Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día. Algebra (16 de septiembre)

viernes, 21 de septiembre de 2012

Problema del día. Algebra (16 de septiembre)

Se tiene una secuencia de

$2012$ números racionales, que se generan de la siguiente manera:
El primer número es

$1$ , y a partir del segundo, si el número anterior de la secuencia es

$x$ , entonces el siguiente número es

$x+\frac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor}$ ( donde

$\left \lfloor x \right \rfloor$ indica la parte entera de

$x$ ). ¿Cuál es el último número de la secuencia?

26 comentarios:

Diego Astiazarán22 de septiembre de 2012, 9:36 p.m.
Tenemos el número entero $A$ , el siguiente número de la secuencia es $A+\frac{1}{A}$ , luego $A+\frac{1}{A}+\frac{1}{A}$ , es decir $A+\frac{2}{A}$ , después $A+\frac{3}{A}$ . Y algunos números después habrá $A+\frac{A-1}{A}$ y $A+\frac{A}{A}$ , este último sera el próximo entero.
$\Rightarrow$ Hay $A$ números que comienzan con $A$ . Es decir, hay un número que comienza con $1$ , dos números que comienzan con $2$ , tres números que comienza con $3$ y así sucesivamente.
Vemos que al terminar los números que comienzan con $63$ , va a haber $2016$ números:
$\frac{63\times64}{2}=2016$
$\Rightarrow$ El número en la posición $2017$ es $64$ .
Ahora buscamos los números anteriores hasta llegar al que esta en la posición $2012$ :
$\bullet$ Posición $2016$ : $64-\frac{1}{63}$
$\bullet$ Posición $2015$ : $64-\frac{2}{63}$
$\bullet$ Posición $2014$ : $64-\frac{3}{63}$
$\bullet$ Posición $2013$ : $64-\frac{4}{63}$
$\bullet$ Posición $2012$ : $64-\frac{5}{63}$

