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martes, 25 de septiembre de 2012

Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)

¿Para qué naturales n la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9?

27 comentarios:

  1. Veo que 10n=(2n)(5n), entonces los divisores de 10n son:

    1,2,22,23,...,2n
    5,52,53,...,5n
    (2)(5),(22)(5),(23)(5),...,(2n)(5)
    (2)(52),(22)(52),(23)(52),...,(2n)(52)
    .
    .
    .
    (2)(5n)(22)(5n)...(2n)(5n)

    Y al sumar todos esos divisores y factorizar es facil ver que queda:
    (1+2+22+23+...+2n)(1+5+52+53+...+5n)
    y eso es igual a:
    (2n+11)(5n+114
    Entonces hay tres casos:
    CASO 1:9 DIVIDE A (2n+11.
    Viendo las distintas congruencias de las potencias de 2 modulo 9 me fijo que cada seis se repiten y la sexta es congruente a 1, por lo que n en este caso n debe ser de la forma 6k+5.
    CASO 2:9 DIVIDE A 5n+114
    Me fijo que como mcd(9,4)=1 etnoces n debe dividir a 5n+11 entonces en este caso n tambien debe ser de la forma 6k+5.
    CASO 3:Ambos terminos son multiplos de 3
    Si los dos son multiplos de 3$$ es facil ver que n debe ser de la forma $2k+1$ entnoces me fijo que si un numero es de la forma $6k+5$ tambien lo es de la forma $2x+1$.
    Entonces todos los impares satisfacen las condiciones del problema.

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  2. Primeramente tenemos que:
    10n=2n5n
    De aquí que los divisores son:
    20(50),20(51),20(52),,20(5n)
    21(50),21(51),21(52),,21(5n)
    22(50),22(51),22(52),,22(5n)

    2n(50),2n(51),2n(52),,2n(5n)
    Por lo que luego de sumar los divisores y factorizar, tenemos:
    (20+21+22++2n)(50+51+52++5n)
    Aplicando la fórmula: x0+x1++xr=xr+11x1 lo anterior es igual a:
    (2n+11)(5n+114)=(2n+11)(5n+11)4,mcd(9,4)=19=32|(2n+11)(5n+11)
    Vemos los patrones:
    212(mod9),224(mod9),238(mod9),247(mod9),255(mod9),261(mod9)
    515(mod9),527(mod9),538(mod9),544(mod9),552(mod9),561(mod9)
    Si 9|(2n+11)(5n+11) tenemos 3 casos:
    Caso.- 9|(2n+11)2n+11(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k1+5=2k2+1
    Caso.- 9|(5n+11)5n+11(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k3+5=2k2+1
    Caso.- 3|(2n+11),3|(5n+11)n=2k4+1, de aquí que se cumple para naturales impares.

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  3. Nos fijamos en que 10n=2n5n
    Luego, todos los divisores son de la forma 2a5b con 1\textlessa,b\textlessn
    Al sumar los divisores de 10nquedara:
    (20+21+22++2n)(50+51+52++5n)
    Luego, queremos que 9|(2n+11)(5n+114)

    Nos fijamos en las potencias de 2enmod9
    212mod9
    224mod9
    238mod9
    247mod9
    255mod9
    261mod9
    272mod9
    Luego, las potencias se ciclan cada 6
    Luego vemos que para que en 2n+11haya al menos factor 3n+10,2,4mod6
    n1,3,5mod6

    Ahora nos fijamos en las potencias de 5enmod9
    515mod9
    527mod9
    538mod9
    544mod9
    552mod9
    561mod9
    575mod9
    Luego, las potencias se ciclan cada 6
    Luego vemos que para que en 5n+11haya al menos factor 3n+10,2,4mod6
    n1,3,5mod6
    Tambien es facil ver que si 9|5n+11
    9|5n+114

    Ahora vemos que las congruencias que funcionan para las potencias de 2
    son las mismas que funcionan para las potencias de 5, las cuales son:
    1,3,5

    Toda nimpar satisface las condiciones del problema

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  4. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  5. La suma de divisores de 10n es:
    2050+2150+2250+...+2n50+
    2051+2151+2251+...+2n51+
    ...
    205n+215n+225n+...+2n5n
    =(20+21+22+...+2n)(50+51+52+...+5n)
    Vemos las congruencias mod 3 de las potencias de 2 y 5 y de sus sumas.
    201(mod3),201(mod3)
    212(mod3),20+210(mod3)
    221(mod3),20+21+221(mod3)
    232(mod3),20+21+22+230(mod3)

    501(mod3),501(mod3)
    512(mod3),50+510(mod3)
    521(mod3),50+51+521(mod3)
    532(mod3),50+51+52+530(mod3)
    Aquí podemos ver que la congruencia módulo 3 de la suma de las potencias de de 2 y 5 se cicla cada 2, y para todos los impares la suma es congruente a 0 y por lo tanto múltiplo de 3.
    Como ambos son múltiplo de 3 (para los impares), su producto (la suma de los divisores) es múltiplo de 9.
    Para los pares la suma de potencia es congruente a 1, entonces su producto es congruente a 1 y no divisible entre 3, entonces tampoco es múltiplo de 9.
    Por lo tanto, la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 para todos los impares y sólo para los impares.

