Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día, álgebra (12 de Septiembre).

miércoles, 12 de septiembre de 2012

Problema del día, álgebra (12 de Septiembre).

Demostrar que si

$x$ ,

$y$ , y

$z$ son reales que satisfacen

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$ entonces al menos uno de los siguientes números es cero:

$x+y$ ,

$y+z$ o

$z+x$ .

32 comentarios:

Unknown12 de septiembre de 2012, 2:07 a.m.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{xyz}=0$

$\Rightarrow \frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{xyz(x+y+z)}=0 \Rightarrow$

$\frac{x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$

$\Rightarrow x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$ , si $(x+y)(y+z)(z+x)=0\Rightarrow$ al menos $1$ de ellos es igual a $0$
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Unknown12 de septiembre de 2012, 2:10 a.m.
*donde puse $\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{xyz}=0$ , es: $\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0$
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Luis Chacón12 de septiembre de 2012, 4:00 p.m.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$
$\Rightarrow \frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$
$\Rightarrow (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz$
$\Rightarrow xyz+x^2z+x^2y+y^2z+xyz+xy^2+yz^2+xz^2+xyz=xyz$
$\Rightarrow x^2z+x^2y+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2+2xyz=0$
$\Rightarrow x(x(z+y)+y^2+z^2+2yz)+y^2z+yz^2=0$
$\Rightarrow x(x(y+z)+(y+z)^2)+yz(y+z)=0$
$\Rightarrow x((y+z)(x+y+z))+yz(y+z)=0$
$\Rightarrow (y+z)(x(x+y+z)+yz)=0$
$\Rightarrow (y+z)(x^2+xy+xz+yz)=0$
Supongamos que $y+z \not= 0$ , entonces $x^2+xy+xz+yz=0$
$\Rightarrow x^2=-xy-xz-yz$
De la misma forma si $x+y,x+z \not= 0$ :
$y^2=-xy-xz-yz$
$z^2=-xy-xz-yz$
$\Rightarrow x^2=y^2=z^2$
Sólo hay 2 valores distintos para x,y,z de forma que sus cuadrados sean iguales, entonces al menos 2 son iguales, SPDG: x=y.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+x+z}$
$\Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2x+z}$
$\Rightarrow \frac{2z+x}{xz} = \frac{1}{2x+z}$
$\Rightarrow (2z+x)(2x+z)=xz \Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2+xz=xz$
$\Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2=0 \Rightarrow 2xz+z^2+x^2=0$
$\Rightarrow (x+z)^2=0 \Rightarrow x+z=0$ que es una contradicción con la suposición de que ninguno era 0.
Como suponiendo que ninguno es 0 se llega a una contradicción, alguno es 0.
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martin contreras carrera12 de septiembre de 2012, 5:35 p.m.
yo lo que ise fua algo asi como talacha jejeje
primero hise la suma $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{xyz}$ y luego me fije que por la ecuacion q nos dan al inicio entonces:
$\frac{xy+xz+yz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0=\frac{x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2}{yzx^2+xzy^2+xyz^2}$
pero nos fijamos que como es una fraccion entonces el numerador tiene que ser cero para que la fraccion sea igual a cero entonces
$x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=0$
pwero nos fijamos que $x^2 y++x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=(x+z)(x+y)(z+y)=0$ entonces alguno de los factores tiene que se igual a cero y acavamos
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antonio lopez12 de septiembre de 2012, 6:27 p.m.
veo que 1/x + 1/y + 1/z= xy+xz+yz/xyz=1/x+y+z entonces $x+y+z(yz+xz+xy)=xyz$ entonces $3xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=xyz$ entonces $2xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=0$ pero me fijo que eso es igual a $(x+y)(x+z)(y+z)=0$ entonces alguno de ellos debe ser 0
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Unknown12 de septiembre de 2012, 7:36 p.m.
rumbo al nacional
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Luis Carlos García12 de septiembre de 2012, 7:52 p.m.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
$\Leftrightarrow \frac{yz+xy+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}$
$\Leftrightarrow (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz$
$\Leftrightarrow 3xyz+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=xyz$
$\Leftrightarrow 2xyz+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=0$
$\Leftrightarrow (x+y)(x+z)(y+x)=0\blacksquare$
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Unknown12 de septiembre de 2012, 9:03 p.m.
primero tenemos esto 1/x + 1/y +1/z = 1/x+y+z entonces lo sumo y me da esto
yz+xy+xz/xyz= 1/x+y+z entonces si le resto 1/x+y+z
entonces tengo que (3xyz)+(x^2 y)+(x^2 z)+(y^2 z)+(xy^2)+(yz^2)+(z+x^2)/x+y+z= 0
y para que una fraccion pueda ser 0 el numero de arriba debe ser 0 (el numerador) entonces tengo que lo de arriba es 0 y orita escribo mas si se me ocurre otra cosas

