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martes, 25 de septiembre de 2012
Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)
¿Para qué naturales $n$ la suma de los divisores de $10^{n}$ es múltiplo de 9?
Y al sumar todos esos divisores y factorizar es facil ver que queda: $(1+2+2^2+2^3+...+2^n)(1+5+5^2+5^3+...+5^n)$ y eso es igual a: $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$ Entonces hay tres casos: CASO 1:$9$ DIVIDE A $(2^{n+1}-1$. Viendo las distintas congruencias de las potencias de 2 modulo 9 me fijo que cada seis se repiten y la sexta es congruente a 1, por lo que n en este caso n debe ser de la forma $6k+5$. CASO 2:$9$ DIVIDE A $\frac{5^{n+1}-1}{4}$ Me fijo que como mcd(9,4)=1 etnoces n debe dividir a $5^{n+1}-1$ entonces en este caso n tambien debe ser de la forma $6k+5$. CASO 3:Ambos terminos son multiplos de $3$ Si los dos son multiplos de 3$$ es facil ver que n debe ser de la forma $2k+1$ entnoces me fijo que si un numero es de la forma $6k+5$ tambien lo es de la forma $2x+1$. Entonces todos los impares satisfacen las condiciones del problema.
Primeramente tenemos que: $10^{n}=2^{n}*5^{n}$ De aquí que los divisores son: $2^{0}(5^{0}), 2^{0}(5^{1}), 2^{0}(5^{2}), \cdots, 2^{0}(5^{n})$ $2^{1}(5^{0}), 2^{1}(5^{1}), 2^{1}(5^{2}), \cdots, 2^{1}(5^{n})$ $2^{2}(5^{0}), 2^{2}(5^{1}), 2^{2}(5^{2}), \cdots, 2^{2}(5^{n})$ $\cdots$ $2^{n}(5^{0}), 2^{n}(5^{1}), 2^{n}(5^{2}), \cdots, 2^{n}(5^{n})$ Por lo que luego de sumar los divisores y factorizar, tenemos: $(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n})(5^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots+5^{n})$ Aplicando la fórmula: $x^{0}+x^{1}+\cdots+x^{r}=\frac{x^{r+1}-1}{x-1}$ lo anterior es igual a: $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})=\frac{(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)}{4}, mcd(9,4)=1\Rightarrow 9=3^{2}|(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)$ Vemos los patrones: $\bullet 2^{1}\equiv{2}\pmod{9}, 2^{2}\equiv{4}\pmod{9}, 2^{3}\equiv{8}\pmod{9}, 2^{4}\equiv{7}\pmod{9}, 2^{5}\equiv{5}\pmod{9}, 2^{6}\equiv{1}\pmod{9}$ $\bullet 5^{1}\equiv{5}\pmod{9}, 5^{2}\equiv{7}\pmod{9}, 5^{3}\equiv{8}\pmod{9}, 5^{4}\equiv{4}\pmod{9}, 5^{5}\equiv{2}\pmod{9}, 5^{6}\equiv{1}\pmod{9}$ Si $9|(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)\Rightarrow$ tenemos $3$ casos: Caso.- $9|(2^{n+1}-1)\Rightarrow 2^{n+1}\equiv{1}\pmod{9}$ lo cual ya sabemos que solo se cumple para $n+1$ de la forma $6k_1$ por lo tanto $n=6k_1+5=2k_2+1$ Caso.- $9|(5^{n+1}-1)\Rightarrow 5^{n+1}\equiv{1}\pmod{9}$ lo cual ya sabemos que solo se cumple para $n+1$ de la forma $6k_1$ por lo tanto $n=6k_3+5=2k_2+1$ Caso.- $3|(2^{n+1}-1), 3|(5^{n+1}-1)\Rightarrow n=2k_4+1$, de aquí que se cumple para naturales impares.
