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domingo, 9 de septiembre de 2012
Problema del día. Algebra (9 de septiembre)
Determina todos los enteros positivos $n$ para los que existen enteros positivos distintos $a_1,a_2,...,a_n$ tales que $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_1}$ es un entero.
No sé cómo es la suma para n=1 o n=2, pero para toda $n \ge 3$ existen. Hacemos $a_1=1, a_2=n-1, a_3=(n-1)^2, a_4=(n-1)^3, ... , a_n=(n-1)^{n-1}$, entonces la suma quedaría $ \frac{1}{n-1} + \frac{n-1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + ... + \frac{(n-1)^(n-1)}{1} $ $= \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + (n-1)^{n-1}$ $=(n-1)( \frac{1}{n-1})+(n-1)^{n-1}=1+(n-1)^{n-1}$ que es entero.
Para $n\ge3$, está correcto. Tal vez el problema no lo dice muy claro, pero se supone que con $n=1$ la suma queda $\frac{a_1}{a_1}$, y con $n=2$ la suma queda $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}$
primero me fije que existen para todos los impares positivos mayores que 1 pues podemos hacer esto: $a_2=2a_1$ $a_3=2a_2$ $a_4=2a_3$ $cdots$ $a_n=2a_(n-1)$ y de esa forma aseguramos que la suma de todas las fracciones excepto la ultima va a ser entera porque van a ser puros $\frac{1}{2}$ y como la cantidad de $\frac{1}{2}$ va a ser par entonces la suma total es un entero y la ultima fraccion como $a_n=k(a_1)$ entonces tambien es entera
y para el caso cuando $N$ es par(excepto 2) solo hacemos esto: $a_2=(n-1)a_1$ $a_3=(n-1)a_2$ $cdots$ $a_n=(n-1)a_(n-1)$ entonces todas las fracciones excepto la ultima van a ser puros $\frac{1}{n-1}$ y como van a ser $n-1$ fracciones con ese valor es obvio que la suma de esas fracciones va a ser un entero y con la ultima suma va a suceder lo mismo que con el caso pasado
Si $n=1$, para cualquier $a_1$ entero queda $ \frac{a_1}{a_1} =1$ y 1 es entero. Para $n=2$, hacemos $n= \text{mcd} (a_1,a_2)$ y $b_1= \frac{a_1}{n}, b_2= \frac{a_2}{n}$, entonces $b_1,b_2$ son primos relativos. Consideramos $b_1,b_2$, como $ \frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1)} = \frac{n(b_1)}{n(b_2)} + \frac{n(b_2)}{n(b_1)} = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_1}$ si la suma con $b_1,b_2$ es entera o no, pasa lo mismo con $a_1,a_2$. S.P.D.G.: $b_1 < b_2$, no pueden ser iguales porque entonces $a_1=a_2$ pero deben ser distintos. -Caso $b_1=1$. La suma queda $ \frac{1}{b_2} + b_2$, $b_2$ es entero, entonces para que la suma también lo sea $ \frac{1}{b_2}$ debe ser entero y eso sólo pasa cuando $b_2=1=b_1$ y esto es una contradicción porque deben ser distintos. -Caso $1<b_1$. Supongamos $ \frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1} = k$ con k entero, entonces $ \frac{b_1^2+b_2^2}{(b_1)(b_2)}=k$ $ \Rightarrow b_1^2+b_2^2 = (b_1)(b_2)(k)$ $ \Rightarrow b_1 | b_1^2+b_2^2 \Rightarrow b_1 | b_2^2$, pero $b_1$ y $b_2$ son primos relativos, contradicción. Por lo tanto para $n=2$ no existen.
