Se sabe que en todo triángulo rectángulo con lados enteros $x,y,z$, éstos son de la forma $x=2st$, $y=s^{2}-t^{2}$ y $z=s^{2}+t^{2}$, (con $x,y$ catetos y $z$ la hipotenusa), con $s,t$ enteros. Se dice entonces que $(x,y,z)$ es una terna pitagórica.
Muestra que si $(x,y,z)$ es una terna pitagórica, entonces se satisface que el producto $xyz$ es múltiplo de 30.
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Se puede que $z$ no sea entero?
ResponderBorrarNo, Diego. En el enunciado del problema dice que $x,y,z$ son todos enteros.
Borrar$xyz=2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$, para que xyz sea múltiplo de 30, debe ser múltiplo de 2, 3 y 5. Vemos que ya tiene un factor 2, entonces queda demostrar que es múltiplo de 3 y de 5.
ResponderBorrarSi s o t son múltiplos de 3, xyz también lo es porque x=2st, supongamos que no lo son. $s^2,t^2 \equiv 1 \pmod{3}$ (ignorando el caso en el que son congruentes a 0), entonces $s^2-t^2 \equiv 1-1=0 \pmod{3}$, $s^2-t^2$ es múltiplo de 3 y xyz también 3.
Si s o t son múltiplos de 5, xyz también lo es porque x=2st, supongamos que no lo son. $s^2,t^2 \equiv 1,-1 \pmod{5}$, si tienen igual congruencia, su diferencia ($s^2-t^2$) tiene congruencia 0 mod 5 y es múltiplo de 5 igual que xyz. Si $s^2,t^2$ tienen distinta congruencia, su suma ($s^2+t^2$) tiene congruencia 1+(-1)=0, entonces su suma es múltiplo de 5 y xyz también.
xyz es múltiplo de 2, 3 y 5, entonces es múltiplo de 30.
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ResponderBorrarSi $x=2st$, $y=s^{2}-t^{2}$, $z=s^{2}+t^{2}$ $\Rightarrow$ $xyz=(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$.
ResponderBorrarSi $30=2*3*5 \Rightarrow (2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ debe cumplir con tales criterios de divisibilidad.
$\bullet$ Divisibilidad por $2$.- Es fácil ver que: $2|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
$\bullet$ Divisibilidad por $3$.- las congruencias $(mod.3)$ son: $(0, 1, 2)$, al elevarlas al cuadrado, solo pueden ser $(0, 1)$:
$0^{2}=0\equiv{0}\pmod{3}$
$1^{2}=1\equiv{1}\pmod{3}$
$2^{2}=4\equiv{1}\pmod{3}$
Si $3|s$ $\rightarrow$ $3|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$, lo mismo sucede si $3|t$, para el caso en que $3$ no divide a ninguno $\Rightarrow$ $s^{2},t^{2}\equiv{1}\pmod{3} \Rightarrow s^{2}-t^{2}\equiv{0}\pmod{3} \Rightarrow 3|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
\bullet Divisibilidad por $5$.- las congruencias $(mod.5)$ son: $(0, 1, 2, 3, 4)$, al elevarlas al cuadrado, solo pueden ser $(0, 1, 4)$:
$0^{2}=0\equiv{0}\pmod{5}$
$1^{2}=1\equiv{1}\pmod{5}$
$2^{2}=4\equiv{4}\pmod{5}$
$3^{2}=9\equiv{4}\pmod{5}$
$4^{2}=16\equiv{1}\pmod{5}$
Si $5|s$ $\rightarrow$ $5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$, lo mismo sucede si $5|t$, para el caso en que $5$ no divide a ninguno $\Rightarrow$ $s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{3}$, si ambos son congruentes a $-1$ o a $1$, sucede que: $5|(s^{2}-t^{2})\Rightarrow 5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$, si ambos son congruentes a $-1$ y $1$ respectivamente, sucede que $5|s^{2}+t^{2}\Rightarrow 5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
Tenemos que cumple con los criterios de divisibilidad requeridos
$\therefore 30|xyz$ Q.E.D.
*en el caso de Divisibilidad por $5$ puse que: $s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{3}$, ahí es:
ResponderBorrar$s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{5}$
Se puede decir que t^2 es lo mismo que -t^2
ResponderBorrarpues primero se que $x+y>z$ entonces
ResponderBorrar$2st+2^2-t^2>s^2+t^2$
$2st-t^2>t^2$
$2st>2t^2$
2s>2t
s>t
Ademas factorizo el 30 por lo tanto tengo que lo dividen el 2,3,5 y se que $2s^5t-2st^5$ es congruente con 0 mod 30 y ya que es par menos par entonces este numeros es par por lo tanto ya se que $2s^5t-2st^5$ es congruente con 0 mod 2 ahora solo me falta con el 3 y el 5.