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    1. :)

      Me gustaria que hubieses puesto la demostracion de tu argumento del antepenultimo parrafo.

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  6. que vergüenza pero hasta aquí e llegado :|, mi intento
    http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4670715930122&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater

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    1. estoy trabajando en lo que sigue:l pero estoy batallando algo con los modulos :|

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    2. Hola Ana.
      En tu trabajo no pones a que te refieres con eso de divisores de 10n. Ya se que pudiese resultar algo obvio, pero eso es solamente porque conozco el problema y su solucion. Pero si de entrada solo hubiese leido el problema y lo que tu llevas, no comprenderia a que te refieres con tu avance.

      Sigue intentando.

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  7. La suma de los divisores de 10n es:
    20(50+51+52++5n)

    21(50+51+52++5n)

    22(50+51+52++5n)...

    2n(50+51+52++5n)

    =(20+21+22++2n)(50+51+52++5n)

    =(2n+111)(5n+114)

    Tenemos con que valores de n se cumple que 9|(2n+111)(5n+114)
    Si 9|2n+11 entonces 2n+110mod9 y nos fijamos en los patrones de las potencias 2 con modulo 9 y sabemos que 261mod9 por lo tanto 25+11mod9 n=5
    Si 9|5n+114 sabemos que 4 divide a 5n+11 ya que 5 elevado a cualquier potencia siempre termina en 25 entonces 251=24 y 24 serian los últimos dos dígitos de la operación cumpliendo con el criterio de 4, podemos decir que si 9|5n+11 entonces 5n+110mod9 5n+11mod9 y sabemos que 561mod9 entonces 55+110mod9 n=5
    Hasta aqui llegue.

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  8. Tenemos que los divisores de 10n son:
    20,21,22,2n
    50,51,52,5n



    205n,225n,225n,2n5n
    De aqui, es posible factorizarlo como:
    ni=0 2xi ni=1 5xi
    Lo cual, por la fórmula conocida, es posible ponerlo como:
    2n+115n+114
    De aqui, vemos las congruencias modulo 9:
    2111(mod9) 5114(mod9)
    2213(mod9) 5216(mod9)
    2317(mod9) 5317(mod9)
    2416(mod9) 5413(mod9)
    2514(mod9) 5511(mod9)
    2610(mod9) 5610(mod9)

    La congruencia se cicla tras estos modulos.

    Como la n es igual en ambos casos, tenemos que al multiplicar por la congruencia modulo 9, los casos pares no cumplen, mientras que los casos en los que n es impar, cumplen, pues estos dan como producto, 18, 18 y 0, al ciclarse, estos continuarán dando este patrón.
    Por lo anterior, todos los n impares, cumplen que 9 divide a la suma de los divisores de 10n Q.E.D.

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  9. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  10. Sabemos que: 10n=2n×5n
    Entonces tenemos los divisores de 10n :
    20(50),20(51),,20(5n1),20(5n)
    21(50),21(51),,21(5n1),21(5n)

    20(50),20(51),,20(5n1),20(5n)
    2n(50),2n(51),,2n(5n1),2n(5n)
    Factorizamos todo lo de arriba y tenemos:
    (20+21++2n1+2n)(50+51++5n1+5n)
    Y aplicando la formula de suma de potencias, obtenemos la suma de los divisores de 10n :
    (2n+11)×5n+114
    Para que ese producto, sea multiplo de 9 , ambos deben ser multiplos de 3 o alguno de ellos de 9 .
    Vemos las congruencias módulo 3 de ambos términos:
    2n+11
    Queremos que se cumpla esto:
    2n+110(mod3)
    2n+11(mod3)
    Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 2 :
    201(mod3)
    212(mod3)
    221(mod3)
    232(mod3)
    Vemos que:
    2par1(mod3)
    2impar2(mod3)
    n+1 debe ser par,
    n es impar.
    5n+114
    Queremos que se cumpla esto:
    5n+1140(mod3)
    5n+110(mod3)
    5n+11(mod3)
    Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 5 :
    501(mod3)
    512(mod3)
    521(mod3)
    532(mod3)
    Vemos que:
    5par1(mod3)
    5impar2(mod3)
    n+1 debe ser par,
    n es impar.
    Ahora vemos las congruencias módulo 9 de ambos términos:
    2n+11
    Queremos que se cumpla esto:
    2n+110(mod9)
    2n+11(mod9)
    Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 2 :
    201(mod9)
    212(mod9)
    224(mod9)
    238(mod9)
    247(mod9)
    255(mod9)
    261(mod9)
    272(mod9)
    Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
    n+1=6k
    n=6k+5 (impar)
    5n+114
    Queremos que se cumpla esto:
    5n+1140(mod9)
    5n+110(mod9)
    5n+11(mod9)
    Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 5 :
    501(mod9)
    515(mod9)
    527(mod9)
    538(mod9)
    544(mod9)
    552(mod9)
    561(mod9)
    575(mod9)
    Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
    n+1=6k
    n=6k+5 (impar)
    Para todos los n impares la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 .

