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miércoles, 5 de septiembre de 2012
Problema del día, álgebra (05 de Septiembre).
Demostrar que para cualquier real $a$ se satisface la siguiente desigualdad
\[a^4+1\geq a^3+a\].
si fuera cierto que $a^4+1\geq a^3+a$ entonces tambien lo seria que $|a^4+1|\geq |a^3+a|$ entonces nos queda que P.D. $|a^4+1|\geq |a^3+a|$ P.D. $|a^4|\geq |a^3+a-1|$ P.D. $|a^4-a^3|\geq |a-1|$ P.D. $|a^3(a-1)|\geq |a-1|$ P.D. $|a^3|\geq |1|$ lo cual es obvio que es cierto entnces queda demostrado
no estoy muy seguro de mi solucion al usar el valor absoluto, pero me fijo que eso si cumple cuando a es positivo, entonces vo el caso de cuando a es negativo, pero si a es negativo el termino $a^3+a$ tambien va a ser negativo entonces sera menor que $a^4+1$ que si sera positivo, entonces queda dempstrado cuando a es negativo, y en mi otro comentario se demuestra solo para cuando a es positivo.Q.E.D
La prueba del primer comentario es cierta cuando a>1, porque divides entre (a-1) lo cual no se puede si a-1 es negativo o cero. En tu segundo comentario esta bien el caso de cuando a es negativo. Entonces has demostrado para a>1 y a negativo.
Vemos por casos: - Si a es negativa, $a^4$ es positiva y $a^3$, negativa. Entonces $a^4+1 \ge 0 \ge a^3-a$ (porque de un lado se suman dos positivos y del otro dos negativos) y $a^4+1 \ge a^3-a$. - Si a=0, $(0)^4+1=1 \ge 0=(0)^3+0$. - Si a=1, $(1)^4+1=2 \ge 2=(1)^3+1$. $a^4+1 \ge a^3-a \Leftrightarrow a^4+1-a^3-a=(a-1)(a^3-1) \ge 0$. - Si $0 < a < 1$, $a,a^3$ son menores a 1, entonces $(a-1),(a^3-1)$ son negativos y su producto positivo, por lo tanto $(a-1)(a^3-1) \ge 0$ - Si $1 < a$, $a,a^3$ son mayores a 1, entonces $(a-1),(a^3-1)$ son positivos y su producto también, por lo tanto $(a-1)(a^3-1) \ge 0$ Esos son todos los casos y en todos cumple, entonces se satisface para cualquier a.
primero sume $-1$ a ambos lados y me quedo $a^4>=a^3+a-1$ luego sume $-a^3-a+1$ de ambos lados y me qedo $a^4-a^3-a+1>=0$ y me fijo que $a^4-a^3-a+1=(a^3-1)(a-1)$ entonces $(a^3-1)(a-1)>=0$ y la unica forma en que esto no ocurra es que un termino sea negativo y otro positivo entonces lo hago en caso $a-1<0$ entonces $a<0$ pero eso nos daria que los dos terminos fueran negativos y entonces su multiplicacion seria positiva ahora veamos que pasa con $a^3-1<0$ entonces $a<0$ y eso nos daria que los dos terminos fueran negativos y entonces su producto seria positivo y como esas eran las unicas posibilidades de que no se cumpliera entonses acavamos
que $a-1<0$ no implica que $a<0$, sino que $a<1$, igual con la condición $a^3-1<0$ te quedaría que $a^3<1$. Aunque ya casi esta terminado el problema, porque solo es hacer esos casos bien.
bueno entocnes lo divido en varios casos cuando es negativo a y cuando es positivo, sabemos que $a^4$ es positivo ya que impar por impar por impar por impar es postivo y $a^3$ no lo es. entonces es mayor cuando a es negativo.
2. Para cuando trabajas con numeros reales, no se puede utilizar el proceso de induccion. Pues al hacer el brinco a=n+1 tienes una infinidad de casos que no estas considerando, en otras palabras, tu prueba nomas contempla los naturales. a=1,2,3...