$\text{Nos fijamos en que }10^n=2^n5^n$ $\text{Luego, todos los divisores son de la forma }2^a5^b \text{ con } 1\textless a,b\textless n$ $\text{Al sumar los divisores de }10^n\text{quedara:}$ $(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n)(5^0+5^1+5^2+\cdots+5^n)$ $\text{Luego, queremos que }9|(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})$
$\text{Nos fijamos en las potencias de }2{ en }\mod{9}$ $2^1\equiv 2\mod{9}$ $2^2\equiv 4\mod{9}$ $2^3\equiv 8\mod{9}$ $2^4\equiv 7\mod{9}$ $2^5\equiv 5\mod{9}$ $2^6\equiv 1\mod{9}$ $2^7\equiv 2\mod{9}$ $\text{Luego, las potencias se ciclan cada }6$ $\text{Luego vemos que para que en }2^{n+1}-1 \text{haya al menos factor 3}n+1\equiv 0,2,4 \mod{6}$ $\Rightarrow n \equiv 1,3,5 \mod{6}$
$\text{Ahora nos fijamos en las potencias de }5{ en }\mod{9}$ $5^1\equiv 5\mod{9}$ $5^2\equiv 7\mod{9}$ $5^3\equiv 8\mod{9}$ $5^4\equiv 4\mod{9}$ $5^5\equiv 2\mod{9}$ $5^6\equiv 1\mod{9}$ $5^7\equiv 5\mod{9}$ $\text{Luego, las potencias se ciclan cada }6$ $\text{Luego vemos que para que en }5^{n+1}-1 \text{haya al menos factor 3}n+1\equiv 0,2,4 \mod{6}$ $\Rightarrow n \equiv 1,3,5 \mod{6}$ $\text{Tambien es facil ver que si }9|5^{n+1}-1$ $9|\frac{5^{n+1}-1}{4}$
$\text{Ahora vemos que las congruencias que funcionan para las potencias de 2}$ $\text{son las mismas que funcionan para las potencias de 5, las cuales son:}$ $1,3,5$
$\therefore\boxed{\text{Toda }n\text{impar satisface las condiciones del problema}}$
La suma de divisores de $10^n$ es: $2^05^0+2^15^0+2^25^0+...+2^n5^0+$ $2^05^1+2^15^1+2^25^1+...+2^n5^1+$ ... $2^05^n+2^15^n+2^25^n+...+2^n5^n$ $=(2^0+2^1+2^2+...+2^n)(5^0+5^1+5^2+...+5^n)$ Vemos las congruencias mod 3 de las potencias de 2 y 5 y de sus sumas. $2^0 \equiv 1 \pmod{3}, 2^0 \equiv 1 \pmod{3}$ $2^1 \equiv 2 \pmod{3}, 2^0+2^1 \equiv 0 \pmod{3}$ $2^2 \equiv 1 \pmod{3}, 2^0+2^1+2^2 \equiv 1 \pmod{3}$ $2^3 \equiv 2 \pmod{3}, 2^0+2^1+2^2+2^3 \equiv 0 \pmod{3}$
$5^0 \equiv 1 \pmod{3}, 5^0 \equiv 1 \pmod{3}$ $5^1 \equiv 2 \pmod{3}, 5^0+5^1 \equiv 0 \pmod{3}$ $5^2 \equiv 1 \pmod{3}, 5^0+5^1+5^2 \equiv 1 \pmod{3}$ $5^3 \equiv 2 \pmod{3}, 5^0+5^1+5^2+5^3 \equiv 0 \pmod{3}$ Aquí podemos ver que la congruencia módulo 3 de la suma de las potencias de de 2 y 5 se cicla cada 2, y para todos los impares la suma es congruente a 0 y por lo tanto múltiplo de 3. Como ambos son múltiplo de 3 (para los impares), su producto (la suma de los divisores) es múltiplo de 9. Para los pares la suma de potencia es congruente a 1, entonces su producto es congruente a 1 y no divisible entre 3, entonces tampoco es múltiplo de 9. Por lo tanto, la suma de los divisores de $10^n$ es múltiplo de 9 para todos los impares y sólo para los impares.
que vergüenza pero hasta aquí e llegado :|, mi intento http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4670715930122&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
Hola Ana. En tu trabajo no pones a que te refieres con eso de divisores de $10^n$. Ya se que pudiese resultar algo obvio, pero eso es solamente porque conozco el problema y su solucion. Pero si de entrada solo hubiese leido el problema y lo que tu llevas, no comprenderia a que te refieres con tu avance.
La suma de los divisores de $10^n$ es: $2^0(5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$2^1(5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$2^2(5^0+5^1+5^2+…+5^n) . . .$
$2^n (5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$=(2^0+2^1+2^2+…+2^n) (5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$=(\frac{2^{n+1} -1}{1})(\frac{5^{n+1} -1}{4})$
Tenemos con que valores de $n$ se cumple que $9|(\frac{2^{n+1} -1}{1})(\frac{5^{n+1} -1}{4})$ Si $9|2^{n+1}-1$ entonces $2^{n+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ y nos fijamos en los patrones de las potencias $2$ con modulo $9$ y sabemos que $2^{6}\equiv 1 \mod{9}$ por lo tanto $2^{5+1}\equiv 1\mod{9}$ $n=5$ Si $9|\frac{5^{n+1} -1}{4}$ sabemos que $4$ divide a $5^{n+1}-1$ ya que $5$ elevado a cualquier potencia siempre termina en $25$ entonces $25-1=24$ y $24$ serian los últimos dos dígitos de la operación cumpliendo con el criterio de $4$, podemos decir que si $9|5^{n+1}-1$ entonces $5^{n+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ $5^{n+1}\equiv 1 \mod{9}$ y sabemos que $5^{6}\equiv 1 \mod{9}$ entonces $5^{5+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ $n=5$ Hasta aqui llegue.
