Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día. Algebra (9 de septiembre)

domingo, 9 de septiembre de 2012

Problema del día. Algebra (9 de septiembre)

Determina todos los enteros positivos

$n$ para los que existen enteros positivos distintos

$a_1,a_2,...,a_n$ tales que

$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_1}$ es un entero.

39 comentarios:

Unknown9 de septiembre de 2012, 12:37 p.m.
a1,a2,a3.......,an son consecutivos?
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Unknown9 de septiembre de 2012, 1:03 p.m.
ahhh ok
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Luis Chacón9 de septiembre de 2012, 2:48 p.m.
No sé cómo es la suma para n=1 o n=2, pero para toda $n \ge 3$ existen.
Hacemos $a_1=1, a_2=n-1, a_3=(n-1)^2, a_4=(n-1)^3, ... , a_n=(n-1)^{n-1}$ , entonces la suma quedaría
$\frac{1}{n-1} + \frac{n-1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + ... + \frac{(n-1)^(n-1)}{1}$
$= \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + (n-1)^{n-1}$
$=(n-1)( \frac{1}{n-1})+(n-1)^{n-1}=1+(n-1)^{n-1}$ que es entero.
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Diego Astiazarán9 de septiembre de 2012, 3:27 p.m.
En la parte de abajo de las fracciones que va antes de $a_1$ ?
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Diego Astiazarán9 de septiembre de 2012, 4:50 p.m.
$a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n$ ?
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martin contreras carrera10 de septiembre de 2012, 5:28 p.m.
primero me fije que existen para todos los impares positivos mayores que 1 pues podemos hacer esto:
$a_2=2a_1$
$a_3=2a_2$
$a_4=2a_3$
$cdots$
$a_n=2a_(n-1)$
y de esa forma aseguramos que la suma de todas las fracciones excepto la ultima va a ser entera porque van a ser puros $\frac{1}{2}$ y como la cantidad de $\frac{1}{2}$ va a ser par entonces la suma total es un entero y la ultima fraccion como $a_n=k(a_1)$ entonces tambien es entera

y para el caso cuando $N$ es par(excepto 2) solo hacemos esto:
$a_2=(n-1)a_1$
$a_3=(n-1)a_2$
$cdots$
$a_n=(n-1)a_(n-1)$
entonces todas las fracciones excepto la ultima van a ser puros $\frac{1}{n-1}$ y como van a ser $n-1$ fracciones con ese valor es obvio que la suma de esas fracciones va a ser un entero y con la ultima suma va a suceder lo mismo que con el caso pasado
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Luis Chacón11 de septiembre de 2012, 2:06 p.m.
Si $n=1$ , para cualquier $a_1$ entero queda $\frac{a_1}{a_1} =1$ y 1 es entero.
Para $n=2$ , hacemos $n= \text{mcd} (a_1,a_2)$ y $b_1= \frac{a_1}{n}, b_2= \frac{a_2}{n}$ , entonces $b_1,b_2$ son primos relativos.
Consideramos $b_1,b_2$ , como $\frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1)} = \frac{n(b_1)}{n(b_2)} + \frac{n(b_2)}{n(b_1)} = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_1}$ si la suma con $b_1,b_2$ es entera o no, pasa lo mismo con $a_1,a_2$ .
S.P.D.G.: $b_1 < b_2$ , no pueden ser iguales porque entonces $a_1=a_2$ pero deben ser distintos.
-Caso $b_1=1$ . La suma queda $\frac{1}{b_2} + b_2$ , $b_2$ es entero, entonces para que la suma también lo sea $\frac{1}{b_2}$ debe ser entero y eso sólo pasa cuando $b_2=1=b_1$ y esto es una contradicción porque deben ser distintos.
-Caso $1<b_1$ . Supongamos $\frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1} = k$ con k entero, entonces $\frac{b_1^2+b_2^2}{(b_1)(b_2)}=k$
$\Rightarrow b_1^2+b_2^2 = (b_1)(b_2)(k)$
$\Rightarrow b_1 | b_1^2+b_2^2 \Rightarrow b_1 | b_2^2$ , pero $b_1$ y $b_2$ son primos relativos, contradicción.
Por lo tanto para $n=2$ no existen.

