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domingo, 16 de septiembre de 2012
Problema del dia. Combinatoria (15 de septiembre)
Determina
los valores de n para los que es posible construir un cuadrado de n x n
ensamblando con tetraminos t.
Los tetraminos tienen 4 cuadros cada uno, entonces si se usan k, el cuadrado debe tener 4k cuadros, pero eso es imposible para n impar porque la cantidad de cuadros debe ser $n^2$ que es impar, entonces n debe ser par. Para $n \equiv 2 \pmod{4}$, vemos que n=2q con q impar, entonces la cantidad de cuadros es $4q^2$ y debe haber $q^2$ tetraminos (una cantidad impar). Hacemos una coloración de ajedrez en el cuadrado y vemos que en cada fila hay una cantidad igual de cuadros blancos y negros (porque hay 2q en la fila y se van alternando), entonces hay la misma cantidad de cada color en todo el cuadrado. Al hacer la coloración en los tetraminos vemos que siempre hay 1 de un color y tres del otro, entonces para que haya la misma cantidad de cada color debe haber una cantidad par de tetraminos (por cada uno con tres del color A y uno del color B, debe haber uno con tres del color B y uno del A); pero esto es una contradicción porque hay una cantidad impar de tetraminos, entonces n debe ser múltiplo de 4. Para n=4 se puede, con el siguiente acomodo (las A's, B's, C's y D's representan tetraminos distintos): $\left( \begin{array}{cccc} A & A & A & B \\ D & A & B & B \\ D & D & C & B \\ D & C & C & C \\ \end{array} \right)$ Para n=4r, usamos el acomodo de n=4(r-1) y le agregamos una especie de corona, para n=8: $\left( \begin{array}{cccccccc} A & A & A & B & C & C & C & A \\ C & A & B & B & B & C & A & A \\ C & C & - & - & - & - & B & A \\ C & B & - & - & - & - & B & B \\ B & B & - & - & - & - & B & C \\ A & B & - & - & - & - & C & C \\ A & A & C & B & B & B & A & C \\ A & C & C & C & B & A & A & A \\ \end{array} \right)$ Y para cualquier r mayor agregamos a la corona de r-1: $\left( \begin{array}{ccccc} A & A & A & B & - \\ - & A & B & B & B \\ \end{array} \right)$ en cada lado de la corona.
primero nos fijamos que no puede ser impara ya que un impar al cuadrado no va a ser dividido entre 4. caso1 $N\equiv2(mod 4)$ vemos que $N^2$ solo va a tener dos factores dos y al dividirlo entre cuatro nos va a dar impar, y nos fijamos que si pintamos la cuadricula de $N*N$ como ajedrez va a tener una cantidad para de cuadros negros,y el tetromino $"t"$ tiene una cantidad impar de cuadros negros lo acomodes como lo acomodes y ya habiamos demostrado que $\frac{n^2}{4}$ va a ser impar $\rightarrow$ como van a haber $\frac{n^2}{4}$ tetrominos $t$ $\rightarrow$ en la cuadricula va a tener una cantidad impar de cudros negros y cpntradiccion. caso $N\equiv0(mod 4)$ es facil ver que en el caso $N=4$ si se puede y savemos que toda cuadricula de $N*N$ cuando $N\equiv0(mod 4)$ va a poder ser dividida en cuadricluas de 4*4 y entonces acavamos y son solo las $N$ con $N\equiv0(mod 4)$.
