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miércoles, 26 de septiembre de 2012
Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).
Una función $f$ está definida para todos los enteros positivos y satisface $f(1)=2006$ y $f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$ para todo entero $n>1$. Encuentra el valor de $f(2006)$.
$f(1)=2006$ $f(1)+f(2)=2^2f(2)$ $\Rightarrow (2^2-1)f(2)=f(1)$ $\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$ $f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)$ $\Rightarrow (3^2-1)f(3)=f(1)+f(2)$ $\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$ $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)$ $\Rightarrow (4^2-1)f(4)=f(1)+f(2)+f(3)$ $\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$ Aquí podemos ver un patrón, que es que $f(k)=\frac{2006}{1+2+...+k}=\frac{2006}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{k(k+1)}$. Si éste patrón se cumple siempre, $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$. Vemos si el patrón se cumple por inducción. $f(1)=2006=\frac{2(2006)}{1(2)}$ entonces es cierto para $n=1$ Supongamos que es cierto para todas las $n$ desde $1$ hasta $k$. $f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+1)^2f(k+1)$ $\Rightarrow ((k+1)^2-1)f(k+1)=f(1)+f(2)+...+f(k)$ $\Rightarrow ((k+1+1)(k+1-1))f(k+1)=\frac{2(2006)}{1(2)}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{k(k+1)})$ $\Rightarrow ((k+2)(k))f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$ $\Rightarrow f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$ Si $(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$, terminamos la inducción y se cumple el patrón. Lo demostramos también por inducción. Para $n=1$, $(\frac{1}{1(3)})(\frac{1}{1(2)})=\frac{1}{2(3)}$ es cierto. Suongamos que es cierto para $n=k-1$. $(\frac{1}{(k-1)(k+1)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})=\frac{1}{k(k+1)}$ $\Rightarrow \frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)}$ $=(k-1)(k+1)(\frac{1}{k(k+1)})$ $=\frac{k-1}{k}$ $\Rightarrow (\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k-1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$ $=\frac{(k+1)(k-1)+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2-1+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2}{k(k+1)}$ $=\frac{k}{k+1}$ $\Rightarrow (\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{k}{k+1})$ $=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ que es la proposición de $k$, entonces se cumple para todos los naturales. Como esto es cierto, podemos terminar la inducción del para el patrón; como se cumple el patrón, $f(2006)=\frac{2}{2007}$.
tienes que $f(1)=2006$ luego tienes que y tienes que que es y por eso tienes que y tienes que $f(1)+f(2)=(3^2-1)f(3)$ entonces tienes que $f(3)=\frac{2006}{6}$ y tienes que alli hay un patron que es que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\{2(2006)}{n(n+1)}$ y ese patron tienes que se cumple porque siempre va ser $(n^2)f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)$ y tienes que hasta ahora si se cumple pero no se como demostrarlo todavia
Primero veo que $f(1)+f(2)=2006+f(2)=4f(2)$.Entnonces: $\frac{2006}{f(2)}+1=4$ entonces $f(2)=\frac{2006}{3}$.Luego $f(1)+f(2)+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)$. Entonces $\frac{4(2006)}{3f(3)}+1=9$ $\frac{4(2006)}{3f(3)}=8$ $f(3)=\frac {2006}{3}$. entonces me fijo que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$. Esto lo demostrare poor induccion. Para el caso base se tiene que $f(1)=\frac{2(2006)}{2}=2006$ lo cual es cierto. AHora supongamos que cumple para todos los enteros desde 1 hasta n.Entonces $f(1)+f(2)+...+f(n+1)=(n+1)^2f(n+1)=\frac{2(2006)}{2}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{n(n+1)}+f(n+1)$. Luego si resto $f(n+1)$ a ambos lados me queda que: $(n+1)^2f(n+1)-f(n+1)=(f(n+1))((n+1)^2-1)=(f(n+1))(n(n+2))=$ $=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Luego si sustituyo $f(n+1)$ por $\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)}$ me quedaria: P.D: $(\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)})(n(n+2))=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Entonces si divido ambos lados entre $2(2006)$ me queda: P.D: $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ Solo me falta demostrar esto ultimo,Si demuestro eso queda demostrada la induccion y por lo tanto se tendria que: $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465873857546&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA OTRA HOJA:http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465977190869&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466073857526&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater ESTA TAMBIEN SOLO QUE ME FALTO PUBLICARLA
podemos ver facilmente que $f(1)+f(2)=4f(2)=2006+f(2)=4f(2)$ entonces si despejamos nos podemos dar cunta que $f(2)=\frac{2006}{3}$ y si hacemos lo mismo nos damos cuenta $f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)=2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)$ y si despejamos nos podemos dar cuenta que $f(3)=\frac{2006}{6}$ y si hacemos lo mismo $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)$ y si despejamos nos damos cuenta que $f(4)=\frac{2006}{10}$ y si hacemos mas casos nos daremos cuenta que se va cumpliendo un patron: $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ y si seguimos ese patron nos damos cueta que $f(2006)=\frac{4012}{4026042}=\frac{2}{2007}$ lo unico que nos faltaria es demostrar el patron
Tenemos que $f(1)=2006$ , entonces: $2006+f(2)=4*f(2)\Rightarrow 2006=3f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$ $2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}=8f(3)\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$ $2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=15f(4)\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$ Despues de hacer estos casos me di cuenta de esto: $f(n)=\frac{2006}{1+2+\cdots +(n-1)+n}=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$ $\Rightarrow f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$ Solo me falta demostrar que ese patrón cumple para toda $n$ .