Como la $n$ es igual en ambos casos, tenemos que al multiplicar por la congruencia modulo 9, los casos pares no cumplen, mientras que los casos en los que $n$ es impar, cumplen, pues estos dan como producto, 18, 18 y 0, al ciclarse, estos continuarán dando este patrón. Por lo anterior, todos los $n$ impares, cumplen que 9 divide a la suma de los divisores de $10^n$ Q.E.D.
podemos ver que $10^n$ sus factores van a ser $2^n*5^n$ y sus divisores van a ser : $1,2,4,...,2^n,5,25,...5^n$ y todas sus convinaciones que serian: $2*5,2*5^2,2*5^3,...2*5^n$ $4*5,4*25,...,4*^5^n$ $\cdots$ $2^n*5,2^n*25,...,2^n*5^n$ pero nos podemos fijar que eso es igual a $(1+2+4+...+2^n)(1+5+25+...+5^n)$ pero sabemos que eso es igual a $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})$ entonces los dividimos en casos caso 1 $2^{n+1}-1$ es dividible entre 9 $2^{n+1} \equiv 1 (mod 9)$ entonces no fijamos que por los patrones de congruencias $n+1=6x-1$ caso 2 $\frac{5^{n+1}-1}{4}$ es multiplo de 9 entonces $5^{n+1}-1 \equiv 0 (mod 9)$ $5^{n+1} \equiv 1 (mod 9)$ entonces por patrones de congruencias $n+1=6x$ caso 3 $\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y $2^{n+1}$ son mutiplod de por patrones de congeuencias $n+1=2x$
tienes que la suma de las potencias de $10$ es igual a $(1+2+4+8...+2^n)(1+5+25+125+...+5^n)$ pero eso es $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi $2^1\equiv2(mod9)$ $2^2\equiv4(mod9)$ $2^3\equiv8(mod9)$ $2^4\equiv7(mod9)$ $2^5\equiv5(mod9)$ $2^6\equiv1(mod9)$ y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9 y ahora caso 2 tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi $5^1\equiv5(mod9)$ $5^2\equiv7(mod9)$ $5^3\equiv8(mod9)$ $5^4\equiv4(mod9)$ $5^5\equiv2(mod9)$ $5^6\equiv1(mod9)$ y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9 y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos $5^{n+1}-1$ y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
tienes que la suma de las potencias de $10$ es igual a $(1+2+4+8...+2^n)(1+5+25+125+...+5^n)$ pero eso es $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi $2^1\equiv2(mod9)$ $2^2\equiv4(mod9)$ $2^3\equiv8(mod9)$ $2^4\equiv7(mod9)$ $2^5\equiv5(mod9)$ $2^6\equiv1(mod9)$ y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9 y ahora caso 2 tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi $5^1\equiv5(mod9)$ $5^2\equiv7(mod9)$ $5^3\equiv8(mod9)$ $5^4\equiv4(mod9)$ $5^5\equiv2(mod9)$ $5^6\equiv1(mod9)$ y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9 y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos $5^{n+1}-1$ y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465487190918&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y ESTA OTRA HOJA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465747190892&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
Primero me fijo en que $10^n=2^n*5^n$. Entonces, sus divisores son: $2^0,2^1,2^2,...,2^n$, $5^0,5^1,5^2,...,5^n$ y la multiplicacion de alguna de las potencias de $2$ por alguna de las potencias de $5$. Entonces nos queda que la suma de todos sus divisores sera igual a $(2^0+2^1+2^2+...+2^n)*(5^0+5^1+5^2+...+5^n)$ Queremos saber para que $n$s cumple esto asi que lo separamos por casos.
Caso 1: $2^0+2^1+2^2+...+2^n\equiv 0 (mod9)$
Como eso sera un multiplo de 9, al multiplicarlo por $5^0+5^1+5^2+...+5^n$ seguira siendo multiplo de 9. Entonces me fijo en que $2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n^+^1-1$ Entonces $2^n^+^1\equiv 1(mod9)$
Me fijo en que las potencias de $2$ solo tienen 5 congruencias modulo 9. Cuando $n\equiv 5(mod5)$, $2^n\equiv 1(mod9)$ Entonces $n\equiv 4 (mod5)$ para que esto cumpla.
Caso 2: Cuando $5^0+5^1+5^2+...+5^n\equiv 0(mod9)$ $5^0+5^1+5^2+...+5^n=\frac{5^n^+^1-1}{4}$ Entonces $\frac{5^n^+^1-1}{4}\equiv 0(mod9)$ Podemos dividir entre $4$ ya que $4$ y $9$ son primos relativos Entonces nos queda $5^n^+^1-1\equiv 0(mod9)$ $5^n^+^1\equiv 1(mod9)$ Luego me fijo en que las potencias de $5$ solo tienen 6 congruencias modulo 9. Entonces $n\equiv 5(mod6)$ para que cumpla.