bueno pues primero vemos el y tenemos que un numero puede ser 0,1,2 mod 3 sabemos que los cuadrados solo pueden ser 0,1 entonces hay varios casos en el que s=1 t=1, s=0 t=1,s=1 t=0, s=0 t=0, y los demas casos tiene solucion excepto estos dos s=0 t=1,s=1 t=0,
Borrarpero ya que se multiplican xyz tenemos que si uno es 1 y el otro es 0, entonces seria x=(2*1*0)y=(1+0)z=(1+0) esto pasa cuando esto pasa s=0 t=1 y analogamente cuando es s=1 t=0 entonces ya tenemos el 3, ahora solo falta el 5 en este los cuadrados solo pueden ser 0,1,4 entonces cuando mientras sean iguales sabemos que seran congruentes con 5 entonces cuando usen el 0 seran congruentes por x y cuando sea 1 y 4 va a estar el caso de z en cual seran 1+4, por lo tanto sera congruente al 5
Borrarentonces si es congruente con el 2,3 y 5 son congruentes con el 30
1. De dónde sacas $2s^{5}t-2st^{5}$?
Borrar2. No das ningun argumento para el resto de los casos considerando módulo 3.
3. Puedes ser más explícito en tu argumento para el módulo 5?
Para que $xyz$ sea multiplo de 30 debe de tener al menos 1 factor $2$, $3$ y$5$. El factor $2$ lo encontramos inmediatamente en $x=2st$.
ResponderBorrarPara hayar el factor $3$ usaremos modulo 3. $s^2,t^2\equiv(1,0)\pmod(3)$ pero si $s^2$ o $t^2$ es congruente a $0$ $(mod3)$ $\rightarrow$ $s$ o $t$ ya es multiplo de 3 y se encontrara en $x$ porque $x=2st$. El unico caso en el que no se puede hacer esto es cuando $s^2\equiv(1)\pmod(3)$ y $t^2\equiv(1\pmod(3)$. Si esto sucede, el factor $3$ se encontrara en $y$ porque $s^2-t^2\equiv(1-1)\equiv(0)\pmod3$.
Ahora solo nos falta encontrar el factor $5$. Sabemos que $s^2,t^2\equiv(0,1,4)\pmod5$. Si alguno es congruente $0$ $(mod5)$ habremos encontrado nuestro factor $5$ en $x$. Si $s$ y $t$ tienen la misma congruencia, el factor $5$ estara en $y$ porque se restaran y nos daran 0. El ultimo caso es cuando uno de ellos es congruente $1$ y el otro a $4$. En este caso nuestro factor $5$ estara en $z$ porque se sumaran las congruencias y $1+4=5\equiv(0)\pmod(5)$
Como ya hayamos todos los factores, al multiplicar $xyz$ obtendremos un multiplo de $30$
queremos provar que $xyz$ es multiplo de $2,3,5$
ResponderBorrarprimero nos fijamos que $2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ tiene un factor $2$ osea que ya tenemos el factor $2$
entonces ya nomas queremosprovar que $3,5/st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ luego nos fijamos que $st(s^2-t^2)(s^2+t^2)=s^5t-st^5=st(s^4-t^4)$ luego nos fijamos en que $s^4,t^4\equiv1,0mod5$ entonces solo tenemos cuatro casos
caso1 $s^4\equiv0mod5$ $t^4\equiv1mod5$
nos fijamos que para que $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod5$ entonces en ese caso si nos dio multiplo de 5
caso 2 seria alternar las congruencias y pues pasaria lo mismo $t\equiv0mod5$ y entonces la multiplicacion como tiene un factor $t$ pues acavamos este casso y nos da multiplo de 5
caso 3 $s^4,t^4\equiv0mod5$
con solo verlo acavamos pues tenemos factores 5 en la multiplicacion porque como $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod5$
caso 4 $s^4,t^4\equiv1mod5$
pues tendriamos que $s^4-t^4\equiv0mod5$ y como lo anterior es un factor en la multiplicacion pues acavamos
como ya isimos los cuetro caso entonces $5/xyz$
y con el tres pasa lo mismo
nos fijamos en que $s^4,t^4\equiv1,0mod3$ entonces solo tenemos cuatro casos
caso1 $s^4\equiv0mod3$ $t^4\equiv1mod3$
nos fijamos que para que $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod3$ entonces en ese caso si nos dio multiplo de 3
caso 2 seria alternar las congruencias y pues pasaria lo mismo $t\equiv0mod3$ y entonces la multiplicacion como tiene un factor $t$ pues acavamos este casso y nos da multiplo de 3
caso 3 $s^4,t^4\equiv0mod3$
con solo verlo acavamos pues tenemos factores 3 en la multiplicacion porque como $s^4\equiv0mod3$ entonces $s\equiv0mod3$
caso 4 $s^4,t^4\equiv1mod3$
pues tendriamos que $s^4-t^4\equiv0mod3$ y como lo anterior es un factor en la multiplicacion pues acavamos
por lo anterior tenemos que $30/xyz$
en los casos del tres se me pasaron unos modulos 5 que en realidad sn modulo 3
ResponderBorrar$\text{Nos fijamos en que }x=2st\equiv 0 \mod{2}$
ResponderBorrar$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{2}$
$\text{Sabemos que }x^2\equiv 0,1 \mod{3}$
$\text{Luego vemos que si }s^2,t^2\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow s,t\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow x=2st\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{3}$
$\text{Luego, si } s^2\equiv t^2\equiv 1 \mod{3}$
$\Rightarrow y=s^2-t^2\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{3}$
$\text{Sabemos que }x^2 \equiv 0,1,4 \mod{5}$
$\text{Luego vemos que si }s^2,t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow s,t\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow x=2st\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$
$\text{Luego, si }s^2\equiv t^2\equiv 1,4 \mod{5}$
$\Rightarrow y=s^2-t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$
$\text{Y por ultimo, si SPDG } s^2 \equiv 1 \mod{3} \text{ y } t^2 \equiv 4 \mod{5}$
$\Rightarrow z=s^2+t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$
$\text{Luego, como }2|xyz, 3|xyz, 5|xyz \Rightarrow 2\times 3\times 5 = 30 | xyz$
$\therefore \boxed{\text{Si }xyz\text{ es una terna pitagorica, entonces se cumple que } 30|xyz}$
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000361.jpg
ResponderBorrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000361.jpg
ResponderBorrarComo 30=2*3*5, demostrare que $xyz$ es multiplo de cada uno de esos factores.