El último número de la secuencia es:
$\boxed{64-\frac{5}{63} = \frac{4027}{63} = 63.920634920634\cdots}$
Esto último fue solo para mostrar que el número es racional.
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Unknown23 de septiembre de 2012, 3:41 p.m.
Vemos que se tiene un patrón o algo que sabemos como se comportará, se tiene que los primeros términos de la secuencia son:
$1, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{10}{3}, \frac{11}{3}, 4, \frac{17}{4}, \frac{18}{4}, \frac{19}{4}, 5, ...$
De lo anterior obtenemos el "comportamiento" de la secuencia: $x, \frac{x^{2}+1}{x}, \frac{x^{2}+2}{x}, .., \frac{x^{2}+(x-1)}{x}, x+1$
A continuación demuestro que eso se cumplirá:
Tenemos la secuencia: $x\rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+1}{x}$
Es fácil ver que:
$x^{2}+1\equiv{1}\pmod{x}\Rightarrow \left\lfloor\frac{x^{2}+1}{x}\right\rfloor =\frac{x^{2}+1}{x}=x$ . Entonces la secuencia se sigue:
$x\rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}}{x}\rightarrow\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+2}{x},...$
Seguiremos sumando $\frac{1}{x}$ de aqui demostramos que el "comportamiento" será:
$x, \frac{x^{2}+1}{x}, \frac{x^{2}+2}{x}, .., \frac{x^{2}+(x-1)}{x}, x+1$ Q.E.D.
Una vez demostrado el comportamiento, vemos ahora que los enteros aparecerán en orden consecutivo: $1, 2, 3, ..., n$ donde $n, (n-1)$ están separados por $(n-2)$ números no enteros.
Ahora buscamos el entero que estará antes del número de la secuencia en la posición $2012$ .
Hasta el $1$ hay un número, hasta el $2$ hay $1+(0)+1$ números, Hasta el $3$ hay $1+(0)+1+(1)+1$ números,
...
Hasta $k$ esta la cantidad más cercana a 2012 de términos, con ello calculamos $k$ :
$1+(0)+1+(1)+1+(2)+...+1+(k-2)+1=k+\frac{(k-2)(k-1)}{2}+1\leq 2012\Rightarrow\frac{(k-1)(k-2)}{2}\leq 2011\Rightarrow k=64$
Este valor de $k$ se aproxima mucho a la posición $2012$ , sustituimos valores y tenemos que $64$ es el:
$64+\frac{(62)(63)}{2}=2017$ -ésimo término de la secuencia, así que solo nos vamos hacia atrás:
$2017$ -ésimo término: $\frac{4032}{63}=64$ , $2016$ -ésimo término: $\frac{4031}{63}$
...
$2012$ -ésimo término: $\boxed{\frac{4027}{63}}$
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Anónimo23 de septiembre de 2012, 6:45 p.m.
Correcto.
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Unknown23 de septiembre de 2012, 8:43 p.m.
Tenemos que la secuencia es la siguiente:
$1,1+\frac{1}{1},2+\frac{1}{2},2+\frac{2}{2},3+\frac{1}{3}...$ hasta el termino 2012.
Me di cuenta que por cada numero entero hay la misma cantidad de términos.
$\rigtharrow$ $2012=\frac{(n)(n+1)}{2}$ , $2012*2=\frac{(n)(n+1)}$
si sacamos la raíz aproximada de $4024$ vamos a encontrar el ultimo entero que escribimos en la secuencia.
$\sqrt{4024}$ es $60>70$ buscamos las multiplicaciones:
$61*61=3721$
$62*62=3844$
$63*63=3969$
$64*64=4096$
Los mas cercanos son $63$ y $64$ , entonces vemos cuantos términos tiene cada uno.
Términos con enteros hasta $63=63(32)=2016$
Términos con enteros hasta $64=(32)65=2080$
Tomamos el que mas se acerca que es $63$ , entonces el termino $2017=64$ , para llegar a $2012$ tenemos que restar $\frac{5}{63}$ a $64$ , entonces queda que el termino $2012$ = $64-\frac{5}{63} = 63+\frac{58}{63} =\frac{4027}{63}$
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Anónimo23 de septiembre de 2012, 9:51 p.m.
Correcto.
Aunque sería bueno tener una explicación más formal de por qué hay para cada número la misma cantidad de términos (está bien, sólo que no muy explícito)
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Unknown24 de septiembre de 2012, 12:44 a.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM000921_zps5a4d78a4.jpg
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Anónimo24 de septiembre de 2012, 2:52 p.m.
Correcto.
Aunque sería bueno tener una explicación más formal de por qué en la partecita $n$ hay $n$ números (está bien, sólo que no muy explícito)
Y no importa que no sea entero, es una secuencia de racionales.
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antonio lopez24 de septiembre de 2012, 6:17 p.m.
Veo que la secuencia tiene la siguiente forma:
$1,2,2+\frac{1}{2},3,3+\frac{1}{3},3+\frac{2}{3},4,...$
Entonces cada vez que aparecece un entero $n$ en la sucesion el siguiente termino entero de la sucesion sera el $2n$ ya que cuando aparece el entero $n$ cada termino no entero despues de n es $\frac{1}{n}$ y al hacer esto n veces quedara $n+1$ .Viendo esto si busco el entero mas cercano al termino $2012$ es $64$ , que es el termino $2017$ .
Entonces el termino $2012$ sera $64-\frac{5}{63}=\frac{4027}{63}$
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martin contreras carrera24 de septiembre de 2012, 6:38 p.m.
primero me fijo en los primeros numeros de la lista que seran:
$1,2,\frac{5}{2},3,\frac{10}{3},\frac{11}{3},4,\frac{17}{4},\frac{18}{4},\frac{19}{4}, 5 \cdots$
entonces nos podemos fijar que para un entero $X$ van a haber estos numeros $X,\frac{X^2+1}{X},frac\{X^2+2}{X}\cdots\frac{X^2+X}{X}=X+1\cdots$
entonces van a haber 1 numero que "se base en el 1" van a haber 2 numeros que "se basen en el dos " y asi entonces buscamos un numero $n$ tal que $\frac{n(n+1)}{2}$ se aseruq lo mas a 2012 y ese seria 63 entonces el termino numero 2017 de esa lista seria 64 entonces ya es facil ir retrosediendo para ver cual fue el termino numero 2012
termino 2016= $63+\frac{62}{63}$
termino 2015= $63+\frac{61}{63}$
$cdots$
termino 2013= $63+\frac{59}{63}$
termino 2012= $63+\frac{58}{63}$
entonces el ultimo termino de la lista es $63+\frac{58}{63}$
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Unknown24 de septiembre de 2012, 7:30 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=389255831146237&set=a.389248274480326.91304.100001854706497&type=3&theater
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Luis Carlos García24 de septiembre de 2012, 9:15 p.m.
Tenemos el entero $n$
El siguiente término será $n+\frac{1}{n}$ , luego le seguirá $n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=n+\frac{2}{n}$ y así sucesivamente hasta llegar a $n+\frac{n}{n}=n+1$ .
Luego, hay $n$ términos con parte entera $n$ . De esta forma, hay un término con parte entera $1$ , dos términos con parte entera $2$ , tres términos con parte entera $3$ , etc.
Tambien podemos ver que cada vez que llegamos al último término con parte entera $n$ , es en el término $\frac{n(n+1)}{2}$ .
Luego vemos que no podemos construir $2012$ de esta forma, por lo tanto buscaremos el menor número mayor a 2012 que cumpla.
Veámos dicho número como $2012+x$ :
$\frac{n(n+1)}{2}=2012+x$
$n(n+1)=4024+2x$
$n^2+n-4024-2x=0$
$n=\frac{-1+\sqrt{1+4(4024+2x)}}{2}=\frac{-1+\sqrt{1+16096+8x)}}{2}=\frac{-1+\sqrt{16097+8x}}{2}$
Luego vemos que la primera $y^2$ que satisface $16097+8x=y^2$ es $16129=127^2\Rightarrow x=\frac{16129-16097}{8}=4$ .
Por lo tanto el primer número que cumple es $2016=\frac{(63)(64)}{2}$ .
Luego, el término número $2016$ será $63+\frac{62}{63}$ , por lo cual el término $2012$ será $63+\frac{58}{63}$ .
$\therefore$ El último término de la serie será el $\boxed{\frac{4027}{63}}$ .
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Unknown24 de septiembre de 2012, 9:19 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=393209120749888&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
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Luis Chacón25 de septiembre de 2012, 8:28 p.m.
Hacemos $a_1,a_2,...a_{2012}$ la secuencia. Los primeros números de la secuencia son:
$a_1=1,$ $a_2=1+\frac{1}{1}=2,$ $a_3=2+\frac{1}{2},$ $a_4=(2+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=3,$ $a_5=3+\frac{1}{3},$ $a_6=(3+\frac{1}{3})+\frac{1}{3}=3+\frac{2}{3},$ $a_7=(3+\frac{2}{3})+\frac{1}{3}=4,$
Vemos que hay un patrón, que es que si el número $a_x=k$ con k entero, $a_{x+k}=k+1$ ( $a_{x+1}=k+\frac{1}{k},$ $a_{x+2}=(k+\frac{1}{k})+\frac{1}{k}=k+\frac{2}{k},$ $a_{x+3}=k+\frac{3}{k},$ $...,$ $a_{x+k}=k+\frac{k}{k}=k+1$ ).
Con éste patrón vemos que $n=a_{1+(1+2+...+(n-1))}$ para n entero. La $a_i$ entera más cercana a $a_{2012}$ es $a_{1+(1+2+...62)}=a_{1954}$ ( $n=63$ ) entonces $a_{1955}=63+\frac{1}{63},a_{1956}=63+\frac{2}{63},...,a_{2012}=63+\frac{58}{63}=\frac{4027}{63}$ .
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Unknown25 de septiembre de 2012, 8:37 p.m.
primero medi cuenta de un patron 1,2,2+1/2,3,3+1/3,.....asi hasa el infinito entonces se que cuando llegue a donde x=n entonces va a ser n+1/n y se le va a estar sumando cada paso 1/n, asi consecutivamente hasta cuando llegue a n+n/n y va a lleguar hasta el numero de la secuencia 2012
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Pepe Flores25 de septiembre de 2012, 8:59 p.m.
Primero nos fijamos en que el $1$ estara en la primera posicion. El $2$ estara en la 2da. El $3$ en la 4ta. El $4$ en la 7ma y asi sucesivamente. Para saber en que posicion estara $n$ usamos $1+1+2+3+4+...+n=posicion$

