Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día. Teoría de números. (11 de septiembre)

martes, 11 de septiembre de 2012

Problema del día. Teoría de números. (11 de septiembre)

Se sabe que en todo triángulo rectángulo con lados enteros

$x,y,z$ , éstos son de la forma

$x=2st$ ,

$y=s^{2}-t^{2}$ y

$z=s^{2}+t^{2}$ , (con

$x,y$ catetos y

$z$ la hipotenusa), con

$s,t$ enteros. Se dice entonces que

$(x,y,z)$ es una terna pitagórica.
Muestra que si

$(x,y,z)$ es una terna pitagórica, entonces se satisface que el producto

$xyz$ es múltiplo de 30.

24 comentarios:

Diego Astiazarán11 de septiembre de 2012, 12:22 p.m.
Se puede que $z$ no sea entero?
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Luis Chacón11 de septiembre de 2012, 2:41 p.m.
$xyz=2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ , para que xyz sea múltiplo de 30, debe ser múltiplo de 2, 3 y 5. Vemos que ya tiene un factor 2, entonces queda demostrar que es múltiplo de 3 y de 5.
Si s o t son múltiplos de 3, xyz también lo es porque x=2st, supongamos que no lo son. $s^2,t^2 \equiv 1 \pmod{3}$ (ignorando el caso en el que son congruentes a 0), entonces $s^2-t^2 \equiv 1-1=0 \pmod{3}$ , $s^2-t^2$ es múltiplo de 3 y xyz también 3.
Si s o t son múltiplos de 5, xyz también lo es porque x=2st, supongamos que no lo son. $s^2,t^2 \equiv 1,-1 \pmod{5}$ , si tienen igual congruencia, su diferencia ( $s^2-t^2$ ) tiene congruencia 0 mod 5 y es múltiplo de 5 igual que xyz. Si $s^2,t^2$ tienen distinta congruencia, su suma ( $s^2+t^2$ ) tiene congruencia 1+(-1)=0, entonces su suma es múltiplo de 5 y xyz también.
xyz es múltiplo de 2, 3 y 5, entonces es múltiplo de 30.
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Unknown11 de septiembre de 2012, 3:43 p.m.
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Unknown11 de septiembre de 2012, 3:45 p.m.
Si $x=2st$ , $y=s^{2}-t^{2}$ , $z=s^{2}+t^{2}$ $\Rightarrow$ $xyz=(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ .
Si $30=2*3*5 \Rightarrow (2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ debe cumplir con tales criterios de divisibilidad.
$\bullet$ Divisibilidad por $2$ .- Es fácil ver que: $2|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
$\bullet$ Divisibilidad por $3$ .- las congruencias $(mod.3)$ son: $(0, 1, 2)$ , al elevarlas al cuadrado, solo pueden ser $(0, 1)$ :
$0^{2}=0\equiv{0}\pmod{3}$
$1^{2}=1\equiv{1}\pmod{3}$
$2^{2}=4\equiv{1}\pmod{3}$
Si $3|s$ $\rightarrow$ $3|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ , lo mismo sucede si $3|t$ , para el caso en que $3$ no divide a ninguno $\Rightarrow$ $s^{2},t^{2}\equiv{1}\pmod{3} \Rightarrow s^{2}-t^{2}\equiv{0}\pmod{3} \Rightarrow 3|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
\bullet Divisibilidad por $5$ .- las congruencias $(mod.5)$ son: $(0, 1, 2, 3, 4)$ , al elevarlas al cuadrado, solo pueden ser $(0, 1, 4)$ :
$0^{2}=0\equiv{0}\pmod{5}$
$1^{2}=1\equiv{1}\pmod{5}$
$2^{2}=4\equiv{4}\pmod{5}$
$3^{2}=9\equiv{4}\pmod{5}$
$4^{2}=16\equiv{1}\pmod{5}$
Si $5|s$ $\rightarrow$ $5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ , lo mismo sucede si $5|t$ , para el caso en que $5$ no divide a ninguno $\Rightarrow$ $s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{3}$ , si ambos son congruentes a $-1$ o a $1$ , sucede que: $5|(s^{2}-t^{2})\Rightarrow 5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$ , si ambos son congruentes a $-1$ y $1$ respectivamente, sucede que $5|s^{2}+t^{2}\Rightarrow 5|(2st)(s^{2}-t^{2})(s^{2}+t^{2})$
Tenemos que cumple con los criterios de divisibilidad requeridos
$\therefore 30|xyz$ Q.E.D.
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Unknown11 de septiembre de 2012, 3:51 p.m.
*en el caso de Divisibilidad por $5$ puse que: $s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{3}$ , ahí es:
$s^{2},t^{2}\equiv{(1,-1)}\pmod{5}$
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Unknown11 de septiembre de 2012, 5:10 p.m.
Se puede decir que t^2 es lo mismo que -t^2
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Unknown11 de septiembre de 2012, 5:16 p.m.
pues primero se que $x+y>z$ entonces
$2st+2^2-t^2>s^2+t^2$
$2st-t^2>t^2$
$2st>2t^2$
2s>2t
s>t
Ademas factorizo el 30 por lo tanto tengo que lo dividen el 2,3,5 y se que $2s^5t-2st^5$ es congruente con 0 mod 30 y ya que es par menos par entonces este numeros es par por lo tanto ya se que $2s^5t-2st^5$ es congruente con 0 mod 2 ahora solo me falta con el 3 y el 5.
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Pepe Flores11 de septiembre de 2012, 5:38 p.m.
Para que $xyz$ sea multiplo de 30 debe de tener al menos 1 factor $2$ , $3$ y $5$ . El factor $2$ lo encontramos inmediatamente en $x=2st$ .

