La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
domingo, 30 de septiembre de 2012
Problema del día. Algebra (30 de septiembre)
Prueba que para cada entero positivo $n$ existe un número de $n$ dígitos múltiplo de $5^n$ y compuesto únicamente de dígitos impares.
$\text{Luego vemos que a partir de }n>2\text{ si }$ $n\equiv 1\mod{2}\Rightarrow 5^n\equiv 125\mod{1000}$ $n\equiv 0\mod{2}\Rightarrow 5^n\equiv 625\mod{1000}$
$\text{Luego vemos }5^nk\mod{1000}\text{ y concluimos que si:}$
nos damos cuenta que funciona para el 1 nuestra hipotesis es que funciona hasta n y P.D que funciona has n+1 bueno por la hipotesis tenemos que existe un numero Y congruente a 0 mod 5 a la n, entonces existe un numero 5y tal que se congruente a 0 mod 5 a la n+1 y ya que Y tiene puros numeros impares sabemos que las multiplicaciones van a impares por 5 por lo tanto todos los numeros van a ser impares
Lo vemos por inducción. Caso base: n=1, 5 es múltiplo de $5^1$ y tiene 1 dígito que es impar. Supongamos que es cierto para k. Hacemos X el número que cumple para k. Las posibles congruencias módulo $5^{k+1}$ de X son $0, 5^k, 2(5^k), 3(5^k), 4(5^k)$ porque X es múltiplo de $5^k$ y $5^{k+1}=5(5^k)$, las posibles congruencias de $10^k$ son son las mismas por las mismas razones. Entonces alguno de $10^k,3(10^k),5(10^k),7(10^k),9(10^k)$ tiene cada una de esas congruencias. Si X cumple para k, alguno de $X+10^k,X+3(10^k),X+5(10^k),X+7(10^k),X+9(10^k)$ es congruente a $0 \pmod{k+1}$ (porque sin importar la congruencia de X, alguno de esos múltiplos de $10^k$ es congruente a -X). Este número tiene k+1 dígitos (porque X tiene k y al sumarle un múltiplo de $10^k$ le agregamos otro), todos son impares (porque todos los de X lo son y le agregamos un impar) y es múltiplo de $5^{k+1}$, por lo tanto si existe para k entonces existe para k+1, como existe para n=1, existe para todos los naturales.
Hasta ahorita lo que llevo es lo siguiente: -Sabemos que todo $5^n$ termina en $25$, intentamos ver un patrón para ver las ultimas dos cifras de un múltiplo de $5^n$: $25*1=25$ $25*2=50$ $25*3=75$ Cumple $25*4=100$ $25*5=125$ $25*6=150$ $25*7=175$ Cumple $25*8=200$ Observamos que $5^n(x\equiv 3\mod 4)$ es la única manera de que el múltiplo tenga de $5^n$ tenga todas sus cifras impares. Podemos descomponer el numero como: P.D $a_1*10^{n-1}+a_2*10^{n-2}+a_3*10^{n-3}...7*10^{1}+a_5*10^{0}\equv 0\mod 5^n$
Esto es lo poco que avance... P.D. Que para toda $n$ , se cumple que $5^n \mid M$ , con $M=(5^n)k$ compuesto de $n$ digitos impares. Con inducción, hacemos nuestra base: $n \rightarrow 5^n \mid M$ Asegurando que esa esa $n$ existe viendo el caso en que $n=1$ : $1 \rightarrow 5^1 \mid 5$ Entonces buscamos un $n+1$ que cumpla: $n+1 \rightarrow 5^{n+1} \mid M_1$ , talque $M_1 = (5^{n+1})q$ $\Rightarrow M_1 \equiv Y \pmod 5^{n+1}$ $\Rightarrow Y \equiv M_1 \pmod 5^{n+1}$ Con eso último no se me ocurrio que hacer, asi que ahora uso $M$ : $M \equiv X \pmod 5^{n+1}$ $(5^n)k \equiv X \pmod 5^{n+1}$ $\Rightarrow X \equiv (5^n)0 , (5^n)1 , (5^n)2 , (5^n)3 , (5^n)4 \pmod 5^{n+1}$ (Alguna de esas congruencias) Creo que de eso puede surgir algo útil... pero hasta aquí tengo.
