Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).

Una función

$f$ está definida para todos los enteros positivos y satisface

$f(1)=2006$ y

$f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$ para todo entero

$n>1$ . Encuentra el valor de

$f(2006)$ .

31 comentarios:

Luis Chacón26 de septiembre de 2012, 8:22 p.m.
$f(1)=2006$
$f(1)+f(2)=2^2f(2)$ $\Rightarrow (2^2-1)f(2)=f(1)$ $\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)$ $\Rightarrow (3^2-1)f(3)=f(1)+f(2)$ $\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$
$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)$ $\Rightarrow (4^2-1)f(4)=f(1)+f(2)+f(3)$ $\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$
Aquí podemos ver un patrón, que es que $f(k)=\frac{2006}{1+2+...+k}=\frac{2006}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{k(k+1)}$ .
Si éste patrón se cumple siempre, $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$ .
Vemos si el patrón se cumple por inducción.
$f(1)=2006=\frac{2(2006)}{1(2)}$ entonces es cierto para $n=1$
Supongamos que es cierto para todas las $n$ desde $1$ hasta $k$ .
$f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+1)^2f(k+1)$
$\Rightarrow ((k+1)^2-1)f(k+1)=f(1)+f(2)+...+f(k)$ $\Rightarrow ((k+1+1)(k+1-1))f(k+1)=\frac{2(2006)}{1(2)}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{k(k+1)})$ $\Rightarrow ((k+2)(k))f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$ $\Rightarrow f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$
Si $(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ , terminamos la inducción y se cumple el patrón.
Lo demostramos también por inducción.
Para $n=1$ , $(\frac{1}{1(3)})(\frac{1}{1(2)})=\frac{1}{2(3)}$ es cierto.
Suongamos que es cierto para $n=k-1$ .
$(\frac{1}{(k-1)(k+1)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})=\frac{1}{k(k+1)}$ $\Rightarrow \frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)}$ $=(k-1)(k+1)(\frac{1}{k(k+1)})$ $=\frac{k-1}{k}$ $\Rightarrow (\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k-1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$ $=\frac{(k+1)(k-1)+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2-1+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2}{k(k+1)}$ $=\frac{k}{k+1}$ $\Rightarrow (\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{k}{k+1})$ $=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ que es la proposición de $k$ , entonces se cumple para todos los naturales.
Como esto es cierto, podemos terminar la inducción del para el patrón; como se cumple el patrón, $f(2006)=\frac{2}{2007}$ .
ResponderBorrar
Respuestas
Ricardo G.28 de septiembre de 2012, 12:39 a.m.
$\text Tenemos que$ $f(1) = 2006$

$\text Y f(1) + f(2) = 4*f(2)$ $\therefore \frac{2006}{3} = f(2)$

$f(1) + f(2) = 8*f(3)$ $\therefore \frac{2006(4)}{24} = f(3) = \frac{2006}{6}$

$f(1) + f(2) + f(3) = 15*f(4)$ $\therefore \frac{2006(9)}{6*15} = f(3) = \frac{2006}{10}$

$\Text Generalizando la función, tenemos que:$

$f(n) = \frac{2006}{1+2+3+...n}$ $= \frac{2006}{{n(n+1)}/2}$ $= \frac{2(2006)}{n(n+1)}$