En el caso a = 0 supongo que te quedaría $0^4+1\ge0^3+0$ entonces $1\ge0$ Ahora para $a>0$ tendrías que ver por casos ya que no para todos los números positivos pasa lo mismo, porque es diferente si a es menor a 1 a si es mayor a 1
Tenemos la siguiente desigualdad: $a^4+1 \geq a^3+a$ Restamos $a^3$ a cada lado: $a^4 - a^3 + 1 \geq a$ Factorizamos el $a^3$ : $a^3 (a - 1) + 1 \geq a$ Restamos $1$ de cada lado: $a^3 (a - 1) \geq (a - 1)$ Sabemos que en una desigualdad, al dividir entre un negativo, el signo se va a voltear. Entonces veo en casos cuando $(a - 1)$ es positivo y cuando es negativo... $*$ El caso en que $a = 1$ no se toma en cuenta aqui porque es $(a - 1) = 0$ , el cual no es positivo ni negativo (veré este caso después). $\bullet (a - 1) \rightarrow$ positivo: Al dividir entre $(a - 1)$ queda: $a^3 \geq 1$ El valor de $a$ es $> 1$ . Si para $a = 1$ tenemos $a^3 = 1$ , entonces con $a > 1$ el valor de $a^3$ será $>1$. $\Rightarrow$ Cuando $a > 1$ la desigualdad cumple. $\bullet (a - 1) \rightarrow$ negativo: Al dividir entre $(a - 1)$ queda: $a^3 \leq 1$ El valor de $a$ es $< 1$ . Si para $a = 1$ tenemos $a^3 = 1$ , entonces con $a < 1$ el valor de $a^3$ será $<1$. $\Rightarrow$ Cuando $a < 1$ la desigualdad cumple.
Ahora veremos el caso en que $a = 1$ . Teníamos: $a^3 (a - 1) \geq (a - 1)$ Remplazamos: $1^3 (1 - 1) \geq (1 - 1) = 1 (0) \geq (0) = 0 \geq 0$ Sabemos que es cierto. $\Rightarrow$ Cuando $a = 1$ la desigualdad cumple.
$\therefore$ Cualquier real $a$ satisface la desigualdad: $a^4 + 1 \geq a^3 + a$
En caso cuando $(a-1)$ es negativo te queda como dato $a<1$, pero si eso cumple tienes que fijarte en el caso si a es negativo, 0 o positivo, para después decir que $a^3<1$. Aunque eso es muy poco que decir y quedaría la solución completa.
En el segundo caso: $\bullet (a - 1) \rightarrow$ negativo: Aunque con cualquier $a < 1$ cumple, me paso decir que eso cumple en casos: $* a < 0$ ; $a$ es negativo y por lo tanto $a^3$ también, entonces cumple. $* a = 0$ ; su cubo también es $0$ , asi que cumple. $* 0 < a < 1$ ; $a$ esta entre $0$ y $1$ y su cubo también, y cumple. $\Rightarrow$ Cuando $a < 1$ la desigualdad cumple.
Aquí lo que hiciste fue dividir ambos lados por $a^3$, pero también tienes que dividir a $1$ y a $a$. También recuerda que cuando divides entre un numero negativo la desigualdad se voltea, así que tienes que hacer casos cuando $a^3$ es negativa, positiva, o cero.
Para el caso en que $a$ es negativa, $a^{4}$ será positivo porque el exponente es par y tenemos que $1$ es positivo $\rightarrow$ $a^{4}+1$ es positivo, en cambio, $a^{3}$ por tener exponente impar, será negativo, si $a$ también es negativo $\rightarrow$ $a^{3}+a$ es negativo $\Rightarrow$ para el caso en que $a$ es negativa: $a^{4}+1 > a^{3}+a$. Si $a=0$ $\rightarrow$ $a^{4}+1=1$, $a^{3}+a=0$ $\Rightarrow$ $a^{4}+1 > a^{3}+a$. Para $a\geq 1$, $a^{3}\geq 1$ $\rightarrow$ $a^{3}(a-1)\geq (a-1)$ $\rightarrow$ $a^{4}-a^{3}\geq (a-1)$ $\Rightarrow$ $a^{4}+1\geq a^{3}+a$ Para el caso en que $0\geq a\geq 1$ aun no me sale.
Para el caso $0< a< 1$, sabemos que $(a-1)$ será negativo, por lo que al multiplicarlo por $a^{3}$ tomando en cuenta que: $0< a< 1\Rightarrow 0< a^{3}< 1$, en valores absolutos tendremos que: $|a-1|> |a^{3}(a-1)|$, pero por ser ambos valores negativos, al quitar valores absolutos la desigualdad se invierte a: $a^{3}(a-1)> (a-1)\Rightarrow a^{4}+1> a^{3}+a$ Q.E.D.