Me di cuenta de que todos los $5^n$ acaban en $25$ , con $n>1$ Entonces el número al que divide, al ser un múltiplo de $25$ va a terminar en $25$ , $50$ , $75$ o $00$ . Pero como debe estar compuesto de dígitos impares, el número por el que se multiplica $5^n$ , es decir $k$ , debe ser $\equiv 3 \pmod 4$ . Falta demostrar que con eso, el número tendría puros dígitos impares.
Intento.- Vi los casos chicos para encontrar algún patrón: Lo siguiente es de la forma: Para:$\rightarrow$Múltiplo de:$\rightarrow$Número que cumple: $n=1 \rightarrow 5 \rightarrow 5$ $n=2 \rightarrow 25 \rightarrow 75$ $n=3 \rightarrow 125 \rightarrow 375$ $n=4 \rightarrow 625 \rightarrow 9375$ $n=5 \rightarrow 3125 \rightarrow 59375$ $n=6 \rightarrow 15625 \rightarrow 35975$ De aquí sacamos que para toda $n$ existe un número que cumple tal que es el resultado de agregar un dígito impar a la izquierda al número que cumple para $n-1$ para lo cual intentaré inducción utilizando los casos $n=1, n=2$ como casos base. Se debe cumplir que: $\exists{k}\forall{n}: 5^{n}a_{1}+10^{n}(2k+1)=5^{n+1}a_{2}$ donde $a_1, a_2\in{N}$ y $0\leq{k}\leq{4}$ hasta aqui llevo
Tu idea es la correcta. Para terminar, sólo falta decir que, como $10^n$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$, entonces entre los números $1\cdot10^n$, $3\cdot10^n$, $5\cdot10^n$, $7\cdot10^n$ y $9\cdot10^n$ hay uno que módulo $5^{n+1}$ va a ser congruente a $-5^na_1$.
s facil ver que se cumple para los casos n=1,2,3. Veo que $5^n$ divide a $10^n$ entonces escribimos el nuemro $5^n$ veo que para n>3 $5^n$ tiene menos de n digitos entonces si le sumamos $(2k+1)*10^n$ a $5^n$ tal que se forme un numero de n digitos eso seguira siendo multiplo de $5^n$ ya que $5^n$ divide a $10^n$.Entonces viendo que el caso n=3 cumple (375 es el numero que cumple) entonces si a ese numero le agrego un digito impar, y asi le hago para toda n se tendria un numero de n digitos impares, solo hay que ver que sea multiplo de $5^n$. Entonces veo que al numero que cumple para n-1 le tengo que sumar $(2k+1)(10^n)$ solo me falta demostrar que existe $(2k+1)(10^n)$ tal que sea congruente a -(el numero que cumple para n-1) modulo $5^n$. Eso es lo que llevo.
Tu idea es la correcta. Para terminar, sólo falta decir que, como $10^n$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$, entonces entre los números $1\cdot10^n$, $3\cdot10^n$, $5\cdot10^n$, $7\cdot10^n$ y $9\cdot10^n$ hay uno que módulo $5^{n+1}$ va a ser congruente a -(el numero que cumple para n-1) modulo $5^n$.
$\text{Buscamos un entero }k\text{tal que }$
ResponderBorrar$10^n\textgreater 5^nk\textgreater 10^{n-1}$
$Leftrightarrow 2^n\textgreater k\textgreater 2^{n-1}$
$\text{Vemos que a partir de }n\textgreater 1,n\equiv 25 \mod{100}$
$\text{Dividimos en cuatro casos:}$
$k\equiv 1\mod{4}\Rightarrow 5^nk\equiv 25\mod{100}$
$k\equiv 2\mod{4}\Rightarrow 5^nk\equiv 50\mod{100}$
$k\equiv 3\mod{4}\Rightarrow 5^nk\equiv 75\mod{100}$
$k\equiv 4\mod{4}\Rightarrow 5^nk\equiv 0\mod{100}$
$\Rightarrow k\equiv 3\mod{4}$
$\text{Luego vemos que a partir de }n>2\text{ si }$
$n\equiv 1\mod{2}\Rightarrow 5^n\equiv 125\mod{1000}$
$n\equiv 0\mod{2}\Rightarrow 5^n\equiv 625\mod{1000}$
$\text{Luego vemos }5^nk\mod{1000}\text{ y concluimos que si:}$
$5^n\equiv 125\mod{1000}\Rightarrow k\equiv 3\mod{8}$
$5^n\equiv 625\mod{100}\Rightarrow k\equiv 7\mod{8}$
$\text{De todo esto sacamos que:}$
$2^n\textgreater k\textgreater 2^{n-1}$
$\text{Si }n\equiv 1\mod{2}\Rightarrow k\equiv 3\mod{8}$
$\text{Si }n\equiv 0\mod{2}\Rightarrow k\equiv 7\mod{8}$
$\text{Tambien podemos ver que al fijarnos en }5^n\mod{10^x}$
$\text{podremos acotar }k\mod{2^x}$
$\text{Es lo que llevo, aun no encuentro como asegurar la existencia de }k$
Incompleto.
