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martes, 25 de septiembre de 2012
Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)
¿Para qué naturales n la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9?
Y al sumar todos esos divisores y factorizar es facil ver que queda: (1+2+22+23+...+2n)(1+5+52+53+...+5n) y eso es igual a: (2n+1−1)(5n+1−14 Entonces hay tres casos: CASO 1:9 DIVIDE A (2n+1−1. Viendo las distintas congruencias de las potencias de 2 modulo 9 me fijo que cada seis se repiten y la sexta es congruente a 1, por lo que n en este caso n debe ser de la forma 6k+5. CASO 2:9 DIVIDE A 5n+1−14 Me fijo que como mcd(9,4)=1 etnoces n debe dividir a 5n+1−1 entonces en este caso n tambien debe ser de la forma 6k+5. CASO 3:Ambos terminos son multiplos de 3 Si los dos son multiplos de 3$$ es facil ver que n debe ser de la forma $2k+1$ entnoces me fijo que si un numero es de la forma $6k+5$ tambien lo es de la forma $2x+1$. Entonces todos los impares satisfacen las condiciones del problema.
Primeramente tenemos que: 10n=2n∗5n De aquí que los divisores son: 20(50),20(51),20(52),⋯,20(5n) 21(50),21(51),21(52),⋯,21(5n) 22(50),22(51),22(52),⋯,22(5n) ⋯ 2n(50),2n(51),2n(52),⋯,2n(5n) Por lo que luego de sumar los divisores y factorizar, tenemos: (20+21+22+⋯+2n)(50+51+52+⋯+5n) Aplicando la fórmula: x0+x1+⋯+xr=xr+1−1x−1 lo anterior es igual a: (2n+1−1)(5n+1−14)=(2n+1−1)(5n+1−1)4,mcd(9,4)=1⇒9=32|(2n+1−1)(5n+1−1) Vemos los patrones: ∙21≡2(mod9),22≡4(mod9),23≡8(mod9),24≡7(mod9),25≡5(mod9),26≡1(mod9) ∙51≡5(mod9),52≡7(mod9),53≡8(mod9),54≡4(mod9),55≡2(mod9),56≡1(mod9) Si 9|(2n+1−1)(5n+1−1)⇒ tenemos 3 casos: Caso.- 9|(2n+1−1)⇒2n+1≡1(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k1+5=2k2+1 Caso.- 9|(5n+1−1)⇒5n+1≡1(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k3+5=2k2+1 Caso.- 3|(2n+1−1),3|(5n+1−1)⇒n=2k4+1, de aquí que se cumple para naturales impares.
Nos fijamos en que 10n=2n5n Luego, todos los divisores son de la forma 2a5b con 1\textlessa,b\textlessn Al sumar los divisores de 10nquedara: (20+21+22+⋯+2n)(50+51+52+⋯+5n) Luego, queremos que 9|(2n+1−1)(5n+1−14)
Nos fijamos en las potencias de 2enmod9 21≡2mod9 22≡4mod9 23≡8mod9 24≡7mod9 25≡5mod9 26≡1mod9 27≡2mod9 Luego, las potencias se ciclan cada 6 Luego vemos que para que en 2n+1−1haya al menos factor 3n+1≡0,2,4mod6 ⇒n≡1,3,5mod6
Ahora nos fijamos en las potencias de 5enmod9 51≡5mod9 52≡7mod9 53≡8mod9 54≡4mod9 55≡2mod9 56≡1mod9 57≡5mod9 Luego, las potencias se ciclan cada 6 Luego vemos que para que en 5n+1−1haya al menos factor 3n+1≡0,2,4mod6 ⇒n≡1,3,5mod6 Tambien es facil ver que si 9|5n+1−1 9|5n+1−14
Ahora vemos que las congruencias que funcionan para las potencias de 2 son las mismas que funcionan para las potencias de 5, las cuales son: 1,3,5
∴Toda nimpar satisface las condiciones del problema