Mi intento: Si $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1}$ es entero, entonces al igualar los denominadores tenemos que: $\frac{(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}}{(a_1)(a_2)...(a_n)}$ tambien es entero $\Rightarrow$ $(a_1)(a_2)...(a_n)|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$ $\Rightarrow$ $a_1|(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$ $a_2|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)$ ... $a_n|(a_1)(a_2)...(a_{n-1})^{2}$
Continuando mi intento para finalizar el problema: Tenemos que si se cumple $\forall i: a_i=(a_1)k^{i-1}\Rightarrow$ se cumple a lo que había llegado en mi intento anterior. Así que digo que $a_1=1\Rightarrow \frac{a_n}{a_1}\in N$, de aquí que: $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\in N$, sustituyendo valores: $\frac{1}{k}+\frac{k}{k^{2}}+\frac{k^{2}}{k^{3}}+...+\frac{k^{n-2}}{k^{n-1}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+...+\frac{1}{k}=\frac{n-1}{k}$ es entero, entonces: $n-1=k$, de aquí sacamos la serie: $a_1=1, a_2=a_1(n-1), a_3=a_1(n-1)^{2}, ..., a_n=a_1(n-1)^{n-1}$, la cual ya sabemos que cumplirá, el único caso para el que no cumple es cuando $n=2$ porque tendríamos que: $k=1\Rightarrow a_1=a_2$ lo cual sabemos que no es cierto y ya.
$\bullet$ Para $n=1$ sería: $\frac{a_1}{a_1}=1\in N$ entonces cumple. $\bullet$ Para $n=2$ sería: $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\Rightarrow a_1a_2=(a_1)^2+(a_2)^2\Rightarrow a_1|a_2^2\Rightarrow a_1,a_2$ tienen factor(es) en común, sea $x$ el producto de tales factores, digamos que $xz_1=a_1, xz_2=a_2$, debido a que las fracciones son diferentes en la posición del denominador y el numerador, podemos decir que: $z_1$ menor a $z_2$. Si $z_1=1\Rightarrow \frac{x}{xz_2}+\frac{xz_2}{x}=\frac{1}{z_2}+z_2$, lo cual solo es entero si: $z_1=z_2\Rightarrow a_1=a_2$ lo cual no se puede, entonces $z_1\neq1$. Si $z_1$ mayor a $1$: $\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=\frac{(z_1)^2+(z_2)^2}{z_1z_2}\in N\Rightarrow z_1|(z_2)^2$, lo cual no es cierto porque si $x$ eran factores en común de $(a_1,a_2)\Rightarrow mcd(z_1,z_2)=1$. Entonces cumple toda $n$ entera positiva desigual a $2$.
Es facil ver que para $n=1$ se cumple ya que siempre quedaria $1$. Si escojo $a_1=1, a_2=a_1(n-1), a_3=a_2(n-1),...,a_n=a_{n-1}(n-1)$ es facil ver que la suma quedaria $1$+$\frac{a_n}{1]$ lo cual es obvio que es entero, es fácil ver que ese acomodo no cumple para $n=2$ ya que quedaría que $a_1=a_2$ entonces demostrare que para $n=2$ no se puede.
Me fijo que si $n=2$ la suma quedaría $\frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)(a_2)}$. Entonces para que eso sea entero me fijo que se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_1^2$ => $a_2|a_1$ => $a_1\geq a_2$. Análogamente se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_2^2$ => $a_1|a_2$ => $a_2\geq a_1$. Entonces si $a_1\geq a_2$ y $a_2\geq a_1$ se tiene que $a_1=a_2$ lo cual es una contradiccion entonces se puede para todos los naturales excepto el 2.
En el caso $n=2$, lo que debe cumplirse no es $(a_1)(a_2)|a_1^2$ sino $(a_1)(a_2)|a_1^2+a_2^2$ (cómo separas la suma?). Lo que puedes hacer ahí es suponer que son primos relativos. El resto está correcto.
Primero empiezo con que $a_1=1$ y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es $\frac(a_n)(a_1)$ la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a $\frac(1)(n-1). Como son $n-1$ fracciones, la suma de todas sera igual a $1$. A eso le sumamos $a_n$ y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con $n=2$ porque las fracciones deberan ser proporcionales a $\frac(1)(n-1)=\frac(1)(1)$ $\rightarrow$ $a_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria.
Primero empiezo con que y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a (1/n-1) fracciones, la suma de todas sera igual a $1$. A eso le sumamos $a_n$ y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con $n=2$ porque las fracciones deberan ser proporcionales a 1/n-1=1/1 $\rightarrow$ $a_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria
En el caso $n\ge3$, está correcto, aunque podrías decir de manera explícita quiénes son las a's. En el caso $n=2$, ese acomodo particular no funciona, pero no has demostrado que ningun acomodo funciona.
