ResponderBorrar$\angle BAD=\angle CAD=\alpha$
$\angle ABE=\angle CBE=\beta$
$\angle ACF=\angle BCF=\theta$
Ahora le pondre nombre a 2 puntos que usare. La interseccion de $EF$ y $AC$ se llamara $R$. La interseccion de $AD$ y $EF$ se llamara $S$.
Como loS 6 juntos forman los angulos internos de $ABC$ suman 180 grados.
Si lo dividimos entre 2 nos queda $\alpha+\beta+\theta=90^o$
Ahora nos vamos a fijar en los arcos $AF$ y $EC$.
Sabemos que $\angle EBC=\theta$ entonces tambien $\angle EAC=\theta$ porque abren el arco $EC$.
Tambien sabemos que $\angle ACF=\theta$ entonces tambien $\angle AEF=\theta$ porque ambos abren el arco $AF$.
$\angle EAC+\angle AEF+\angle ARE=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$ porque son los angulos del triangulo $ARE$
$\beta+\theta+\angle ARE=2\alpha+2\beta+2\theta$
$\angle ARE=2\alpha+\beta+\theta$
$\angle ARE+\angle ARS=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$ porque $ES$ es una linea.
Entonces $\angle ARE+\angle ARS=180^o=2\alpha+2\beta+2\theta$
$2\alpha+\beta+\theta+\angle ARS=2\alpha+2\beta+2\theta$
$\angle ARS=\beta+\theta$
$ARS$ es otro triangulo y sus angulos son:
$\angle CAD$, $\angle ARS$, y $\angle ASR$
Sabemos que:
$\angle CAD+\angle ARS+\angle ASR=2\alpha+2\beta+2\theta$
$\alpha+\beta+\theta+\angle ASR=2\alpha+2\beta+2\theta$
$\angle ASR=\alpha+\beta+\theta$
Por lo tanto $\angle ASR=90^o$ asi que $EF$ es perpendicular con $AD$
Sea ángulo CAD = ángulo DAB = alfa
ResponderBorrarSea ángulo ABE = ángulo EBC = beta
Sea ángulo ACF = ángulo FCB = theta
Por lo tanto 2(alfa)+ 2(beta)+ 2(theta)=180º y alfa + beta + theta = 90º
Trazamos ED.
Vemos que ángulo DEB = ángulo DAB = alfa porque ambos abren el arco DB, análogamente ángulo EDA = ángulo EBA = alfa y ángulo FEB = ángulo FCB = theta.
Sea G la intersección de FE y AD.
Luego, por suma de ángulos, ángulo FEB + ángulo BED + ángulo EDA + ángulo EGD = alfa + beta + theta + ángulo EGD = 90º + ángulo EGD = 180º, luego ángulo EGD = 90º QED
Bien
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