La suma de divisores de 10n es: 2050+2150+2250+...+2n50+ 2051+2151+2251+...+2n51+ ... 205n+215n+225n+...+2n5n =(20+21+22+...+2n)(50+51+52+...+5n) Vemos las congruencias mod 3 de las potencias de 2 y 5 y de sus sumas. 20≡1(mod3),20≡1(mod3) 21≡2(mod3),20+21≡0(mod3) 22≡1(mod3),20+21+22≡1(mod3) 23≡2(mod3),20+21+22+23≡0(mod3)
50≡1(mod3),50≡1(mod3) 51≡2(mod3),50+51≡0(mod3) 52≡1(mod3),50+51+52≡1(mod3) 53≡2(mod3),50+51+52+53≡0(mod3) Aquí podemos ver que la congruencia módulo 3 de la suma de las potencias de de 2 y 5 se cicla cada 2, y para todos los impares la suma es congruente a 0 y por lo tanto múltiplo de 3. Como ambos son múltiplo de 3 (para los impares), su producto (la suma de los divisores) es múltiplo de 9. Para los pares la suma de potencia es congruente a 1, entonces su producto es congruente a 1 y no divisible entre 3, entonces tampoco es múltiplo de 9. Por lo tanto, la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 para todos los impares y sólo para los impares.
que vergüenza pero hasta aquí e llegado :|, mi intento http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4670715930122&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
Hola Ana. En tu trabajo no pones a que te refieres con eso de divisores de 10n. Ya se que pudiese resultar algo obvio, pero eso es solamente porque conozco el problema y su solucion. Pero si de entrada solo hubiese leido el problema y lo que tu llevas, no comprenderia a que te refieres con tu avance.
La suma de los divisores de 10n es: 20(50+51+52+…+5n)
21(50+51+52+…+5n)
22(50+51+52+…+5n)...
2n(50+51+52+…+5n)
=(20+21+22+…+2n)(50+51+52+…+5n)
=(2n+1−11)(5n+1−14)
Tenemos con que valores de n se cumple que 9|(2n+1−11)(5n+1−14) Si 9|2n+1−1 entonces 2n+1−1≡0mod9 y nos fijamos en los patrones de las potencias 2 con modulo 9 y sabemos que 26≡1mod9 por lo tanto 25+1≡1mod9n=5 Si 9|5n+1−14 sabemos que 4 divide a 5n+1−1 ya que 5 elevado a cualquier potencia siempre termina en 25 entonces 25−1=24 y 24 serian los últimos dos dígitos de la operación cumpliendo con el criterio de 4, podemos decir que si 9|5n+1−1 entonces 5n+1−1≡0mod95n+1≡1mod9 y sabemos que 56≡1mod9 entonces 55+1−1≡0mod9n=5 Hasta aqui llegue.
Tenemos que los divisores de 10n son: 20,21,22,⋯2n 50,51,52,⋯5n ⋅ ⋅ ⋅ 205n,225n,225n,⋯2n5n De aqui, es posible factorizarlo como: ∑ni=02xi⋅∑ni=15xi Lo cual, por la fórmula conocida, es posible ponerlo como: 2n+1−1⋅5n+1−14 De aqui, vemos las congruencias modulo 9: 21−1≡1(mod9)51−1≡4(mod9) 22−1≡3(mod9)52−1≡6(mod9) 23−1≡7(mod9)53−1≡7(mod9) 24−1≡6(mod9)54−1≡3(mod9) 25−1≡4(mod9)55−1≡1(mod9) 26−1≡0(mod9)56−1≡0(mod9)
La congruencia se cicla tras estos modulos.
Como la n es igual en ambos casos, tenemos que al multiplicar por la congruencia modulo 9, los casos pares no cumplen, mientras que los casos en los que n es impar, cumplen, pues estos dan como producto, 18, 18 y 0, al ciclarse, estos continuarán dando este patrón. Por lo anterior, todos los n impares, cumplen que 9 divide a la suma de los divisores de 10n Q.E.D.
