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miércoles, 12 de septiembre de 2012
Problema del día, álgebra (12 de Septiembre).
Demostrar que si $x$, $y$, y $z$ son reales que satisfacen
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\]
entonces al menos uno de los siguientes números es cero: $x+y$, $y+z$ o $z+x$.
$\Rightarrow x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$, si $(x+y)(y+z)(z+x)=0\Rightarrow$ al menos $1$ de ellos es igual a $0$
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$ $ \Rightarrow \frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$ $ \Rightarrow (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz$ $ \Rightarrow xyz+x^2z+x^2y+y^2z+xyz+xy^2+yz^2+xz^2+xyz=xyz$ $ \Rightarrow x^2z+x^2y+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2+2xyz=0$ $ \Rightarrow x(x(z+y)+y^2+z^2+2yz)+y^2z+yz^2=0$ $ \Rightarrow x(x(y+z)+(y+z)^2)+yz(y+z)=0$ $ \Rightarrow x((y+z)(x+y+z))+yz(y+z)=0$ $ \Rightarrow (y+z)(x(x+y+z)+yz)=0$ $ \Rightarrow (y+z)(x^2+xy+xz+yz)=0$ Supongamos que $y+z \not= 0$, entonces $x^2+xy+xz+yz=0$ $ \Rightarrow x^2=-xy-xz-yz$ De la misma forma si $x+y,x+z \not= 0$: $y^2=-xy-xz-yz$ $z^2=-xy-xz-yz$ $ \Rightarrow x^2=y^2=z^2$ Sólo hay 2 valores distintos para x,y,z de forma que sus cuadrados sean iguales, entonces al menos 2 son iguales, SPDG: x=y. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+x+z}$ $ \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2x+z}$ $ \Rightarrow \frac{2z+x}{xz} = \frac{1}{2x+z}$ $ \Rightarrow (2z+x)(2x+z)=xz \Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2+xz=xz$ $ \Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2=0 \Rightarrow 2xz+z^2+x^2=0$ $ \Rightarrow (x+z)^2=0 \Rightarrow x+z=0$ que es una contradicción con la suposición de que ninguno era 0. Como suponiendo que ninguno es 0 se llega a una contradicción, alguno es 0.
yo lo que ise fua algo asi como talacha jejeje primero hise la suma $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{xyz}$ y luego me fije que por la ecuacion q nos dan al inicio entonces: $\frac{xy+xz+yz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0=\frac{x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2}{yzx^2+xzy^2+xyz^2}$ pero nos fijamos que como es una fraccion entonces el numerador tiene que ser cero para que la fraccion sea igual a cero entonces $x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=0$ pwero nos fijamos que $x^2 y++x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=(x+z)(x+y)(z+y)=0$ entonces alguno de los factores tiene que se igual a cero y acavamos
veo que 1/x + 1/y + 1/z= xy+xz+yz/xyz=1/x+y+z entonces $x+y+z(yz+xz+xy)=xyz$ entonces $3xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=xyz$ entonces $2xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=0$ pero me fijo que eso es igual a $(x+y)(x+z)(y+z)=0$ entonces alguno de ellos debe ser 0
primero tenemos esto 1/x + 1/y +1/z = 1/x+y+z entonces lo sumo y me da esto yz+xy+xz/xyz= 1/x+y+z entonces si le resto 1/x+y+z entonces tengo que (3xyz)+(x^2 y)+(x^2 z)+(y^2 z)+(xy^2)+(yz^2)+(z+x^2)/x+y+z= 0 y para que una fraccion pueda ser 0 el numero de arriba debe ser 0 (el numerador) entonces tengo que lo de arriba es 0 y orita escribo mas si se me ocurre otra cosas
$x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$, si $(x+y)(y+z)(z+x)=0$ Entonces almenos una de las incognitas debe ser igual a $0$
Tenemos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$ Realizamos la suma de fracciones: $\frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$ Multiplicamos por $xyz$ : $\frac{xyz}{x+y+z}$ Multiplicamos por $x+y+z$ : $3(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = xyz$ Restamos $xyz$ de cada lado: $2(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 0$ Factorizamos la cosa de la izquierda: $(x+y)(y+z)(z+y) = 0$ $\Rightarrow$ Para que el producto de los tres números sea $0$ , alguno de ellos debe ser igual a $0$ .