$a^4+1\geq a^3+a$ Vamos a tener 3 casos cuando $a<0$ $a=0$ y $a>0$ 1)$a<0$,vamos a tener que cualquier numero negativo elevado a una potencia par es positivo,$a^4$ sera positivo,positivo mas positivo da positivo, entonces $a^4+1$ es positivo. Nos pasamos al otro lado de la desigualdad , tenemos que cualquier numero negativo elevado a un exponente impar da negativo por la ley de signos, $a^3$ y $+a$ es negativo y negativo mas negativo es negativo. Vamos a tener que $a^3+a=negativo$ y un numero negativo siempre es menor que un numero positivo. 2)Si $a=0$ elevado a cualquier exponente da $0$ entonces la desigualdad queda $0+1\geq0+01>0$, cumple. 3)Si $a>0$ , entonces podemos factorizar de la siguiente forma: $ (a^2)(a^2)+1\geq (a)(a^2)+a$, $a^2$ se va con $a^2$ y nos queda $(a^2)+1\geq (a)+a$ esto es igual a $ (a^2)+1\geq 2a$ como estamos trabajando con reales positivos no es no se alteran signos y podemos hacer esto $a^2+1-2a\geq 0$ y sabemos que todo binomio al cuadrado siempre es positivo y un numero positico es mayor que $0$ , también cumple.
$a^4+1\geq a^3+a$ Vamos a tener 3 casos cuando $a<0$ $a=0$ y $a>0$ 1)$a<0$,vamos a tener que cualquier numero negativo elevado a una potencia par es positivo,$a^4$ sera positivo,positivo mas positivo da positivo, entonces $a^4+1$ es positivo. Nos pasamos al otro lado de la desigualdad , tenemos que cualquier numero negativo elevado a un exponente impar da negativo por la ley de signos, $a^3$ y $+a$ es negativo y negativo mas negativo es negativo. Vamos a tener que $a^3+a=negativo$ $a^4+1 = positivo$y un numero negativo siempre es menor que un numero positivo. 2)Si $a=0$ elevado a cualquier exponente da $0$ entonces la desigualdad queda $0+1\geq0+0$, cumple. 3)Si $a>0$ , entonces podemos factorizar de la siguiente forma: $ (a^2)(a^2)+1\geq (a)(a^2)+a$, $a^2$ se va con $a^2$ y nos queda $(a^2)+1\geq (a)+a$ esto es igual a $ (a^2)+1\geq 2a$ como estamos trabajando con reales positivos no es no se alteran signos y podemos hacer esto $a^2+1-2a\geq 0$ y sabemos que todo binomio al cuadrado siempre es positivo y un numero positivo es mayor que $0$ , también cumple.
En el caso de $a>0$ cuando divides entre $a$, tambien tienes que dividir a $1$, entonces la desigualdad te quedaria $\frac{a^4}{a}\geq(a^2+1)-\frac{1}{a}$. Aunque ya demostraste para todo $a$ menor o igual a 0.
Bueno este problema hay cuatro casos: negativo impar, negativo par, positivo impar, positivo par: bueno en el primer caso cuando $a$ es negativo impar como se ve se eleva a la cuarta potencia de ser negativo pasa a ser positivo y la segunda parte que se eleva al cubo termina en negativo por tanto es mayor $a^4$+1 que $a^3$+a por tanto este caso se termina pero análogamente se resuelve el segundo caso por lo mismo de signos, y nos queda los casos positivos en estos casos trate de utilizar inducción donde probé que en la base a=1 si cumplía después de la hipótesis después donde a=a+1 y concluí que si convertía, me quedaría $a^4+4a^3+6a^2+4a+2$ es mayor que $a^3+3a^2+4a+1 y por obvias razones es mayor, además el único numero que todo es igual es $a=1$ donde 1 a la 4 mas 1 es igual a dos, y 1 a la 3 mas 1 es igual a dos y queda demostrado
Como dijo Hector, aquí no puedes utilizar inducción porque $a$ es cualquier numero real. Aunque para $a$ negativa se demuestra de la misma forma en que lo hiciste.
En el caso de $a>1$ cuando divides entre $a$, también tienes que dividir a $1$, entonces la desigualdad te quedaría $a^3\geq(a^2+1)-\frac{1}{a}$. Ya demostraste para $a$ menor o igual a 0 y para a=1. Entonces falta demostrar para $a$ positiva diferente de 1.