Sabemos que: 10n=2n×5n Entonces tenemos los divisores de 10n : 20(50),20(51),⋯,20(5n−1),20(5n) 21(50),21(51),⋯,21(5n−1),21(5n) ⋮ 20(50),20(51),⋯,20(5n−1),20(5n) 2n(50),2n(51),⋯,2n(5n−1),2n(5n) Factorizamos todo lo de arriba y tenemos: (20+21+⋯+2n−1+2n)(50+51+⋯+5n−1+5n) Y aplicando la formula de suma de potencias, obtenemos la suma de los divisores de 10n : (2n+1−1)×5n+1−14 Para que ese producto, sea multiplo de 9 , ambos deben ser multiplos de 3 o alguno de ellos de 9 . Vemos las congruencias módulo 3 de ambos términos: ∙2n+1−1 Queremos que se cumpla esto: 2n+1−1≡0(mod3) 2n+1≡1(mod3) Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 2 : 20≡1(mod3) 21≡2(mod3) 22≡1(mod3) 23≡2(mod3) Vemos que: 2par≡1(mod3) 2impar≡2(mod3) ⇒n+1 debe ser par, ∴n es impar. ∙5n+1−14 Queremos que se cumpla esto: 5n+1−14≡0(mod3) 5n+1−1≡0(mod3) 5n+1≡1(mod3) Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 5 : 50≡1(mod3) 51≡2(mod3) 52≡1(mod3) 53≡2(mod3) Vemos que: 5par≡1(mod3) 5impar≡2(mod3) ⇒n+1 debe ser par, ∴n es impar. Ahora vemos las congruencias módulo 9 de ambos términos: ∙2n+1−1 Queremos que se cumpla esto: 2n+1−1≡0(mod9) 2n+1≡1(mod9) Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 2 : 20≡1(mod9) 21≡2(mod9) 22≡4(mod9) 23≡8(mod9) 24≡7(mod9) 25≡5(mod9) 26≡1(mod9) 27≡2(mod9) Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia. ⇒n+1=6k ∴n=6k+5 (impar) ∙5n+1−14 Queremos que se cumpla esto: 5n+1−14≡0(mod9) 5n+1−1≡0(mod9) 5n+1≡1(mod9) Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 5 : 50≡1(mod9) 51≡5(mod9) 52≡7(mod9) 53≡8(mod9) 54≡4(mod9) 55≡2(mod9) 56≡1(mod9) 57≡5(mod9) Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia. ⇒n+1=6k ∴n=6k+5 (impar) ∴ Para todos los n impares la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 .
podemos ver que 10n sus factores van a ser 2n∗5n y sus divisores van a ser : 1,2,4,...,2n,5,25,...5n y todas sus convinaciones que serian: 2∗5,2∗52,2∗53,...2∗5n 4*5,4*25,...,4*^5^n ⋯ 2n∗5,2n∗25,...,2n∗5n pero nos podemos fijar que eso es igual a (1+2+4+...+2n)(1+5+25+...+5n) pero sabemos que eso es igual a (2n+1−1)(5n+1−14) entonces los dividimos en casos caso 1 2n+1−1 es dividible entre 9 2n+1≡1(mod9) entonces no fijamos que por los patrones de congruencias n+1=6x−1 caso 2 5n+1−14 es multiplo de 9 entonces 5n+1−1≡0(mod9) 5n+1≡1(mod9) entonces por patrones de congruencias n+1=6x caso 3 5n+1−14 y 2n+1 son mutiplod de por patrones de congeuencias n+1=2x
tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+1−1)(5n+1−14 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi 21≡2(mod9) 22≡4(mod9) 23≡8(mod9) 24≡7(mod9) 25≡5(mod9) 26≡1(mod9) y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9 y ahora caso 2 tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi 51≡5(mod9) 52≡7(mod9) 53≡8(mod9) 54≡4(mod9) 55≡2(mod9) 56≡1(mod9) y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9 y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos 5n+1−1 y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+1−1)(5n+1−14 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi 21≡2(mod9) 22≡4(mod9) 23≡8(mod9) 24≡7(mod9) 25≡5(mod9) 26≡1(mod9) y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9 y ahora caso 2 tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi 51≡5(mod9) 52≡7(mod9) 53≡8(mod9) 54≡4(mod9) 55≡2(mod9) 56≡1(mod9) y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9 y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos 5n+1−1 y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465487190918&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y ESTA OTRA HOJA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465747190892&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
Primero me fijo en que 10n=2n∗5n. Entonces, sus divisores son: 20,21,22,...,2n, 50,51,52,...,5n y la multiplicacion de alguna de las potencias de 2 por alguna de las potencias de 5. Entonces nos queda que la suma de todos sus divisores sera igual a (20+21+22+...+2n)∗(50+51+52+...+5n) Queremos saber para que ns cumple esto asi que lo separamos por casos.