$\Text Por lo cual$ $f(2006) = \frac{2}{2007}$

Pero hasta ahí llevo, pues no he podido probar que el patrón se cumple...
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown30 de septiembre de 2012, 5:23 p.m.
tienes que $f(1)=2006$
luego tienes que y tienes que que es y por eso tienes que y tienes que $f(1)+f(2)=(3^2-1)f(3)$ entonces tienes que $f(3)=\frac{2006}{6}$ y tienes que alli hay un patron que es que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\{2(2006)}{n(n+1)}$ y ese patron tienes que se cumple porque siempre va ser $(n^2)f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)$
y tienes que hasta ahora si se cumple pero no se como demostrarlo todavia
ResponderBorrar
Respuestas
antonio lopez30 de septiembre de 2012, 9:26 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
antonio lopez30 de septiembre de 2012, 9:28 p.m.
Primero veo que $f(1)+f(2)=2006+f(2)=4f(2)$ .Entnonces:
$\frac{2006}{f(2)}+1=4$ entonces $f(2)=\frac{2006}{3}$ .Luego $f(1)+f(2)+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)$ . Entonces
$\frac{4(2006)}{3f(3)}+1=9$
$\frac{4(2006)}{3f(3)}=8$
$f(3)=\frac {2006}{3}$ . entonces me fijo que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$ . Esto lo demostrare poor induccion.
Para el caso base se tiene que $f(1)=\frac{2(2006)}{2}=2006$ lo cual es cierto.
AHora supongamos que cumple para todos los enteros desde 1 hasta n.Entonces
$f(1)+f(2)+...+f(n+1)=(n+1)^2f(n+1)=\frac{2(2006)}{2}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{n(n+1)}+f(n+1)$ . Luego si resto $f(n+1)$ a ambos lados me queda que:
$(n+1)^2f(n+1)-f(n+1)=(f(n+1))((n+1)^2-1)=(f(n+1))(n(n+2))=$
$=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ .
Luego si sustituyo $f(n+1)$ por $\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)}$ me quedaria:
P.D: $(\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)})(n(n+2))=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ .
Entonces si divido ambos lados entre $2(2006)$ me queda:
P.D: $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$
Solo me falta demostrar esto ultimo,Si demuestro eso queda demostrada la induccion y por lo tanto se tendria que:
$f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown30 de septiembre de 2012, 10:26 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465873857546&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA OTRA HOJA:http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465977190869&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown30 de septiembre de 2012, 11:10 p.m.
Sabemos que $f(1)=2006$ entonces

$f(1)+f(2)=2^2 f(2)\rightarrow 2006+f(2)=4f(2\rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$

$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)\rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9 f(3)\rightarrow f(3)=\frac{4(2006)}{24}=\frac{2006}{6}$

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)\rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=16 f(4)\rightarrow f(4)=\frac{27(2006)}{18*15}=\frac{2006}{10}$

Nos damos cuenta de que sigue un patrón

$\frac{2006}{1} +\frac{2006}{3} +\frac{2006}{6} +\frac{2006}{10}... +\frac{2(2006)}{n(n+1)}$ . Si este patron se cumple entonces

$f(2006) =\frac{2(2006)}{(2006)(2007)} =\frac{2}{2007}$

Para poder afirmar esto debemos demostrar el patrón.
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown1 de octubre de 2012, 12:02 a.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4684719600205&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrar
Respuestas
martin contreras carrera1 de octubre de 2012, 4:55 p.m.
podemos ver facilmente que $f(1)+f(2)=4f(2)=2006+f(2)=4f(2)$ entonces si despejamos nos podemos dar cunta que $f(2)=\frac{2006}{3}$
y si hacemos lo mismo nos damos cuenta $f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)=2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)$ y si despejamos nos podemos dar cuenta que $f(3)=\frac{2006}{6}$
y si hacemos lo mismo $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)$ y si despejamos nos damos cuenta que $f(4)=\frac{2006}{10}$
y si hacemos mas casos nos daremos cuenta que se va cumpliendo un patron:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ y si seguimos ese patron nos damos cueta que $f(2006)=\frac{4012}{4026042}=\frac{2}{2007}$
lo unico que nos faltaria es demostrar el patron
ResponderBorrar
Respuestas
Diego Astiazarán1 de octubre de 2012, 7:56 p.m.
Tenemos que $f(1)=2006$ , entonces:
$2006+f(2)=4*f(2)\Rightarrow 2006=3f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}=8f(3)\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$
$2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=15f(4)\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$
Despues de hacer estos casos me di cuenta de esto:
$f(n)=\frac{2006}{1+2+\cdots +(n-1)+n}=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$
$\Rightarrow f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
Solo me falta demostrar que ese patrón cumple para toda $n$ .
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown1 de octubre de 2012, 7:59 p.m.
Primero vemos los casos chicos:
$f(1)=2006$
$f(1)+f(2)=4f(2)\Rightarrow 2006=3f(2) \Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow \frac{4(2006)}{3}=8f(3)\Rightarrow \frac{2006}{6}=f(3)$
Aquí me doy cuenta de que se da una fórmula, que a continuación demuestro con 2 inducciones:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$
Caso base.-
$n=1\Rightarrow f(1)=\frac{4012}{1(2)}=2006$ lo cual es cierto.
Hipótesis de inducción y paso inductivo.-
$f(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=(n+1)^{2}f(n+1)$
$=n^{2}f(n+1)+2nf(n+1)+f(n+1)$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=f(n+1)(n(n+1))$
$\Rightarrow f(n+1)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}}{n(n+2)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}$
$\Rightarrow PD: \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}=\frac{4012}{(n+1)(n+2)}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n(i+1)i}=\frac{1}{n+1}$
Para demostrar la anterior fórmula usamos inducción de nuevo.-
Caso base.-
$n=1\Rightarrow\frac{1}{(1)(1)(2)}=\frac{1}{(1+1)}$ lo cual es cierto.
Hipótesis de inducción y paso inductivo.-
Si para $n$ es cierto entonces:
$\frac{1}{n(1)(2)}+\frac{1}{n(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{n(n)(n+1)}=\frac{1}{n+1}$
La proposición para $n+1$ es:
$\frac{1}{(n+1)(1)(2)}+\frac{1}{(n+1)(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n)(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}$
Entonces se debe cumplir que:
$\frac{n(\frac{1}{n+1})}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+2)}$
$\Rightarrow \frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}(n+2)}$
$\Rightarrow n(n+2)+1=(n+1)^{2}$
$\Rightarrow n^{2}+2n+1=n^{2}+2n+1$
Lo cual es cierto, por lo que ambas inducciones validan ambas fórmulas, por lo que:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ para:
$n=2006\Rightarrow f(2006)=\frac{4012}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}\therefore$
$\boxed{f(2006)=\frac{2}{2007}}$
ResponderBorrar
Respuestas
Pepe Flores1 de octubre de 2012, 9:45 p.m.
Comence haciendo los primeros casos.
$f(1)+f(2)=2^2f(2)$
$2006=3f(2)$
$\frac{2006}{3}=f(2)$