Para n=1 Tenemos que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ Por lo tanto cumple
Para todo n impar, vemos que $a_2 = 2a_1$ $a_3 = 2a_2$ ... $ a_{n+1} = $a_n$
Lo cual cumple, pues habrá una cantidad par de $\frac{1}{2}$ y un entero al final.
Para todo n mayor a 2 que sea par, si $a_1 =1$ $a_2 = a_1(n-1)$ ...$a_n = a_{n-1}(n-1)$ Vemos que lo anterior es un entero. Sólo me falta demostrar el caso en el que $n = 2$ Llevo que si $\frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)a_2}$ es un entero entonces $a_1^2+a_2^2 = abk$ De donde $a_1| a_1^2+a_2^2$ y $a_1|a_2^2$ --> $a_1|a_2$ Y $a_2| a_1^2+a_2^2$ y $a|a_1^2$ --> $a_2|a_1$ Lo cual por la propiedad conocida de la divisibilidad, sólo se cumple si $a_1 = a_2$ Pero llegamos a una contradicción, por lo tanto se puede para cualquier n entero positivo, menos el 2. Q.E.D.
Correcto. Auque pudiste haberlo hecho de una manera mas sencilla: donde tienes que $\frac{1}{y}+\frac{y}{1}$ es entero, como $\frac{y}{1}$ es entero, entonces $\frac{1}{y}$ es entero, y como estamos con enteros positivos, $y=1$.
Lo primero que hice fue buscar un los números que me podía dar ese resultado y empece por $a_1=1$ entonces me que do la serie $1/2+2/4+4/8...2^2n-1/1$ de esto sacamos que el ultimo numero de la serie siempre va a ser entero porque va a estar dividido por 1. Con esto encontré que si la serie tiene una cantidad de términos impares, entonces las potencias de dos van a cumplir $a_1=2^0$,$a_2=2^1$,$a_3=2^2$...$a_n=2^n-1$.
Para hacerlo mas fácil los números van a ir en orden ascendente. Para hacerlo más fácil, vamos a empezar con: a2=2(a1) a3=2(a2) a4=2(a3)…… y así sucesivamente, de esta manera, todas las divisiones darán como resultado, $1/2$ o $0.5$, a excepción de la ultima división donde se encuentra $n$, la cual dará un numero entero dependiendo del valor de $n$. para poder lograr esto, hay unas restricciones, como lo son, la paridad o cantidad de divisiones que se hacen, es decir, que como el resultado de todas las divisiones nos da $0.5$, se necesita una suma de dos divisiones para que el resultado sea un entero, es decir, que debe haber una cantidad par de estas divisiones, lo que también quiere decir, que como la ultima división siempre será entera, porque se divide entre un numero menor, el cual es múltiplo del primer numero, porque a1 se va multiplicando por 2, cada vez que aumenta; además la cantidad de divisiones debe de ser impar, no importando el numero, siempre y cuando se siga esta secuencia. Entonces cumple para todos los impares n > 1
Damos los siguientes valores para las $a$'s: $a_1 = (n-1)^1$ $a_2 = (n-1)^2$ $a_3 = (n-1)^3$ $\vdots$ $a_{n-2} = (n-1)^{n-2}$ $a_{n-1} = (n-1)^{n-1}$ $a_{n} = (n-1)^{n}$ Y las fracciones serán las siguientes: $ \frac{(n-1)^1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + \frac{(n-1)^3}{(n-1)^4} + \cdots + \frac{(n-1)^{n-2}}{(n-1)^{n-1}} +\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)^{n}} +\frac{(n-1)^n}{(n-1)^1}$ Esto va a ser igual a: $\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + \frac{1}{n-1} + (n-1)^{n-1}$ Luego sumamos todos los $\frac{1}{n-1}$ , que son todos los valores menos el ultimo, es decir $n-1$ : $\frac{1}{n-1} \times (n-1) + (n-1)^{n-1}$ $1 + (n-1)^{n-1}$ Eso va ser entero porque el problema dice que $n$ es entero. Eso cumple para todo $n \geq 2$ . Para $n=1$ ; es: $\frac{n-1}{n-1} = 1$ (entero) También cumple!
a1,a2,a3.......,an son consecutivos?
ResponderBorrarNo necesariamente.
BorrarSon enteros positivos distintos.
ahhh ok
ResponderBorrarNo sé cómo es la suma para n=1 o n=2, pero para toda $n \ge 3$ existen.