Primero vemos los casos chicos: $f(1)=2006$ $f(1)+f(2)=4f(2)\Rightarrow 2006=3f(2) \Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$ $f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow \frac{4(2006)}{3}=8f(3)\Rightarrow \frac{2006}{6}=f(3)$ Aquí me doy cuenta de que se da una fórmula, que a continuación demuestro con 2 inducciones: $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ Caso base.- $n=1\Rightarrow f(1)=\frac{4012}{1(2)}=2006$ lo cual es cierto. Hipótesis de inducción y paso inductivo.- $f(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=(n+1)^{2}f(n+1)$ $=n^{2}f(n+1)+2nf(n+1)+f(n+1)$ $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=f(n+1)(n(n+1))$ $\Rightarrow f(n+1)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}}{n(n+2)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}$ $\Rightarrow PD: \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}=\frac{4012}{(n+1)(n+2)}$ $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n(i+1)i}=\frac{1}{n+1}$ Para demostrar la anterior fórmula usamos inducción de nuevo.- Caso base.- $n=1\Rightarrow\frac{1}{(1)(1)(2)}=\frac{1}{(1+1)}$ lo cual es cierto. Hipótesis de inducción y paso inductivo.- Si para $n$ es cierto entonces: $\frac{1}{n(1)(2)}+\frac{1}{n(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{n(n)(n+1)}=\frac{1}{n+1}$ La proposición para $n+1$ es: $\frac{1}{(n+1)(1)(2)}+\frac{1}{(n+1)(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n)(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}$ Entonces se debe cumplir que: $\frac{n(\frac{1}{n+1})}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+2)}$ $\Rightarrow \frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}(n+2)}$ $\Rightarrow n(n+2)+1=(n+1)^{2}$ $\Rightarrow n^{2}+2n+1=n^{2}+2n+1$ Lo cual es cierto, por lo que ambas inducciones validan ambas fórmulas, por lo que: $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ para: $n=2006\Rightarrow f(2006)=\frac{4012}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}\therefore$ $\boxed{f(2006)=\frac{2}{2007}}$
Donde dice f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)}$Entonces $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007) es $f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)}$ Entonces $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}$
$\text{Lo cual es lo mismo que }P_{k+1}$ $\Rightarrow \forall n \in\mathbb{N}:f(n)=\frac{2006(2)}{n(n+1)}$ $\Rightarrow f(2006)=\frac{2006(2)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
Ya que ya se les pasó el tiempo para este problema, les tengo una solución alterna que va para atras en lugar de ir para adelante. Primero nos fijamos que la recursión se cumple para toda $n$, en particular, para $n$ y $n-1$, entonces restando obtenemos \[f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\] Con un poco de manipulación algebraica llegamos a que para toda $n$ \[f(n)=\frac{(n-1)f(n-1)}{n+1}\] Aplicando la recursión muchas veces llegamos a que \[f(n) = \frac{(n-1)!f(1)}{(n+1)!/2} = \frac{2f(1)}{n(n+1)}\] En particular como $f(1)=2006$ y para $n=2006$ \[\frac{2 \times 2006}{2007(2006}= \frac{2}{2007}\]
$f(1)=2006$
ResponderBorrar$f(1)+f(2)=2^2f(2)$ $\Rightarrow (2^2-1)f(2)=f(1)$ $\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)$ $\Rightarrow (3^2-1)f(3)=f(1)+f(2)$ $\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$
$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)$ $\Rightarrow (4^2-1)f(4)=f(1)+f(2)+f(3)$ $\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$
Aquí podemos ver un patrón, que es que $f(k)=\frac{2006}{1+2+...+k}=\frac{2006}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{k(k+1)}$.