Yo lo dividi por casos.El caso en el que $a$ es negativa es obvio porque $a^4$ es positivo y luego se le suma uno y $a^3$ es negativa y se le vuelve a restar porque se le suma de nuevo $a$. Entonces positivo$>$negativo. Si $a=0$ entonces tambien es obvio porque $1>0$. Ahora solo falta probarlo para $a>0$. Pasamos toda la desigualdad a un lado y nos queda $a^4-a^3-a+1\ge0$. Esto lo factorizamos y nos queda $(a^3-1)(a-1)\ge0$. Si $a>1$ entonces estaremos multiplicando 2 positivos. $a=1$ es el caso donde se presenta la igualdad ya que $0=0$ y si $a<1$ estaremos multiplicando 2 negativos por lo que obtendremos un resultado positivo despues de la operacion. Como ya cubri todos los casos queda demostrado
Se sabe que “a” cuando es positivo, satisface las siguientes relaciones: (“a” a la cuarta +1 >= “a” al cubo + “a”) Sea cual sea el numero, a excepción del “1”, pero como en la formula, al lado izquierdo de la desigualdad se le suma uno, y todas las ““a” = 1”, el resultado será “2” de ambos lados. Cuando “a = 0”. El lado izquierdo de la desigualdad sigue siendo mas grande por el “1” que se le agrega al final. Cuando “a” es negativo, sucede que (“a” a la cuarta = positivo), porque cuando elevas un numero negativo a una potencia par, el resultado será positivo; ahora (“a” al cubo = negativo), porque un numero negativo con potencia impar dará como resultado un numero negativo, asi que sigue cumpliendo: (“a” a la cuarta +1 >= “a” al cubo + “a”) Así que esa relación si se satisface, cuando el número positivo, es mayor a “2” en adelante, o menor que “0” para abajo. Cuando “a = 1”, los dos lados de la desigualdad son iguales. Y esta claro que la relación siempre se satisface.
Tu demostración es cierta para $a=1,0$ y $a<0$, porque para $a$ positiva demostraste a partir de $a=1$ en donde queda $2\geq2$ pero eso no te dice mucho de lo que pasara con los demás números positivos.
Caso A: "a" es positivo:Le restamos a↑3 a cada lado y nos queda "a"+1 es mayor o igual "a", eliminando las "a" nos que 1 es mayor o igual a 0; asi que si a es positivo si cumple
Caso B: "a" es negativo: Seguiria cumpliendo ya que cualquier numero↑4 va a ser positivo ya que se cumple con ley de los signos y quedaria positivo despues al hacer la otra operacion quedaria negativo el resultado por ley de los signos
Caso C cuando "a" es 0: Eso cumple ya que quedaria asi: 0+1 es mayor o igual a 0 o 1 es mayor o igual a 0
El caso C esta bien, el caso B también esta correcto, solo que tendrías que dar mas explicación acerca de que es lo que pasa y no solo decir que por las leyes de los signos se va a cumplir. Finalmente, en el caso A cuando restaste $a^3$ no puedes restar los exponentes y entonces te quedaría $a^4-a^3+1\geq a$
si fuera cierto que $a^4+1\geq a^3+a$ entonces tambien lo seria que $|a^4+1|\geq |a^3+a|$ entonces nos queda que P.D. $|a^4+1|\geq |a^3+a|$
ResponderBorrarP.D.
$|a^4|\geq |a^3+a-1|$
P.D.
$|a^4-a^3|\geq |a-1|$
P.D.
$|a^3(a-1)|\geq |a-1|$
P.D.
$|a^3|\geq |1|$
lo cual es obvio que es cierto entnces queda demostrado
no estoy muy seguro de mi solucion al usar el valor absoluto, pero me fijo que eso si cumple cuando a es positivo, entonces vo el caso de cuando a es negativo, pero si a es negativo el termino $a^3+a$ tambien va a ser negativo entonces sera menor que $a^4+1$ que si sera positivo, entonces queda dempstrado cuando a es negativo, y en mi otro comentario se demuestra solo para cuando a es positivo.Q.E.D
BorrarLa prueba del primer comentario es cierta cuando a>1, porque divides entre (a-1) lo cual no se puede si a-1 es negativo o cero.
BorrarEn tu segundo comentario esta bien el caso de cuando a es negativo.
Entonces has demostrado para a>1 y a negativo.
bueno entonces viendo al caso a=1 queda 1+1>=1+1 lo cual es cierto, y para a=0 queda 0+1>=0+0 lo cual tambien es claramente ciero.
BorrarAhora te falta demostrar para $0<a<1$
BorrarVemos por casos:
ResponderBorrar- Si a es negativa, $a^4$ es positiva y $a^3$, negativa. Entonces $a^4+1 \ge 0 \ge a^3-a$ (porque de un lado se suman dos positivos y del otro dos negativos) y $a^4+1 \ge a^3-a$.
- Si a=0, $(0)^4+1=1 \ge 0=(0)^3+0$.
- Si a=1, $(1)^4+1=2 \ge 2=(1)^3+1$.
$a^4+1 \ge a^3-a \Leftrightarrow a^4+1-a^3-a=(a-1)(a^3-1) \ge 0$.