Caso 1: 20+21+22+...+2n≡0(mod9)
Como eso sera un multiplo de 9, al multiplicarlo por 50+51+52+...+5n seguira siendo multiplo de 9. Entonces me fijo en que 2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n^+^1-1 Entonces 2^n^+^1\equiv 1(mod9)
Me fijo en que las potencias de 2 solo tienen 5 congruencias modulo 9. Cuando n≡5(mod5), 2n≡1(mod9) Entonces n≡4(mod5) para que esto cumpla.
Caso 2: Cuando 50+51+52+...+5n≡0(mod9) 5^0+5^1+5^2+...+5^n=\frac{5^n^+^1-1}{4} Entonces \frac{5^n^+^1-1}{4}\equiv 0(mod9) Podemos dividir entre 4 ya que 4 y 9 son primos relativos Entonces nos queda 5^n^+^1-1\equiv 0(mod9) 5^n^+^1\equiv 1(mod9) Luego me fijo en que las potencias de 5 solo tienen 6 congruencias modulo 9. Entonces n≡5(mod6) para que cumpla.
Caso 3: 50+51+52+...+5n≡3(mod9) y 20+21+22+...+2n≡3(mod9)
Para que esto suceda al mismo tiempo, me fije en un patron que habia y se repetia cada 32 veces. Entonces n≡23(mod32) para que quede de esta manera y esos son los caso donde cumpliria.
El mismo comentario que anteriormente di: Tu avance es bueno, y de hecho casi concluyente, lo que te falta para poder terminar es notar que uno de tus casos engloba a los otros dos.
Siguele pensando, ya merito. Te pongo un guiño porque ahi la llevas ;)
Veo que 10n=(2n)(5n), entonces los divisores de 10n son:
ResponderBorrar1,2,22,23,...,2n
5,52,53,...,5n
(2)(5),(22)(5),(23)(5),...,(2n)(5)
(2)(52),(22)(52),(23)(52),...,(2n)(52)
.
.
.
(2)(5n)(22)(5n)...(2n)(5n)
Y al sumar todos esos divisores y factorizar es facil ver que queda:
(1+2+22+23+...+2n)(1+5+52+53+...+5n)
y eso es igual a:
(2n+1−1)(5n+1−14
Entonces hay tres casos:
CASO 1:9 DIVIDE A (2n+1−1.
Viendo las distintas congruencias de las potencias de 2 modulo 9 me fijo que cada seis se repiten y la sexta es congruente a 1, por lo que n en este caso n debe ser de la forma 6k+5.
CASO 2:9 DIVIDE A 5n+1−14
Me fijo que como mcd(9,4)=1 etnoces n debe dividir a 5n+1−1 entonces en este caso n tambien debe ser de la forma 6k+5.
CASO 3:Ambos terminos son multiplos de 3
Si los dos son multiplos de 3$$ es facil ver que n debe ser de la forma $2k+1$ entnoces me fijo que si un numero es de la forma $6k+5$ tambien lo es de la forma $2x+1$.