ResponderBorrarHacemos $a_1=1, a_2=n-1, a_3=(n-1)^2, a_4=(n-1)^3, ... , a_n=(n-1)^{n-1}$, entonces la suma quedaría
$ \frac{1}{n-1} + \frac{n-1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + ... + \frac{(n-1)^(n-1)}{1} $
$= \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + (n-1)^{n-1}$
$=(n-1)( \frac{1}{n-1})+(n-1)^{n-1}=1+(n-1)^{n-1}$ que es entero.
Para $n\ge3$, está correcto.
BorrarTal vez el problema no lo dice muy claro, pero se supone que con $n=1$ la suma queda $\frac{a_1}{a_1}$, y con $n=2$ la suma queda $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}$
En la parte de abajo de las fracciones que va antes de $a_1$ ?
ResponderBorrarLas ultimas fracciones son $\frac{a_{n-3}}{a_{n-2}}+\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$
Borrar$a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n$ ?
ResponderBorrarNo necesariamente.
Borrarprimero me fije que existen para todos los impares positivos mayores que 1 pues podemos hacer esto:
ResponderBorrar$a_2=2a_1$
$a_3=2a_2$
$a_4=2a_3$
$cdots$
$a_n=2a_(n-1)$
y de esa forma aseguramos que la suma de todas las fracciones excepto la ultima va a ser entera porque van a ser puros $\frac{1}{2}$ y como la cantidad de $\frac{1}{2}$ va a ser par entonces la suma total es un entero y la ultima fraccion como $a_n=k(a_1)$ entonces tambien es entera
y para el caso cuando $N$ es par(excepto 2) solo hacemos esto:
$a_2=(n-1)a_1$
$a_3=(n-1)a_2$
$cdots$
$a_n=(n-1)a_(n-1)$
entonces todas las fracciones excepto la ultima van a ser puros $\frac{1}{n-1}$ y como van a ser $n-1$ fracciones con ese valor es obvio que la suma de esas fracciones va a ser un entero y con la ultima suma va a suceder lo mismo que con el caso pasado
Correcto.
BorrarSólo falta ver si es posible en el caso $n=2$.
Si $n=1$, para cualquier $a_1$ entero queda $ \frac{a_1}{a_1} =1$ y 1 es entero.
ResponderBorrarPara $n=2$, hacemos $n= \text{mcd} (a_1,a_2)$ y $b_1= \frac{a_1}{n}, b_2= \frac{a_2}{n}$, entonces $b_1,b_2$ son primos relativos.
Consideramos $b_1,b_2$, como $ \frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1)} = \frac{n(b_1)}{n(b_2)} + \frac{n(b_2)}{n(b_1)} = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_1}$ si la suma con $b_1,b_2$ es entera o no, pasa lo mismo con $a_1,a_2$.
S.P.D.G.: $b_1 < b_2$, no pueden ser iguales porque entonces $a_1=a_2$ pero deben ser distintos.
-Caso $b_1=1$. La suma queda $ \frac{1}{b_2} + b_2$, $b_2$ es entero, entonces para que la suma también lo sea $ \frac{1}{b_2}$ debe ser entero y eso sólo pasa cuando $b_2=1=b_1$ y esto es una contradicción porque deben ser distintos.
-Caso $1<b_1$. Supongamos $ \frac{b_1}{b_2} + \frac{b_2}{b_1} = k$ con k entero, entonces $ \frac{b_1^2+b_2^2}{(b_1)(b_2)}=k$
$ \Rightarrow b_1^2+b_2^2 = (b_1)(b_2)(k)$
$ \Rightarrow b_1 | b_1^2+b_2^2 \Rightarrow b_1 | b_2^2$, pero $b_1$ y $b_2$ son primos relativos, contradicción.
Por lo tanto para $n=2$ no existen.
Existen para todos los naturales salvo el 2.
Correcto.
BorrarYa está completo.
Mi intento:
ResponderBorrarSi $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1}$ es entero, entonces al igualar los denominadores tenemos que: $\frac{(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}}{(a_1)(a_2)...(a_n)}$ tambien es entero $\Rightarrow$ $(a_1)(a_2)...(a_n)|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)+(a_1)(a_2)^{2}...(a_n)+...+(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$ $\Rightarrow$
$a_1|(a_2)(a_3)...(a_n)^{2}$
$a_2|(a_1)^{2}(a_3)...(a_n)$
...