Nos fijamos en que cada tetramino con forma $T$ tiene o 3 negros y 1 blanco o 3 blancos y 1 negro. Entonces debera haber una cantidad par de tetraminos dentro de el cuadrado de $n*n$ para que se mantenga la misma cantidad de blancos y negros si pintaramos el cuadrado como tablero de ajedrez. Tambien debemos fijarnos en el numero de cuadrados. Si $n$ es impar, $n^2$ sera impar y nos sobrarian espacios porque el tetramino ocupa 4 espacios y pues no tendria factores 2. Por lo tanto $n\equiv0,2(mod4)$
Primero hacemos el caso en el que $n\equiv2(mod4)$. Entonces $n=2i$ donde $i=impar$. $\rightarrow$, $n^2=4i^2$ Si dividimos ese numero entre 4 tendremos la cantidad de tetraminos que usaremos porque ocupan 4 espacios. Al dividirlo entre 4 nos damos cuenta de que tendremos una cantidad impar de tetraminos porque $1^2\equiv1(mod2)$. Por lo tanto habra mas cuadros de un color que del otro y pues no podriamos llenar el cuadrado correctamente. Por lo tanto, si $n\equiv2(mod4)$ no cumple.
Ahora nos vamos con el siguiente caso, donde $n\equiv0(mod4)$. donde $p=par$, $\rightarrow$, $n^2=4p^2$. Entonces tendremos una cantidad par de tetraminos porque $4p^2/4=p^2$. $0^2\equiv0(mod2)$ Entonces tendremos la misma cantidad de tetraminos con 3 negros y un blanco que de tetraminos con 3 blancos y un negro. Por lo tanto este es el unico caso donde se pueden acomodar.
$\bullet$ Caso $n$ impar.- Si $n$ es impar entonces $n^{2}$ tambien lo es, pues impar por impar es impar, pero un tetramino $T$ ocupa $4$ cuadritos, por lo que para cubrir el tablero, se necesita una cantidad par de cuadritos, lo cual en este caso no se da.
$\bullet$ Caso $n\equiv{2}\pmod{4}\Rightarrow\exists k\in N: 2(2k+1)=n\Rightarrow (2(2k+1))^{2}=4(2k+1)^{2}=4(4k^{2}+4k+1)$, si un tetramino $T$ ocupa $4$ cuadritos entonces necesitaremos: $\frac{4(4k^{2}+4k+1)}{4}=4k^{2}+4k+1$ tetraminos, lo cual es facil ver que es impar, si se tiene una coloración de ajedrez, vemos que el tetramino $T$ tiene o $1$ o $3$ cuadritos negros, es decir tiene una cantidad impar, si se tiene una cantidad impar de tetraminos entonces ocuparán una cantidad impar de cuadritos negros, pero la coloración tiene cantidad par de cuadritos, por lo tanto no se puede.
$\bullet$ Caso $4|n$.- es fácil ver que se puede construir un cuadrado de $4x4$ con tetraminos $T$ por lo tanto son los únicos que cumplen.
Si con $k=1$ pasa, solo tenemos que construir los suficientes cuadrados de $4$x$4$con tetraminos $T$ hasta llenar el cuadrado, es decir: para el caso $k=2$, necesitaremos $2^{2}=4$ cuadrados del caso $k=1$, para el caso $k=3$ necesitaremos $3^{2}=9$ cuadrados del caso $k=1$, ..., para el caso $k=m$ necesitaremos $m^{2}$ cuadrados del caso $k=1$, por lo tanto, siempre podremos cubrir un cuadrado de lado $n$ que satisface: $4|n$
Primero veo que si n=4 es facil ver un acomodo que cumple: Entonces si n es multiplo de 4, la cuadricula se podra dividir en $\frac{n^2}{16}$ cuadriculas de 4x4, y solamente llenamos cada cuadricula de 4x4 con el acomodo que cumple, entonces se puede para cualquier n multiplo de 4.
Si n=4k+2 entonces si hacemmos una coloracion de ajedrez, habra 2k+1 cuadros negros y 2k+1 cuadros blancos, como cada tetramino t usa 3 cuadros de un mismo color y uno de el otro color, debera haber una cantidad par de tetraminos t ya que debe usar la misma cantidad de cuadros negros y blancos. Pero veo que hay $(4k+2)^2=16k^2+16k+4$ cuadros, entonces se usaran $\frac{16k^2+16k+4}{4}$tetraminos t igual a $4k^2+4k+1$ pero esa es una cantidad imapr lo cual es una contradiccion.