Entonces todos los impares satisfacen las condiciones del problema.
Primeramente tenemos que:
ResponderBorrar10n=2n∗5n
De aquí que los divisores son:
20(50),20(51),20(52),⋯,20(5n)
21(50),21(51),21(52),⋯,21(5n)
22(50),22(51),22(52),⋯,22(5n)
⋯
2n(50),2n(51),2n(52),⋯,2n(5n)
Por lo que luego de sumar los divisores y factorizar, tenemos:
(20+21+22+⋯+2n)(50+51+52+⋯+5n)
Aplicando la fórmula: x0+x1+⋯+xr=xr+1−1x−1 lo anterior es igual a:
(2n+1−1)(5n+1−14)=(2n+1−1)(5n+1−1)4,mcd(9,4)=1⇒9=32|(2n+1−1)(5n+1−1)
Vemos los patrones:
∙21≡2(mod9),22≡4(mod9),23≡8(mod9),24≡7(mod9),25≡5(mod9),26≡1(mod9)
∙51≡5(mod9),52≡7(mod9),53≡8(mod9),54≡4(mod9),55≡2(mod9),56≡1(mod9)
Si 9|(2n+1−1)(5n+1−1)⇒ tenemos 3 casos:
Caso.- 9|(2n+1−1)⇒2n+1≡1(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k1+5=2k2+1
Caso.- 9|(5n+1−1)⇒5n+1≡1(mod9) lo cual ya sabemos que solo se cumple para n+1 de la forma 6k1 por lo tanto n=6k3+5=2k2+1
Caso.- 3|(2n+1−1),3|(5n+1−1)⇒n=2k4+1, de aquí que se cumple para naturales impares.
Nos fijamos en que 10n=2n5n
ResponderBorrarLuego, todos los divisores son de la forma 2a5b con 1\textlessa,b\textlessn
Al sumar los divisores de 10nquedara:
(20+21+22+⋯+2n)(50+51+52+⋯+5n)
Luego, queremos que 9|(2n+1−1)(5n+1−14)
Nos fijamos en las potencias de 2enmod9
21≡2mod9
22≡4mod9
23≡8mod9
24≡7mod9
25≡5mod9
26≡1mod9
27≡2mod9
Luego, las potencias se ciclan cada 6
Luego vemos que para que en 2n+1−1haya al menos factor 3n+1≡0,2,4mod6
⇒n≡1,3,5mod6
Ahora nos fijamos en las potencias de 5enmod9
51≡5mod9
52≡7mod9
53≡8mod9
54≡4mod9
55≡2mod9
56≡1mod9
57≡5mod9
Luego, las potencias se ciclan cada 6
Luego vemos que para que en 5n+1−1haya al menos factor 3n+1≡0,2,4mod6
⇒n≡1,3,5mod6
Tambien es facil ver que si 9|5n+1−1
9|5n+1−14
Ahora vemos que las congruencias que funcionan para las potencias de 2
son las mismas que funcionan para las potencias de 5, las cuales son:
1,3,5
∴Toda nimpar satisface las condiciones del problema
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarLa suma de divisores de 10n es:
ResponderBorrar2050+2150+2250+...+2n50+
2051+2151+2251+...+2n51+
...
205n+215n+225n+...+2n5n
=(20+21+22+...+2n)(50+51+52+...+5n)
Vemos las congruencias mod 3 de las potencias de 2 y 5 y de sus sumas.
20≡1(mod3),20≡1(mod3)
21≡2(mod3),20+21≡0(mod3)
22≡1(mod3),20+21+22≡1(mod3)
23≡2(mod3),20+21+22+23≡0(mod3)
50≡1(mod3),50≡1(mod3)
51≡2(mod3),50+51≡0(mod3)
52≡1(mod3),50+51+52≡1(mod3)
53≡2(mod3),50+51+52+53≡0(mod3)
Aquí podemos ver que la congruencia módulo 3 de la suma de las potencias de de 2 y 5 se cicla cada 2, y para todos los impares la suma es congruente a 0 y por lo tanto múltiplo de 3.