BorrarLos casos pequeños están bien, pero falta resolverlo en general.
He visto muy poca actividad en este problema (y ya es el tercer día), así que voy a dar una sugerencia:
ResponderBorrarInducción.
nos damos cuenta que funciona para el 1 nuestra hipotesis es que funciona hasta n y P.D que funciona has n+1 bueno por la hipotesis tenemos que existe un numero Y congruente a 0 mod 5 a la n, entonces existe un numero 5y tal que se congruente a 0 mod 5 a la n+1 y ya que Y tiene puros numeros impares sabemos que las multiplicaciones van a impares por 5 por lo tanto todos los numeros van a ser impares
ResponderBorrarIncompleto.
BorrarLas multiplicaciones por 5 no generan digitos impares. Basta con ver que $(5)(5)=25$, que tiene un digito par.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarLo vemos por inducción.
ResponderBorrarCaso base: n=1, 5 es múltiplo de $5^1$ y tiene 1 dígito que es impar.
Supongamos que es cierto para k.
Hacemos X el número que cumple para k.
Las posibles congruencias módulo $5^{k+1}$ de X son $0, 5^k, 2(5^k), 3(5^k), 4(5^k)$ porque X es múltiplo de $5^k$ y $5^{k+1}=5(5^k)$, las posibles congruencias de $10^k$ son son las mismas por las mismas razones. Entonces alguno de $10^k,3(10^k),5(10^k),7(10^k),9(10^k)$ tiene cada una de esas congruencias.
Si X cumple para k, alguno de $X+10^k,X+3(10^k),X+5(10^k),X+7(10^k),X+9(10^k)$ es congruente a $0 \pmod{k+1}$ (porque sin importar la congruencia de X, alguno de esos múltiplos de $10^k$ es congruente a -X).
Este número tiene k+1 dígitos (porque X tiene k y al sumarle un múltiplo de $10^k$ le agregamos otro), todos son impares (porque todos los de X lo son y le agregamos un impar) y es múltiplo de $5^{k+1}$, por lo tanto si existe para k entonces existe para k+1, como existe para n=1, existe para todos los naturales.
Correcto.
BorrarHasta ahorita lo que llevo es lo siguiente:
ResponderBorrar-Sabemos que todo $5^n$ termina en $25$, intentamos ver un patrón para ver las ultimas dos cifras de un múltiplo de $5^n$:
$25*1=25$
$25*2=50$
$25*3=75$ Cumple
$25*4=100$
$25*5=125$
$25*6=150$
$25*7=175$ Cumple
$25*8=200$
Observamos que $5^n(x\equiv 3\mod 4)$ es la única manera de que el múltiplo tenga de $5^n$ tenga todas sus cifras impares.
Podemos descomponer el numero como:
P.D
$a_1*10^{n-1}+a_2*10^{n-2}+a_3*10^{n-3}...7*10^{1}+a_5*10^{0}\equv 0\mod 5^n$
$\rightarrow$
$a_1*(4y-1)(5^{n-1})+a_2*(4y-1)(5^{n-2})+a_3*(4y-1)(5^{n-3}...7*(4y-1)(10^{1})+5*(4y-1)(10^{0})\equv 0\mod 5^n$
Esto es lo que llevo
Incompleto.
BorrarEs verdad que debe ser $\equiv 3(mod 4)$, pero falta una manera de construir los números.
Esto es lo poco que avance...
ResponderBorrarP.D. Que para toda $n$ , se cumple que $5^n \mid M$ , con $M=(5^n)k$ compuesto de $n$ digitos impares.