Si n es imapr habra una cantidad impar de cuadros en la cuadricula, entonces como el tetramino t usa 4 cuadros, es facil ver que debera haber una cantidad par de cuadros.
Un tetrámino si se colorea siempre utiliza impares cuadritos negros ya sea uno o tres luego note que cuando pones uno con 3 o 1 cuadritos negros el que sigue tiene que tener el numero opuesto como si el primero es 3 el segundo tendrá que tener 1 cuadrito negro bueno entonces si sumo tengo (3+1) que igual a 4 y otra cosa importante es que si un tetramino tiene 3 cuadritos negros tendrá un cuadrito blanco y biseversa entonces con esto inicie que si hay un cuadrado que tiene (3+1) + (3+1) por algo me de un cuadrado pues en este caso fue dos entonces me quedo 2(3+1) *2 = 16 entonces sace raíz cuadrada que es 4 en ronces tengo que n puede ser igual a 4 pero como saco que puede ser mas pues si ya tengo un cuadro de 4*4 y la sumo otros 3 cuadrados de 4*4 me da otro cuadrado y así susesivamente entonces tengo que $N$ congruente a 0 mod 4 $Q$.$E$.$D$.
Javier tienes que encontrar todos los valores posibles de n y te falta demostrar que no se puede o si se puede para cuando congruente con 1 mod 4, 2 mod 4 y 3 mod 4.
se necesita tener la misma cantidad de negras que blancas por la coloración,por lo tanto ahí queda descartada la idea de que nuestro n sea impar,ademas de eso tenemos que eliminar los números pares, no múltiplos de 4, esto sucede porque apesar de que si serian mitad y mitad, no resultaría con la figura, puesto que, los 4 cuadros que quedan, están separados, y no permiten acomodar una figura mas
todo quieres-.- jajaja ntc, gracias, en mi otro comentario creo que quedo claro que las n impar no son posibles, ahora me fijo en que los tetraminos T,sobre una coloracion de ajedres, tendran 3 blancas y una negra, o 3 negras y una blanca, por esto y la coloracion usaremos un numero par de tetraminos. Como son 4 de cada tetramino, al usar un #par, tendra que ser un multiplo de 8. n=4 sí es posible podemos usar los cuadrados que tenemos para formar mas cuadrados, Por lo tanto los multiplos de 4 cumpliran solamente.
Si nuestra $n$ es impar $n^2$ será impar, por lo cual, debido a que la cantidad de cuadros que requieren los tetraminos, es facil darse cuenta que estos casos no cumplen. Si $n$ es congruente a $2$ mod $4$ vemos que al colorear el cuadrado en tablero de ajedrez, no se podrá cumplir. Si $n$ es congruente a $0$ mod $4$ Es facil de ver que se cumplira, por lo cual todo multiplo de 4 cumple.
Pues tengo n debe ser par por que tiene cuatro cuadritos entonces uso modulo 4 y puede ser 2 o 0 mod 4 si es mod 4 cumplira y si es 2 mod 2 y podemos representar que congruente a 2 mod 4 debe ser un numero A tal que sea multiplo de 4 entonces A+2 es el lado del cuadrado entonces el area del cuadrado seria a^2+2a+4 y sabemos que a^2 si se puede acomodar le sumamos 2a que serian dos lados y si lo sumamos faltaria 1 para que fuera un cuadrado pero tenemos 4 entonces sobrarian 3 cuadritos y no importaria como los acomodemos en tres cuadros no se pueden acomodar 4 cuadros
Nos fijamos que un tetramino t tiene puede tener $m$ = $3$ cuadros negros o $l$ = $1$ cuadro negro, entonce para que pueda ser un cuadrado tiene que tener la misma cantidad de cuadros negros que de cuadros blancos $therefore$ debe tener la misma cantidad de tetraminos $m$ que de tetraminos $l$, podemos usar $1$ y $1$ pero no se forma un cuadrado, pero con $2$ y $2$ podemos formar un cuadrado de $n=4$ con ese cuadrado podemos formar cuadrados mas grandes de $4*4$ cuadrados entonces $n=4k$ y va a cumplir para todos los casos
En donde dices "para que pueda ser un cuadrado tiene que tener la misma cantidad de cuadros negros que de cuadros blancos" creo que no es un argumento valido, ya que existen cuadrados con mas cuadros negros que blancos y estos podrían armarse con tetra-minos t no?