Como ambos son múltiplo de 3 (para los impares), su producto (la suma de los divisores) es múltiplo de 9.
Para los pares la suma de potencia es congruente a 1, entonces su producto es congruente a 1 y no divisible entre 3, entonces tampoco es múltiplo de 9.
Por lo tanto, la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 para todos los impares y sólo para los impares.
:)
BorrarMe gustaria que hubieses puesto la demostracion de tu argumento del antepenultimo parrafo.
que vergüenza pero hasta aquí e llegado :|, mi intento
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4670715930122&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
estoy trabajando en lo que sigue:l pero estoy batallando algo con los modulos :|
BorrarHola Ana.
BorrarEn tu trabajo no pones a que te refieres con eso de divisores de 10n. Ya se que pudiese resultar algo obvio, pero eso es solamente porque conozco el problema y su solucion. Pero si de entrada solo hubiese leido el problema y lo que tu llevas, no comprenderia a que te refieres con tu avance.
Sigue intentando.
La suma de los divisores de 10n es:
ResponderBorrar20(50+51+52+…+5n)
21(50+51+52+…+5n)
22(50+51+52+…+5n)...
2n(50+51+52+…+5n)
=(20+21+22+…+2n)(50+51+52+…+5n)
=(2n+1−11)(5n+1−14)
Tenemos con que valores de n se cumple que 9|(2n+1−11)(5n+1−14)
Si 9|2n+1−1 entonces 2n+1−1≡0mod9 y nos fijamos en los patrones de las potencias 2 con modulo 9 y sabemos que 26≡1mod9 por lo tanto 25+1≡1mod9 n=5
Si 9|5n+1−14 sabemos que 4 divide a 5n+1−1 ya que 5 elevado a cualquier potencia siempre termina en 25 entonces 25−1=24 y 24 serian los últimos dos dígitos de la operación cumpliendo con el criterio de 4, podemos decir que si 9|5n+1−1 entonces 5n+1−1≡0mod9 5n+1≡1mod9 y sabemos que 56≡1mod9 entonces 55+1−1≡0mod9 n=5
Hasta aqui llegue.
Llevas un buen avance. Continua con tu trabajo.
BorrarTenemos que los divisores de 10n son:
ResponderBorrar20,21,22,⋯2n
50,51,52,⋯5n
⋅
⋅
⋅
205n,225n,225n,⋯2n5n
De aqui, es posible factorizarlo como:
∑ni=0 2xi ⋅ ∑ni=1 5xi
Lo cual, por la fórmula conocida, es posible ponerlo como:
2n+1−1⋅5n+1−14
De aqui, vemos las congruencias modulo 9:
21−1≡1(mod9) 51−1≡4(mod9)
22−1≡3(mod9) 52−1≡6(mod9)
23−1≡7(mod9) 53−1≡7(mod9)
24−1≡6(mod9) 54−1≡3(mod9)
25−1≡4(mod9) 55−1≡1(mod9)
26−1≡0(mod9) 56−1≡0(mod9)
La congruencia se cicla tras estos modulos.
Como la n es igual en ambos casos, tenemos que al multiplicar por la congruencia modulo 9, los casos pares no cumplen, mientras que los casos en los que n es impar, cumplen, pues estos dan como producto, 18, 18 y 0, al ciclarse, estos continuarán dando este patrón.
Por lo anterior, todos los n impares, cumplen que 9 divide a la suma de los divisores de 10n Q.E.D.