Existen para todos los naturales salvo el 2.
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Unknown11 de septiembre de 2012, 9:16 p.m.
Mi intento:
Si $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1}$ es entero, entonces al igualar los denominadores tenemos que: $\frac{(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}}{(a_1)(a_2)...(a_n)}$ tambien es entero $\Rightarrow$ $(a_1)(a_2)...(a_n)|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$ $\Rightarrow$
$a_1|(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$
$a_2|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)$
...
$a_n|(a_1)(a_2)...(a_{n-1})^{2}$
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antonio lopez12 de septiembre de 2012, 5:53 p.m.
Es facil ver que para $n=1$ se cumple ya que siempre quedaria $1$ .
Si escojo $a_1=1, a_2=a_1(n-1), a_3=a_2(n-1),...,a_n=a_{n-1}(n-1)$ es facil ver que la suma quedaria $1$ + $\frac{a_n}{1]$ lo cual es obvio que es entero, es fácil ver que ese acomodo no cumple para $n=2$ ya que quedaría que $a_1=a_2$ entonces demostrare que para $n=2$ no se puede.

Me fijo que si $n=2$ la suma quedaría $\frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)(a_2)}$ . Entonces para que eso sea entero me fijo que se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_1^2$ => $a_2|a_1$ => $a_1\geq a_2$ . Análogamente se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_2^2$ => $a_1|a_2$ => $a_2\geq a_1$ . Entonces si $a_1\geq a_2$ y $a_2\geq a_1$ se tiene que $a_1=a_2$ lo cual es una contradiccion entonces se puede para todos los naturales excepto el 2.
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Pepe Flores12 de septiembre de 2012, 7:02 p.m.
Primero empiezo con que $a_1=1$ y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es $\frac(a_n)(a_1)$ la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a $\frac(1)(n-1). Como son$ n-1 $fracciones, la suma de todas sera igual a$ 1 $. A eso le sumamos$ a_n $y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con$ n=2 $porque las fracciones deberan ser proporcionales a$ \frac(1)(n-1)=\frac(1)(1)\rightarrowa_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria.
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Pepe Flores12 de septiembre de 2012, 7:09 p.m.
Primero empiezo con que y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a (1/n-1) fracciones, la suma de todas sera igual a $1$ . A eso le sumamos $a_n$ y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con $n=2$ porque las fracciones deberan ser proporcionales a 1/n-1=1/1 $\rightarrow$ $a_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria
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Unknown12 de septiembre de 2012, 7:41 p.m.
rumbo al nacional
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Unknown12 de septiembre de 2012, 10:56 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=388853074518826&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
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Ricardo G.13 de septiembre de 2012, 11:01 p.m.
Para n=1 Tenemos que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ Por lo tanto cumple

Para todo n impar, vemos que $a_2 = 2a_1$ $a_3 = 2a_2$ ... $a_{n+1} =$ a_n $Lo cual cumple, pues habrá una cantidad par de$ \frac{1}{2} $y un entero al final. Para todo n mayor a 2 que sea par, si$ a_1 =1a_2 = a_1(n-1) $...$ a_n = a_{n-1}(n-1) $Vemos que lo anterior es un entero. Sólo me falta demostrar el caso en el que$ n = 2 $Llevo que si$ \frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)a_2} $es un entero entonces$ a_1^2+a_2^2 = abk $De donde$ a_1| a_1^2+a_2^2 $y$ a_1|a_2^2 $-->$ a_1|a_2 $Y$ a_2| a_1^2+a_2^2 $y$ a|a_1^2 $-->$ a_2|a_1 $Lo cual por la propiedad conocida de la divisibilidad, sólo se cumple si$ a_1 = a_2$ Pero llegamos a una contradicción, por lo tanto se puede para cualquier n entero positivo, menos el 2. Q.E.D.

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Luis Carlos García15 de septiembre de 2012, 12:03 a.m.
$\text{Dividimos en casos: }$