Supones que $n$ es impar, $\Rightarrow n^2$ es impar. Sabemos que que cada tetramino ocupa $4$ espacios, por lo que la cantidad de cuadros que debe haber es par. $\text{CONTRADICCION}$ Tenemos que $n$ es par, y tenemos dos casos: $\bullet $n \equiv 2 \pmod 4$ ($n$ tiene unicamente un factor $2$) Pintamos la cuadricula como ajedrez, tenemos igual de cada color, especificamente, $\frac{1}{2}n^2$ de cada color. $\Rightarrow$ Debe haber igual cantidad de tetraminos de cada tipo ($3$ negros o $3$ blancos). Tenemos que $n^2 \equiv 0 \pmod 4$ . Sabemos que $n^2$ tiene unicamente dos factores $2$ , $\Rightarrow \frac{1}{2}n^2 \equiv 2 \pmod 4$ . Si ponemos igual cantidad de ambos tipos de tetraminos, nos sobran $2$ negros y $2$ blancos. $\text{NO SE PUEDE}$ $\bullet $n \equiv 0 \pmod 4$ Facilmente podemos contruir un cuadrado con tetraminos $\text{T}$ de $4\times4$ , lo cual es con $n=4$ , para los demás seria simplemente repetir ese cuadrado. $\therefore \boxed{n \equiv 0 \pmod 4}$
Supones que $n$ es impar, $\Rightarrow n^2$ es impar. Sabemos que que cada tetramino ocupa $4$ espacios, por lo que la cantidad de cuadros que debe haber es par. $\text{CONTRADICCION}$ Tenemos que $n$ es par, y tenemos dos casos: $\bullet n \equiv 2 \pmod 4$ ($n$ tiene unicamente un factor $2$) Pintamos la cuadricula como ajedrez, tenemos igual de cada color, especificamente, $\frac{1}{2}n^2$ de cada color. $\Rightarrow$ Debe haber igual cantidad de tetraminos de cada tipo ($3$ negros o $3$ blancos). Tenemos que $n^2 \equiv 0 \pmod 4$ . Sabemos que $n^2$ tiene unicamente dos factores $2$ , $\Rightarrow \frac{1}{2}n^2 \equiv 2 \pmod 4$ . Si ponemos igual cantidad de ambos tipos de tetraminos, nos sobran $2$ negros y $2$ blancos. $\text{NO SE PUEDE}$ $\bullet n \equiv 0 \pmod 4$ Facilmente podemos contruir un cuadrado con tetraminos $\text{T}$ de $4\times4$ , lo cual es con $n=4$ , para los demás seria simplemente repetir ese cuadrado. $\therefore \boxed{n \equiv 0 \pmod 4}$
Aqui esta un cuadro de $4 \times 4$ : https://www.dropbox.com/s/wa0ymg4m2p6vbwm/4X4.jpg Y para $n = 4k$ tal que $k > 1$ , solo seria poner más de los cuadros de $4 \times 4$ .
Si dividimos la cantidad de cuadros entre $4$ , nos queda Impar, que es la cantidad de tetraminos que debemos poner. Pero debemos poner la misma cantidad de los dos tipos de Tetraminos. $\text{NO SE PUEDE}$
Coloreamos el cuadrado como tablero de ajedrez. Nos fijamos en que un tetramino T siempre usará tres cuadritos negros y uno blanco, o viceversa, por lo tanto siempre ocuparemos un número par de tetraminos, o sea que siempre será múltiplo de 8. Luego vemos que n=4 sí es posible (ya alguien publicó el acomodo). Luego, como 16 es el primer cuadrado múltiplo de 8, todos las demás n serán congruentes a 0 mod4. Ya sólo es cuestión de armar cuadrados de 4k*4k juntando los cuadrados de 4*4. Por lo tanto, los valores para los cuales es posible construir un cuadrado con las condiciones del problema son todos los múltiplos de 4.
