Sea $\triangle ABC$ un triangulo acutangulo, $A_1, B_1$ los pies de las alturas desde $A$ y $B$ respectivamente. $M$ el punto medio de $AB$.
a) Demostrar que $MA_1$ es tangente al circuncirculo del $\triangle A_1B_1C$
b) Demostrar que los circuncirculos de $\triangle A_1B_1C, \triangle BMA_1, \triangle AMB_1$ tienen un punto en comun.
a) Trazamos la altura $CC_1$ y llamamos H al ortocentro y N al punto medio de CH.
ResponderBorrarHacemos $ \angle C_1CB= \theta , \angle HBA= \alpha , \angle HBC= \beta $, como $ \triangle CC_1B$ es rectángulo $ \alpha + \beta + \theta =90$.
Como $AA_1B$ es rectángulo, el punto medio de la hipotenusa (M) es el circuncetro, entonces $MA_1=MB$ y $ \triangle MA_1B$ es isósceles, entonces $ \angle MA_1B = MBA_1 = \beta + \alpha$.
$ \triangle CA_1H$ es rectángulo, entonces N es su circuncentro, $CN=CA_1$, $ \triangle CNA_1$ es isósceles y $ \angle NCA_1= \angle NA_1C = \theta$.
$180= \angle NA_1C+ \angle NA_1M+ \angle MA_1B= \angle NA_1M + \alpha + \beta + \theta = \angle NA_1M + 90$, entonces $ \angle NA_1M =90$.
$\angle CB_1H, \angle CA_1H$ son rectos, entonces su suma es 180 y $CB_1HA_1$ es cíclico (su circuncírculo es el mismo que el de $\triangle A_1B_1C$). Como $ \angle CA_1H=90$, CH es diámetro y N es el circuncentro. $NA_1$ es radio, y $A_1M$ es perpendicular, por lo tanto es tangente al circuncírculo de $\triangle A_1B_1C$.
a) bien
Borrarb) ?
Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y sea $\angle ABB_1=x$, por $AA$
ResponderBorrar$\triangle ABB_1$ es semejante al triangulo $ACD$ donde $D$ es el pie de la altura desde $C$ sobre $AB$ entonces $\angle DCA=x$. Luego sea $\angle B_1BC=y$, como $\triangle ABA_1$ es rectangulo y $M$ es punto medio de $AB$, M es el circuncentro de $\triangle ABA_1$ entonces $MB=MA_1$ entonces $\angle MA_1B=x+y$ ya que $MBA_1$ es un triangulo isoceles. Sea $\angle BMA_1=2a$. Como el triangulo $MAA_1$ es isoceles entonces $\angle MA_1A=\angle MAA_1=a$. Luego como $\triangle ABA_1$ es semejante al triangulo $CBD$ se tiene que $\angle BAA_1=\angle BCD=a$ entonces como $HA_1CB_1$ es un cuadrilatero ciclico se tiene que
$\angle HCB_1=\angle HA_1B_1=x$ ya que abren el mismno arco $HB$, Entonces $\angle MA_1B_1=\angle A_1CB_1=a+x$. Entonces el angulo $MA_1B_1$ es un agulo semi-inscrito entnces $MA_1$ es tangente a la circunferencia que pasa por $HA_1CB_1$ que es el circuncentro del triangulo $A_1CB_1$.
a) bien
Borrarb) ?
a) Intento:
ResponderBorrarSea $O$ el ortocentro de $\triangle{ABC}\Rightarrow$ si $\angle{OA_1C}+\angle{AB_1O}=90^{o}+90^{o}=180^{o}\Rightarrow OA_1CB_1$ es cíclico $\Rightarrow O$ es parte del circuncírculo de $\triangle{A_1B_1C}$. Análogamente es parte del circuncírculo de $\triangle{C_1BA_1}\Rightarrow OA_1$ es eje radical $\Rightarrow AC_1*AB=AB_1*AC$
Si $MA_1$ es tangente $\Rightarrow MA_1\prepA_1D$ (siendo $D$ el punto diametralmente opuesto a $A_1$ en el circuncirculo de $\triangle{A_1B_1C}$).
Si $\angle{OB_1C}=90^{o}\Rightarrow OC$ es diámetro.
Esta bien la idea del ciclico OA1CB1, esto nos puede servir para buscar angulos que de alguna manera nos indiquen que MA1 es tangente.
BorrarRecuerda que las tangentes con cuerdas internas forman angulos semi-inscritos, bastaria demostrar que el angulo formado por la supuesta tangente es en verdad semi-inscrito de la circunferencia en cuestion.
Yo hice el dibujo y aparte trace la altura desde $C$. Despues me di cuenta de que el circuncirculo de $CB_1A_1$ pasa por el ortocentro del triangulo $ABC$. Luego me di cuenta de que el angulo $CB_1H$ mide 90 grados y que el angulo $CA_1H$ tambien mide 90 graods Al ver esto me di cuenta de que el cuadrilatero $CB_1HA_1$ es ciclico y que $CH$ es su diametro. Sea $O$ el punto medio de $CH$ y por lo tanto el centro del circuncirculo de $CB_1A_1$. Debemos demostrar que el angulo $OA_1M$ $=$ $CA_1A$. Como comparten unos angulos que trazamos ahi, solo necesitamos demostrar que $CA_1O$ $=$ $AA_1M$. Aun no estoy seguro de como demostrarlo asi que hasta ahi me quede.
ResponderBorrar$H$ es el ortocentro
BorrarMuy bien.
BorrarSi te fijas, el triangulo CA1O y el AA1M son ambos isosceles. Una vez que demuestres esto, bastaria encontrar que dichos angulos son iguales.
Algo que resulta util cuando se trabaja con alturas y ortocentro (H), es nombrar todos los angulos del triangulo con solo tres angulos diferentes, empezando por nombrar por ejemplo: HAB=beta; ABH=alpha; HBC=teta; y con esos sacar todos los demas angulos del triangulo.
Vemos que $\angle BA_1A = 90^o$ , por lo que $BA$ es diametro del ciruncirculo de $BA_1A$ . Trazamos $MA_1$ y tenemos $MB=MA_1=MA$ . $\Rightarrow \triangle BMA_1$ y $\triangle A_1MA$ son isosceles:
ResponderBorrar$\angle MBA_1 = \angle MA_1B = \alpha$
$\angle MA_1A = \angle MAA_1 = \beta$
Vemos que $\angle MAA_1 = 90^o = \alpha + \beta$
Trazamos la altura desde $C$ hasta $C_1$ y llamamos $H$ al ortocentro. Vemos que el cuadrilatero $C_1HA_1B$ es cíclico porque $\angle BC_1H$ y $\angle BA_1H$ son opuestos y miden $90^o$ , por lo tanto suman $180^o$ . $\Rightarrow \angle C_1HA_1 = 2\beta + \alpha$ Y por ángulos suplementarios el $\angle A_1HC = \alpha$ $\Rightarrow \angle A_1CH = \beta$
Podemos ver que el $\angle MA_1H$ (semiinscrito) y el $\angle A_1CH$ (inscrito) abren el mismo arco del circuncirculo de $\triangle A_1B_1C$ y sabemos que $\angle MA_1H = \angle A_1CH = \beta$ .
$\Rightarrow MA_1$ es tangente al circuncirculo del $\triangle A_1B_1C$ .
a) bien
Borrarb) ?