- Si $0 < a < 1$, $a,a^3$ son menores a 1, entonces $(a-1),(a^3-1)$ son negativos y su producto positivo, por lo tanto $(a-1)(a^3-1) \ge 0$
- Si $1 < a$, $a,a^3$ son mayores a 1, entonces $(a-1),(a^3-1)$ son positivos y su producto también, por lo tanto $(a-1)(a^3-1) \ge 0$
Esos son todos los casos y en todos cumple, entonces se satisface para cualquier a.
Muy bien :)
Borrarprimero sume $-1$ a ambos lados y me quedo $a^4>=a^3+a-1$ luego sume $-a^3-a+1$ de ambos lados y me qedo $a^4-a^3-a+1>=0$ y me fijo que
ResponderBorrar$a^4-a^3-a+1=(a^3-1)(a-1)$ entonces $(a^3-1)(a-1)>=0$ y la unica forma en que esto no ocurra es que un termino sea negativo y otro positivo entonces lo hago en caso
$a-1<0$ entonces $a<0$ pero eso nos daria que los dos terminos fueran negativos y entonces su multiplicacion seria positiva
ahora veamos que pasa con $a^3-1<0$ entonces $a<0$ y eso nos daria que los dos terminos fueran negativos y entonces su producto seria positivo y como esas eran las unicas posibilidades de que no se cumpliera entonses acavamos
que $a-1<0$ no implica que $a<0$, sino que $a<1$, igual con la condición $a^3-1<0$ te quedaría que $a^3<1$. Aunque ya casi esta terminado el problema, porque solo es hacer esos casos bien.
Borraruso induccion y tengo que $a=1$ entonces $1+1=1+1$ ahora para $a=n$
ResponderBorrar$n^4+1>n^3+n$
ahora donde $a=n+1$ entonces $(n+1)^4+1>(n+1)^3+n$
ResponderBorrary si lo desarrollo tengo que $n^4+4n^3+6n^2+4n+2>n^3+3n^2+4n+1$
bueno entocnes lo divido en varios casos cuando es negativo a y cuando es positivo, sabemos que $a^4$ es positivo ya que impar por impar por impar por impar es postivo y $a^3$ no lo es. entonces es mayor cuando a es negativo.
Borrary eso es cierto por lo tanto ah quedado demostrado
ResponderBorrar1. ¿Por qué eso es cierto?
Borrarreduciendo tienes:
n^4+4n^3+3n^2+1 > 0
2. Para cuando trabajas con numeros reales, no se puede utilizar el proceso de induccion. Pues al hacer el brinco a=n+1 tienes una infinidad de casos que no estas considerando, en otras palabras, tu prueba nomas contempla los naturales. a=1,2,3...
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=IMG_0091.jpg
ResponderBorrarMuy bien :)
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ResponderBorrar$a^4+1 \ge a^3+a$
ResponderBorrar$\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1 \ge 0$
$\Leftrightarrow (a^3-1)(a-1) \ge 0$
$\text{Ahora veamoslo por intervalos:}$
$\text{Si }a \le 0 \Rightarrow a^3 \le 0$
$\Rightarrow (a-1),(a^3-1) \textless 0 \Rightarrow (a-1)(a^3-1) \textgreater 0$
$\text{Si } 0 \textless a \textless 1 \Rightarrow 0 \textless a^3 \textless a \textless 1$
$\Rightarrow (a-1),(a^3-1) \textless 0 \Rightarrow (a-1)(a^3-1) \textgreater 0$
$\text{Si } a = 1 \Rightarrow a^3 = 1$
$\Rightarrow (a-1),(a^3-1)=0 \Rightarrow (a-1)(a^3-1) = 0$
$\text{Si } 1 \textless a \Rightarrow 1 \textless a \textless a^3$
$\Rightarrow (a-1),(a^3-1) \textgreater 0 \Rightarrow (a-1)(a^3-1) \textgreater 0$
$\therefore\boxed{\text{Para toda } a\in\mathbb{R}\text{ se cumple la desigualdad del problema.}}$
Vemos los casos:
ResponderBorrarSi $a<0$ tenemos que $a^4+1$ será positivo y $a^3+a$ será negativo, por lo tanto cumple para todos estos casos.
Si $a=0$ tenemos que $1^4+1\ge 1^3+1$ Que nos queda $2=2$ Lo que cumple la desigualdad pues no es mayor estricto.
Ahora vemos los casos en los que $a>0$
Tenemos que $a^4+1$ será positivo y $a^3+a$ será positivo también, por lo cual podemos trabajar la desigualdad libremente.
Pasamos todo restando al lado izquierdo de la desigualdad:
$a^4-a^3-a+1 \ge 0$
Factorizamos:
$(a^3-1)(a-1) \ge 0$
Y como $a$ es un número positivo, tenemos que se cumple lo anterior.