$\text{Si }n=1$
$\frac{a_1}{a_1}=1 \in \mathbb{N}$

$\text{Si }n=2$
$\text{Sea } x=\frac{a_1}{m},y=\frac{a_2}{m} \text{ donde } m=(a_1,a_2)$
$\text{Es facil ver que }\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}=\frac{xn}{yn}+\frac{yn}{xn}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
$\text{Caso 1: }x=1$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}+\frac{y}{1}=k \text{ donde } k \in \textbb{N}$
$\Leftrightarrow 1+y^2=ky \Leftrightarrow y^2-ky+1=0$
$\Leftrightarrow y=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}$
$\Rightarrow k^2-4=c^2 { donde } c\in\textbb{N}$
$\Leftrightarrow 4=k^2-c^2=(k+c)(k-c)$
$\Rightarrow k-c=1,k+c=4 \text{ o } k-c=2=k+c$
$\text{Si }k-c=1,k+c=4 \Rightarrow 2k=5 \Rightarrow k=\frac{5}{2}\text{CONTRADICCION} k\in\textbb{N}$
$\text{Si }k-c=2=k+c \Rightarrow 2k=4 \Rightarrow k=\frac{4}{2}=2$
$\Rightarrow y=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}=1=x\Rightarrow a_1=a_2 \text{CONTRADICCION}a_1\ne a_2$
$\text{Caso 2: }x\textgreater 1$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=k$
$\Leftrightarrow x^2+y^2=kxy$
$\text{Como }x|kxy \Rightarrow x|x^2+y^2\Rightarrow x|y^2 \text{CONTRADICCION} (x,y)=1$

$\text{Si }n\ge 2$
$\text{Sean }a_1=1, a_2=n-1, a_3=(n-1)^2, a_4=(n-1)^3,\cdots , a_n=(n-1)^{n-1}$
$\frac{1}{n-1}+\frac{n-1}{(n-1)^2}+\frac{(n-1)^2}{(n-1)^3}+\cdots+\frac{(n-1)^{n-1}}{1}$
$=\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} +\cdots +(n-1)^{n-1}$
$=(n-1)(\frac{1}{n-1})+(n-1)^{n-1}=1+(n-1)^{n-1}\in\textbb{N}$
$\therefore\boxed{n=1\text{ y }n\ge 3\text{son todas las n que cumplen.}}$
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Unknown15 de septiembre de 2012, 10:59 p.m.
Lo primero que hice fue buscar un los números que me podía dar ese resultado y empece por $a_1=1$ entonces me que do la serie $1/2+2/4+4/8...2^2n-1/1$ de esto sacamos que el ultimo numero de la serie siempre va a ser entero porque va a estar dividido por 1. Con esto encontré que si la serie tiene una cantidad de términos impares, entonces las potencias de dos van a cumplir $a_1=2^0$ , $a_2=2^1$ , $a_3=2^2$ ... $a_n=2^n-1$ .
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Unknown18 de septiembre de 2012, 7:08 p.m.
Para hacerlo mas fácil los números van a ir en orden ascendente.
Para hacerlo más fácil, vamos a empezar con:
a2=2(a1)
a3=2(a2)
a4=2(a3)……
y así sucesivamente, de esta manera, todas las divisiones darán como resultado, $1/2$ o $0.5$ , a excepción de la ultima división donde se encuentra $n$ , la cual dará un numero entero dependiendo del valor de $n$ . para poder lograr esto, hay unas restricciones, como lo son, la paridad o cantidad de divisiones que se hacen, es decir, que como el resultado de todas las divisiones nos da $0.5$ , se necesita una suma de dos divisiones para que el resultado sea un entero, es decir, que debe haber una cantidad par de estas divisiones, lo que también quiere decir, que como la ultima división siempre será entera, porque se divide entre un numero menor, el cual es múltiplo del primer numero, porque a1 se va multiplicando por 2, cada vez que aumenta; además la cantidad de divisiones debe de ser impar, no importando el numero, siempre y cuando se siga esta secuencia.
Entonces cumple para todos los impares n > 1

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Diego Astiazarán18 de septiembre de 2012, 10:49 p.m.
Damos los siguientes valores para las $a$ 's:
$a_1 = (n-1)^1$
$a_2 = (n-1)^2$
$a_3 = (n-1)^3$
$\vdots$
$a_{n-2} = (n-1)^{n-2}$
$a_{n-1} = (n-1)^{n-1}$
$a_{n} = (n-1)^{n}$
Y las fracciones serán las siguientes:
$\frac{(n-1)^1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + \frac{(n-1)^3}{(n-1)^4} + \cdots + \frac{(n-1)^{n-2}}{(n-1)^{n-1}} +\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)^{n}} +\frac{(n-1)^n}{(n-1)^1}$
Esto va a ser igual a:
$\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + \frac{1}{n-1} + (n-1)^{n-1}$
Luego sumamos todos los $\frac{1}{n-1}$ , que son todos los valores menos el ultimo, es decir $n-1$ :
$\frac{1}{n-1} \times (n-1) + (n-1)^{n-1}$
$1 + (n-1)^{n-1}$
Eso va ser entero porque el problema dice que $n$ es entero.
Eso cumple para todo $n \geq 2$ .
Para $n=1$ ; es:
$\frac{n-1}{n-1} = 1$ (entero)
También cumple!
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