$a_n|(a_1)(a_2)...(a_{n-1})^{2}$
Continuando mi intento para finalizar el problema:
BorrarTenemos que si se cumple $\forall i: a_i=(a_1)k^{i-1}\Rightarrow$ se cumple a lo que había llegado en mi intento anterior.
Así que digo que $a_1=1\Rightarrow \frac{a_n}{a_1}\in N$, de aquí que:
$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\in N$, sustituyendo valores:
$\frac{1}{k}+\frac{k}{k^{2}}+\frac{k^{2}}{k^{3}}+...+\frac{k^{n-2}}{k^{n-1}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+...+\frac{1}{k}=\frac{n-1}{k}$ es entero, entonces: $n-1=k$, de aquí sacamos la serie:
$a_1=1, a_2=a_1(n-1), a_3=a_1(n-1)^{2}, ..., a_n=a_1(n-1)^{n-1}$, la cual ya sabemos que cumplirá, el único caso para el que no cumple es cuando $n=2$ porque tendríamos que: $k=1\Rightarrow a_1=a_2$ lo cual sabemos que no es cierto y ya.
Correcto para $n\ge3$. Para $n=2$, ese acomodo particular no funciona, pero no has demostrado que ningun acomodo funciona.
Borrar$\bullet$ Para $n=1$ sería: $\frac{a_1}{a_1}=1\in N$ entonces cumple.
Borrar$\bullet$ Para $n=2$ sería: $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\Rightarrow a_1a_2=(a_1)^2+(a_2)^2\Rightarrow a_1|a_2^2\Rightarrow a_1,a_2$ tienen factor(es) en común, sea $x$ el producto de tales factores, digamos que $xz_1=a_1, xz_2=a_2$, debido a que las fracciones son diferentes en la posición del denominador y el numerador, podemos decir que: $z_1$ menor a $z_2$. Si $z_1=1\Rightarrow \frac{x}{xz_2}+\frac{xz_2}{x}=\frac{1}{z_2}+z_2$, lo cual solo es entero si: $z_1=z_2\Rightarrow a_1=a_2$ lo cual no se puede, entonces $z_1\neq1$. Si $z_1$ mayor a $1$: $\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=\frac{(z_1)^2+(z_2)^2}{z_1z_2}\in N\Rightarrow z_1|(z_2)^2$, lo cual no es cierto porque si $x$ eran factores en común de $(a_1,a_2)\Rightarrow mcd(z_1,z_2)=1$. Entonces cumple toda $n$ entera positiva desigual a $2$.
Correcto.
BorrarEs facil ver que para $n=1$ se cumple ya que siempre quedaria $1$.
ResponderBorrarSi escojo $a_1=1, a_2=a_1(n-1), a_3=a_2(n-1),...,a_n=a_{n-1}(n-1)$ es facil ver que la suma quedaria $1$+$\frac{a_n}{1]$ lo cual es obvio que es entero, es fácil ver que ese acomodo no cumple para $n=2$ ya que quedaría que $a_1=a_2$ entonces demostrare que para $n=2$ no se puede.
Me fijo que si $n=2$ la suma quedaría $\frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)(a_2)}$. Entonces para que eso sea entero me fijo que se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_1^2$ => $a_2|a_1$ => $a_1\geq a_2$. Análogamente se debe cumplir que $(a_1)(a_2)|a_2^2$ => $a_1|a_2$ => $a_2\geq a_1$. Entonces si $a_1\geq a_2$ y $a_2\geq a_1$ se tiene que $a_1=a_2$ lo cual es una contradiccion entonces se puede para todos los naturales excepto el 2.
En el caso $n=2$, lo que debe cumplirse no es $(a_1)(a_2)|a_1^2$ sino $(a_1)(a_2)|a_1^2+a_2^2$ (cómo separas la suma?). Lo que puedes hacer ahí es suponer que son primos relativos. El resto está correcto.
BorrarPrimero empiezo con que $a_1=1$ y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es $\frac(a_n)(a_1)$ la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a $\frac(1)(n-1). Como son $n-1$ fracciones, la suma de todas sera igual a $1$. A eso le sumamos $a_n$ y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con $n=2$ porque las fracciones deberan ser proporcionales a $\frac(1)(n-1)=\frac(1)(1)$ $\rightarrow$ $a_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria.
