1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Si se calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos, ¿cuál es la suma máxima que puedes obtener?
Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en 2 esquinas opuestas de un rectángulo de
Analizamos el tablero y los ataques del caballo y encontramos variaciones:
ResponderBorrara)Si caballo en casilla blanca, entonces ataca casilla negra.
b)Si caballo en casilla negra, entonces ataca casilla blanca.
Tenemos $64$ casilla, $32$ son blancas y $32$ son negras,entonces podemos colocar $32$ caballos todos en casillas del mismo color por los incisos $a$ y $b$.
No podemos poner $33$ o mas caballos porque esto implicaría poner un caballo en una casilla del color contrario,por lo tanto, atacaría algún caballo de los ya colocados.
Si la casilla $1$ es blanca entonces $64$ es blanca.
Solo hacemos la suma de las casillas por colores:
Blancas
$1+3+5+7+10+12+14+16+17+19+21+23+26+28+30+32+33+35+37+39+42+44+46+48+49+51+53+55+58+60+62+64= 1040$
Negras:
$2+4+6+8+9+11+13+15+18+20+22+24+25+27+29+31+34+
36+38+40+41+43+45+47+50+52+54+56+57+59+61+63=
1040$
Comprobación de la suma:
$1+2+3...+64=65(32)=2080$
Conclusión:
La suma máxima va a ser $1040$ sin importar si los caballos están todos en blancas o todos en negras.
Bien, pero aun no esta terminado. Debes demostrar porqué no hay otro acomodo mejor, por ejemplo, es claro que puedes poner 2 caballos uno al lado del otro sin que se ataquen, incluso puedes poner 3 seguidos y si los pones en 64, 63, 62 ... podrían sumar más... o no jaja pero hay que considerar más casos n_n
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4650758791206&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarSi es la respuesta correcta pero no demuestras porque no puedes poner más caballos, en algun otro acomodo raro... tienes el máximo de caballos en un rectangulo de 3x2, soloo falta explicar porque no se pueden poner esos 4 de alguna otra manera rara.. eso o demostrar que el maximo dde caballos es la mitad de los cuadros... que es mas o menos lo mismo... creo que solo es cuestión de explicación xD
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=392819180788882&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarLa primera parte de la solución esta bien, lo segundo no es claro.
BorrarNos damos cuenta que si escogemos un cuadro de $2*2$ en cualquier sección del tablero la suma de sus diagonales siempre sera igual, entonces la única manera de que haya una suma mayor es:
ResponderBorrara) Escoger la columna derecha.
b) Escoger la fila de abajo.
Podemos escoger $64:4=16cuadrados de 2*2$ cada uno de ellos con $2$ caballos, en total $32$ caballos.
Enumeramos el tablero, columnas de a-h y filas de $1-8$, donde $1$ se encuentra en $h1$ y $64$ en $a8$; realizamos el acomodo con los cuadrados $2*2$ y para que la suma sea mayor debemos poner caballos en las filas $2,4,6 y 8$ o en las columnas $a,c,e y g$ pero no es posible porque los caballos se atacan mutuamente. No cumple.
Ya no hay opciones, por lo tanto, no se puede hacer una que cumpla y que sea mayor a $1040$ y ese es el mejor acomodo.
En un rectangulo de 2x2 puedes llenar todas las casillas y obtener una suma mayor, asi que no estas considerando todos los posibles acomodos.