Los tetraminos tienen 4 cuadros cada uno, entonces si se usan k, el cuadrado debe tener 4k cuadros, pero eso es imposible para n impar porque la cantidad de cuadros debe ser $n^2$ que es impar, entonces n debe ser par.
ResponderBorrarPara $n \equiv 2 \pmod{4}$, vemos que n=2q con q impar, entonces la cantidad de cuadros es $4q^2$ y debe haber $q^2$ tetraminos (una cantidad impar). Hacemos una coloración de ajedrez en el cuadrado y vemos que en cada fila hay una cantidad igual de cuadros blancos y negros (porque hay 2q en la fila y se van alternando), entonces hay la misma cantidad de cada color en todo el cuadrado. Al hacer la coloración en los tetraminos vemos que siempre hay 1 de un color y tres del otro, entonces para que haya la misma cantidad de cada color debe haber una cantidad par de tetraminos (por cada uno con tres del color A y uno del color B, debe haber uno con tres del color B y uno del A); pero esto es una contradicción porque hay una cantidad impar de tetraminos, entonces n debe ser múltiplo de 4.
Para n=4 se puede, con el siguiente acomodo (las A's, B's, C's y D's representan tetraminos distintos):
$\left( \begin{array}{cccc}
A & A & A & B \\
D & A & B & B \\
D & D & C & B \\
D & C & C & C \\
\end{array} \right)$
Para n=4r, usamos el acomodo de n=4(r-1) y le agregamos una especie de corona, para n=8:
$\left( \begin{array}{cccccccc}
A & A & A & B & C & C & C & A \\
C & A & B & B & B & C & A & A \\
C & C & - & - & - & - & B & A \\
C & B & - & - & - & - & B & B \\
B & B & - & - & - & - & B & C \\
A & B & - & - & - & - & C & C \\
A & A & C & B & B & B & A & C \\
A & C & C & C & B & A & A & A \\
\end{array} \right)$
Y para cualquier r mayor agregamos a la corona de r-1:
$\left( \begin{array}{ccccc}
A & A & A & B & - \\
- & A & B & B & B \\
\end{array} \right)$
en cada lado de la corona.
primero nos fijamos que no puede ser impara ya que un impar al cuadrado no va a ser dividido entre 4.
ResponderBorrarcaso1 $N\equiv2(mod 4)$
vemos que $N^2$ solo va a tener dos factores dos y al dividirlo entre cuatro nos va a dar impar, y nos fijamos que si pintamos la cuadricula de $N*N$ como ajedrez va a tener una cantidad para de cuadros negros,y el tetromino $"t"$ tiene una cantidad impar de cuadros negros lo acomodes como lo acomodes y ya habiamos demostrado que $\frac{n^2}{4}$ va a ser impar $\rightarrow$ como van a haber $\frac{n^2}{4}$ tetrominos $t$ $\rightarrow$ en la cuadricula va a tener una cantidad impar de cudros negros y cpntradiccion.
caso $N\equiv0(mod 4)$
es facil ver que en el caso $N=4$ si se puede y savemos que toda cuadricula de $N*N$ cuando $N\equiv0(mod 4)$ va a poder ser dividida en cuadricluas de 4*4 y entonces acavamos y son solo las $N$ con $N\equiv0(mod 4)$.