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  11. podemos ver que 10n sus factores van a ser 2n5n y sus divisores van a ser :
    1,2,4,...,2n,5,25,...5n y todas sus convinaciones que serian:
    25,252,253,...25n
    4*5,4*25,...,4*^5^n

    2n5,2n25,...,2n5n
    pero nos podemos fijar que eso es igual a
    (1+2+4+...+2n)(1+5+25+...+5n) pero sabemos que eso es igual a
    (2n+11)(5n+114) entonces los dividimos en casos
    caso 1 2n+11 es dividible entre 9
    2n+11(mod9)
    entonces no fijamos que por los patrones de congruencias
    n+1=6x1
    caso 2 5n+114 es multiplo de 9
    entonces 5n+110(mod9)
    5n+11(mod9)
    entonces por patrones de congruencias n+1=6x
    caso 3 5n+114 y 2n+1 son mutiplod de por patrones de congeuencias n+1=2x

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    1. Llevas buen avance Martin.

      Falta darte cuenta de que uno de tus casos engloba al resto para que puedas concluir.

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  12. tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+11)(5n+114 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
    212(mod9)
    224(mod9)
    238(mod9)
    247(mod9)
    255(mod9)
    261(mod9)
    y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
    y ahora caso 2
    tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
    515(mod9)
    527(mod9)
    538(mod9)
    544(mod9)
    552(mod9)
    561(mod9)
    y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
    y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
    5n+11
    y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
    por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar

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    1. Te faltan detalles en tu solucion, Alberto. Pero te la dare por buena.

      :)

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  13. tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+11)(5n+114 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
    212(mod9)
    224(mod9)
    238(mod9)
    247(mod9)
    255(mod9)
    261(mod9)
    y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
    y ahora caso 2
    tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
    515(mod9)
    527(mod9)
    538(mod9)
    544(mod9)
    552(mod9)
    561(mod9)
    y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
    y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
    5n+11
    y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
    por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar

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  14. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  15. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465487190918&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y ESTA OTRA HOJA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465747190892&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater

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  16. Primero me fijo en que 10n=2n5n. Entonces, sus divisores son: 20,21,22,...,2n, 50,51,52,...,5n y la multiplicacion de alguna de las potencias de 2 por alguna de las potencias de 5. Entonces nos queda que la suma de todos sus divisores sera igual a (20+21+22+...+2n)(50+51+52+...+5n)
    Queremos saber para que ns cumple esto asi que lo separamos por casos.

    Caso 1: 20+21+22+...+2n0(mod9)

    Como eso sera un multiplo de 9, al multiplicarlo por 50+51+52+...+5n seguira siendo multiplo de 9. Entonces me fijo en que 2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n^+^1-1
    Entonces 2^n^+^1\equiv 1(mod9)

    Me fijo en que las potencias de 2 solo tienen 5 congruencias modulo 9. Cuando n5(mod5), 2n1(mod9)
    Entonces n4(mod5) para que esto cumpla.

    Caso 2: Cuando 50+51+52+...+5n0(mod9)
    5^0+5^1+5^2+...+5^n=\frac{5^n^+^1-1}{4}
    Entonces \frac{5^n^+^1-1}{4}\equiv 0(mod9)
    Podemos dividir entre 4 ya que 4 y 9 son primos relativos
    Entonces nos queda 5^n^+^1-1\equiv 0(mod9)
    5^n^+^1\equiv 1(mod9)
    Luego me fijo en que las potencias de 5 solo tienen 6 congruencias modulo 9.
    Entonces n5(mod6) para que cumpla.

    Caso 3: 50+51+52+...+5n3(mod9) y 20+21+22+...+2n3(mod9)

    Para que esto suceda al mismo tiempo, me fije en un patron que habia y se repetia cada 32 veces. Entonces n23(mod32) para que quede de esta manera y esos son los caso donde cumpliria.

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    1. El mismo comentario que anteriormente di:
      Tu avance es bueno, y de hecho casi concluyente, lo que te falta para poder terminar es notar que uno de tus casos engloba a los otros dos.

      Siguele pensando, ya merito. Te pongo un guiño porque ahi la llevas ;)

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    2. En el caso 2 me quede en que n5(mod6) Entonces n5(mod2)
      n1(mod2) Por lo tanto cumple para cualquier n impar

      Jaja, se me paso escribir eso. Ese era al que se referia?

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  17. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001211.jpg
    PARTE 1

    http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001221.jpg
    PARTE 2

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