Con inducción, hacemos nuestra base:
$n \rightarrow 5^n \mid M$
Asegurando que esa esa $n$ existe viendo el caso en que $n=1$ :
$1 \rightarrow 5^1 \mid 5$
Entonces buscamos un $n+1$ que cumpla:
$n+1 \rightarrow 5^{n+1} \mid M_1$ , talque $M_1 = (5^{n+1})q$
$\Rightarrow M_1 \equiv Y \pmod 5^{n+1}$
$\Rightarrow Y \equiv M_1 \pmod 5^{n+1}$
Con eso último no se me ocurrio que hacer, asi que ahora uso $M$ :
$M \equiv X \pmod 5^{n+1}$
$(5^n)k \equiv X \pmod 5^{n+1}$
$\Rightarrow X \equiv (5^n)0 , (5^n)1 , (5^n)2 , (5^n)3 , (5^n)4 \pmod 5^{n+1}$ (Alguna de esas congruencias)
Creo que de eso puede surgir algo útil... pero hasta aquí tengo.
Me di cuenta de que todos los $5^n$ acaban en $25$ , con $n>1$
BorrarEntonces el número al que divide, al ser un múltiplo de $25$ va a terminar en $25$ , $50$ , $75$ o $00$ . Pero como debe estar compuesto de dígitos impares, el número por el que se multiplica $5^n$ , es decir $k$ , debe ser $\equiv 3 \pmod 4$ .
Falta demostrar que con eso, el número tendría puros dígitos impares.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
BorrarIncompleto.
BorrarEs verdad que debe ser $\equiv 3(mod 4)$, pero falta una manera de construir los números.
Intento.-
ResponderBorrarVi los casos chicos para encontrar algún patrón:
Lo siguiente es de la forma:
Para:$\rightarrow$Múltiplo de:$\rightarrow$Número que cumple:
$n=1 \rightarrow 5 \rightarrow 5$
$n=2 \rightarrow 25 \rightarrow 75$
$n=3 \rightarrow 125 \rightarrow 375$
$n=4 \rightarrow 625 \rightarrow 9375$
$n=5 \rightarrow 3125 \rightarrow 59375$
$n=6 \rightarrow 15625 \rightarrow 35975$
De aquí sacamos que para toda $n$ existe un número que cumple tal que es el resultado de agregar un dígito impar a la izquierda al número que cumple para $n-1$ para lo cual intentaré inducción utilizando los casos $n=1, n=2$ como casos base.
Se debe cumplir que:
$\exists{k}\forall{n}: 5^{n}a_{1}+10^{n}(2k+1)=5^{n+1}a_{2}$ donde $a_1, a_2\in{N}$ y $0\leq{k}\leq{4}$
hasta aqui llevo
Tu idea es la correcta.
BorrarPara terminar, sólo falta decir que, como $10^n$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$, entonces entre los números $1\cdot10^n$, $3\cdot10^n$, $5\cdot10^n$, $7\cdot10^n$ y $9\cdot10^n$ hay uno que módulo $5^{n+1}$ va a ser congruente a $-5^na_1$.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrars facil ver que se cumple para los casos n=1,2,3.
ResponderBorrarVeo que $5^n$ divide a $10^n$ entonces escribimos el nuemro $5^n$ veo que para n>3 $5^n$ tiene menos de n digitos entonces si le sumamos $(2k+1)*10^n$ a $5^n$ tal que se forme un numero de n digitos eso seguira siendo multiplo de $5^n$ ya que $5^n$ divide a $10^n$.Entonces viendo que el caso n=3 cumple (375 es el numero que cumple) entonces si a ese numero le agrego un digito impar, y asi le hago para toda n se tendria un numero de n digitos impares, solo hay que ver que sea multiplo de $5^n$. Entonces veo que al numero que cumple para n-1 le tengo que sumar $(2k+1)(10^n)$ solo me falta demostrar que existe $(2k+1)(10^n)$ tal que sea congruente
a -(el numero que cumple para n-1) modulo $5^n$. Eso es lo que llevo.
Tu idea es la correcta.
BorrarPara terminar, sólo falta decir que, como $10^n$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$, entonces entre los números $1\cdot10^n$, $3\cdot10^n$, $5\cdot10^n$, $7\cdot10^n$ y $9\cdot10^n$ hay uno que módulo $5^{n+1}$ va a ser congruente a -(el numero que cumple para n-1) modulo $5^n$.