Caso 3: $5^0+5^1+5^2+...+5^n\equiv 3(mod9)$ y $2^0+2^1+2^2+...+2^n\equiv 3(mod9)$
Para que esto suceda al mismo tiempo, me fije en un patron que habia y se repetia cada 32 veces. Entonces $n\equiv 23(mod32)$ para que quede de esta manera y esos son los caso donde cumpliria.
El mismo comentario que anteriormente di: Tu avance es bueno, y de hecho casi concluyente, lo que te falta para poder terminar es notar que uno de tus casos engloba a los otros dos.
Siguele pensando, ya merito. Te pongo un guiño porque ahi la llevas ;)
Veo que $10^n=(2^n)(5^n)$, entonces los divisores de $10^n$ son:
ResponderBorrar$1,2,2^2,2^3,...,2^n$
$5,5^2,5^3,...,5^n$
$(2)(5),(2^2)(5),(2^3)(5),...,(2^n)(5)$
$(2)(5^2),(2^2)(5^2),(2^3)(5^2),...,(2^n)(5^2)$
.
.
.
$(2)(5^n)(2^2)(5^n)...(2^n)(5^n)$
Y al sumar todos esos divisores y factorizar es facil ver que queda:
$(1+2+2^2+2^3+...+2^n)(1+5+5^2+5^3+...+5^n)$
y eso es igual a:
$(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$
Entonces hay tres casos:
CASO 1:$9$ DIVIDE A $(2^{n+1}-1$.
Viendo las distintas congruencias de las potencias de 2 modulo 9 me fijo que cada seis se repiten y la sexta es congruente a 1, por lo que n en este caso n debe ser de la forma $6k+5$.
CASO 2:$9$ DIVIDE A $\frac{5^{n+1}-1}{4}$
Me fijo que como mcd(9,4)=1 etnoces n debe dividir a $5^{n+1}-1$ entonces en este caso n tambien debe ser de la forma $6k+5$.
CASO 3:Ambos terminos son multiplos de $3$
Si los dos son multiplos de 3$$ es facil ver que n debe ser de la forma $2k+1$ entnoces me fijo que si un numero es de la forma $6k+5$ tambien lo es de la forma $2x+1$.
Entonces todos los impares satisfacen las condiciones del problema.
Primeramente tenemos que:
ResponderBorrar$10^{n}=2^{n}*5^{n}$
De aquí que los divisores son:
$2^{0}(5^{0}), 2^{0}(5^{1}), 2^{0}(5^{2}), \cdots, 2^{0}(5^{n})$
$2^{1}(5^{0}), 2^{1}(5^{1}), 2^{1}(5^{2}), \cdots, 2^{1}(5^{n})$
$2^{2}(5^{0}), 2^{2}(5^{1}), 2^{2}(5^{2}), \cdots, 2^{2}(5^{n})$
$\cdots$
$2^{n}(5^{0}), 2^{n}(5^{1}), 2^{n}(5^{2}), \cdots, 2^{n}(5^{n})$
Por lo que luego de sumar los divisores y factorizar, tenemos:
$(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n})(5^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots+5^{n})$
Aplicando la fórmula: $x^{0}+x^{1}+\cdots+x^{r}=\frac{x^{r+1}-1}{x-1}$ lo anterior es igual a:
$(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})=\frac{(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)}{4}, mcd(9,4)=1\Rightarrow 9=3^{2}|(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)$
Vemos los patrones:
$\bullet 2^{1}\equiv{2}\pmod{9}, 2^{2}\equiv{4}\pmod{9}, 2^{3}\equiv{8}\pmod{9}, 2^{4}\equiv{7}\pmod{9}, 2^{5}\equiv{5}\pmod{9}, 2^{6}\equiv{1}\pmod{9}$
$\bullet 5^{1}\equiv{5}\pmod{9}, 5^{2}\equiv{7}\pmod{9}, 5^{3}\equiv{8}\pmod{9}, 5^{4}\equiv{4}\pmod{9}, 5^{5}\equiv{2}\pmod{9}, 5^{6}\equiv{1}\pmod{9}$
Si $9|(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)\Rightarrow$ tenemos $3$ casos:
Caso.- $9|(2^{n+1}-1)\Rightarrow 2^{n+1}\equiv{1}\pmod{9}$ lo cual ya sabemos que solo se cumple para $n+1$ de la forma $6k_1$ por lo tanto $n=6k_1+5=2k_2+1$
Caso.- $9|(5^{n+1}-1)\Rightarrow 5^{n+1}\equiv{1}\pmod{9}$ lo cual ya sabemos que solo se cumple para $n+1$ de la forma $6k_1$ por lo tanto $n=6k_3+5=2k_2+1$
Caso.- $3|(2^{n+1}-1), 3|(5^{n+1}-1)\Rightarrow n=2k_4+1$, de aquí que se cumple para naturales impares.
