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domingo, 30 de septiembre de 2012

Problema del día. Algebra (30 de septiembre)

Prueba que para cada entero positivo n existe un número de n dígitos múltiplo de 5n y compuesto únicamente de dígitos impares.

19 comentarios:

  1. Buscamos un entero ktal que 
    10n\textgreater5nk\textgreater10n1
    Leftrightarrow2n\textgreaterk\textgreater2n1

    Vemos que a partir de n\textgreater1,n25mod100

    Dividimos en cuatro casos:

    k1mod45nk25mod100
    k2mod45nk50mod100
    k3mod45nk75mod100
    k4mod45nk0mod100

    k3mod4

    Luego vemos que a partir de n>2 si 
    n1mod25n125mod1000
    n0mod25n625mod1000

    Luego vemos 5nkmod1000 y concluimos que si:

    5n125mod1000k3mod8
    5n625mod100k7mod8

    De todo esto sacamos que:
    2n\textgreaterk\textgreater2n1
    Si n1mod2k3mod8
    Si n0mod2k7mod8

    Tambien podemos ver que al fijarnos en 5nmod10x
    podremos acotar kmod2x

    Es lo que llevo, aun no encuentro como asegurar la existencia de k

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    1. Incompleto.
      Los casos pequeños están bien, pero falta resolverlo en general.

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  2. He visto muy poca actividad en este problema (y ya es el tercer día), así que voy a dar una sugerencia:
    Inducción.

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  3. nos damos cuenta que funciona para el 1 nuestra hipotesis es que funciona hasta n y P.D que funciona has n+1 bueno por la hipotesis tenemos que existe un numero Y congruente a 0 mod 5 a la n, entonces existe un numero 5y tal que se congruente a 0 mod 5 a la n+1 y ya que Y tiene puros numeros impares sabemos que las multiplicaciones van a impares por 5 por lo tanto todos los numeros van a ser impares

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    1. Incompleto.
      Las multiplicaciones por 5 no generan digitos impares. Basta con ver que (5)(5)=25, que tiene un digito par.

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  4. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  5. Lo vemos por inducción.
    Caso base: n=1, 5 es múltiplo de 51 y tiene 1 dígito que es impar.
    Supongamos que es cierto para k.
    Hacemos X el número que cumple para k.
    Las posibles congruencias módulo 5k+1 de X son 0,5k,2(5k),3(5k),4(5k) porque X es múltiplo de 5k y 5k+1=5(5k), las posibles congruencias de 10k son son las mismas por las mismas razones. Entonces alguno de 10k,3(10k),5(10k),7(10k),9(10k) tiene cada una de esas congruencias.
    Si X cumple para k, alguno de X+10k,X+3(10k),X+5(10k),X+7(10k),X+9(10k) es congruente a 0(modk+1) (porque sin importar la congruencia de X, alguno de esos múltiplos de 10k es congruente a -X).
    Este número tiene k+1 dígitos (porque X tiene k y al sumarle un múltiplo de 10k le agregamos otro), todos son impares (porque todos los de X lo son y le agregamos un impar) y es múltiplo de 5k+1, por lo tanto si existe para k entonces existe para k+1, como existe para n=1, existe para todos los naturales.

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  6. Hasta ahorita lo que llevo es lo siguiente:
    -Sabemos que todo 5n termina en 25, intentamos ver un patrón para ver las ultimas dos cifras de un múltiplo de 5n:
    251=25
    252=50
    253=75 Cumple
    254=100
    255=125
    256=150
    257=175 Cumple
    258=200
    Observamos que 5n(x3mod4) es la única manera de que el múltiplo tenga de 5n tenga todas sus cifras impares.
    Podemos descomponer el numero como:
    P.D
    a110n1+a210n2+a310n3...7101+a5100\equv0mod5n


    a1(4y1)(5n1)+a2(4y1)(5n2)+a3(4y1)(5n3...7(4y1)(101)+5(4y1)(100)\equv0mod5n

    Esto es lo que llevo

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    1. Incompleto.
      Es verdad que debe ser 3(mod4), pero falta una manera de construir los números.

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  7. Esto es lo poco que avance...
    P.D. Que para toda n , se cumple que 5nM , con M=(5n)k compuesto de n digitos impares.
    Con inducción, hacemos nuestra base:
    n5nM
    Asegurando que esa esa n existe viendo el caso en que n=1 :
    1515
    Entonces buscamos un n+1 que cumpla:
    n+15n+1M1 , talque M1=(5n+1)q
    M1Y(mod5)n+1
    YM1(mod5)n+1
    Con eso último no se me ocurrio que hacer, asi que ahora uso M :
    MX(mod5)n+1
    (5n)kX(mod5)n+1
    X(5n)0,(5n)1,(5n)2,(5n)3,(5n)4(mod5)n+1 (Alguna de esas congruencias)
    Creo que de eso puede surgir algo útil... pero hasta aquí tengo.

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    1. Me di cuenta de que todos los 5n acaban en 25 , con n>1
      Entonces el número al que divide, al ser un múltiplo de 25 va a terminar en 25 , 50 , 75 o 00 . Pero como debe estar compuesto de dígitos impares, el número por el que se multiplica 5n , es decir k , debe ser 3(mod4) .
      Falta demostrar que con eso, el número tendría puros dígitos impares.

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    2. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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    3. Incompleto.
      Es verdad que debe ser 3(mod4), pero falta una manera de construir los números.

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  8. Intento.-
    Vi los casos chicos para encontrar algún patrón:
    Lo siguiente es de la forma:
    Para:Múltiplo de:Número que cumple:
    n=155
    n=22575
    n=3125375
    n=46259375
    n=5312559375
    n=61562535975
    De aquí sacamos que para toda n existe un número que cumple tal que es el resultado de agregar un dígito impar a la izquierda al número que cumple para n1 para lo cual intentaré inducción utilizando los casos n=1,n=2 como casos base.
    Se debe cumplir que:
    kn:5na1+10n(2k+1)=5n+1a2 donde a1,a2N y 0k4
    hasta aqui llevo

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    1. Tu idea es la correcta.
      Para terminar, sólo falta decir que, como 10n es múltiplo de 5n pero no de 5n+1, entonces entre los números 110n, 310n, 510n, 710n y 910n hay uno que módulo 5n+1 va a ser congruente a 5na1.

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  10. s facil ver que se cumple para los casos n=1,2,3.
    Veo que 5n divide a 10n entonces escribimos el nuemro 5n veo que para n>3 5n tiene menos de n digitos entonces si le sumamos (2k+1)10n a 5n tal que se forme un numero de n digitos eso seguira siendo multiplo de 5n ya que 5n divide a 10n.Entonces viendo que el caso n=3 cumple (375 es el numero que cumple) entonces si a ese numero le agrego un digito impar, y asi le hago para toda n se tendria un numero de n digitos impares, solo hay que ver que sea multiplo de 5n. Entonces veo que al numero que cumple para n-1 le tengo que sumar (2k+1)(10n) solo me falta demostrar que existe (2k+1)(10n) tal que sea congruente
    a -(el numero que cumple para n-1) modulo 5n. Eso es lo que llevo.

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    1. Tu idea es la correcta.
      Para terminar, sólo falta decir que, como 10n es múltiplo de 5n pero no de 5n+1, entonces entre los números 110n, 310n, 510n, 710n y 910n hay uno que módulo 5n+1 va a ser congruente a -(el numero que cumple para n-1) modulo 5n.

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