BorrarMe doy cuanta que si pongo un caballo en una negra se pierden puras blancas y analogamente si se pone una blanca y si pones en las negras nada mas me doy cuanta que se pierden todas las blancas entonces se pierden un total de 32 fichas del color contrario pero si variamos tengo que demostrar que no hay un caso mayor entonces si ponemos una ficha en el centro equivaldrian ah 8 restas entonces hay diez de estos posibles lugares en el tablero, para cuando son 6 hay 4 lugares cuando son 4 hay 24 lugares y para cuando son dos hay 4 lugares entonces dividimos entre dos por que son dos caso negras o blancas
ResponderBorrarcuando hay 8 quitamos 16 cuando, son 6 quitamos 16, cuando son 4 quitamos 28 y cuando son 2 quitamos 4
Borrardigamos que usamos el caso en que se quitan menos entonces quitamo un total de 2 del color contrario entonces nos quedan un total de 30 posibles n y 31 posibles b entonces al utilizar del color contrario no solo estoy cancelando si no que las que cancelamos me dan menos del color contrario y si utilizamos del otro colo perdemos de la misma manera por lo tanto la mejor manera seria cuando eliminas todos los de un color y esto equivale a 1040
BorrarNo entiendo a que te refieres con cuando son n quitamos k... lo primero del acomodo de blancas o negras si esta bien n_n
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000911_zpsa945377b.jpg
ResponderBorrarEsta bien, pero te falta demostrar porque no puedes por ejemplo, poner más caballos en algun acomodo raro n_n
BorrarSi intentamos tomar los número mas grandes, serían los de la octava fila, con ésto se cancelarían la séptima y sexta fila, tomamos los números de la quinta fila, se cancelan a cuarta y tercer fila, tomamos los números de la segunda fila y finalmente se cancela la primer fila. Realizamos la suma de los números correspondientes:
ResponderBorrar$64+63+62+61+60+59+58+57+40+39+38+37+36+35+34+33+16+15+14+13+12+11+10+9=876$
Ahora nos damos cuenta de que un caballo en negro ataca unicamente a caballo en blanco y viceversa. Entonces si ponemos $32$ caballos en negro o $32$ en blanco aseguraremos que no se atacarán.
$\bullet$ Negro:
$2+4+6+8+11+13+15+18+20+22+24+25+27+29+31+34+36+38+40+41+43+45+47+50+52+54+56+57+59+61+63=1040$
$\bullet$ Blanco:
$1+3+5+7+10+12+14+16+17+19+21+23+26+28+30+32+33+35+37+39+42+44+46+48+49+51+53+55+58+60+62+64=1040$
$\boxed{1040}$
Eso esta bien, falta demostrar porque no puedes poner mas caballos
Borrarhttps://www.facebook.com/media/set/?set=oa.513117272049170&type=1
ResponderBorrarjeje muy bien!!! exactamente asi ... aunque esos .. es facil ver... pueden ser como 2 puntos a la hora de los examenes jeje .. siempre ess mejor explicar bien esos detalles ... pero en general si esta bien :)
Borrarde hecho.. creo que debería retener esa :) hasta que expliques bien eso .. es facil ver jeje n_n
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=389248457813641&set=a.389248274480326.91304.100001854706497&type=3&theater
ResponderBorrarEsa es la respuesta, pero la explicación de como lo obtienes es como que muy no clara, hay que escribir mejor las cosas... y bueno, todavía falta demostrar porque no puede haber más caballos en algun otro acomodo n_n
BorrarUsamos la coloracion que ya esta en el tablero. Sabemos que un caballo en casilla negra solo puede atacar caballos en casillas blancas y viceversa. Poniendo todos los caballos en casillas del mismo color nos aseguramos de que no se ataquen entre si. La suma con este acomodo es igual a 1040 sin importar que color escojas. Esto sucede porque en cada hilera la suma de un color es la suma del otro color mas 4. Se van alternando los colores asi que al final siempre sucede esto la misma cantidad de veces con ambos colores.
ResponderBorrarEste es el caso donde mas caballos se pueden usar. Suponemos que hay un caso donde la suma es mayor. Al ser asi, tendria que cambiar al menos un caballo de lugar, y ocuparia una casilla que sea del color contrario al que tenia antes. Como la cambiamos de lugar, tendria que quitar a los otros caballos que amenace y ese nuevo lugar, debera tener de numero al menos la suma de los que quitamos. El menor numero de caballos que podemos quitar al cambiar de lugar a uno es 2 y nunca se podra hacer esto. Por lo tanto el anterior era el acomodo con la suma mas grande: $1024$.
Lo primero esta bien, lo segundo no tanto. Si mueves un caballo de tu acomodo si reduces lugares o pones en peligro a uno o mas caballos, pero que te asegura que en muchos movimientos empezaran a subir los espacios libres?