=)
BorrarNos fijamos en que cada tetramino con forma $T$ tiene o 3 negros y 1 blanco o 3 blancos y 1 negro. Entonces debera haber una cantidad par de tetraminos dentro de el cuadrado de $n*n$ para que se mantenga la misma cantidad de blancos y negros si pintaramos el cuadrado como tablero de ajedrez. Tambien debemos fijarnos en el numero de cuadrados. Si $n$ es impar, $n^2$ sera impar y nos sobrarian espacios porque el tetramino ocupa 4 espacios y pues no tendria factores 2. Por lo tanto $n\equiv0,2(mod4)$
ResponderBorrarPrimero hacemos el caso en el que $n\equiv2(mod4)$. Entonces $n=2i$ donde $i=impar$. $\rightarrow$, $n^2=4i^2$ Si dividimos ese numero entre 4 tendremos la cantidad de tetraminos que usaremos porque ocupan 4 espacios. Al dividirlo entre 4 nos damos cuenta de que tendremos una cantidad impar de tetraminos porque $1^2\equiv1(mod2)$. Por lo tanto habra mas cuadros de un color que del otro y pues no podriamos llenar el cuadrado correctamente. Por lo tanto, si $n\equiv2(mod4)$ no cumple.
Ahora nos vamos con el siguiente caso, donde $n\equiv0(mod4)$. donde $p=par$, $\rightarrow$, $n^2=4p^2$. Entonces tendremos una cantidad par de tetraminos porque $4p^2/4=p^2$. $0^2\equiv0(mod2)$
Entonces tendremos la misma cantidad de tetraminos con 3 negros y un blanco que de tetraminos con 3 blancos y un negro. Por lo tanto este es el unico caso donde se pueden acomodar.
Solo el caso $n\equiv0(mod4) cumple
que la coloración solo dice que es posible, dame una construcción
Borrary un agrumento de porque sirve para todos los casos, es lo que te falta
Borrar$\bullet$ Caso $n$ impar.- Si $n$ es impar entonces $n^{2}$ tambien lo es, pues impar por impar es impar, pero un tetramino $T$ ocupa $4$ cuadritos, por lo que para cubrir el tablero, se necesita una cantidad par de cuadritos, lo cual en este caso no se da.
ResponderBorrar$\bullet$ Caso $n\equiv{2}\pmod{4}\Rightarrow\exists k\in N: 2(2k+1)=n\Rightarrow (2(2k+1))^{2}=4(2k+1)^{2}=4(4k^{2}+4k+1)$, si un tetramino $T$ ocupa $4$ cuadritos entonces necesitaremos: $\frac{4(4k^{2}+4k+1)}{4}=4k^{2}+4k+1$ tetraminos, lo cual es facil ver que es impar, si se tiene una coloración de ajedrez, vemos que el tetramino $T$ tiene o $1$ o $3$ cuadritos negros, es decir tiene una cantidad impar, si se tiene una cantidad impar de tetraminos entonces ocuparán una cantidad impar de cuadritos negros, pero la coloración tiene cantidad par de cuadritos, por lo tanto no se puede.
$\bullet$ Caso $4|n$.- es fácil ver que se puede construir un cuadrado de $4x4$ con tetraminos $T$ por lo tanto son los únicos que cumplen.
dame un argumento de por que para todos los cuadrados con 4k funcionan, si ya sabes que con k=1 pasa
BorrarSi con $k=1$ pasa, solo tenemos que construir los suficientes cuadrados de $4$x$4$con tetraminos $T$ hasta llenar el cuadrado, es decir: para el caso $k=2$, necesitaremos $2^{2}=4$ cuadrados del caso $k=1$, para el caso $k=3$ necesitaremos $3^{2}=9$ cuadrados del caso $k=1$, ..., para el caso $k=m$ necesitaremos $m^{2}$ cuadrados del caso $k=1$, por lo tanto, siempre podremos cubrir un cuadrado de lado $n$ que satisface: $4|n$
Borrar=)
BorrarPrimero veo que si n=4 es facil ver un acomodo que cumple: Entonces si n es multiplo de 4, la cuadricula se podra dividir en $\frac{n^2}{16}$ cuadriculas de 4x4, y solamente llenamos cada cuadricula de 4x4 con el acomodo que cumple, entonces se puede para cualquier n multiplo de 4.
