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jueves, 27 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre) - 2
(Otro problema adicional para el dia de hoy)
Sea ABC un triangulo isosceles con AB=AC. Sea I el incentro. Se sabe que BC=AB+AI. Sea D un punto en el rayo BA tal que AD=AI (A, quedaria entre los puntos B y D).
Demostrar que DAIC es ciclico y encontrar el valor del angulo $\angle ABC$
Por definición AI,CI,BI son las bisectices de los ángulos en A,B,C respectivamente. Luego, como ABC es isósceles, ACB=ABC. Luego ACI=ICB=IBC=ABI=alfa y CAI=BAI=beta. Luego, 4(alfa)+2(beta)=180. Luego nos fijamos en que como AD=AI y AB+AI=BC, entonces BC=AB+AD=DB, por lo cual DBC es isósceles y BDC=BCD. Luego nos fijamos en que BI, al ser bisectriz de su ángulo desigual, es superlínea, por lo tanto es mediatriz. LuEGO, como I está en la mediatriz de DC, DI=CI, y DIC tambien es isósceles, por lo cual IDC=ICD. Ahora, vemos que IDA=BDC-IDC e ICB=BCD-ICD, luego IDA=ICB=alfa. Ahora, por suma de ángulos en el triángulo BDC, 4(alfa)+2(ICD)=180º. Entonces ICD=beta. Luego nos fijamos en que como BAI=beta entonces DAI=180º-beta. Luego DAI+DCI=(180-beta)+beta=180º, por lo tanto el DAIC es cíclico.
Tenemos que $I$ es incentro, por lo que $AI$, $BI$ y $CI$ aon bisectrices, y nombramos los ángulos: $\angle BAI = \angle CAI = 2\beta$ $\triangle ABC$ es isosceles, entonces $\angle ABC = \angle ACB$ : $\angle ABI = \angle CBI = \angle BCI = \angle ACI = \alpha$ $\Righrarrow 4\alpha + 4\beta = 180^o$ El angulo suplementario de $\angle BCA = 4\beta$ es $\angle CAD = 4\alpha$ $AD = AI$ entonces $\triangle ADI$ es isosceles: $\angle AID = \angle ADI = \beta$ Tenemos que $BC=AB+AI \Rightarrow BC=AD+AD=BD$ $\Rightarrow \triangle DBC$ es isosceles. Sabemos que en triangulo isosceles, el punto que tiene a los lados iguales adyacentes (en este caso $B$), es el origen de una superlinea. Tenemos que $BI$ es bisectriz, entonces $BI$ es superlinea. $\Rightarrow \angle BDC = \angle BCD = 2\beta + \alpha$ Y como tenemos que $\angle BCI = \alpha \Rightarrow \angle ICD = 2\beta$ Ahora nos fijamos en el cuadrilatero $DAIC$ , vemos los ángulos opuestos: $\angle DAI + \angle DCI = (2\beta + 4\alpha)+(2\beta) = 4\alpha + 4\beta = 180^o$ $\therefore$ El cuadrilatero $DAIC$ es cíclico.