Para hayar el factor $3$ usaremos modulo 3. $s^2,t^2\equiv(1,0)\pmod(3)$ pero si $s^2$ o $t^2$ es congruente a $0$ $(mod3)$ $\rightarrow$ $s$ o $t$ ya es multiplo de 3 y se encontrara en $x$ porque $x=2st$ . El unico caso en el que no se puede hacer esto es cuando $s^2\equiv(1)\pmod(3)$ y $t^2\equiv(1\pmod(3)$ . Si esto sucede, el factor $3$ se encontrara en $y$ porque $s^2-t^2\equiv(1-1)\equiv(0)\pmod3$ .

Ahora solo nos falta encontrar el factor $5$ . Sabemos que $s^2,t^2\equiv(0,1,4)\pmod5$ . Si alguno es congruente $0$ $(mod5)$ habremos encontrado nuestro factor $5$ en $x$ . Si $s$ y $t$ tienen la misma congruencia, el factor $5$ estara en $y$ porque se restaran y nos daran 0. El ultimo caso es cuando uno de ellos es congruente $1$ y el otro a $4$ . En este caso nuestro factor $5$ estara en $z$ porque se sumaran las congruencias y $1+4=5\equiv(0)\pmod(5)$

Como ya hayamos todos los factores, al multiplicar $xyz$ obtendremos un multiplo de $30$
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martin contreras carrera11 de septiembre de 2012, 7:25 p.m.
queremos provar que $xyz$ es multiplo de $2,3,5$
primero nos fijamos que $2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ tiene un factor $2$ osea que ya tenemos el factor $2$
entonces ya nomas queremosprovar que $3,5/st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ luego nos fijamos que $st(s^2-t^2)(s^2+t^2)=s^5t-st^5=st(s^4-t^4)$ luego nos fijamos en que $s^4,t^4\equiv1,0mod5$ entonces solo tenemos cuatro casos
caso1 $s^4\equiv0mod5$ $t^4\equiv1mod5$
nos fijamos que para que $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod5$ entonces en ese caso si nos dio multiplo de 5
caso 2 seria alternar las congruencias y pues pasaria lo mismo $t\equiv0mod5$ y entonces la multiplicacion como tiene un factor $t$ pues acavamos este casso y nos da multiplo de 5
caso 3 $s^4,t^4\equiv0mod5$
con solo verlo acavamos pues tenemos factores 5 en la multiplicacion porque como $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod5$
caso 4 $s^4,t^4\equiv1mod5$
pues tendriamos que $s^4-t^4\equiv0mod5$ y como lo anterior es un factor en la multiplicacion pues acavamos
como ya isimos los cuetro caso entonces $5/xyz$
y con el tres pasa lo mismo
nos fijamos en que $s^4,t^4\equiv1,0mod3$ entonces solo tenemos cuatro casos
caso1 $s^4\equiv0mod3$ $t^4\equiv1mod3$
nos fijamos que para que $s^4\equiv0mod5$ entonces $s\equiv0mod3$ entonces en ese caso si nos dio multiplo de 3
caso 2 seria alternar las congruencias y pues pasaria lo mismo $t\equiv0mod3$ y entonces la multiplicacion como tiene un factor $t$ pues acavamos este casso y nos da multiplo de 3
caso 3 $s^4,t^4\equiv0mod3$
con solo verlo acavamos pues tenemos factores 3 en la multiplicacion porque como $s^4\equiv0mod3$ entonces $s\equiv0mod3$
caso 4 $s^4,t^4\equiv1mod3$
pues tendriamos que $s^4-t^4\equiv0mod3$ y como lo anterior es un factor en la multiplicacion pues acavamos
por lo anterior tenemos que $30/xyz$
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martin contreras carrera11 de septiembre de 2012, 7:27 p.m.
en los casos del tres se me pasaron unos modulos 5 que en realidad sn modulo 3
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Luis Carlos García11 de septiembre de 2012, 11:43 p.m.
$\text{Nos fijamos en que }x=2st\equiv 0 \mod{2}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{2}$

$\text{Sabemos que }x^2\equiv 0,1 \mod{3}$
$\text{Luego vemos que si }s^2,t^2\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow s,t\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow x=2st\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{3}$
$\text{Luego, si } s^2\equiv t^2\equiv 1 \mod{3}$
$\Rightarrow y=s^2-t^2\equiv 0 \mod{3}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{3}$

