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martes, 18 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (17 de septiembre)
Dado △ABC. Las bisectrices de los angulos A,B,C intersectan al circuncirculo en D,E,F respectivamente. Demostrar que AD es perpendicular a EF
sea K el punto donde se intercectan las lineas EF y AB y sea N el punto donde se intercectan EF y AD. tenemos que ∠CAD=∠DAB=α , ∠CBE=∠EBA=γ y ∠ACF=∠FCB=β entonces por abrir el mismo arco ∠ABF=∠ACF=β por el mismo argumento ∠CAB=∠CFB=2α y por el mismo argumento ∠EFC=∠EBC=γ entonces por △ABC sabemos que 2α+2β+2γ=180 entonces α+γ+β=90 y como en el △KFB tenemos en los angulos γ+2α+β=90+α entonces para completar los 180 ∠BKF=90−α y por opuestos por el vertice ∠AKN=90−α y para completar los 180 ∠ANK=90 y acabamos.
Sea H la intersección de FE con AD. ∙ Sea ∠ABE=∠EBC=α⇒∠EBC=^EC=∠CFE=α
∙ Sea ∠ACF=∠FCB=β⇒∠ACF=^FA=∠FDA=β
∙ Sea ∠BAD=∠DAC=θ⇒∠DAC=^DC=∠DFC=θ
En △ABC la suma de ángulos es: 2α+2β+2θ=180o⇒2(α+β+θ)=180o⇒α+β+θ=90o. En △FHD la suma de ángulos es: α+β+θ+∠FHD=180o, si α+β+θ=90o⇒90+∠FHD=180o⇒∠FHD=90o∴FE⊥AD Q.E.D.
En este problema nombre los angulos de las bisectrices y el punto de intercecion de AD y EF el cual llamare como G y los angulos iguales en A como alfa y en B beta y en C teta , entonces tengo 2 alfa, 2 beta, 2 teta y bueno estos estan en un mismo triangulo por tanto su suma es de 180 grados y si divido entre dos tengo 90°= alfa+ beta+ teta entonces temgo esto bueno tambien sace angulos primero empese trasando el cuadrilatero ciclico EFBC y el AFDC con esto tengo que el angulo ACD = CFD = alfa y el angulo EBC = EFC = beta y el angulo ACF = ADF = teta con esto tengo el triangulo GFD que tiene en angulos 180-(alfa+beta+teta)= 90° por tanto la recta EF es perpendicular a la recta AD
Sea G el punto de intersección de AD y EF. Sean ∠CAB=2α,∠ABC=2β,∠BCA=2θ, entonces 2α+2β+2θ=180 y α+β+θ=90. ∠AEF=ACF=θ porque CF es bisectriz de ∠BCA y abren el mismo arco. ∠EAD=∠CAD+∠EAC=∠CAD+∠EBC=β+α. Vemos la suma de ángulos internos de △EAG, 180=∠EAG+∠AGE+∠GEA=∠EAD+∠AGE+∠AEF=α+β+θ+∠AGE=90+∠AGE⇒∠AGE=90 ⇒AD⊥EF.
Sea ABE=EBC=ADE Pues abre el arco AE Sea BCF=FCA=FEB Pues abre el arco BF Sea BAD=DAC=BED Pues abre el arco BD Como 2ABE+2BCF+2BAD=180 Entonces ADE+FEB+BED=90 Sea P la interseccion de EF con AD Por lo cual en el triangulo FDP el mismo angulo debe ser 90, por lo cual AD es perpendicular a EF Q.E.D.