ResponderBorrarVeo que $xyz=2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$, enotonces $2|xyz$ ya que 2 divide a 2st.
Luego para el caso del 3 si s o t son multiplos de 3 xyz tambien lo sera, ahora si ninguno lo es, me fijo que s,t van a ser congruentes a 1 modulo 3, entonces donde esta $(s^2-t^2)$ la resta de congruencias dara 0 y por lo tanto sera multiplo de 3.
Ahora para el caso del 5 hago lo mismo, me fijo que si supongo que 5 no divide a s,t entonces $s^2,t^2$ son congruentes a 1 o 4 modulo 5, entonces la combinaciones de las congruencias posibles son:(1,4),(1,1),(4,1),(4,4), en la primera y la tercera al sumarse las congruencias dara 0 modulo 5, y en la segunda y cuarta al restarse tambien dara 0 modulo 5.Entonces $5|xyz$.
Entonces si xyz es multiplo de 2,3 y 5 xyz es multiplo de 30
rumbo al nacional
ResponderBorrarDescomponemos en primos a $30$ : $2 \times 3 \times 5$
ResponderBorrarSabemos que si $s$ o $t$ son múltiplos de $3$ o $5$ , $xyz$ va a ser múltiplo del número correspondiente porque tenemos que $x = 2st$ .
$\bullet$ Múltiplo de $2$ :
Tenemos que $xyz$ tiene un factor $2$ en $x = 2st$
$\Rightarrow xyz$ es múltiplo de $2$ .
$\bullet$ Múltiplo de $3$ :
$* s , t \equiv 0 \pmod 3 \text{\checkmark}$
$* s , t \equiv 1 , 2 \pmod 3$
$s^2 , t^2 \equiv 1 , 1 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 3 \text{\checkmark}$
$\bullet$ Múltiplo de $5$ :
$* s , t \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$s , t \equiv 1 , 2 , 3 , 4 \pmod 5$
$s^2 , t^2 \equiv 1 , 4 , 4 , 1 \pmod 5$
Podemos tener cuatro casos distintos:
$* s^2 , t^2 \equiv 1 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$* s^2 , t^2 \equiv 4 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 4 - 4 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$*$ Los ultimos dos casos son cuando $s$ y $t$ tienen congruencias distintas. Utilizando $s^2 - t^2$ , tengo como resultado $3$ o $2$ lo cual no me resulta util.
$\Rightarrow$ Esto se reduce a un solo caso, utilizando $s^2 + t^2$ .
$s^2 + t^2 \equiv 1 + 4 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$\therefore xyz$ es múltiplo de $30$ .
Para que $xyz$ sea un múltiplo de $30$ debe ser divisible entre $2$ , $3$ y $5$
ResponderBorrarVemos que $xyz = (2st)(s^2-t^2)(s^2+t^2)$
Por lo cual $2$ dividira a $xyz$
Tenemos que si tanto s o t son multiplos de 3 o 5, como $ = 2st$ hemos acabado, si no lo son tenemos dos casos que aplican para ambas congruencias:
Para $s^2, t^2$ hay 2 congruencias modulo 3, $1$ y $2$
Si $s^2$ y $t^2$ tienen la misma congruencia, $s^2-t^2$ será multiplo de $3$ y acabamos esa parte, si tienen diferente congruencia, al sumar $(s^2+t^2)$ vemos que es multiplo de 3 y acabamos.
Para $s^2, t^2$ hay 2 congruencias modulo 5, $1$ y $4$ Y de forma reciproca con lo anterior, si son iguales las congruencias, al restar acabamos, si son diferentes, al sumar acabamos.
Por lo cual queda demostrado de $xyz$ es múltiplo de 30.
Tienes un error en cuanto a la línea que dice:
Borrar"Para $s^{2},t^{2}$ hay 2 congruencias modulo 3, $1$ y $2$"
Para cualquier cuadrado perfecto $r$, se tiene que $r\equiv 0,1 \mod 3$. Corrige eso y ya te pongo carita feliz :p
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ResponderBorrar:)
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