$\text{Nos fijamos en que }10^n=2^n5^n$
ResponderBorrar$\text{Luego, todos los divisores son de la forma }2^a5^b \text{ con } 1\textless a,b\textless n$
$\text{Al sumar los divisores de }10^n\text{quedara:}$
$(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n)(5^0+5^1+5^2+\cdots+5^n)$
$\text{Luego, queremos que }9|(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})$
$\text{Nos fijamos en las potencias de }2{ en }\mod{9}$
$2^1\equiv 2\mod{9}$
$2^2\equiv 4\mod{9}$
$2^3\equiv 8\mod{9}$
$2^4\equiv 7\mod{9}$
$2^5\equiv 5\mod{9}$
$2^6\equiv 1\mod{9}$
$2^7\equiv 2\mod{9}$
$\text{Luego, las potencias se ciclan cada }6$
$\text{Luego vemos que para que en }2^{n+1}-1 \text{haya al menos factor 3}n+1\equiv 0,2,4 \mod{6}$
$\Rightarrow n \equiv 1,3,5 \mod{6}$
$\text{Ahora nos fijamos en las potencias de }5{ en }\mod{9}$
$5^1\equiv 5\mod{9}$
$5^2\equiv 7\mod{9}$
$5^3\equiv 8\mod{9}$
$5^4\equiv 4\mod{9}$
$5^5\equiv 2\mod{9}$
$5^6\equiv 1\mod{9}$
$5^7\equiv 5\mod{9}$
$\text{Luego, las potencias se ciclan cada }6$
$\text{Luego vemos que para que en }5^{n+1}-1 \text{haya al menos factor 3}n+1\equiv 0,2,4 \mod{6}$
$\Rightarrow n \equiv 1,3,5 \mod{6}$
$\text{Tambien es facil ver que si }9|5^{n+1}-1$
$9|\frac{5^{n+1}-1}{4}$
$\text{Ahora vemos que las congruencias que funcionan para las potencias de 2}$
$\text{son las mismas que funcionan para las potencias de 5, las cuales son:}$
$1,3,5$
$\therefore\boxed{\text{Toda }n\text{impar satisface las condiciones del problema}}$
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarLa suma de divisores de $10^n$ es:
ResponderBorrar$2^05^0+2^15^0+2^25^0+...+2^n5^0+$
$2^05^1+2^15^1+2^25^1+...+2^n5^1+$
...
$2^05^n+2^15^n+2^25^n+...+2^n5^n$
$=(2^0+2^1+2^2+...+2^n)(5^0+5^1+5^2+...+5^n)$
Vemos las congruencias mod 3 de las potencias de 2 y 5 y de sus sumas.
$2^0 \equiv 1 \pmod{3}, 2^0 \equiv 1 \pmod{3}$
$2^1 \equiv 2 \pmod{3}, 2^0+2^1 \equiv 0 \pmod{3}$
$2^2 \equiv 1 \pmod{3}, 2^0+2^1+2^2 \equiv 1 \pmod{3}$
$2^3 \equiv 2 \pmod{3}, 2^0+2^1+2^2+2^3 \equiv 0 \pmod{3}$
$5^0 \equiv 1 \pmod{3}, 5^0 \equiv 1 \pmod{3}$
$5^1 \equiv 2 \pmod{3}, 5^0+5^1 \equiv 0 \pmod{3}$
$5^2 \equiv 1 \pmod{3}, 5^0+5^1+5^2 \equiv 1 \pmod{3}$
$5^3 \equiv 2 \pmod{3}, 5^0+5^1+5^2+5^3 \equiv 0 \pmod{3}$
Aquí podemos ver que la congruencia módulo 3 de la suma de las potencias de de 2 y 5 se cicla cada 2, y para todos los impares la suma es congruente a 0 y por lo tanto múltiplo de 3.
Como ambos son múltiplo de 3 (para los impares), su producto (la suma de los divisores) es múltiplo de 9.
Para los pares la suma de potencia es congruente a 1, entonces su producto es congruente a 1 y no divisible entre 3, entonces tampoco es múltiplo de 9.
Por lo tanto, la suma de los divisores de $10^n$ es múltiplo de 9 para todos los impares y sólo para los impares.
:)
BorrarMe gustaria que hubieses puesto la demostracion de tu argumento del antepenultimo parrafo.
que vergüenza pero hasta aquí e llegado :|, mi intento
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4670715930122&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
estoy trabajando en lo que sigue:l pero estoy batallando algo con los modulos :|
BorrarHola Ana.