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Rocha12 de septiembre de 2012, 9:41 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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Rocha12 de septiembre de 2012, 10:15 p.m.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$

$\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0$

$\frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$

$\frac{x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$

$x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$ , si $(x+y)(y+z)(z+x)=0$ Entonces almenos una de las incognitas debe ser igual a $0$
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Ricardo G.13 de septiembre de 2012, 10:13 p.m.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{1}{x+y+z} = 0$

$\frac{xy+yz+xz}{xyz} - \frac{1}{x+y+z} = 0$

$\frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{(xyz)(x+y+z)} = 0$

$x^2y+xyz+x^2z+xy^2+y^2z+xzy+xyz+yz^2+xz^2-xyz = 0$

$(x+y)(x+z)(y+z) = 0$

Por lo tanto, al menos uno de las sumas de los terminos pedidos debe ser igual a $0$ Q.E.D.
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Diego Astiazarán15 de septiembre de 2012, 2:32 a.m.
Tenemos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$
Realizamos la suma de fracciones: $\frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$
Multiplicamos por $xyz$ : $\frac{xyz}{x+y+z}$
Multiplicamos por $x+y+z$ : $3(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = xyz$
Restamos $xyz$ de cada lado: $2(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 0$
Factorizamos la cosa de la izquierda: $(x+y)(y+z)(z+y) = 0$
$\Rightarrow$ Para que el producto de los tres números sea $0$ , alguno de ellos debe ser igual a $0$ .
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Unknown15 de septiembre de 2012, 3:23 a.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4611736335669&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
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Unknown15 de septiembre de 2012, 11:43 p.m.
Lo primero que se me ocurrio hacer fue sumar las fracciones $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} = \frac{yz+xz+xy}{xyz}$ entonces si restamos las dos fracciones como son iguales debe de darnos $0$ , entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}=0$ , cuando hacemos la operacion nos queda que $0$ , entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}= x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$
Factorizamos esta expresión $x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$ nos queda que es igual a $[x+y][x+z][y+z]=0$ entonces para que lo anterior sea $0$ alguno de los factores tambien debe ser $0$
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Unknown18 de septiembre de 2012, 2:24 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=390844854319648&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
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Unknown18 de septiembre de 2012, 2:29 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM000391.jpg
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Pepe Flores19 de septiembre de 2012, 10:51 p.m.
Primero despejamos la ecuacion y nos queda
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$
Despues dejamos todo con el mismo denominador y el denominador lo pasamos multiplicando al $0$ . Entonces el denominador no importa porque al final ya sabemos que lo de arriba sera 0 para que pueda ser igual a 0.
Entonces nos queda:
$2xyz+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x=0$
Lo factorizamos y nos queda:
$(x+y)(y+z)(z+x)=0$
Para que lo de arriba sea verdad, uno de los 3 binomios debera ser 0 y por lo tanto queda demostrado que alguno de ellos es 0
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