Teniamos que $\angle BCD = 2\beta + \alpha$ y que $\angle ADI = \beta \Rightarrow \angle IDC = \beta + \alpha$ Tenemos $I$ en la superlinea, $\Rightarrow \triangle DIC$ es isosceles, $\Rightarrow \angle ICD = \angle IDC$ Remplazamos los valores: $2\beta = \beta + \alpha \Rightarrow \beta = \alpha$ Teniamos que $4\alpha + 4\beta = 180^o \Rightarrow \frac{180^o}{8} = 22.5^o = \alpha$ Sabemos que $\angle ABC = 2\alpha \Rightarrow \angle ABC = 2 \times 22.5^o = 45^o$
creo que esta un poco confuso por la parte de los angulos, me falta la 2da parte, pero igual, lo pasare en limpio ya con la otra parte agregada http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4679722275275&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
creo que si era mucho y no cabía bien en la hoja:$ jaja http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4680055483605&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
Desmostramos que $DAIC$ es ciclico Para eso trazamos los segmentos $AI$ $IB$ y $IC$, por bisectrices tenemos que: $\theta =\angle ABI =\angle IBC =\angle ACI =\angle ICB$ $\gamma =\angle BAI =\angle IAC$ $180 =4\theta +2\gamma$ $90 =2\theta +\gamma$ $\angle AIC =180 -\gamma -\theta =\gamma +3\theta$ $\triangle BCD$ es isosceles con $BD=BC$ entonces su superlinea corta a $CD$ en $K$, $90= \angle KBD +\angle BDK =\theta +\angle BDK \rightarrow \angle BDK =\theta +\gamma$ Sumamos los opuesto $\angle AIC$ $+\angle ADC$ $=3\theta +\gamma +\theta +\gamma = 180$ entonces $DAIC$ es cíclico $\triangle IAD$ es isosceles $AI=AD$, $\angle IAD$ es el suplemento de $\BAI \rightarrow$ $\angle IAD =\gamma +4\theta$, $\gamma =\angle AID +\angle ADI$ pero $\angle AID=\angle ADI$ $\therefore$ $\angle AID =\angle ADI =\frac{1}{2}\gamma$. Sabemos que $\angle ADI =\angle ACI$ por que abren el arco $AI$ entonces $\frac{1}{2}\gamma=\theta$ $\rightarrow $ $\gamma =2\theta$ $180 =4\theta +2\gamma \rightarrow $ $ 8\theta =180\rightarrow\theta =22.5^°$ Sabemos que $\angle ABC=2\theta=2(22.5)=45$
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466210524179&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466280524172&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
Como I es el incentro $AI,BI,CI$ son bisectrices, como $ABC$ es isósceles, $\angle ABC=\angle ACB=2\beta$. $BD=BA+AD=BA+AI=BC$, entonces $BDC$ es isósceles. Si $\angle BAC=2\alpha$, entonces $180=\angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=4\beta +2\alpha$. Como $\angle DBC=2\beta$, $DBC$ es isósceles y $180=\angle DBC+\angle BCD+\angle CDB$ entonces $\angle BDC=\frac{180-2\beta}{2}=\alpha +\beta$. $\angle IAC=\frac{\angle BAC}{2}=\alpha, \angle ICA=\frac{\angle BCA}{2}=\beta$, entonces $\angle AIC=180- \alpha -\beta$ $\angle ADC+\angle AIC=(180-\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )=180$, como los ángulos opuestos suman 180, $DAIC$ es cíclico.
sea <ABC=<ACB=2x y sea <BAC=2y. SE tiene que 4x+2y=180 entonces 2x+y=90. Luego extinedo AI hasta cortar a BC en H. Como el triangulo ABC es isoceles y AI es bisectriz del angulo BAC entonces AH es perpendicular a BC. Y como CI es bisectriz del angulo BCA <HCI=x y para completar los 180° del triangulo IHC el angulo HIC debe medir x+y. Luego BC=AB+Ai=AB+AD=BD entonces el triangulo BDC es isoceles. Como <DBC=2x para completar los 180° del triangulo DBC <BCD=<BDC=(180-2x)/2=(2x+2y)/2=x+y.Entonces como 180=<AIC+<HIC=AIC+(x+y)=<AIC+<ADC entonces DAIC es ciclico. LUego como DAIC es ciclico <ADI=x ya que abre el mismo arco que el angulo ACI. Y como AI=AD <ADI=<AID=x. Luego <BAI=180-<IAD=2x entonces y=2x. Luego estableciendo una ecuacion 8x=180. Entonces <ABC=2x=180/4=45°.
sea $\angle ACI=\angle ICK=\alpha$ si extendemos $AI$ hasta que corte a $BC$ en $K$ sabemos que $\angle CKA=90$ ya que el triangulo es isosceles entonces $\angle CAK=90-2\alpha=\angle CAB$ entonces $\angle CAD=4\alpha$ y sabemos que $CA+AI=BC$ pero como $CA=AB$ etnonces $AB+DA=BC$ etnonces truiangulo $DBC$ es isosceles pero sabemos que $\angle CBD=2\alpha$ entonces $angle DCB=90-\alpha$ entonces $\angle DCA=90-3\alpha$ entonces $\angle DCI+\angle DAI=(90-2\alpha)+(90+2\alpha)=180$ entonces $DAIC$ es ciclico
yo se que $AB=AC$ $AD=AI\rightarrow$ $AI+AB=BC=AD+AB$ por lo tanto el triangulo $BCD$ es isosceles por que $BD=BC$ bueno digamos que el angulo $DBC=2\alpha$ el $BCD=2\alpha+1\theta$ el angulo $CDB=2\alpha+1\theta$ el $CBA=2\alpha +2\theta$ bueno nos damos cuenta que $6\alpha +2\theta=180$ y la suma delos angulos del triangulo $AID$ es $5\alpha +1\theta+2\alpha +1\gamma=180$ y a suma de los del angulo $AIC$ y $ADC$ es $5\alpha +1\gamma +2\alpha +\theta=180$ por lo tanto es ciclico.