ResponderBorrarSi n=4k+2 entonces si hacemmos una coloracion de ajedrez, habra 2k+1 cuadros negros y 2k+1 cuadros blancos, como cada tetramino t usa 3 cuadros de un mismo color y uno de el otro color, debera haber una cantidad par de tetraminos t ya que debe usar la misma cantidad de cuadros negros y blancos. Pero veo que hay $(4k+2)^2=16k^2+16k+4$ cuadros, entonces se usaran
$\frac{16k^2+16k+4}{4}$tetraminos t igual a $4k^2+4k+1$ pero esa es una cantidad imapr lo cual es una contradiccion.
Si n es imapr habra una cantidad impar de cuadros en la cuadricula, entonces como el tetramino t usa 4 cuadros, es facil ver que debera haber una cantidad par de cuadros.
Entonces se puede para cualquier n multiplo de 4.
Un tetrámino si se colorea siempre utiliza impares cuadritos negros ya sea uno o tres luego note que cuando pones uno con 3 o 1 cuadritos negros el que sigue tiene que tener el numero opuesto como si el primero es 3 el segundo tendrá que tener 1 cuadrito negro bueno entonces si sumo tengo (3+1) que igual a 4 y otra cosa importante es que si un tetramino tiene 3 cuadritos negros tendrá un cuadrito blanco y biseversa entonces con esto inicie que si hay un cuadrado que tiene (3+1) + (3+1) por algo me de un cuadrado pues en este caso fue dos entonces me quedo 2(3+1) *2 = 16 entonces sace raíz cuadrada que es 4 en ronces tengo que n puede ser igual a 4 pero como saco que puede ser mas pues si ya tengo un cuadro de 4*4 y la sumo otros 3 cuadrados de 4*4 me da otro cuadrado y así susesivamente entonces tengo que $N$ congruente a 0 mod 4 $Q$.$E$.$D$.
ResponderBorrarJavier tienes que encontrar todos los valores posibles de n y te falta demostrar que no se puede o si se puede para cuando congruente con 1 mod 4, 2 mod 4 y 3 mod 4.
BorrarTu coloración es coloración de ajedrez o una especial?
BorrarAlonso tiene razón, te falta decir si existen otros casos en donde se puedan o no y porque
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM00054[1]_zps2352542d.jpg
ResponderBorrarsi pudieras escanear la imagen mejor la próxima vez estaría mejor leo, =)
Borrarclaro chuy!;)
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4630920335257&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarcreo que te falta argumentar el por que no se puede con otros, pudiera no ser el único acomodo posible
Borrarse necesita tener la misma cantidad de negras que blancas por la coloración,por lo tanto ahí queda descartada la idea de que nuestro n sea impar,ademas de eso tenemos que eliminar los números pares, no múltiplos de 4, esto sucede porque apesar de que si serian mitad y mitad, no resultaría con la figura, puesto que, los 4 cuadros que quedan, están separados, y no permiten acomodar una figura mas
Borrarme sigue sin quedar muy claro
Borrartodo quieres-.- jajaja ntc, gracias, en mi otro comentario creo que quedo claro que las n impar no son posibles, ahora me fijo en que los tetraminos T,sobre una coloracion de ajedres, tendran 3 blancas y una negra, o 3 negras y una blanca, por esto y la coloracion usaremos un numero par de tetraminos. Como son 4 de cada tetramino, al usar un #par, tendra que ser un multiplo de 8. n=4 sí es posible podemos usar los cuadrados que tenemos para formar mas cuadrados, Por lo tanto los multiplos de 4 cumpliran solamente.
BorrarSi nuestra $n$ es impar $n^2$ será impar, por lo cual, debido a que la cantidad de cuadros que requieren los tetraminos, es facil darse cuenta que estos casos no cumplen.
ResponderBorrarSi $n$ es congruente a $2$ mod $4$ vemos que al colorear el cuadrado en tablero de ajedrez, no se podrá cumplir.