Lo primero que se me ocurrio hacer fue sumar las fracciones $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} = \frac{yz+xz+xy}{xyz}$ entonces si restamos las dos fracciones como son iguales debe de darnos $0$, entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}=0$, cuando hacemos la operacion nos queda que $0$, entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}= x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$ Factorizamos esta expresión $x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$ nos queda que es igual a $[x+y][x+z][y+z]=0$ entonces para que lo anterior sea $0$ alguno de los factores tambien debe ser $0$
Primero despejamos la ecuacion y nos queda $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$ Despues dejamos todo con el mismo denominador y el denominador lo pasamos multiplicando al $0$. Entonces el denominador no importa porque al final ya sabemos que lo de arriba sera 0 para que pueda ser igual a 0. Entonces nos queda: $2xyz+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x=0$ Lo factorizamos y nos queda: $(x+y)(y+z)(z+x)=0$ Para que lo de arriba sea verdad, uno de los 3 binomios debera ser 0 y por lo tanto queda demostrado que alguno de ellos es 0
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrar$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{xyz}=0$
$\Rightarrow \frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{xyz(x+y+z)}=0 \Rightarrow$
$\frac{x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$
$\Rightarrow x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$, si $(x+y)(y+z)(z+x)=0\Rightarrow$ al menos $1$ de ellos es igual a $0$
Muy bien :)
Borrar*donde puse $\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{xyz}=0$, es: $\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0$
ResponderBorrarOk
Borrar$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrar$ \Rightarrow \frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$
$ \Rightarrow (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz$
$ \Rightarrow xyz+x^2z+x^2y+y^2z+xyz+xy^2+yz^2+xz^2+xyz=xyz$
$ \Rightarrow x^2z+x^2y+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2+2xyz=0$
$ \Rightarrow x(x(z+y)+y^2+z^2+2yz)+y^2z+yz^2=0$
$ \Rightarrow x(x(y+z)+(y+z)^2)+yz(y+z)=0$
$ \Rightarrow x((y+z)(x+y+z))+yz(y+z)=0$
$ \Rightarrow (y+z)(x(x+y+z)+yz)=0$
$ \Rightarrow (y+z)(x^2+xy+xz+yz)=0$
Supongamos que $y+z \not= 0$, entonces $x^2+xy+xz+yz=0$
$ \Rightarrow x^2=-xy-xz-yz$
De la misma forma si $x+y,x+z \not= 0$:
$y^2=-xy-xz-yz$
$z^2=-xy-xz-yz$
$ \Rightarrow x^2=y^2=z^2$
Sólo hay 2 valores distintos para x,y,z de forma que sus cuadrados sean iguales, entonces al menos 2 son iguales, SPDG: x=y.
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+x+z}$
$ \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2x+z}$
$ \Rightarrow \frac{2z+x}{xz} = \frac{1}{2x+z}$
$ \Rightarrow (2z+x)(2x+z)=xz \Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2+xz=xz$
$ \Rightarrow 4xz+2z^2+2x^2=0 \Rightarrow 2xz+z^2+x^2=0$
$ \Rightarrow (x+z)^2=0 \Rightarrow x+z=0$ que es una contradicción con la suposición de que ninguno era 0.
Como suponiendo que ninguno es 0 se llega a una contradicción, alguno es 0.