$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)$
$2006+\frac{2006}{3}=8f(3)$
$\frac{4*2006}{3*8}=f(3)$
$\frac{2006}{6}=f(3)$

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)$
$2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=15f(4)$
$\frac{9*2006}{6*15}=f(4)$
$\frac{2006}{10}=f(4)$

Luego me fije en que habia un patron.
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}$ f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)} $Entonces$ f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}
$f(2006)=\frac{2}{2007}$

Aun me falta comprobar que el patron cumple para cualquier n
ResponderBorrar
Respuestas
Luis Carlos García1 de octubre de 2012, 10:42 p.m.
$\text{Nos fijamos en que }$
$f(1)=2006, f(1)+f(2)=2006+f(2)=4f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$

$\text{Analogamente:}$
$f(3)=\frac{2006}{6}$

$\text{Nos fijamos en el patron y conjeturamos que:}$
$\f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2006(2)}{n(n+1)}$

$\text{Supongamos que cumple para todos los naturales menores a }k+1$
$\text{Luego:}$

$P_k: 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}=k^2(\frac{2006(2)}{k(k+1)}$

$\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}=k^2(\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{2006(2)k}{k+1}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{2006(2)k(k+2)+2006(2)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{2006(2)(k(k+2)+1)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{(k^2+2k+1)2006(2)}{(k+1)(k+2)}$

$=(k+1)^2(\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)})$

$\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}=(k+1)^2(\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)})$

$\text{Lo cual es lo mismo que }P_{k+1}$
$\Rightarrow \forall n \in\mathbb{N}:f(n)=\frac{2006(2)}{n(n+1)}$
$\Rightarrow f(2006)=\frac{2006(2)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$

$\therefore\boxed{f(2006)=\frac{2}{2007}}$
ResponderBorrar
Respuestas
IwakuraIsa2 de octubre de 2012, 8:27 a.m.
Ya que ya se les pasó el tiempo para este problema, les tengo una solución alterna que va para atras en lugar de ir para adelante.
Primero nos fijamos que la recursión se cumple para toda $n$ , en particular, para $n$ y $n-1$ , entonces restando obtenemos
$f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)$
Con un poco de manipulación algebraica llegamos a que para toda $n$
$f(n)=\frac{(n-1)f(n-1)}{n+1}$
Aplicando la recursión muchas veces llegamos a que
$f(n) = \frac{(n-1)!f(1)}{(n+1)!/2} = \frac{2f(1)}{n(n+1)}$
En particular como $f(1)=2006$ y para $n=2006$
$\frac{2 \times 2006}{2007(2006}= \frac{2}{2007}$
ResponderBorrar
Respuestas
IwakuraIsa2 de octubre de 2012, 1:10 p.m.
Nomas hay que tener cuidado con la recursion en $n=1$ y $n=2$ pero es facil ver con $f(2)$ que
$f(2)=\frac{f(1)}{3}=\frac{(2-1)f(1)}{(2+1)}$
ResponderBorrar
Respuestas
Manuel Dosal5 de octubre de 2012, 9:12 p.m.
En este problema puede ser de mucha ayuda saber lo siguiente:
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$
ResponderBorrar
Respuestas

Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).

31 comentarios:

SC

Google Analytics