Sea $n$ un entero positivo tal que $2^n+2$ es múltiplo de $n$ y $2^n+1$ es múltiplo de $n-1$. Pruebe que $2^{2^n+2}+2$ es múltiplo de $2^n+2$ y que $2^{2^n+2}+1$ es múltiplo de $2^n+1$.
Aviso, hubo un error en la redaccion original, apenas me di cuenta hoy (27 de septiembre), se reinicia el conteo de los tres dias.
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ResponderBorrarvoy a demostrar la primera parte.
ResponderBorrarVeo que P.D $2^n+2|2^{2^n+2}+2$. entonces expandi los dos terminos y me quedo:
$1+2+2^2+...+2^{n-1}+3 | 1+2+2^2+...+2^{2^n+1}+3$. Y luego el segundo termino lo dividi en muchos pedazos iguales a $((1+2+...+2^{n-1})+1)=2^n$ entonces lo segundo me queda asi.
P.D. $1+2+2^2+...+2^{n-1}+3 | 1+2+2^2+...+2^{n-1}+((1+2+2^2+...+2^{n-1})+1)+2((1+2++2^2+...+2^{n-1})+1)+2^2((1+2++2^2+...+2^{n-1})+1)+...+2^{2^n+1-n}((1+2++2^2+...+2^{n-1})+1)+3$ luego a el segundo termino de la division le sume $2^{2^n+2-n}-2$, pero dividido en muchos 2´s de manera que me quede:
$1+2+2^2+...+2^{n-1}+((1+2++2^2+...+2^{n-1})+3)+2((1+2++2^2+...+2^{n-1})+3)+2^2((1+2++2^2+...+2^{n-1})+3)+...+2^{2^n+1-n}((1+2++2^2+...+2^{n-1})+3)+3$ entonces veo que para demostrar la divisibilidad al sumar lo de $2^{2^n+2-n}-2$ es obvio que si es divisible ya que todos los terminos que aparecen en la expansion son multiplos de $1+2+2^2+...+2^{n-1}+3$
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ResponderBorrarIntento.-
ResponderBorrarSi $n|2^{n}+2\Rightarrow2^{n}|2^{2^{n}+2}$
Si $n-1|2^{n}+1\Rightarrow2^{n-1}|2^{2^{n}+1}$
Para la primer demostración.-
P.D. $2^{n}+2|2^{2^{n}+2}$ es lo mismo que:
P.D. $2(2^{n-1}+1)|2(2^{2^{n}+1}+1)$
¿Sí se puede que $2^{2^n+1}$ sea múltiplo de $2^n+1$? $2^{2^n+1}$ es una potencia de dos, entonces el único impar que lo divide es 1, y $2^n+1$ es un impar mayor a 1 porque n es positiva...
ResponderBorrarGracias, ya corregi el error
BorrarSe que $n/2^n+2$
ResponderBorrar$n-1/2^n+1$
entonces puedo saber que $2^n+2\equiv0modN$ y
$2^n+1\equiv0mod\left (n-1\right )$
$therefore$
$2^n+1\equiv n-1 mod\left (n-1\right )$
y si restamos 1 a 2n+2 me doy cuenta que
$2^n+1\equiv n-1 modN$
Aviso, hubo un error en la redaccion original, apenas me di cuenta hoy (27 de septiembre), se reinicia el conteo de los tres dias.
ResponderBorrarP.D. $2^n+2|2^{2^n+2}+2$
ResponderBorrar$\Leftrightarrow k(2^n+2)=2^{2^n+2}+2$
$\Leftrightarrow k(2)(2^{n-1}+1)=2(2^{2^n+1}+1)$, Como $n-1|2^n+1$, $2^{2^n+1}=(2^{n-1})^q$ donde $q=\frac{2^n+1}{n-1}$ y sabemos que $q$ es impar (porque si no lo fuera $2^n+1$ sería par); factorizamos $(2^{2^n+1}+1)$:
$\Leftrightarrow k(2)(2^{n-1}+1)=2(2^{n-1}+1)(2^{2^n-n}-2^{2^n-2n-1}+2^{2^n-3n-2}-...-2^{n-1}+1)$
$\Leftrightarrow k(2^{n-1}+1)=(2^{n-1}+1)(2^{2^n-n}-2^{2^n-2n-1}+2^{2^n-3n-2}-...-2^{n-1}+1)$
$\Leftrightarrow (2^{n-1}+1)|(2^{n-1}+1)(2^{2^n-n}-2^{2^n-2n-1}+2^{2^n-3n-2}-...-2^{n-1}+1)$ que es cierto.
Por lo tanto $2^n+2|2^{2^n+2}+2$
P.D. $2^n+1|2^{2^n+2}+1$
ResponderBorrarVemos que $n\ge 2$ porque si $n=1$, $n-1=0$ y 0 no divide a $2^1+1$.
Sabemos que $n-1|2^n+1$, como $n$ es un entero positivo $2^n+1$ es impar y por lo tanto $n-1$ también, entonces $n$ es par. Como $n\ge 2$, $2^n$ es múltiplo de 4, entonces $2^n+2$ no es múltiplo de 4 y sólo tiene un factor 2. Hacemos $\frac{2^n+2}{n}=k$ como $n|2^n+2$ entonces k es entero, y como ambos tienen un sólo factor 2 k es impar.
$2^{2^n+2}+1=(2^n)^k+1^k=(2^n+1)(2^{2^n-n+2}-2^{2^n-2n+2}+2^{2^n-3n+2}-...-2^n+1$
Por lo tanto $2^n+1|2^{2^n+2}+1$