Muy bien :)
Borraryo lo que ise fua algo asi como talacha jejeje
ResponderBorrarprimero hise la suma $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{xyz}$ y luego me fije que por la ecuacion q nos dan al inicio entonces:
$\frac{xy+xz+yz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0=\frac{x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2}{yzx^2+xzy^2+xyz^2}$
pero nos fijamos que como es una fraccion entonces el numerador tiene que ser cero para que la fraccion sea igual a cero entonces
$x^2 y+x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=0$
pwero nos fijamos que $x^2 y++x^2 z+xy^2+y^2 z+2xyz+xz^2=(x+z)(x+y)(z+y)=0$ entonces alguno de los factores tiene que se igual a cero y acavamos
Te falto poner el termino $yz^2$ pero esta bien :)
Borrarveo que 1/x + 1/y + 1/z= xy+xz+yz/xyz=1/x+y+z entonces $x+y+z(yz+xz+xy)=xyz$ entonces $3xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=xyz$ entonces $2xyz+x^2y+x^2z+y^2z+xy^2+yz^2+xz^2=0$ pero me fijo que eso es igual a $(x+y)(x+z)(y+z)=0$ entonces alguno de ellos debe ser 0
ResponderBorrarMuy bien :)
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarMuy bien :)
Borrar$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrar$\Leftrightarrow \frac{yz+xy+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}$
$\Leftrightarrow (yz+xz+xy)(x+y+z)=xyz$
$\Leftrightarrow 3xyz+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=xyz$
$\Leftrightarrow 2xyz+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=0$
$\Leftrightarrow (x+y)(x+z)(y+x)=0\blacksquare$
Muy bien :)
Borrarprimero tenemos esto 1/x + 1/y +1/z = 1/x+y+z entonces lo sumo y me da esto
ResponderBorraryz+xy+xz/xyz= 1/x+y+z entonces si le resto 1/x+y+z
entonces tengo que (3xyz)+(x^2 y)+(x^2 z)+(y^2 z)+(xy^2)+(yz^2)+(z+x^2)/x+y+z= 0
y para que una fraccion pueda ser 0 el numero de arriba debe ser 0 (el numerador) entonces tengo que lo de arriba es 0 y orita escribo mas si se me ocurre otra cosas
(3xyz)+(x^2 y)+(x^2 z)+(y^2 z)+(xy^2)+(yz^2)+(z+x^2)/(x^2yz)+ (y^2xz)+(z^2xy)= 0 me ekivoke era asi
BorrarVas por buen camino al sumar las fracciones...
BorrarAunque asegúrate de que esta bien lo que te quedo...
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ResponderBorrar$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrar$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$
$\frac{xy+yz+xz}{xyz}-\frac{1}{x+y+z}=0$
$\frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$
$\frac{x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz}{xyz(x+y+z)}=0$
$x^{2}y+xyz+x^{2}z+xy^{2}+y^{2}z+xzy+xyz+yz^{2}+xz^{2}-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=0$, si $(x+y)(y+z)(z+x)=0$ Entonces almenos una de las incognitas debe ser igual a $0$
Muy bien :)
Borrar$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrar$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{1}{x+y+z} = 0$
$\frac{xy+yz+xz}{xyz} - \frac{1}{x+y+z} = 0$
$\frac{(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz}{(xyz)(x+y+z)} = 0$
$x^2y+xyz+x^2z+xy^2+y^2z+xzy+xyz+yz^2+xz^2-xyz = 0$
$(x+y)(x+z)(y+z) = 0 $
Por lo tanto, al menos uno de las sumas de los terminos pedidos debe ser igual a $0$ Q.E.D.
Muy bien :)
BorrarTenemos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$
ResponderBorrarRealizamos la suma de fracciones: $\frac{yz+xz+xy}{xyz} = \frac{1}{x+y+z}$
Multiplicamos por $xyz$ : $\frac{xyz}{x+y+z}$
Multiplicamos por $x+y+z$ : $3(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = xyz$
Restamos $xyz$ de cada lado: $2(xyz)+x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) = 0$
Factorizamos la cosa de la izquierda: $(x+y)(y+z)(z+y) = 0$
$\Rightarrow$ Para que el producto de los tres números sea $0$ , alguno de ellos debe ser igual a $0$ .
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4611736335669&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarLo primero que se me ocurrio hacer fue sumar las fracciones $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} = \frac{yz+xz+xy}{xyz}$ entonces si restamos las dos fracciones como son iguales debe de darnos $0$, entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}=0$, cuando hacemos la operacion nos queda que $0$, entonces $\frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} - \frac{yz+xz+xy}{xyz}= x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$
ResponderBorrarFactorizamos esta expresión $x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2y+z^2x+2xyz=0$ nos queda que es igual a $[x+y][x+z][y+z]=0$ entonces para que lo anterior sea $0$ alguno de los factores tambien debe ser $0$
Esta bien solo que tienes que hacer todo el procedimiento
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ResponderBorrarLa idea esta bien pero tienes que escribir todo el procedimiento
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ResponderBorrarPrimero despejamos la ecuacion y nos queda
ResponderBorrar$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0$
Despues dejamos todo con el mismo denominador y el denominador lo pasamos multiplicando al $0$. Entonces el denominador no importa porque al final ya sabemos que lo de arriba sera 0 para que pueda ser igual a 0.
Entonces nos queda:
$2xyz+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x=0$
Lo factorizamos y nos queda:
$(x+y)(y+z)(z+x)=0$
Para que lo de arriba sea verdad, uno de los 3 binomios debera ser 0 y por lo tanto queda demostrado que alguno de ellos es 0
Muy bien :)
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