Así queda demostrado que la desigualdad cumple para todo real.
Q.E.D.
En el caso a = 0 supongo que te quedaría $0^4+1\ge0^3+0$ entonces $1\ge0$
BorrarAhora para $a>0$ tendrías que ver por casos ya que no para todos los números positivos pasa lo mismo, porque es diferente si a es menor a 1 a si es mayor a 1
Aunque ya es muy poco lo que se tiene que explicar para que quede completa la demostración.
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ResponderBorrarTenemos la siguiente desigualdad: $a^4+1 \geq a^3+a$
ResponderBorrarRestamos $a^3$ a cada lado: $a^4 - a^3 + 1 \geq a$
Factorizamos el $a^3$ : $a^3 (a - 1) + 1 \geq a$
Restamos $1$ de cada lado: $a^3 (a - 1) \geq (a - 1)$
Sabemos que en una desigualdad, al dividir entre un negativo, el signo se va a voltear. Entonces veo en casos cuando $(a - 1)$ es positivo y cuando es negativo...
$*$ El caso en que $a = 1$ no se toma en cuenta aqui porque es $(a - 1) = 0$ , el cual no es positivo ni negativo (veré este caso después).
$\bullet (a - 1) \rightarrow$ positivo:
Al dividir entre $(a - 1)$ queda: $a^3 \geq 1$
El valor de $a$ es $> 1$ . Si para $a = 1$ tenemos $a^3 = 1$ , entonces con $a > 1$ el valor de $a^3$ será $>1$.
$\Rightarrow$ Cuando $a > 1$ la desigualdad cumple.
$\bullet (a - 1) \rightarrow$ negativo:
Al dividir entre $(a - 1)$ queda: $a^3 \leq 1$
El valor de $a$ es $< 1$ . Si para $a = 1$ tenemos $a^3 = 1$ , entonces con $a < 1$ el valor de $a^3$ será $<1$.
$\Rightarrow$ Cuando $a < 1$ la desigualdad cumple.
Ahora veremos el caso en que $a = 1$ .
Teníamos: $a^3 (a - 1) \geq (a - 1)$
Remplazamos: $1^3 (1 - 1) \geq (1 - 1) = 1 (0) \geq (0) = 0 \geq 0$
Sabemos que es cierto.
$\Rightarrow$ Cuando $a = 1$ la desigualdad cumple.
$\therefore$ Cualquier real $a$ satisface la desigualdad: $a^4 + 1 \geq a^3 + a$
En caso cuando $(a-1)$ es negativo te queda como dato $a<1$, pero si eso cumple tienes que fijarte en el caso si a es negativo, 0 o positivo, para después decir que $a^3<1$. Aunque eso es muy poco que decir y quedaría la solución completa.
BorrarEn el segundo caso:
ResponderBorrar$\bullet (a - 1) \rightarrow$ negativo:
Aunque con cualquier $a < 1$ cumple, me paso decir que eso cumple en casos:
$* a < 0$ ; $a$ es negativo y por lo tanto $a^3$ también, entonces cumple.
$* a = 0$ ; su cubo también es $0$ , asi que cumple.
$* 0 < a < 1$ ; $a$ esta entre $0$ y $1$ y su cubo también, y cumple.
$\Rightarrow$ Cuando $a < 1$ la desigualdad cumple.
ok ya esta :)
ResponderBorrar$a^4=(a^3)(a)$, entonces $(a^3)(a)+1\geq a^3+a$
ResponderBorrareliminamos las $a^3$ y nos resulta que $a+1\geq a$ y por logica $a+1\geq a$
Aquí lo que hiciste fue dividir ambos lados por $a^3$, pero también tienes que dividir a $1$ y a $a$. También recuerda que cuando divides entre un numero negativo la desigualdad se voltea, así que tienes que hacer casos cuando $a^3$ es negativa, positiva, o cero.
Borraraaaaaaaa muy cierto, muchas gracias
BorrarP.D Ana tenias razon XD
jajaja te dije que tambien lo pedirian3: jaja(;
BorrarPara el caso en que $a$ es negativa, $a^{4}$ será positivo porque el exponente es par y tenemos que $1$ es positivo $\rightarrow$ $a^{4}+1$ es positivo, en cambio, $a^{3}$ por tener exponente impar, será negativo, si $a$ también es negativo $\rightarrow$ $a^{3}+a$ es negativo $\Rightarrow$ para el caso en que $a$ es negativa: $a^{4}+1 > a^{3}+a$.
ResponderBorrarSi $a=0$ $\rightarrow$ $a^{4}+1=1$, $a^{3}+a=0$ $\Rightarrow$ $a^{4}+1 > a^{3}+a$.