ResponderBorrarPrimero empiezo con que y que todas las fracciones deben de sumar un entero. Entonces hago que todas sean iguales excepto la ultima que es la cual sera entero porque estara sobre 1. Luego, para que la suma de las fracciones sea un entero deberan ser proporcionales a (1/n-1) fracciones, la suma de todas sera igual a $1$. A eso le sumamos $a_n$ y como tambien es un entero, la suma de todos nos da un numero entero. El unico caso donde no cumple es con $n=2$ porque las fracciones deberan ser proporcionales a 1/n-1=1/1 $\rightarrow$ $a_1=a_2$ y por eso ya no cumpliria
ResponderBorrarEn el caso $n\ge3$, está correcto, aunque podrías decir de manera explícita quiénes son las a's. En el caso $n=2$, ese acomodo particular no funciona, pero no has demostrado que ningun acomodo funciona.
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=388853074518826&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorraren donde parece $a_1^2$ es $a_4^2$ esque lo escribi eso muy feo
Borrares en la parte final superior de la division
BorrarIncompleto.
BorrarPara n=1 Tenemos que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ Por lo tanto cumple
ResponderBorrarPara todo n impar, vemos que $a_2 = 2a_1$ $a_3 = 2a_2$ ... $ a_{n+1} = $a_n$
Lo cual cumple, pues habrá una cantidad par de $\frac{1}{2}$ y un entero al final.
Para todo n mayor a 2 que sea par, si $a_1 =1$ $a_2 = a_1(n-1)$ ...$a_n = a_{n-1}(n-1)$ Vemos que lo anterior es un entero.
Sólo me falta demostrar el caso en el que $n = 2$
Llevo que si $\frac{a_1^2+a_2^2}{(a_1)a_2}$ es un entero entonces
$a_1^2+a_2^2 = abk$
De donde $a_1| a_1^2+a_2^2$ y $a_1|a_2^2$ --> $a_1|a_2$
Y $a_2| a_1^2+a_2^2$ y $a|a_1^2$ --> $a_2|a_1$
Lo cual por la propiedad conocida de la divisibilidad, sólo se cumple si $a_1 = a_2$ Pero llegamos a una contradicción, por lo tanto se puede para cualquier n entero positivo, menos el 2. Q.E.D.
En el caso $n=2$, me parece que falta asumir que $a_1$ y $a_2$ son primos relativos para deducir que $a_1|a_2$. El resto está correcto.
Borrar$\text{Dividimos en casos: }$
ResponderBorrar$\text{Si }n=1$
$\frac{a_1}{a_1}=1 \in \mathbb{N}$
$\text{Si }n=2$
$\text{Sea } x=\frac{a_1}{m},y=\frac{a_2}{m} \text{ donde } m=(a_1,a_2)$
$\text{Es facil ver que }\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}=\frac{xn}{yn}+\frac{yn}{xn}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
$\text{Caso 1: }x=1$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}+\frac{y}{1}=k \text{ donde } k \in \textbb{N}$
$\Leftrightarrow 1+y^2=ky \Leftrightarrow y^2-ky+1=0$
$\Leftrightarrow y=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}$
$\Rightarrow k^2-4=c^2 { donde } c\in\textbb{N}$
$\Leftrightarrow 4=k^2-c^2=(k+c)(k-c)$
$\Rightarrow k-c=1,k+c=4 \text{ o } k-c=2=k+c$
$\text{Si }k-c=1,k+c=4 \Rightarrow 2k=5 \Rightarrow k=\frac{5}{2}\text{CONTRADICCION} k\in\textbb{N}$
$\text{Si }k-c=2=k+c \Rightarrow 2k=4 \Rightarrow k=\frac{4}{2}=2$
$\Rightarrow y=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}=1=x\Rightarrow a_1=a_2 \text{CONTRADICCION}a_1\ne a_2$
$\text{Caso 2: }x\textgreater 1$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=k$
$\Leftrightarrow x^2+y^2=kxy$
$\text{Como }x|kxy \Rightarrow x|x^2+y^2\Rightarrow x|y^2 \text{CONTRADICCION} (x,y)=1$
$\text{Si }n\ge 2$
$\text{Sean }a_1=1, a_2=n-1, a_3=(n-1)^2, a_4=(n-1)^3,\cdots , a_n=(n-1)^{n-1}$
$\frac{1}{n-1}+\frac{n-1}{(n-1)^2}+\frac{(n-1)^2}{(n-1)^3}+\cdots+\frac{(n-1)^{n-1}}{1}$
$=\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} +\cdots +(n-1)^{n-1}$
$=(n-1)(\frac{1}{n-1})+(n-1)^{n-1}=1+(n-1)^{n-1}\in\textbb{N}$
$\therefore\boxed{n=1\text{ y }n\ge 3\text{son todas las n que cumplen.}}$
$\text{Corrijo: la sexta linea de abajo para arriba es Si }n\ge 3$
BorrarCorrecto.