BorrarEn tu trabajo no pones a que te refieres con eso de divisores de $10^n$. Ya se que pudiese resultar algo obvio, pero eso es solamente porque conozco el problema y su solucion. Pero si de entrada solo hubiese leido el problema y lo que tu llevas, no comprenderia a que te refieres con tu avance.
Sigue intentando.
La suma de los divisores de $10^n$ es:
ResponderBorrar$2^0(5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$2^1(5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$2^2(5^0+5^1+5^2+…+5^n) . . .$
$2^n (5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$=(2^0+2^1+2^2+…+2^n) (5^0+5^1+5^2+…+5^n)$
$=(\frac{2^{n+1} -1}{1})(\frac{5^{n+1} -1}{4})$
Tenemos con que valores de $n$ se cumple que $9|(\frac{2^{n+1} -1}{1})(\frac{5^{n+1} -1}{4})$
Si $9|2^{n+1}-1$ entonces $2^{n+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ y nos fijamos en los patrones de las potencias $2$ con modulo $9$ y sabemos que $2^{6}\equiv 1 \mod{9}$ por lo tanto $2^{5+1}\equiv 1\mod{9}$ $n=5$
Si $9|\frac{5^{n+1} -1}{4}$ sabemos que $4$ divide a $5^{n+1}-1$ ya que $5$ elevado a cualquier potencia siempre termina en $25$ entonces $25-1=24$ y $24$ serian los últimos dos dígitos de la operación cumpliendo con el criterio de $4$, podemos decir que si $9|5^{n+1}-1$ entonces $5^{n+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ $5^{n+1}\equiv 1 \mod{9}$ y sabemos que $5^{6}\equiv 1 \mod{9}$ entonces $5^{5+1}-1\equiv 0 \mod{9}$ $n=5$
Hasta aqui llegue.
Llevas un buen avance. Continua con tu trabajo.
BorrarTenemos que los divisores de $10^n$ son:
ResponderBorrar$2^0, 2^1, 2^2, \cdots 2^n$
$5^0, 5^1, 5^2, \cdots 5^n$
$\cdot$
$\cdot$
$\cdot$
$2^0 5^n, 2^2 5^n, 2^2 5^n, \cdots 2^n 5^n$
De aqui, es posible factorizarlo como:
$ \sum_{i=0}^{n}\ 2^{x_i} $ $\cdot$ $ \sum_{i=1}^{n}\ 5^{x_i} $
Lo cual, por la fórmula conocida, es posible ponerlo como:
$2^{n+1}-1 \cdot \frac{5^{n+1}-1}{4}$
De aqui, vemos las congruencias modulo 9:
$ 2^{1}-1 \equiv 1 \pmod{9} $ $ 5^{1}-1 \equiv 4 \pmod{9} $
$ 2^{2}-1 \equiv 3 \pmod{9} $ $ 5^{2}-1 \equiv 6 \pmod{9} $
$ 2^{3}-1 \equiv 7 \pmod{9} $ $ 5^{3}-1 \equiv 7 \pmod{9} $
$ 2^{4}-1 \equiv 6 \pmod{9} $ $ 5^{4}-1 \equiv 3 \pmod{9} $
$ 2^{5}-1 \equiv 4 \pmod{9} $ $ 5^{5}-1 \equiv 1 \pmod{9} $
$ 2^{6}-1 \equiv 0 \pmod{9} $ $ 5^{6}-1 \equiv 0 \pmod{9} $
La congruencia se cicla tras estos modulos.
Como la $n$ es igual en ambos casos, tenemos que al multiplicar por la congruencia modulo 9, los casos pares no cumplen, mientras que los casos en los que $n$ es impar, cumplen, pues estos dan como producto, 18, 18 y 0, al ciclarse, estos continuarán dando este patrón.
Por lo anterior, todos los $n$ impares, cumplen que 9 divide a la suma de los divisores de $10^n$ Q.E.D.
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ResponderBorrarSabemos que: $10^n = 2^n \times 5^n$
ResponderBorrarEntonces tenemos los divisores de $10^n$ :
$2^0(5^0) , 2^0(5^1) , \cdots , 2^0(5^{n-1}) , 2^0(5^n)$
$2^1(5^0) , 2^1(5^1) , \cdots , 2^1(5^{n-1}) , 2^1(5^n)$
$\vdots$
$2^0(5^0) , 2^0(5^1) , \cdots , 2^0(5^{n-1}) , 2^0(5^n)$
$2^n(5^0) , 2^n(5^1) , \cdots , 2^n(5^{n-1}) , 2^n(5^n)$
Factorizamos todo lo de arriba y tenemos:
$(2^0 + 2^1+ \cdots + 2^{n-1} + 2^n)(5^0 + 5^1 + \cdots + 5^{n-1} + 5^n)$
Y aplicando la formula de suma de potencias, obtenemos la suma de los divisores de $10^n$ :
$(2^{n+1}-1) \times \frac{5^{n+1}-1}{4}$
Para que ese producto, sea multiplo de $9$ , ambos deben ser multiplos de $3$ o alguno de ellos de $9$ .