BorrarMe fijé en que si usamos la coloración de ajedrez, un caballo en casilla blanca (por ejemplo), no puede atacar a un caballo en casilla negra, pues 3 cuadros de distancia del caballo será casilla de color opuesto (en este caso negra) y 2 cuadros de distancia de la casilla negra, esta otra casilla negra, se aquí que los caballos no atacan a otros que esten en una casilla de color opuesto, así que colocamos $32$ caballos en un mismo color.
ResponderBorrarAhora solo vemos cual suma es mayor, la de casillas blancas o la de negras. Es fácil ver que ambas dan lo mismo, pues en la primer fila, alguna suma da $4$ mayor a la otra, en la siguiente fila sucede lo mismo, pero con los colores invertidos, si se tiene una cantidad par de casillas, ambas sumas serán lo mismo. La suma de ambas sumas es la suma de todas las casillas, por lo que la suma de blancas o negras (tambien suma mayor) es:
$\frac{1+2+3+\cdots+64}{2}=\frac{\frac{64(65)}{2}}{2}=1040$
Falta demostrar que no hay otro acomodo mejor, y que no puedes poner más de 32 caballos en la cuadricula, en algun otro acomodo... lo que tienes esta bien pero incompleto n_n
BorrarNos fijamos en una coloración como tablero de ajedrez.
ResponderBorrarEs fácil er que un caballo en blanco no puede atacar a otro caballo en blanco, por lo tanto si ponemos 32 caballos en blanco no se atacarán entre ellos, igual que si ponemos 32 en negro. Luego vemos que la suma de todos los negros es 2+4+6+8+9+11+13+15+18+20+22+24+25+27+29+31+34+36+38+40+41+43+45+47+50+52+54+56+57+59+61+63=1040.
Luego, la suma de todos los blancos será el total, que es 65(32)=2080, menos los negros, o sea que la suma de los negros es igual a la suma de los blancos igual a 1040.
Aún me falta demostar porque este es el mejor acomodo.
Aún te falta demostrar porque este es el mejor acomodo...
BorrarVemos que con la coloración del tablero, si un caballo está en una casilla negra sólo atacará a casillas blancas y viceversa, entonces es fácil acomodar 32: en todas las casillas blancas o en todas las casillas negras. La suma de un color es (1+3+5+7)+(10+12+14+16)+(17+19+21+23)+...+(58+60+62+64)=1040=(2+4+6+8)+(9+11+13+15)+...+(57+59+61+63) que es la suma del otro color.
ResponderBorrarNo pude demostrar si era la suma máxima, traté de ver otros acomodos con la cantidad de casillas que atacaba cada caballo pero no llegué a nada.
Sigue tratando, lo primero esta bien n_n .. intenta ver casos mas pequeños a un tablero de 8x8
Borrarprimero me fije que si agarrava todos los de la fila mas grande no iba a poder tomar los de las siguientes dos filas y asi y entonces solo iba a poder agarrar 24 cuadritos y lo que queremso hacer es agarrrar la mayor cantidad de cuadritos luego me fije uqe si ponemos los caballos en las casillas negras nunca s van a atacar y pasa lo mismo si los ponemos en las casillas blancas y como las dos maneras suman 1040 entonces la suma maxima es 1040
ResponderBorrarEsta bien, pero son casos particulares, necesitas demostrar que para cualquier acomodo no se pueden poner mas de 32 caballos.
BorrarEs fácil ver que cada esquina de los rectángulos de $2 x 3$ y $3 x 2$ son de diferente color, por lo tanto, es posible acomodar los caballos o en todos los lugares blancos, o en todos los negros, vemos que la suma en cada fila cambia siendo de los pares o impares de esta fila, viendo el tablero de arriba hacia abajo. Vemos que en cada caso la suma de los impares es $n^2$ siendo $2n-1$ definido como el último impar y $n$ el lugar que ocupa.
ResponderBorrarTenemos que por cada fila la suma de impares es $n^2-m^2$ y la de pares es $n^2+n-m^2-m$ Por lo cual siempre hay un n mayor en los pares, pero como habrá una misma cantidad de columnas pares negras que de impares, la sumatoria de las blancas es igual a la de las negras. Lo que es $1040$ Pues tenemos $(64()65)/2$
De ahí, no he encontrado un argumento por el cual este es el acomodo mayor posible, tal que da la mayor sumatoria.
Puedes partir el tablero en casos más pequeños
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