BorrarAuque pudiste haberlo hecho de una manera mas sencilla: donde tienes que $\frac{1}{y}+\frac{y}{1}$ es entero, como $\frac{y}{1}$ es entero, entonces $\frac{1}{y}$ es entero, y como estamos con enteros positivos, $y=1$.
Lo primero que hice fue buscar un los números que me podía dar ese resultado y empece por $a_1=1$ entonces me que do la serie $1/2+2/4+4/8...2^2n-1/1$ de esto sacamos que el ultimo numero de la serie siempre va a ser entero porque va a estar dividido por 1. Con esto encontré que si la serie tiene una cantidad de términos impares, entonces las potencias de dos van a cumplir $a_1=2^0$,$a_2=2^1$,$a_3=2^2$...$a_n=2^n-1$.
ResponderBorrarCorrecto para los impares. Faltan los pares, y el caso especial $n=2$.
BorrarPara hacerlo mas fácil los números van a ir en orden ascendente.
ResponderBorrarPara hacerlo más fácil, vamos a empezar con:
a2=2(a1)
a3=2(a2)
a4=2(a3)……
y así sucesivamente, de esta manera, todas las divisiones darán como resultado, $1/2$ o $0.5$, a excepción de la ultima división donde se encuentra $n$, la cual dará un numero entero dependiendo del valor de $n$. para poder lograr esto, hay unas restricciones, como lo son, la paridad o cantidad de divisiones que se hacen, es decir, que como el resultado de todas las divisiones nos da $0.5$, se necesita una suma de dos divisiones para que el resultado sea un entero, es decir, que debe haber una cantidad par de estas divisiones, lo que también quiere decir, que como la ultima división siempre será entera, porque se divide entre un numero menor, el cual es múltiplo del primer numero, porque a1 se va multiplicando por 2, cada vez que aumenta; además la cantidad de divisiones debe de ser impar, no importando el numero, siempre y cuando se siga esta secuencia.
Entonces cumple para todos los impares n > 1
Correcto para los impares. Falta ver si es posible para los pares, y el caso especial $n=2$.
BorrarDamos los siguientes valores para las $a$'s:
ResponderBorrar$a_1 = (n-1)^1$
$a_2 = (n-1)^2$
$a_3 = (n-1)^3$
$\vdots$
$a_{n-2} = (n-1)^{n-2}$
$a_{n-1} = (n-1)^{n-1}$
$a_{n} = (n-1)^{n}$
Y las fracciones serán las siguientes:
$ \frac{(n-1)^1}{(n-1)^2} + \frac{(n-1)^2}{(n-1)^3} + \frac{(n-1)^3}{(n-1)^4} + \cdots + \frac{(n-1)^{n-2}}{(n-1)^{n-1}} +\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)^{n}} +\frac{(n-1)^n}{(n-1)^1}$
Esto va a ser igual a:
$\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1} + ... + \frac{1}{n-1} + (n-1)^{n-1}$
Luego sumamos todos los $\frac{1}{n-1}$ , que son todos los valores menos el ultimo, es decir $n-1$ :
$\frac{1}{n-1} \times (n-1) + (n-1)^{n-1}$
$1 + (n-1)^{n-1}$
Eso va ser entero porque el problema dice que $n$ es entero.
Eso cumple para todo $n \geq 2$ .
Para $n=1$ ; es:
$\frac{n-1}{n-1} = 1$ (entero)
También cumple!
Correcto, pero falta el caso $n=2$ (queda que n-1=1, entonces $a_1=a_2$ con ese método).
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