Sea n un entero positivo tal que 2n+2 es múltiplo de n y 2n+1 es múltiplo de n−1. Pruebe que 22n+2+2 es múltiplo de 2n+2 y que 22n+2+1 es múltiplo de 2n+1.
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ResponderBorrarvoy a demostrar la primera parte.
ResponderBorrarVeo que P.D 2n+2|22n+2+2. entonces expandi los dos terminos y me quedo:
1+2+22+...+2n−1+3|1+2+22+...+22n+1+3. Y luego el segundo termino lo dividi en muchos pedazos iguales a ((1+2+...+2n−1)+1)=2n entonces lo segundo me queda asi.
P.D. 1+2+22+...+2n−1+3|1+2+22+...+2n−1+((1+2+22+...+2n−1)+1)+2((1+2++22+...+2n−1)+1)+22((1+2++22+...+2n−1)+1)+...+22n+1−n((1+2++22+...+2n−1)+1)+3 luego a el segundo termino de la division le sume 22n+2−n−2, pero dividido en muchos 2´s de manera que me quede:
1+2+22+...+2n−1+((1+2++22+...+2n−1)+3)+2((1+2++22+...+2n−1)+3)+22((1+2++22+...+2n−1)+3)+...+22n+1−n((1+2++22+...+2n−1)+3)+3 entonces veo que para demostrar la divisibilidad al sumar lo de 22n+2−n−2 es obvio que si es divisible ya que todos los terminos que aparecen en la expansion son multiplos de 1+2+22+...+2n−1+3
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ResponderBorrarIntento.-
ResponderBorrarSi n|2n+2⇒2n|22n+2
Si n−1|2n+1⇒2n−1|22n+1
Para la primer demostración.-
P.D. 2n+2|22n+2 es lo mismo que:
P.D. 2(2n−1+1)|2(22n+1+1)
¿Sí se puede que 22n+1 sea múltiplo de 2n+1? 22n+1 es una potencia de dos, entonces el único impar que lo divide es 1, y 2n+1 es un impar mayor a 1 porque n es positiva...
ResponderBorrarGracias, ya corregi el error
BorrarSe que n/2n+2
ResponderBorrarn−1/2n+1
entonces puedo saber que 2n+2≡0modN y
2n+1≡0mod(n−1)
therefore
2n+1≡n−1mod(n−1)
y si restamos 1 a 2n+2 me doy cuenta que
2n+1≡n−1modN
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ResponderBorrarP.D. 2n+2|22n+2+2
ResponderBorrar⇔k(2n+2)=22n+2+2
⇔k(2)(2n−1+1)=2(22n+1+1), Como n−1|2n+1, 22n+1=(2n−1)q donde q=2n+1n−1 y sabemos que q es impar (porque si no lo fuera 2n+1 sería par); factorizamos (22n+1+1):
⇔k(2)(2n−1+1)=2(2n−1+1)(22n−n−22n−2n−1+22n−3n−2−...−2n−1+1)
⇔k(2n−1+1)=(2n−1+1)(22n−n−22n−2n−1+22n−3n−2−...−2n−1+1)
⇔(2n−1+1)|(2n−1+1)(22n−n−22n−2n−1+22n−3n−2−...−2n−1+1) que es cierto.
Por lo tanto 2n+2|22n+2+2
P.D. 2n+1|22n+2+1
ResponderBorrarVemos que n≥2 porque si n=1, n−1=0 y 0 no divide a 21+1.
Sabemos que n−1|2n+1, como n es un entero positivo 2n+1 es impar y por lo tanto n−1 también, entonces n es par. Como n≥2, 2n es múltiplo de 4, entonces 2n+2 no es múltiplo de 4 y sólo tiene un factor 2. Hacemos 2n+2n=k como n|2n+2 entonces k es entero, y como ambos tienen un sólo factor 2 k es impar.
22n+2+1=(2n)k+1k=(2n+1)(22n−n+2−22n−2n+2+22n−3n+2−...−2n+1
Por lo tanto 2n+1|22n+2+1