Para $a\geq 1$, $a^{3}\geq 1$ $\rightarrow$ $a^{3}(a-1)\geq (a-1)$ $\rightarrow$ $a^{4}-a^{3}\geq (a-1)$ $\Rightarrow$ $a^{4}+1\geq a^{3}+a$
Para el caso en que $0\geq a\geq 1$ aun no me sale.
Para el caso $0< a< 1$, sabemos que $(a-1)$ será negativo, por lo que al multiplicarlo por $a^{3}$ tomando en cuenta que: $0< a< 1\Rightarrow 0< a^{3}< 1$, en valores absolutos tendremos que: $|a-1|> |a^{3}(a-1)|$, pero por ser ambos valores negativos, al quitar valores absolutos la desigualdad se invierte a:
Borrar$a^{3}(a-1)> (a-1)\Rightarrow a^{4}+1> a^{3}+a$ Q.E.D.
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ResponderBorrar*el caso que aun no me sale es: $0< a< 1$
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarFijate que MA-MG este bien hecha, y aparte que un numero sea a veces mas que el otro, no significa que sea mas grande
Borrar$a^4+1\geq a^3+a$
ResponderBorrarVamos a tener 3 casos cuando $a<0$ $a=0$ y $a>0$
1)$a<0$,vamos a tener que cualquier numero negativo elevado a una potencia par es positivo,$a^4$ sera positivo,positivo mas positivo da positivo, entonces $a^4+1$ es positivo. Nos pasamos al otro lado de la desigualdad , tenemos que cualquier numero negativo elevado a un exponente impar da negativo por la ley de signos, $a^3$ y $+a$ es negativo y negativo mas negativo es negativo. Vamos a tener que $a^3+a=negativo$ y un numero negativo siempre es menor que un numero positivo.
2)Si $a=0$ elevado a cualquier exponente da $0$ entonces la desigualdad queda $0+1\geq0+01>0$, cumple.
3)Si $a>0$ , entonces podemos factorizar de la siguiente forma: $ (a^2)(a^2)+1\geq (a)(a^2)+a$, $a^2$ se va con $a^2$ y nos queda $(a^2)+1\geq (a)+a$ esto es igual a $ (a^2)+1\geq 2a$ como estamos trabajando con reales positivos no es no se alteran signos y podemos hacer esto $a^2+1-2a\geq 0$ y sabemos que todo binomio al cuadrado siempre es positivo y un numero positico es mayor que $0$ , también cumple.
$a^4+1\geq a^3+a$
ResponderBorrarVamos a tener 3 casos cuando $a<0$ $a=0$ y $a>0$
1)$a<0$,vamos a tener que cualquier numero negativo elevado a una potencia par es positivo,$a^4$ sera positivo,positivo mas positivo da positivo, entonces $a^4+1$ es positivo. Nos pasamos al otro lado de la desigualdad , tenemos que cualquier numero negativo elevado a un exponente impar da negativo por la ley de signos, $a^3$ y $+a$ es negativo y negativo mas negativo es negativo. Vamos a tener que $a^3+a=negativo$ $a^4+1 = positivo$y un numero negativo siempre es menor que un numero positivo.
2)Si $a=0$ elevado a cualquier exponente da $0$ entonces la desigualdad queda $0+1\geq0+0$, cumple.
3)Si $a>0$ , entonces podemos factorizar de la siguiente forma: $ (a^2)(a^2)+1\geq (a)(a^2)+a$, $a^2$ se va con $a^2$ y nos queda $(a^2)+1\geq (a)+a$ esto es igual a $ (a^2)+1\geq 2a$ como estamos trabajando con reales positivos no es no se alteran signos y podemos hacer esto $a^2+1-2a\geq 0$ y sabemos que todo binomio al cuadrado siempre es positivo y un numero positivo es mayor que $0$ , también cumple.
En el paso en el que divides por $a^2$ también tienes que dividir a $a$, entonces la desigualdad te quedaría $(a^2)+1\geq(a)+\frac{a}{a^2}$
BorrarAunque ya demostraste que es cierto para toda $a$ menor o igual a 0
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ResponderBorrarno se si cuente hoy como ultimo día, pues el jueves tuvimos asesoría:l
BorrarEn el caso de $a>0$ cuando divides entre $a$, tambien tienes que dividir a $1$, entonces la desigualdad te quedaria $\frac{a^4}{a}\geq(a^2+1)-\frac{1}{a}$. Aunque ya demostraste para todo $a$ menor o igual a 0.