Si éste patrón se cumple siempre, $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$.
Vemos si el patrón se cumple por inducción.
$f(1)=2006=\frac{2(2006)}{1(2)}$ entonces es cierto para $n=1$
Supongamos que es cierto para todas las $n$ desde $1$ hasta $k$.
$f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+1)^2f(k+1)$
$\Rightarrow ((k+1)^2-1)f(k+1)=f(1)+f(2)+...+f(k)$ $\Rightarrow ((k+1+1)(k+1-1))f(k+1)=\frac{2(2006)}{1(2)}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{k(k+1)})$ $\Rightarrow ((k+2)(k))f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$ $\Rightarrow f(k+1)=2(2006)(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})$
Si $(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$, terminamos la inducción y se cumple el patrón.
Lo demostramos también por inducción.
Para $n=1$, $(\frac{1}{1(3)})(\frac{1}{1(2)})=\frac{1}{2(3)}$ es cierto.
Suongamos que es cierto para $n=k-1$.
$(\frac{1}{(k-1)(k+1)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})=\frac{1}{k(k+1)}$ $\Rightarrow \frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)}$ $=(k-1)(k+1)(\frac{1}{k(k+1)})$ $=\frac{k-1}{k}$ $\Rightarrow (\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k-1)})+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k-1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$ $=\frac{(k+1)(k-1)+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2-1+1}{k(k+1)}$ $=\frac{k^2}{k(k+1)}$ $=\frac{k}{k+1}$ $\Rightarrow (\frac{1}{k(k+2)})(\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{k(k+1)})=(\frac{1}{k(k+2)})(\frac{k}{k+1})$ $=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ que es la proposición de $k$, entonces se cumple para todos los naturales.
Como esto es cierto, podemos terminar la inducción del para el patrón; como se cumple el patrón, $f(2006)=\frac{2}{2007}$.
Muy bien :)
Borrar$\text Tenemos que $ $ f(1) = 2006$
ResponderBorrar$ \text Y f(1) + f(2) = 4*f(2)$ $\therefore \frac{2006}{3} = f(2)$
$ f(1) + f(2) = 8*f(3)$ $\therefore \frac{2006(4)}{24} = f(3) = \frac{2006}{6}$
$ f(1) + f(2) + f(3) = 15*f(4)$ $\therefore \frac{2006(9)}{6*15} = f(3) = \frac{2006}{10} $
$ \Text Generalizando la función, tenemos que: $
$ f(n) = \frac{2006}{1+2+3+...n}$ $ = \frac{2006}{{n(n+1)}/2}$ $ = \frac{2(2006)}{n(n+1)}$
$\Text Por lo cual$ $ f(2006) = \frac{2}{2007}$
Pero hasta ahí llevo, pues no he podido probar que el patrón se cumple...
Vas por buen camino, solo te falta demostrar el patrón
Borrartienes que $f(1)=2006$
ResponderBorrarluego tienes que y tienes que que es y por eso tienes que y tienes que $f(1)+f(2)=(3^2-1)f(3)$ entonces tienes que $f(3)=\frac{2006}{6}$ y tienes que alli hay un patron que es que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\{2(2006)}{n(n+1)}$ y ese patron tienes que se cumple porque siempre va ser $(n^2)f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)$
y tienes que hasta ahora si se cumple pero no se como demostrarlo todavia
Vas por buen camino
BorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarPrimero veo que $f(1)+f(2)=2006+f(2)=4f(2)$.Entnonces:
ResponderBorrar$\frac{2006}{f(2)}+1=4$ entonces $f(2)=\frac{2006}{3}$.Luego $f(1)+f(2)+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)$. Entonces
$\frac{4(2006)}{3f(3)}+1=9$
$\frac{4(2006)}{3f(3)}=8$
$f(3)=\frac {2006}{3}$. entonces me fijo que $f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$. Esto lo demostrare poor induccion.
Para el caso base se tiene que $f(1)=\frac{2(2006)}{2}=2006$ lo cual es cierto.
AHora supongamos que cumple para todos los enteros desde 1 hasta n.Entonces
$f(1)+f(2)+...+f(n+1)=(n+1)^2f(n+1)=\frac{2(2006)}{2}+\frac{2(2006)}{2(3)}+...+\frac{2(2006)}{n(n+1)}+f(n+1)$. Luego si resto $f(n+1)$ a ambos lados me queda que:
$(n+1)^2f(n+1)-f(n+1)=(f(n+1))((n+1)^2-1)=(f(n+1))(n(n+2))=$
$=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$.
Luego si sustituyo $f(n+1)$ por $\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)}$ me quedaria:
P.D: $(\frac{2(2006)}{(n+1)(n+2)})(n(n+2))=2(2006)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$.