Primero le puse nombre a los angulos. Como $ABC$ es isosceles, $\angle ABC=\angle ACB$ Entonces $\angle ABI=\angle IBC=\angle ICB=\angle ACI=\alpha$ $\angle BAC=180-4\alpha$ Entonces $\angle AIC=90-2\alpha$ $BD=BC$ porque ambos son iguales a $AB+AI$ $\angle DAC=180-(180-4\alpha$ $\angle DAC=4\alpha$
Entonces $\angle BDC=\angle BCD$ porque es isosceles. $\angle DBC+2\angle BDC=180^0$ $2\alpha+2\angle BDC=180^o$ $\angle BDC=90^o-\alpha=\angle DCB$
una vez sabiendo que es ciclico, alomejor puedes encontrar angulos que sabes que deben ser iguales por el ciclico, y al igualarlos talvez podrias despejar alpha
Trazamos las bisectrices interiores de $\triangle{ABC}$, las cuales concurrirán en el incentro $(I)$ $AB=AC\Rightarrow\angle{ABC}=\angle{ACB}\Rightarrow\angle{ABI}=\angle{IBC}=\angle{ACI}=\angle{ICB}=\alpha , \angle{BAI}=\angle{CAI}=\beta\Rightarrow$ Por suma de ángulos interiores de $\triangle{ABC}:$ $4\alpha+2\beta=180^{o}$. $\angle{BAC}=2\beta , \angle{CAD}+\angle{BAC}=180^{o}\Rightarrow\angle{DAC=4\alpha$. $BA+AI=BC , AI=AD\Rightarrow BA+AD=BD=BC\Rightarrow\triangle{BDC}$ Es un triángulo isósceles $\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB} , \angle{DBC}=2\alpha\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB}=\frac{2\alpha+2\beta}{2}=\alpha+\beta\Rightarrow$ si $\angle{ACB}+\angle{DCA}=2\alpha+\angle{DCA}=\alpha+\beta\Rightarrow\angle{DCA=\beta-\alpha$. $\angle{DAI}+\angle{DCI}=4\alpha+\beta+\beta-\alpha+\alpha=4\alpha+2\beta=180^{o}\Rightarrow DAIC$ es cíclico Q.E.D. $AD=AI\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI} , \angle{DAI}=4\alpha+\beta\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI}=\frac{\beta}{2}$. Por ser DAIC cíclico, se cumple que: $\angle{ADI}=\widehat{AI}=\angle{ACI}\Rightarrow\alpha=\frac{\beta}{2}\Rightarrow\beta=2\alpha$. Teníamos que: $4\alpha+2\beta=8\alpha=180^{o}\Rightarrow 2\alpha=\angle{ABC}=45^{o}$.
Por definición AI,CI,BI son las bisectices de los ángulos en A,B,C respectivamente. Luego, como ABC es isósceles, ACB=ABC. Luego ACI=ICB=IBC=ABI=alfa y CAI=BAI=beta. Luego, 4(alfa)+2(beta)=180.
ResponderBorrarLuego nos fijamos en que como AD=AI y AB+AI=BC, entonces BC=AB+AD=DB, por lo cual DBC es isósceles y BDC=BCD. Luego nos fijamos en que BI, al ser bisectriz de su ángulo desigual, es superlínea, por lo tanto es mediatriz. LuEGO, como I está en la mediatriz de DC, DI=CI, y DIC tambien es isósceles, por lo cual IDC=ICD. Ahora, vemos que IDA=BDC-IDC e ICB=BCD-ICD, luego IDA=ICB=alfa. Ahora, por suma de ángulos en el triángulo BDC, 4(alfa)+2(ICD)=180º. Entonces ICD=beta.