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ResponderBorrarSabemos que: 10n=2n×5n
ResponderBorrarEntonces tenemos los divisores de 10n :
20(50),20(51),⋯,20(5n−1),20(5n)
21(50),21(51),⋯,21(5n−1),21(5n)
⋮
20(50),20(51),⋯,20(5n−1),20(5n)
2n(50),2n(51),⋯,2n(5n−1),2n(5n)
Factorizamos todo lo de arriba y tenemos:
(20+21+⋯+2n−1+2n)(50+51+⋯+5n−1+5n)
Y aplicando la formula de suma de potencias, obtenemos la suma de los divisores de 10n :
(2n+1−1)×5n+1−14
Para que ese producto, sea multiplo de 9 , ambos deben ser multiplos de 3 o alguno de ellos de 9 .
Vemos las congruencias módulo 3 de ambos términos:
∙2n+1−1
Queremos que se cumpla esto:
2n+1−1≡0(mod3)
2n+1≡1(mod3)
Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 2 :
20≡1(mod3)
21≡2(mod3)
22≡1(mod3)
23≡2(mod3)
Vemos que:
2par≡1(mod3)
2impar≡2(mod3)
⇒n+1 debe ser par,
∴n es impar.
∙5n+1−14
Queremos que se cumpla esto:
5n+1−14≡0(mod3)
5n+1−1≡0(mod3)
5n+1≡1(mod3)
Vemos las congruencias modulo 3 de las potencias de 5 :
50≡1(mod3)
51≡2(mod3)
52≡1(mod3)
53≡2(mod3)
Vemos que:
5par≡1(mod3)
5impar≡2(mod3)
⇒n+1 debe ser par,
∴n es impar.
Ahora vemos las congruencias módulo 9 de ambos términos:
∙2n+1−1
Queremos que se cumpla esto:
2n+1−1≡0(mod9)
2n+1≡1(mod9)
Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 2 :
20≡1(mod9)
21≡2(mod9)
22≡4(mod9)
23≡8(mod9)
24≡7(mod9)
25≡5(mod9)
26≡1(mod9)
27≡2(mod9)
Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
⇒n+1=6k
∴n=6k+5 (impar)
∙5n+1−14
Queremos que se cumpla esto:
5n+1−14≡0(mod9)
5n+1−1≡0(mod9)
5n+1≡1(mod9)
Vemos las congruencias modulo 9 de las potencias de 5 :
50≡1(mod9)
51≡5(mod9)
52≡7(mod9)
53≡8(mod9)
54≡4(mod9)
55≡2(mod9)
56≡1(mod9)
57≡5(mod9)
Vemos que cada seis potencias se repite una congruencia.
⇒n+1=6k
∴n=6k+5 (impar)
∴ Para todos los n impares la suma de los divisores de 10n es múltiplo de 9 .
:)
BorrarMuy bien!
Algo mas o menos distinto :p
podemos ver que 10n sus factores van a ser 2n∗5n y sus divisores van a ser :
ResponderBorrar1,2,4,...,2n,5,25,...5n y todas sus convinaciones que serian:
2∗5,2∗52,2∗53,...2∗5n
4*5,4*25,...,4*^5^n
⋯
2n∗5,2n∗25,...,2n∗5n
pero nos podemos fijar que eso es igual a
(1+2+4+...+2n)(1+5+25+...+5n) pero sabemos que eso es igual a
(2n+1−1)(5n+1−14) entonces los dividimos en casos
caso 1 2n+1−1 es dividible entre 9
2n+1≡1(mod9)
entonces no fijamos que por los patrones de congruencias
n+1=6x−1
caso 2 5n+1−14 es multiplo de 9
entonces 5n+1−1≡0(mod9)
5n+1≡1(mod9)
entonces por patrones de congruencias n+1=6x
caso 3 5n+1−14 y 2n+1 son mutiplod de por patrones de congeuencias n+1=2x
Llevas buen avance Martin.
BorrarFalta darte cuenta de que uno de tus casos engloba al resto para que puedas concluir.
tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+1−1)(5n+1−14 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
ResponderBorrar21≡2(mod9)
22≡4(mod9)
23≡8(mod9)
24≡7(mod9)
25≡5(mod9)
26≡1(mod9)
y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
y ahora caso 2
tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
51≡5(mod9)
52≡7(mod9)
53≡8(mod9)
54≡4(mod9)
55≡2(mod9)
56≡1(mod9)
y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
5n+1−1
y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
Te faltan detalles en tu solucion, Alberto. Pero te la dare por buena.