Entonces si divido ambos lados entre $2(2006)$ me queda:
P.D: $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}$
Solo me falta demostrar esto ultimo,Si demuestro eso queda demostrada la induccion y por lo tanto se tendria que:
$f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
Vas bien, ya casi esta
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465873857546&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA OTRA HOJA:http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395465977190869&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466073857526&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater ESTA TAMBIEN SOLO QUE ME FALTO PUBLICARLA
BorrarVas bien al hacer casos pequeños y utilizar inducción.
BorrarSabemos que $f(1)=2006$ entonces
ResponderBorrar$f(1)+f(2)=2^2 f(2)\rightarrow 2006+f(2)=4f(2\rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)\rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9 f(3)\rightarrow f(3)=\frac{4(2006)}{24}=\frac{2006}{6}$
$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)\rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=16 f(4)\rightarrow f(4)=\frac{27(2006)}{18*15}=\frac{2006}{10}$
Nos damos cuenta de que sigue un patrón
$\frac{2006}{1} +\frac{2006}{3} +\frac{2006}{6} +\frac{2006}{10}... +\frac{2(2006)}{n(n+1)}$. Si este patron se cumple entonces
$f(2006) =\frac{2(2006)}{(2006)(2007)} =\frac{2}{2007}$
Para poder afirmar esto debemos demostrar el patrón.
Vas bien, el patrón que encontraste es el correcto
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ResponderBorrarVas bien al usar induccion
Borrarpodemos ver facilmente que $f(1)+f(2)=4f(2)=2006+f(2)=4f(2)$ entonces si despejamos nos podemos dar cunta que $f(2)=\frac{2006}{3}$
ResponderBorrary si hacemos lo mismo nos damos cuenta $f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)=2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)$ y si despejamos nos podemos dar cuenta que $f(3)=\frac{2006}{6}$
y si hacemos lo mismo $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)$ y si despejamos nos damos cuenta que $f(4)=\frac{2006}{10}$
y si hacemos mas casos nos daremos cuenta que se va cumpliendo un patron:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ y si seguimos ese patron nos damos cueta que $f(2006)=\frac{4012}{4026042}=\frac{2}{2007}$
lo unico que nos faltaria es demostrar el patron
Vas bien, y si, solo te falta demostrar ese patron
BorrarTenemos que $f(1)=2006$ , entonces:
ResponderBorrar$2006+f(2)=4*f(2)\Rightarrow 2006=3f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$2006+\frac{2006}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}=8f(3)\Rightarrow f(3)=\frac{2006+\frac{2006}{3}}{8}=\frac{2006}{6}$
$2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}+f(4)=16f(4)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=15f(4)\Rightarrow f(4)=\frac{2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}}{15}=\frac{2006}{10}$
Despues de hacer estos casos me di cuenta de esto:
$f(n)=\frac{2006}{1+2+\cdots +(n-1)+n}=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2(2006)}{n(n+1)}$
$\Rightarrow f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
Solo me falta demostrar que ese patrón cumple para toda $n$ .
Vas bien y nada mas te falta demostrar el patron, asi como dices
BorrarPrimero vemos los casos chicos:
ResponderBorrar$f(1)=2006$
$f(1)+f(2)=4f(2)\Rightarrow 2006=3f(2) \Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+f(3)=\frac{4(2006)}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow \frac{4(2006)}{3}=8f(3)\Rightarrow \frac{2006}{6}=f(3)$
Aquí me doy cuenta de que se da una fórmula, que a continuación demuestro con 2 inducciones:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$
Caso base.-
$n=1\Rightarrow f(1)=\frac{4012}{1(2)}=2006$ lo cual es cierto.
Hipótesis de inducción y paso inductivo.-
$f(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=(n+1)^{2}f(n+1)$
$=n^{2}f(n+1)+2nf(n+1)+f(n+1)$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}=f(n+1)(n(n+1))$
$\Rightarrow f(n+1)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{i(i+1)}}{n(n+2)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}$
$\Rightarrow PD: \sum_{i=1}^{n}\frac{4012}{n(n+1)i(i+1)}=\frac{4012}{(n+1)(n+2)}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n(i+1)i}=\frac{1}{n+1}$
Para demostrar la anterior fórmula usamos inducción de nuevo.-
Caso base.-
$n=1\Rightarrow\frac{1}{(1)(1)(2)}=\frac{1}{(1+1)}$ lo cual es cierto.