Luego nos fijamos en que como BAI=beta entonces DAI=180º-beta. Luego DAI+DCI=(180-beta)+beta=180º, por lo tanto el DAIC es cíclico.
Vas bien.
BorrarAhora nomas faltaria encontrar angulo ABC
Tenemos que $I$ es incentro, por lo que $AI$, $BI$ y $CI$ aon bisectrices, y nombramos los ángulos:
ResponderBorrar$\angle BAI = \angle CAI = 2\beta$
$\triangle ABC$ es isosceles, entonces $\angle ABC = \angle ACB$ :
$\angle ABI = \angle CBI = \angle BCI = \angle ACI = \alpha$
$\Righrarrow 4\alpha + 4\beta = 180^o$
El angulo suplementario de $\angle BCA = 4\beta$ es $\angle CAD = 4\alpha$
$AD = AI$ entonces $\triangle ADI$ es isosceles:
$\angle AID = \angle ADI = \beta$
Tenemos que $BC=AB+AI \Rightarrow BC=AD+AD=BD$
$\Rightarrow \triangle DBC$ es isosceles. Sabemos que en triangulo isosceles, el punto que tiene a los lados iguales adyacentes (en este caso $B$), es el origen de una superlinea.
Tenemos que $BI$ es bisectriz, entonces $BI$ es superlinea.
$\Rightarrow \angle BDC = \angle BCD = 2\beta + \alpha$
Y como tenemos que $\angle BCI = \alpha \Rightarrow \angle ICD = 2\beta$
Ahora nos fijamos en el cuadrilatero $DAIC$ , vemos los ángulos opuestos:
$\angle DAI + \angle DCI = (2\beta + 4\alpha)+(2\beta) = 4\alpha + 4\beta = 180^o$
$\therefore$ El cuadrilatero $DAIC$ es cíclico.
Teniamos que $\angle BCD = 2\beta + \alpha$ y que $\angle ADI = \beta \Rightarrow \angle IDC = \beta + \alpha$
Tenemos $I$ en la superlinea, $\Rightarrow \triangle DIC$ es isosceles, $\Rightarrow \angle ICD = \angle IDC$
Remplazamos los valores:
$2\beta = \beta + \alpha \Rightarrow \beta = \alpha$
Teniamos que $4\alpha + 4\beta = 180^o \Rightarrow \frac{180^o}{8} = 22.5^o = \alpha$
Sabemos que $\angle ABC = 2\alpha \Rightarrow \angle ABC = 2 \times 22.5^o = 45^o$
creo que esta un poco confuso por la parte de los angulos, me falta la 2da parte, pero igual, lo pasare en limpio ya con la otra parte agregada
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4679722275275&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
creo que si era mucho y no cabía bien en la hoja:$ jaja
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4680055483605&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
Bien
BorrarDesmostramos que $DAIC$ es ciclico
ResponderBorrarPara eso trazamos los segmentos $AI$ $IB$ y $IC$, por bisectrices tenemos que:
$\theta =\angle ABI =\angle IBC =\angle ACI =\angle ICB$
$\gamma =\angle BAI =\angle IAC$
$180 =4\theta +2\gamma$
$90 =2\theta +\gamma$
$\angle AIC =180 -\gamma -\theta =\gamma +3\theta$
$\triangle BCD$ es isosceles con $BD=BC$ entonces su superlinea corta a $CD$ en $K$, $90= \angle KBD +\angle BDK =\theta +\angle BDK \rightarrow \angle BDK =\theta +\gamma$
Sumamos los opuesto $\angle AIC$ $+\angle ADC$ $=3\theta +\gamma +\theta +\gamma = 180$ entonces $DAIC$ es cíclico
$\triangle IAD$ es isosceles $AI=AD$, $\angle IAD$ es el suplemento de $\BAI \rightarrow$ $\angle IAD =\gamma +4\theta$, $\gamma =\angle AID +\angle ADI$ pero $\angle AID=\angle ADI$ $\therefore$ $\angle AID =\angle ADI =\frac{1}{2}\gamma$. Sabemos que $\angle ADI =\angle ACI$ por que abren el arco $AI$ entonces $\frac{1}{2}\gamma=\theta$ $\rightarrow $ $\gamma =2\theta$
$180 =4\theta +2\gamma \rightarrow $ $ 8\theta =180\rightarrow\theta =22.5^°$
Sabemos que $\angle ABC=2\theta=2(22.5)=45$
La parte que falta es $8\theta=180\rightarrow\theta =22.5$
BorrarBien
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001191.jpg
ResponderBorrarBien
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466210524179&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466280524172&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrarBien
BorrarComo I es el incentro $AI,BI,CI$ son bisectrices, como $ABC$ es isósceles, $\angle ABC=\angle ACB=2\beta$. $BD=BA+AD=BA+AI=BC$, entonces $BDC$ es isósceles. Si $\angle BAC=2\alpha$, entonces $180=\angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=4\beta +2\alpha$. Como $\angle DBC=2\beta$, $DBC$ es isósceles y $180=\angle DBC+\angle BCD+\angle CDB$ entonces $\angle BDC=\frac{180-2\beta}{2}=\alpha +\beta$.