Vemos las congruencias módulo $3$ de ambos términos:
$\bullet 2^{n+1}-1$
Queremos que se cumpla esto:
$2^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod 3$
$2^{n+1} \equiv 1 \pmod 3$
Vemos las congruencias modulo $3$ de las potencias de $2$ :
$2^0 \equiv 1 \pmod 3$
$2^1 \equiv 2 \pmod 3$
$2^2 \equiv 1 \pmod 3$
$2^3 \equiv 2 \pmod 3$
Vemos que:
$2^{\text{par}} \equiv 1 \pmod 3$
$2^{\text{impar}} \equiv 2 \pmod 3$
$\Rightarrow n+1$ debe ser par,
$\therefore n$ es impar.
$\bullet \frac{5^{n+1}-1}{4}$
Queremos que se cumpla esto:
$\frac{5^{n+1}-1}{4} \equiv 0 \pmod 3$
$5^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod 3$
$5^{n+1} \equiv 1 \pmod 3$
Vemos las congruencias modulo $3$ de las potencias de $5$ :
$5^0 \equiv 1 \pmod 3$
$5^1 \equiv 2 \pmod 3$
$5^2 \equiv 1 \pmod 3$
$5^3 \equiv 2 \pmod 3$
Vemos que:
$5^{\text{par}} \equiv 1 \pmod 3$
$5^{\text{impar}} \equiv 2 \pmod 3$
$\Rightarrow n+1$ debe ser par,
$\therefore n$ es impar.
Ahora vemos las congruencias módulo $9$ de ambos términos:
$\bullet 2^{n+1}-1$
Queremos que se cumpla esto:
$2^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod 9$
$2^{n+1} \equiv 1 \pmod 9$
Vemos las congruencias modulo $9$ de las potencias de $2$ :
$2^0 \equiv 1 \pmod 9$
$2^1 \equiv 2 \pmod 9$
$2^2 \equiv 4 \pmod 9$
$2^3 \equiv 8 \pmod 9$
$2^4 \equiv 7 \pmod 9$
$2^5 \equiv 5 \pmod 9$
$2^6 \equiv 1 \pmod 9$
$2^7 \equiv 2 \pmod 9$
Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
$\Rightarrow n+1 = 6k$
$\therefore n = 6k + 5$ (impar)
$\bullet \frac{5^{n+1}-1}{4}$
Queremos que se cumpla esto:
$\frac{5^{n+1}-1}{4} \equiv 0 \pmod 9$
$5^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod 9$
$5^{n+1} \equiv 1 \pmod 9$
Vemos las congruencias modulo $9$ de las potencias de $5$ :
$5^0 \equiv 1 \pmod 9$
$5^1 \equiv 5 \pmod 9$
$5^2 \equiv 7 \pmod 9$
$5^3 \equiv 8 \pmod 9$
$5^4 \equiv 4 \pmod 9$
$5^5 \equiv 2 \pmod 9$
$5^6 \equiv 1 \pmod 9$
$5^7 \equiv 5 \pmod 9$
Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
$\Rightarrow n+1 = 6k$
$\therefore n = 6k + 5$ (impar)
$\therefore$ Para todos los $n$ impares la suma de los divisores de $10^{n}$ es múltiplo de $9$ .
:)
BorrarMuy bien!
Algo mas o menos distinto :p
podemos ver que $10^n$ sus factores van a ser $2^n*5^n$ y sus divisores van a ser :
ResponderBorrar$1,2,4,...,2^n,5,25,...5^n$ y todas sus convinaciones que serian:
$2*5,2*5^2,2*5^3,...2*5^n$
$4*5,4*25,...,4*^5^n$
$\cdots$
$2^n*5,2^n*25,...,2^n*5^n$
pero nos podemos fijar que eso es igual a
$(1+2+4+...+2^n)(1+5+25+...+5^n)$ pero sabemos que eso es igual a
$(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4})$ entonces los dividimos en casos
caso 1 $2^{n+1}-1$ es dividible entre 9
$2^{n+1} \equiv 1 (mod 9)$
entonces no fijamos que por los patrones de congruencias
$n+1=6x-1$
caso 2 $\frac{5^{n+1}-1}{4}$ es multiplo de 9
entonces $5^{n+1}-1 \equiv 0 (mod 9)$
$5^{n+1} \equiv 1 (mod 9)$
entonces por patrones de congruencias $n+1=6x$
caso 3 $\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y $2^{n+1}$ son mutiplod de por patrones de congeuencias $n+1=2x$
Llevas buen avance Martin.