Sea ∠BAC=2α, ∠BAC=2β y ∠BCA=2θ entonces α+β+θ=90°.Pero ∠FDA=∠FCA=θ ya que abren el mismo arco FA.Analogamente ∠CFD=∠DAC=α y ∠EFC=∠EBC=β. Sea N el punto de intersecccion de AD conFE entonces la suma de los angulos internos de △FND es: α+β+θ+∠FND=180°, pero α+β+θ=90° entonces para completar los 180°, el angulo FND debe medir 90 grados. Q.E.D
Nos fijamos en el cíclico EFBC y en ángulos inscritos. Sean los angulos: ∠CAB=2α que abren ^CB ∠ABC=2β que abren ^AC ∠BCA=2θ que abren ^AB por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades: ∠CAB=2α=∠CEB=∠CFB ∠ABC=2β=∠AFC=∠ADC ∠BCA=2θ=\angle BEA =\angle BDAConbaseenquesonbisectricesencontramos:\angle CAD =\alpha=\angle DAB queabren\widehat{CD}=\widehat{BD}\angle EBC =\beta=\angle EBA=\angle ECA=\angle ACEporqueabren\widehat{EA}=^EC ∠ACF=θ=∠FBC=∠FBA=∠AEF=∠FEB=∠FBA Tenemos en el cuadrilatero ciclico EFBC que 4α+4β+4θ=360 entonces 2α+2β+2θ=180 α+β+θ=90 Llamemos K ala interseccion de EF con AD, tenemos al \trangleEKAendonde\angle EAK = \beta + \alphay\angle AEK = \theta\therefore\angle AKE=180-(\alpha + \beta + \theta) = (2\alpha + 2\beta + 2\theta)-/\alpha + \beta + \theta)=\alpha + \beta + \theta=90°estosecumpleyQ.E.D$
Nos fijamos en el cíclico EFBC y en ángulos inscritos. Sean los angulos: ∠CAB=2α que abren ^CB ∠ABC=2β que abren ^AC ∠BCA=2θ que abren ^AB por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades: ∠CAB=2α=∠CEB=∠CFB ∠ABC=2β=∠AFC=∠ADC ∠BCA=2θ=\angle BEA =\angle BDAConbaseenquesonbisectricesencontramos:\angle CAD =\alpha =\angle DAB queabren\widehat{CD} = \widehat{BD}\angle EBC = \beta= \angle EBA= \angle ECA= \angle ACEporqueabren\widehat{EA}=\widehat{EC}\angle ACF = \theta = \angle FBC= \angle FBA= \angle AEF= \angle FEB= \angle FBATenemosenelcuadrilaterociclicoEFBCque4\alpha + 4\beta + 4\theta=360entonces2\alpha + 2\beta + 2\theta=180\alpha + \beta + \theta=90LlamemosKalaintersecciondeEFconAD,tenemosal\trangle{EKA} en donde ∠EAK=β+α y ∠AEK=θ∴∠AKE=180−α+β+θ=2α+2β+2θ−α+β+θ=α+β+θ=90° esto se cumple y Q.E.D
Comenzamos dando valores a los ángulos divididos por las bisectrices: ∠BAD=∠CAD=α ∠CBE=∠ABE=β ∠ACF=∠BCF=θ Ya que esos son los ángulos interiores del △ABC , tenemos que 2α+2β+2θ=180o , y por lo tanto α+β+θ=90o . Ahora podemos ver como hay algunos angulos angulos que abren el mismo arco: ∠BFC=∠CEB=∠BAC=2α ∠CDA=∠AFC=∠CBA=2β ∠AEB=∠BDA=∠ACB=2θ Ahora nos fijamos en los cuadrilateros cíclicos AFBC , BDCA y CEAB , vemos que todos tiene un par de angulos opuestos los cuales les faltan uno a cada uno, los cuales son los siguientes: ∠FBA=∠FAB=θ ∠DCB=∠DBC=α ∠EAC=∠ECA=β Llamamos J al punto de intersección de AD y EF . Vemos que ∠FCA abre el mismo arco que ∠FEA , ⇒∠FEA=θ Ahora nos fijamos en el △AJE ∠AJE=180o−(α+β+θ) ∠AJE=180o−90o ∠AJE=90o ∴AD es perpendicular a EF .
sea K el punto donde se intercectan las lineas EF y AB y sea N el punto donde se intercectan EF y AD. tenemos que ∠CAD=∠DAB=α , ∠CBE=∠EBA=γ y ∠ACF=∠FCB=β entonces por abrir el mismo arco ∠ABF=∠ACF=β por el mismo argumento ∠CAB=∠CFB=2α
ResponderBorrary por el mismo argumento ∠EFC=∠EBC=γ entonces por △ABC sabemos que 2α+2β+2γ=180 entonces α+γ+β=90 y como en el △KFB tenemos en los angulos γ+2α+β=90+α entonces para completar los 180 ∠BKF=90−α y por opuestos por el vertice ∠AKN=90−α y para completar los 180 ∠ANK=90 y acabamos.
Sea H la intersección de FE con AD.
ResponderBorrar∙ Sea ∠ABE=∠EBC=α⇒∠EBC=^EC=∠CFE=α
∙ Sea ∠ACF=∠FCB=β⇒∠ACF=^FA=∠FDA=β
∙ Sea ∠BAD=∠DAC=θ⇒∠DAC=^DC=∠DFC=θ
En △ABC la suma de ángulos es: 2α+2β+2θ=180o⇒2(α+β+θ)=180o⇒α+β+θ=90o.