ResponderBorrar$\angle IAC=\frac{\angle BAC}{2}=\alpha, \angle ICA=\frac{\angle BCA}{2}=\beta$, entonces $\angle AIC=180- \alpha -\beta$
$\angle ADC+\angle AIC=(180-\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )=180$, como los ángulos opuestos suman 180, $DAIC$ es cíclico.
Vas bien. Ahora nomas te falta encontrar el angulo ABC
Borrarsea <ABC=<ACB=2x y sea <BAC=2y. SE tiene que 4x+2y=180 entonces 2x+y=90. Luego extinedo AI hasta cortar a BC en H. Como el triangulo ABC es isoceles y AI es bisectriz del angulo BAC entonces AH es perpendicular a BC. Y como CI es bisectriz del angulo BCA <HCI=x y para completar los 180° del triangulo IHC el angulo HIC debe medir x+y. Luego BC=AB+Ai=AB+AD=BD entonces el triangulo BDC es isoceles. Como <DBC=2x para completar los 180° del triangulo DBC
ResponderBorrar<BCD=<BDC=(180-2x)/2=(2x+2y)/2=x+y.Entonces como 180=<AIC+<HIC=AIC+(x+y)=<AIC+<ADC entonces DAIC es ciclico.
LUego como DAIC es ciclico <ADI=x ya que abre el mismo arco que el angulo ACI. Y como AI=AD <ADI=<AID=x. Luego <BAI=180-<IAD=2x entonces y=2x. Luego estableciendo una ecuacion 8x=180. Entonces <ABC=2x=180/4=45°.
sea $\angle ACI=\angle ICK=\alpha$ si extendemos $AI$ hasta que corte a $BC$ en $K$ sabemos que $\angle CKA=90$ ya que el triangulo es isosceles entonces $\angle CAK=90-2\alpha=\angle CAB$ entonces $\angle CAD=4\alpha$ y sabemos que $CA+AI=BC$ pero como $CA=AB$ etnonces $AB+DA=BC$ etnonces truiangulo $DBC$ es isosceles pero sabemos que $\angle CBD=2\alpha$ entonces $angle DCB=90-\alpha$ entonces $\angle DCA=90-3\alpha$ entonces $\angle DCI+\angle DAI=(90-2\alpha)+(90+2\alpha)=180$ entonces $DAIC$ es ciclico
ResponderBorrarVas bien.
BorrarTienes varios errores de dedo al llamar los angulos; y ahora falt aencontrar el angulo ABC
yo se que $AB=AC$ $AD=AI\rightarrow$ $AI+AB=BC=AD+AB$ por lo tanto el triangulo $BCD$ es isosceles por que $BD=BC$ bueno digamos que el angulo $DBC=2\alpha$ el $BCD=2\alpha+1\theta$ el angulo $CDB=2\alpha+1\theta$ el $CBA=2\alpha +2\theta$ bueno nos damos cuenta que $6\alpha +2\theta=180$ y la suma delos angulos del triangulo $AID$ es $5\alpha +1\theta+2\alpha +1\gamma=180$ y a suma de los del angulo $AIC$ y $ADC$ es $5\alpha +1\gamma +2\alpha +\theta=180$ por lo tanto es ciclico.