BorrarBueno este problema hay cuatro casos: negativo impar, negativo par, positivo impar, positivo par: bueno en el primer caso cuando $a$ es negativo impar como se ve se eleva a la cuarta potencia de ser negativo pasa a ser positivo y la segunda parte que se eleva al cubo termina en negativo por tanto es mayor $a^4$+1 que $a^3$+a por tanto este caso se termina pero análogamente se resuelve el segundo caso por lo mismo de signos, y nos queda los casos positivos en estos casos trate de utilizar inducción donde probé que en la base a=1 si cumplía después de la hipótesis después donde a=a+1 y concluí que si convertía, me quedaría $a^4+4a^3+6a^2+4a+2$ es mayor que $a^3+3a^2+4a+1 y por obvias razones es mayor, además el único numero que todo es igual es $a=1$ donde 1 a la 4 mas 1 es igual a dos, y 1 a la 3 mas 1 es igual a dos y queda demostrado
ResponderBorrarComo dijo Hector, aquí no puedes utilizar inducción porque $a$ es cualquier numero real. Aunque para $a$ negativa se demuestra de la misma forma en que lo hiciste.
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ResponderBorraroye segun yo hoy es el ultimo dia porque el jueves, viernes y sábado entrenamos
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BorrarEn el caso de $a>1$ cuando divides entre $a$, también tienes que dividir a $1$, entonces la desigualdad te quedaría $a^3\geq(a^2+1)-\frac{1}{a}$. Ya demostraste para $a$ menor o igual a 0 y para a=1. Entonces falta demostrar para $a$ positiva diferente de 1.
BorrarYo lo dividi por casos.El caso en el que $a$ es negativa es obvio porque $a^4$ es positivo y luego se le suma uno y $a^3$ es negativa y se le vuelve a restar porque se le suma de nuevo $a$. Entonces positivo$>$negativo. Si $a=0$ entonces tambien es obvio porque $1>0$. Ahora solo falta probarlo para $a>0$.
ResponderBorrarPasamos toda la desigualdad a un lado y nos queda $a^4-a^3-a+1\ge0$. Esto lo factorizamos y nos queda $(a^3-1)(a-1)\ge0$. Si $a>1$ entonces estaremos multiplicando 2 positivos. $a=1$ es el caso donde se presenta la igualdad ya que $0=0$ y si $a<1$ estaremos multiplicando 2 negativos por lo que obtendremos un resultado positivo despues de la operacion.
Como ya cubri todos los casos queda demostrado
Muy bien :)
BorrarSe sabe que “a” cuando es positivo, satisface las siguientes relaciones:
ResponderBorrar(“a” a la cuarta +1 >= “a” al cubo + “a”)
Sea cual sea el numero, a excepción del “1”, pero como en la formula, al lado izquierdo de la desigualdad se le suma uno, y todas las ““a” = 1”, el resultado será “2” de ambos lados.
Cuando “a = 0”. El lado izquierdo de la desigualdad sigue siendo mas grande por el “1” que se le agrega al final.
Cuando “a” es negativo, sucede que (“a” a la cuarta = positivo), porque cuando elevas un numero negativo a una potencia par, el resultado será positivo; ahora (“a” al cubo = negativo), porque un numero negativo con potencia impar dará como resultado un numero negativo, asi que sigue cumpliendo:
(“a” a la cuarta +1 >= “a” al cubo + “a”)
Así que esa relación si se satisface, cuando el número positivo, es mayor a “2” en adelante, o menor que “0” para abajo. Cuando “a = 1”, los dos lados de la desigualdad son iguales.
Y esta claro que la relación siempre se satisface.
Tu demostración es cierta para $a=1,0$ y $a<0$, porque para $a$ positiva demostraste a partir de $a=1$ en donde queda $2\geq2$ pero eso no te dice mucho de lo que pasara con los demás números positivos.
BorrarCaso A: "a" es positivo:Le restamos a↑3 a cada lado y nos queda "a"+1 es mayor o igual "a", eliminando las "a" nos que 1 es mayor o igual a 0; asi que si a es positivo si cumple
ResponderBorrarCaso B: "a" es negativo: Seguiria cumpliendo ya que cualquier numero↑4 va a ser positivo ya que se cumple con ley de los signos y quedaria positivo despues al hacer la otra operacion quedaria negativo el resultado por ley de los signos
Caso C cuando "a" es 0: Eso cumple ya que quedaria asi:
0+1 es mayor o igual a 0 o 1 es mayor o igual a 0
El caso C esta bien, el caso B también esta correcto, solo que tendrías que dar mas explicación acerca de que es lo que pasa y no solo decir que por las leyes de los signos se va a cumplir. Finalmente, en el caso A cuando restaste $a^3$ no puedes restar los exponentes y entonces te quedaría $a^4-a^3+1\geq a$
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