En △FHD la suma de ángulos es: α+β+θ+∠FHD=180o, si α+β+θ=90o⇒90+∠FHD=180o⇒∠FHD=90o∴FE⊥AD Q.E.D.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM00055[1]_zps1fb2df54.jpg
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4631719715241&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarEn este problema nombre los angulos de las bisectrices y el punto de intercecion de AD y EF el cual llamare como G y los angulos iguales en A como alfa y en B beta y en C teta , entonces tengo 2 alfa, 2 beta, 2 teta y bueno estos estan en un mismo triangulo por tanto su suma es de 180 grados y si divido entre dos tengo 90°= alfa+ beta+ teta entonces temgo esto bueno tambien sace angulos primero empese trasando el cuadrilatero ciclico EFBC y el AFDC con esto tengo que el angulo ACD = CFD = alfa y el angulo EBC = EFC = beta y el angulo ACF = ADF = teta con esto tengo el triangulo GFD que tiene en angulos 180-(alfa+beta+teta)= 90° por tanto la recta EF es perpendicular a la recta AD
ResponderBorrarTienes un error de dedo
BorrarPero esta bien el problema
:)
Sea G el punto de intersección de AD y EF.
ResponderBorrarSean ∠CAB=2α,∠ABC=2β,∠BCA=2θ, entonces 2α+2β+2θ=180 y α+β+θ=90.
∠AEF=ACF=θ porque CF es bisectriz de ∠BCA y abren el mismo arco.
∠EAD=∠CAD+∠EAC=∠CAD+∠EBC=β+α.
Vemos la suma de ángulos internos de △EAG, 180=∠EAG+∠AGE+∠GEA=∠EAD+∠AGE+∠AEF=α+β+θ+∠AGE=90+∠AGE⇒∠AGE=90
⇒AD⊥EF.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4631719715241&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarCheca tu problema.
BorrarTu trazaste el incirculo en lugar del circuncirculo
segun yo lo habia posteado en la mañana, pero no se pego
ResponderBorrar:l
Si esta bien el otro que subiste
BorrarSea ABE=EBC=ADE Pues abre el arco AE
ResponderBorrarSea BCF=FCA=FEB Pues abre el arco BF
Sea BAD=DAC=BED Pues abre el arco BD
Como 2ABE+2BCF+2BAD=180
Entonces ADE+FEB+BED=90
Sea P la interseccion de EF con AD
Por lo cual en el triangulo FDP el mismo angulo debe ser 90, por lo cual AD es perpendicular a EF
Q.E.D.
Sea ∠BAC =2α, ∠BAC=2β y ∠BCA=2θ entonces α+β+θ=90°.Pero ∠FDA=∠FCA=θ ya que abren el mismo arco FA.Analogamente ∠CFD=∠DAC=α y ∠EFC=∠EBC=β.
ResponderBorrarSea N el punto de intersecccion de AD conFE entonces la suma de los angulos internos de △FND es: α+β+θ+∠FND=180°, pero α+β+θ=90° entonces para completar los 180°, el angulo FND debe medir 90 grados.
Q.E.D
Nos fijamos en el cíclico EFBC y en ángulos inscritos.
ResponderBorrarSean los angulos:
∠CAB=2α que abren ^CB
∠ABC=2β que abren ^AC
∠BCA=2θ que abren ^AB
por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades:
∠CAB=2α=∠CEB=∠CFB
∠ABC=2β=∠AFC=∠ADC
∠BCA=2θ=\angle BEA =\angle BDAConbaseenquesonbisectricesencontramos:\angle CAD =\alpha=\angle DAB queabren\widehat{CD}=\widehat{BD}\angle EBC =\beta=\angle EBA=\angle ECA=\angle ACEporqueabren\widehat{EA}=^EC
∠ACF=θ=∠FBC=∠FBA=∠AEF=∠FEB=∠FBA
Tenemos en el cuadrilatero ciclico EFBC que
4α+4β+4θ=360 entonces
2α+2β+2θ=180
α+β+θ=90
Llamemos K ala interseccion de EF con AD, tenemos al \trangleEKAendonde\angle EAK = \beta + \alphay\angle AEK = \theta\therefore\angle AKE=180-(\alpha + \beta + \theta) = (2\alpha + 2\beta + 2\theta)-/\alpha + \beta + \theta)=\alpha + \beta + \theta=90°estosecumpleyQ.E.D$
Nos fijamos en el cíclico EFBC y en ángulos inscritos.