Borrar:)
tienes que la suma de las potencias de 10 es igual a (1+2+4+8...+2n)(1+5+25+125+...+5n) pero eso es (2n+1−1)(5n+1−14 y eso lo vemos en casos y vemos que las potencias de 2 se ciclan cada 6 mod 9 asi
ResponderBorrar21≡2(mod9)
22≡4(mod9)
23≡8(mod9)
24≡7(mod9)
25≡5(mod9)
26≡1(mod9)
y tienes que menos 1 seria 1,3,7,6,4,0mod9
y ahora caso 2
tienes que las potencias de 5 tambien se ciclan asi
51≡5(mod9)
52≡7(mod9)
53≡8(mod9)
54≡4(mod9)
55≡2(mod9)
56≡1(mod9)
y menos 1 es 4,6,7,3,1,0mod 9
y tienes que 4 es primo relativo con 9 entonces solo usamos
5n+1−1
y tenemos que esos son n+1 entonces para que sea multiplo de 9 uno tiene que ser multiplo de 9 o los 2 son multiplos de 3 y tienes que eso cumple solo con potencias impares
por lo tanto siempre cumple cuando n es inpar
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ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465487190918&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y ESTA OTRA HOJA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465747190892&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrar:)
BorrarPrimero me fijo en que 10n=2n∗5n. Entonces, sus divisores son: 20,21,22,...,2n, 50,51,52,...,5n y la multiplicacion de alguna de las potencias de 2 por alguna de las potencias de 5. Entonces nos queda que la suma de todos sus divisores sera igual a (20+21+22+...+2n)∗(50+51+52+...+5n)
ResponderBorrarQueremos saber para que ns cumple esto asi que lo separamos por casos.
Caso 1: 20+21+22+...+2n≡0(mod9)
Como eso sera un multiplo de 9, al multiplicarlo por 50+51+52+...+5n seguira siendo multiplo de 9. Entonces me fijo en que 2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n^+^1-1
Entonces 2^n^+^1\equiv 1(mod9)
Me fijo en que las potencias de 2 solo tienen 5 congruencias modulo 9. Cuando n≡5(mod5), 2n≡1(mod9)
Entonces n≡4(mod5) para que esto cumpla.
Caso 2: Cuando 50+51+52+...+5n≡0(mod9)
5^0+5^1+5^2+...+5^n=\frac{5^n^+^1-1}{4}
Entonces \frac{5^n^+^1-1}{4}\equiv 0(mod9)
Podemos dividir entre 4 ya que 4 y 9 son primos relativos
Entonces nos queda 5^n^+^1-1\equiv 0(mod9)
5^n^+^1\equiv 1(mod9)
Luego me fijo en que las potencias de 5 solo tienen 6 congruencias modulo 9.
Entonces n≡5(mod6) para que cumpla.
Caso 3: 50+51+52+...+5n≡3(mod9) y 20+21+22+...+2n≡3(mod9)
Para que esto suceda al mismo tiempo, me fije en un patron que habia y se repetia cada 32 veces. Entonces n≡23(mod32) para que quede de esta manera y esos son los caso donde cumpliria.
El mismo comentario que anteriormente di:
BorrarTu avance es bueno, y de hecho casi concluyente, lo que te falta para poder terminar es notar que uno de tus casos engloba a los otros dos.
Siguele pensando, ya merito. Te pongo un guiño porque ahi la llevas ;)
En el caso 2 me quede en que n≡5(mod6) Entonces n≡5(mod2)
Borrarn≡1(mod2) Por lo tanto cumple para cualquier n impar
Jaja, se me paso escribir eso. Ese era al que se referia?
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001211.jpg
ResponderBorrarPARTE 1
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001221.jpg
PARTE 2