BorrarFalta darte cuenta de que uno de tus casos engloba al resto para que puedas concluir.
tienes que la suma de las potencias de $10$ es igual a $(1+2+4+8...+2^n)(1+5+25+125+...+5^n)$ pero eso es $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
ResponderBorrar$2^1\equiv2(mod9)$
$2^2\equiv4(mod9)$
$2^3\equiv8(mod9)$
$2^4\equiv7(mod9)$
$2^5\equiv5(mod9)$
$2^6\equiv1(mod9)$
y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
y ahora caso 2
tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
$5^1\equiv5(mod9)$
$5^2\equiv7(mod9)$
$5^3\equiv8(mod9)$
$5^4\equiv4(mod9)$
$5^5\equiv2(mod9)$
$5^6\equiv1(mod9)$
y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
$5^{n+1}-1$
y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
Te faltan detalles en tu solucion, Alberto. Pero te la dare por buena.
Borrar:)
tienes que la suma de las potencias de $10$ es igual a $(1+2+4+8...+2^n)(1+5+25+125+...+5^n)$ pero eso es $(2^{n+1}-1)(\frac{5^{n+1}-1}{4}$ y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
ResponderBorrar$2^1\equiv2(mod9)$
$2^2\equiv4(mod9)$
$2^3\equiv8(mod9)$
$2^4\equiv7(mod9)$
$2^5\equiv5(mod9)$
$2^6\equiv1(mod9)$
y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
y ahora caso 2
tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
$5^1\equiv5(mod9)$
$5^2\equiv7(mod9)$
$5^3\equiv8(mod9)$
$5^4\equiv4(mod9)$
$5^5\equiv2(mod9)$
$5^6\equiv1(mod9)$
y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
$5^{n+1}-1$
y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
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ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465487190918&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y ESTA OTRA HOJA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465747190892&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrar:)
BorrarPrimero me fijo en que $10^n=2^n*5^n$. Entonces, sus divisores son: $2^0,2^1,2^2,...,2^n$, $5^0,5^1,5^2,...,5^n$ y la multiplicacion de alguna de las potencias de $2$ por alguna de las potencias de $5$. Entonces nos queda que la suma de todos sus divisores sera igual a $(2^0+2^1+2^2+...+2^n)*(5^0+5^1+5^2+...+5^n)$
ResponderBorrarQueremos saber para que $n$s cumple esto asi que lo separamos por casos.
Caso 1: $2^0+2^1+2^2+...+2^n\equiv 0 (mod9)$
Como eso sera un multiplo de 9, al multiplicarlo por $5^0+5^1+5^2+...+5^n$ seguira siendo multiplo de 9. Entonces me fijo en que $2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n^+^1-1$
Entonces $2^n^+^1\equiv 1(mod9)$
Me fijo en que las potencias de $2$ solo tienen 5 congruencias modulo 9. Cuando $n\equiv 5(mod5)$, $2^n\equiv 1(mod9)$
Entonces $n\equiv 4 (mod5)$ para que esto cumpla.
Caso 2: Cuando $5^0+5^1+5^2+...+5^n\equiv 0(mod9)$
$5^0+5^1+5^2+...+5^n=\frac{5^n^+^1-1}{4}$
Entonces $\frac{5^n^+^1-1}{4}\equiv 0(mod9)$
Podemos dividir entre $4$ ya que $4$ y $9$ son primos relativos
Entonces nos queda $5^n^+^1-1\equiv 0(mod9)$
$5^n^+^1\equiv 1(mod9)$
Luego me fijo en que las potencias de $5$ solo tienen 6 congruencias modulo 9.
Entonces $n\equiv 5(mod6)$ para que cumpla.
Caso 3: $5^0+5^1+5^2+...+5^n\equiv 3(mod9)$ y $2^0+2^1+2^2+...+2^n\equiv 3(mod9)$
Para que esto suceda al mismo tiempo, me fije en un patron que habia y se repetia cada 32 veces. Entonces $n\equiv 23(mod32)$ para que quede de esta manera y esos son los caso donde cumpliria.
El mismo comentario que anteriormente di:
BorrarTu avance es bueno, y de hecho casi concluyente, lo que te falta para poder terminar es notar que uno de tus casos engloba a los otros dos.
Siguele pensando, ya merito. Te pongo un guiño porque ahi la llevas ;)
En el caso 2 me quede en que $n\equiv5 (mod6)$ Entonces $n\equiv 5 (mod2)$
Borrar$n\equiv 1 (mod2)$ Por lo tanto cumple para cualquier $n$ impar
Jaja, se me paso escribir eso. Ese era al que se referia?
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001211.jpg
ResponderBorrarPARTE 1
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001221.jpg
PARTE 2