ResponderBorrarSean los angulos:
∠CAB=2α que abren ^CB
∠ABC=2β que abren ^AC
∠BCA=2θ que abren ^AB
por angulos inscritos que abren el mismo arco encontramos las siguientes iguadades:
∠CAB=2α=∠CEB=∠CFB
∠ABC=2β=∠AFC=∠ADC
∠BCA=2θ=\angle BEA =\angle BDAConbaseenquesonbisectricesencontramos:\angle CAD =\alpha =\angle DAB queabren\widehat{CD} = \widehat{BD}\angle EBC = \beta= \angle EBA= \angle ECA= \angle ACEporqueabren\widehat{EA}=\widehat{EC}\angle ACF = \theta = \angle FBC= \angle FBA= \angle AEF= \angle FEB= \angle FBATenemosenelcuadrilaterociclicoEFBCque4\alpha + 4\beta + 4\theta=360entonces2\alpha + 2\beta + 2\theta=180\alpha + \beta + \theta=90LlamemosKalaintersecciondeEFconAD,tenemosal\trangle{EKA} en donde ∠EAK= β +α y ∠AEK= θ ∴ ∠AKE=180 − α+ β+ θ =2α +2β +2θ − α+ β+ θ = α+ β+ θ =90° esto se cumple y Q.E.D
rumbo al nacional
ResponderBorrarBien
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=391682054235928&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarBien
BorrarComenzamos dando valores a los ángulos divididos por las bisectrices:
ResponderBorrar∠BAD=∠CAD=α
∠CBE=∠ABE=β
∠ACF=∠BCF=θ
Ya que esos son los ángulos interiores del △ABC , tenemos que 2α+2β+2θ=180o , y por lo tanto α+β+θ=90o .
Ahora podemos ver como hay algunos angulos angulos que abren el mismo arco:
∠BFC=∠CEB=∠BAC=2α
∠CDA=∠AFC=∠CBA=2β
∠AEB=∠BDA=∠ACB=2θ
Ahora nos fijamos en los cuadrilateros cíclicos AFBC , BDCA y CEAB , vemos que todos tiene un par de angulos opuestos los cuales les faltan uno a cada uno, los cuales son los siguientes:
∠FBA=∠FAB=θ
∠DCB=∠DBC=α
∠EAC=∠ECA=β
Llamamos J al punto de intersección de AD y EF .
Vemos que ∠FCA abre el mismo arco que ∠FEA , ⇒∠FEA=θ
Ahora nos fijamos en el △AJE
∠AJE=180o−(α+β+θ)
∠AJE=180o−90o
∠AJE=90o
∴AD es perpendicular a EF .
Primero voy a darle los nombres a los angulos
ResponderBorrar∠BAD=∠CAD=α
∠ABE=∠CBE=β
∠ACF=∠BCF=θ
Ahora le pondre nombre a 2 puntos que usare. La interseccion de EF y AC se llamara R. La interseccion de AD y EF se llamara S.
Como loS 6 juntos forman los angulos internos de ABC suman 180 grados.
Si lo dividimos entre 2 nos queda α+β+θ=90o
Ahora nos vamos a fijar en los arcos AF y EC.
Sabemos que ∠EBC=θ entonces tambien ∠EAC=θ porque abren el arco EC.
Tambien sabemos que ∠ACF=θ entonces tambien ∠AEF=θ porque ambos abren el arco AF.
∠EAC+∠AEF+∠ARE=180o=2α+2β+2θ porque son los angulos del triangulo ARE
β+θ+∠ARE=2α+2β+2θ
∠ARE=2α+β+θ
∠ARE+∠ARS=180o=2α+2β+2θ porque ES es una linea.
Entonces ∠ARE+∠ARS=180o=2α+2β+2θ
2α+β+θ+∠ARS=2α+2β+2θ
∠ARS=β+θ
ARS es otro triangulo y sus angulos son:
∠CAD, ∠ARS, y ∠ASR
Sabemos que:
∠CAD+∠ARS+∠ASR=2α+2β+2θ
α+β+θ+∠ASR=2α+2β+2θ
∠ASR=α+β+θ
Por lo tanto ∠ASR=90o asi que EF es perpendicular con AD
Sea ángulo CAD = ángulo DAB = alfa
ResponderBorrarSea ángulo ABE = ángulo EBC = beta
Sea ángulo ACF = ángulo FCB = theta
Por lo tanto 2(alfa)+ 2(beta)+ 2(theta)=180º y alfa + beta + theta = 90º
Trazamos ED.
Vemos que ángulo DEB = ángulo DAB = alfa porque ambos abren el arco DB, análogamente ángulo EDA = ángulo EBA = alfa y ángulo FEB = ángulo FCB = theta.
Sea G la intersección de FE y AD.
Luego, por suma de ángulos, ángulo FEB + ángulo BED + ángulo EDA + ángulo EGD = alfa + beta + theta + ángulo EGD = 90º + ángulo EGD = 180º, luego ángulo EGD = 90º QED
Bien
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