Hipótesis de inducción y paso inductivo.-
Si para $n$ es cierto entonces:
$\frac{1}{n(1)(2)}+\frac{1}{n(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{n(n)(n+1)}=\frac{1}{n+1}$
La proposición para $n+1$ es:
$\frac{1}{(n+1)(1)(2)}+\frac{1}{(n+1)(2)(3)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n)(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}$
Entonces se debe cumplir que:
$\frac{n(\frac{1}{n+1})}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+2)}$
$\Rightarrow \frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}(n+2)}$
$\Rightarrow n(n+2)+1=(n+1)^{2}$
$\Rightarrow n^{2}+2n+1=n^{2}+2n+1$
Lo cual es cierto, por lo que ambas inducciones validan ambas fórmulas, por lo que:
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{4012}{n(n+1)}$ para:
$n=2006\Rightarrow f(2006)=\frac{4012}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}\therefore$
$\boxed{f(2006)=\frac{2}{2007}}$
Muy bien :)
BorrarComence haciendo los primeros casos.
ResponderBorrar$f(1)+f(2)=2^2f(2)$
$2006=3f(2)$
$\frac{2006}{3}=f(2)$
$f(1)+f(2)+f(3)=3^2f(3)$
$2006+\frac{2006}{3}=8f(3)$
$\frac{4*2006}{3*8}=f(3)$
$\frac{2006}{6}=f(3)$
$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2f(4)$
$2006+\frac{2006}{3}+\frac{2006}{6}=15f(4)$
$\frac{9*2006}{6*15}=f(4)$
$\frac{2006}{10}=f(4)$
Luego me fije en que habia un patron.
$f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}
$f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)}$
Entonces $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}
$f(2006)=\frac{2}{2007}$
Aun me falta comprobar que el patron cumple para cualquier n
Donde dice f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)}$Entonces $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)
Borrares
$f(n)=\frac{2*2006}{n(n+1)}$
Entonces $f(2006)=\frac{2(2006)}{2006(2007)}$
Vas por buen camino y el patrón es correcto
Borrar$\text{Nos fijamos en que }$
ResponderBorrar$f(1)=2006, f(1)+f(2)=2006+f(2)=4f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{2006}{3}$
$\text{Analogamente:}$
$f(3)=\frac{2006}{6}$
$\text{Nos fijamos en el patron y conjeturamos que:}$
$\f(n)=\frac{2006}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2006(2)}{n(n+1)}$
$\text{Supongamos que cumple para todos los naturales menores a }k+1$
$\text{Luego:}$
$P_k: 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}=k^2(\frac{2006(2)}{k(k+1)}$
$\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}=k^2(\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}$
$=\frac{2006(2)k}{k+1}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}$
$=\frac{2006(2)k(k+2)+2006(2)}{(k+1)(k+2)}$
$=\frac{2006(2)(k(k+2)+1)}{(k+1)(k+2)}$
$=\frac{(k^2+2k+1)2006(2)}{(k+1)(k+2)}$
$=(k+1)^2(\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)})$
$\Rightarrow 2006+\frac{2006}{3}+\cdots +\frac{2006(2)}{k(k+1)}+\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)}=(k+1)^2(\frac{2006(2)}{(k+1)(k+2)})$
$\text{Lo cual es lo mismo que }P_{k+1}$
$\Rightarrow \forall n \in\mathbb{N}:f(n)=\frac{2006(2)}{n(n+1)}$
$\Rightarrow f(2006)=\frac{2006(2)}{2006(2007)}=\frac{2}{2007}$
$\therefore\boxed{f(2006)=\frac{2}{2007}}$
Muy bien :)
BorrarYa que ya se les pasó el tiempo para este problema, les tengo una solución alterna que va para atras en lugar de ir para adelante.
ResponderBorrarPrimero nos fijamos que la recursión se cumple para toda $n$, en particular, para $n$ y $n-1$, entonces restando obtenemos
\[f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\]
Con un poco de manipulación algebraica llegamos a que para toda $n$
\[f(n)=\frac{(n-1)f(n-1)}{n+1}\]
Aplicando la recursión muchas veces llegamos a que
\[f(n) = \frac{(n-1)!f(1)}{(n+1)!/2} = \frac{2f(1)}{n(n+1)}\]
En particular como $f(1)=2006$ y para $n=2006$
\[\frac{2 \times 2006}{2007(2006}= \frac{2}{2007}\]
Nomas hay que tener cuidado con la recursion en $n=1$ y $n=2$ pero es facil ver con $f(2)$ que
ResponderBorrar\[f(2)=\frac{f(1)}{3}=\frac{(2-1)f(1)}{(2+1)}\]
Muy bien :)
BorrarEn este problema puede ser de mucha ayuda saber lo siguiente: \[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}\]
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