ResponderBorrarTienes DBC=2 alpha
Borrary despues dices
CBA = 2 alpha + 2 tetha
(pero CBA es el mismo angulo que DBC)
No estaria mal que subieras un dibujo...
en la suma de AID, metes letras que ni habias mencionado antes.
Primero le puse nombre a los angulos. Como $ABC$ es isosceles, $\angle ABC=\angle ACB$
ResponderBorrarEntonces $\angle ABI=\angle IBC=\angle ICB=\angle ACI=\alpha$
$\angle BAC=180-4\alpha$
Entonces $\angle AIC=90-2\alpha$
$BD=BC$ porque ambos son iguales a $AB+AI$
$\angle DAC=180-(180-4\alpha$
$\angle DAC=4\alpha$
Entonces $\angle BDC=\angle BCD$ porque es isosceles.
$\angle DBC+2\angle BDC=180^0$
$2\alpha+2\angle BDC=180^o$
$\angle BDC=90^o-\alpha=\angle DCB$
$\angle DBC+\angle BCD+\angle CDB=180^o$
$2\alpha+\angle BCD+90^o-\alpha=180^o$
$\angle BCD+90^o+\alpha=180^o$
$\angle BCD=90^o-\alpha$
$\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA$ y
$\angle ACD=90^o-\alpha-2\alpha$
$\angle ACD=90^o-3\alpha$
$\angle ICA+\angle ACD=\angle ICD$
$\alpha+90^o-3\alpha=\angle ICD$
$90^o-2\alpha=\angle ICD$
Para comprobar que $AICD$ es un cuadrilatero ciclico me fijjo en que la suma de sus angulos opuestos sea 180 grados.
$\angle ICD=90^o-2\alpha$
$\angle ADC=90^o-\alpha$
$\angle IAD=90^o+2\alpha$
$\angle AIC=90^o+\alpha$
Sumamos los angulos opuestos y nos damos cuenta de que la suma es 180 grados. Por lo tanto es ciclico.
Aun me falta encontrar el valor del angulo $ABC$
Vas bien.
Borraruna vez sabiendo que es ciclico, alomejor puedes encontrar angulos que sabes que deben ser iguales por el ciclico, y al igualarlos talvez podrias despejar alpha
Trazamos las bisectrices interiores de $\triangle{ABC}$, las cuales concurrirán en el incentro $(I)$
ResponderBorrar$AB=AC\Rightarrow\angle{ABC}=\angle{ACB}\Rightarrow\angle{ABI}=\angle{IBC}=\angle{ACI}=\angle{ICB}=\alpha , \angle{BAI}=\angle{CAI}=\beta\Rightarrow$
Por suma de ángulos interiores de $\triangle{ABC}:$
$4\alpha+2\beta=180^{o}$.
$\angle{BAC}=2\beta , \angle{CAD}+\angle{BAC}=180^{o}\Rightarrow\angle{DAC=4\alpha$.
$BA+AI=BC , AI=AD\Rightarrow BA+AD=BD=BC\Rightarrow\triangle{BDC}$
Es un triángulo isósceles
$\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB} , \angle{DBC}=2\alpha\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB}=\frac{2\alpha+2\beta}{2}=\alpha+\beta\Rightarrow$ si $\angle{ACB}+\angle{DCA}=2\alpha+\angle{DCA}=\alpha+\beta\Rightarrow\angle{DCA=\beta-\alpha$.
$\angle{DAI}+\angle{DCI}=4\alpha+\beta+\beta-\alpha+\alpha=4\alpha+2\beta=180^{o}\Rightarrow DAIC$ es cíclico Q.E.D.
$AD=AI\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI} , \angle{DAI}=4\alpha+\beta\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI}=\frac{\beta}{2}$.
Por ser DAIC cíclico, se cumple que:
$\angle{ADI}=\widehat{AI}=\angle{ACI}\Rightarrow\alpha=\frac{\beta}{2}\Rightarrow\beta=2\alpha$.
Teníamos que: $4\alpha+2\beta=8\alpha=180^{o}\Rightarrow 2\alpha=\angle{ABC}=45^{o}$.
Bien
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