Luego busque al entero cuya posicion fuera mas cercana a la posicion 2012. Me salio que era $64$ y estaba en la posicion numero $2017$

Como habia estado aumentando de $\frac{1}{63}$ supe que el numero que estaba en la posicion $2016$ era $63+\frac{62}{63}$
$2015=63+\frac{61}{63}$
$2014=63+\frac{60}{63}$
$2013=63+\frac{59}{63}$
$2012=63+\frac{58}{63}$
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Unknown27 de septiembre de 2012, 11:07 a.m.
perdon por tardar :$, esta fue mi semana de examenes parciales :S
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4667998262182&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
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Ricardo G.27 de septiembre de 2012, 9:28 p.m.
Tenemos que empezamos con $1$ el siguiente termino de la función será: $1 + \frac{1}{1}\ = 2$
El tercero: $2 + \frac{1}{2}\$ De manera general, tenemos que hay 1 termino en la función que empieza con el uno, 2 con dos, 3 con tres....n números que empiezan con el número n. Vemos que una posición puede ser determinada por el cuadrado más cercano a esta, pues se define por la sumatoria de$ \frac{(n)(n+1)}{2}\ $Siendo$ 64 $el cuadrado más cercano con 64 como el término número$ 2017 $, entonces basta restar$ \frac{5}{63}\ $Pues asi quitamos los terminos anteriores, llegando al termino 2012, que es el que buscabamos, por lo cual el termino pedido es$ 63 + \frac{58}{63}\$
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Problema del día. Algebra (16 de septiembre)

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