$\text{Sabemos que }x^2 \equiv 0,1,4 \mod{5}$
$\text{Luego vemos que si }s^2,t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow s,t\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow x=2st\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$
$\text{Luego, si }s^2\equiv t^2\equiv 1,4 \mod{5}$
$\Rightarrow y=s^2-t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$
$\text{Y por ultimo, si SPDG } s^2 \equiv 1 \mod{3} \text{ y } t^2 \equiv 4 \mod{5}$
$\Rightarrow z=s^2+t^2\equiv 0 \mod{5}$
$\Rightarrow xyz\equiv 0 \mod{5}$

$\text{Luego, como }2|xyz, 3|xyz, 5|xyz \Rightarrow 2\times 3\times 5 = 30 | xyz$

$\therefore \boxed{\text{Si }xyz\text{ es una terna pitagorica, entonces se cumple que } 30|xyz}$
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Unknown11 de septiembre de 2012, 11:49 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM000361.jpg
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Unknown11 de septiembre de 2012, 11:51 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM000361.jpg
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antonio lopez12 de septiembre de 2012, 4:38 p.m.
Como 30=2*3*5, demostrare que $xyz$ es multiplo de cada uno de esos factores.
Veo que $xyz=2st(s^2-t^2)(s^2+t^2)$ , enotonces $2|xyz$ ya que 2 divide a 2st.
Luego para el caso del 3 si s o t son multiplos de 3 xyz tambien lo sera, ahora si ninguno lo es, me fijo que s,t van a ser congruentes a 1 modulo 3, entonces donde esta $(s^2-t^2)$ la resta de congruencias dara 0 y por lo tanto sera multiplo de 3.
Ahora para el caso del 5 hago lo mismo, me fijo que si supongo que 5 no divide a s,t entonces $s^2,t^2$ son congruentes a 1 o 4 modulo 5, entonces la combinaciones de las congruencias posibles son:(1,4),(1,1),(4,1),(4,4), en la primera y la tercera al sumarse las congruencias dara 0 modulo 5, y en la segunda y cuarta al restarse tambien dara 0 modulo 5.Entonces $5|xyz$ .
Entonces si xyz es multiplo de 2,3 y 5 xyz es multiplo de 30
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Unknown12 de septiembre de 2012, 7:37 p.m.
rumbo al nacional
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Diego Astiazarán13 de septiembre de 2012, 7:25 p.m.
Descomponemos en primos a $30$ : $2 \times 3 \times 5$
Sabemos que si $s$ o $t$ son múltiplos de $3$ o $5$ , $xyz$ va a ser múltiplo del número correspondiente porque tenemos que $x = 2st$ .
$\bullet$ Múltiplo de $2$ :
Tenemos que $xyz$ tiene un factor $2$ en $x = 2st$
$\Rightarrow xyz$ es múltiplo de $2$ .
$\bullet$ Múltiplo de $3$ :
$* s , t \equiv 0 \pmod 3 \text{\checkmark}$
$* s , t \equiv 1 , 2 \pmod 3$
$s^2 , t^2 \equiv 1 , 1 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 3 \text{\checkmark}$
$\bullet$ Múltiplo de $5$ :
$* s , t \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$s , t \equiv 1 , 2 , 3 , 4 \pmod 5$
$s^2 , t^2 \equiv 1 , 4 , 4 , 1 \pmod 5$
Podemos tener cuatro casos distintos:
$* s^2 , t^2 \equiv 1 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$* s^2 , t^2 \equiv 4 \pmod 3$
$s^2 - t^2 \equiv 4 - 4 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$
$*$ Los ultimos dos casos son cuando $s$ y $t$ tienen congruencias distintas. Utilizando $s^2 - t^2$ , tengo como resultado $3$ o $2$ lo cual no me resulta util.
$\Rightarrow$ Esto se reduce a un solo caso, utilizando $s^2 + t^2$ .
$s^2 + t^2 \equiv 1 + 4 \equiv 0 \pmod 5 \text{\checkmark}$

$\therefore xyz$ es múltiplo de $30$ .
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Ricardo G.13 de septiembre de 2012, 9:55 p.m.
Para que $xyz$ sea un múltiplo de $30$ debe ser divisible entre $2$ , $3$ y $5$
Vemos que $xyz = (2st)(s^2-t^2)(s^2+t^2)$
Por lo cual $2$ dividira a $xyz$
Tenemos que si tanto s o t son multiplos de 3 o 5, como $= 2st$ hemos acabado, si no lo son tenemos dos casos que aplican para ambas congruencias:
Para $s^2, t^2$ hay 2 congruencias modulo 3, $1$ y $2$
Si $s^2$ y $t^2$ tienen la misma congruencia, $s^2-t^2$ será multiplo de $3$ y acabamos esa parte, si tienen diferente congruencia, al sumar $(s^2+t^2)$ vemos que es multiplo de 3 y acabamos.
Para $s^2, t^2$ hay 2 congruencias modulo 5, $1$ y $4$ Y de forma reciproca con lo anterior, si son iguales las congruencias, al restar acabamos, si son diferentes, al sumar acabamos.
Por lo cual queda demostrado de $xyz$ es múltiplo de 30.
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Unknown15 de septiembre de 2012, 3:24 a.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4611736575675&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
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Problema del día. Teoría de números. (11 de septiembre)

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