Si $n$ es congruente a $0$ mod $4$ Es facil de ver que se cumplira, por lo cual todo multiplo de 4 cumple.
no me convence
BorrarPues tengo n debe ser par por que tiene cuatro cuadritos entonces uso modulo 4 y puede ser 2 o 0 mod 4 si es mod 4 cumplira y si es 2 mod 2 y podemos representar que congruente a 2 mod 4 debe ser un numero A tal que sea multiplo de 4 entonces A+2 es el lado del cuadrado entonces el area del cuadrado seria a^2+2a+4 y sabemos que a^2 si se puede acomodar le sumamos 2a que serian dos lados y si lo sumamos faltaria 1 para que fuera un cuadrado pero tenemos 4 entonces sobrarian 3 cuadritos y no importaria como los acomodemos en tres cuadros no se pueden acomodar 4 cuadros
ResponderBorrarpodrías escribir tu solución de una manera mas clara?
Borrarun tip alonso $ (A + 2)^2 = A^2 + 4A + 4$
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=391668180903982&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarNos fijamos que un tetramino t tiene puede tener $m$ = $3$ cuadros negros o $l$ = $1$ cuadro negro, entonce para que pueda ser un cuadrado tiene que tener la misma cantidad de cuadros negros que de cuadros blancos $therefore$ debe tener la misma cantidad de tetraminos $m$ que de tetraminos $l$, podemos usar $1$ y $1$ pero no se forma un cuadrado, pero con $2$ y $2$ podemos formar un cuadrado de $n=4$ con ese cuadrado podemos formar cuadrados mas grandes de $4*4$ cuadrados entonces $n=4k$ y va a cumplir para todos los casos
ResponderBorrarEn donde dices "para que pueda ser un cuadrado tiene que tener la misma cantidad de cuadros negros que de cuadros blancos" creo que no es un argumento valido, ya que existen cuadrados con mas cuadros negros que blancos y estos podrían armarse con tetra-minos t no?
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarPor que si hay una cantidad impar de tetra-minos t no se puede formar el cuadrado?
BorrarSupones que $n$ es impar, $\Rightarrow n^2$ es impar. Sabemos que que cada tetramino ocupa $4$ espacios, por lo que la cantidad de cuadros que debe haber es par. $\text{CONTRADICCION}$
ResponderBorrarTenemos que $n$ es par, y tenemos dos casos:
$\bullet $n \equiv 2 \pmod 4$ ($n$ tiene unicamente un factor $2$)
Pintamos la cuadricula como ajedrez, tenemos igual de cada color, especificamente, $\frac{1}{2}n^2$ de cada color.
$\Rightarrow$ Debe haber igual cantidad de tetraminos de cada tipo ($3$ negros o $3$ blancos).
Tenemos que $n^2 \equiv 0 \pmod 4$ . Sabemos que $n^2$ tiene unicamente dos factores $2$ , $\Rightarrow \frac{1}{2}n^2 \equiv 2 \pmod 4$ .
Si ponemos igual cantidad de ambos tipos de tetraminos, nos sobran $2$ negros y $2$ blancos. $\text{NO SE PUEDE}$
$\bullet $n \equiv 0 \pmod 4$
Facilmente podemos contruir un cuadrado con tetraminos $\text{T}$ de $4\times4$ , lo cual es con $n=4$ , para los demás seria simplemente repetir ese cuadrado.
$\therefore \boxed{n \equiv 0 \pmod 4}$
Supones que $n$ es impar, $\Rightarrow n^2$ es impar. Sabemos que que cada tetramino ocupa $4$ espacios, por lo que la cantidad de cuadros que debe haber es par. $\text{CONTRADICCION}$
ResponderBorrarTenemos que $n$ es par, y tenemos dos casos:
$\bullet n \equiv 2 \pmod 4$ ($n$ tiene unicamente un factor $2$)
Pintamos la cuadricula como ajedrez, tenemos igual de cada color, especificamente, $\frac{1}{2}n^2$ de cada color.
$\Rightarrow$ Debe haber igual cantidad de tetraminos de cada tipo ($3$ negros o $3$ blancos).
Tenemos que $n^2 \equiv 0 \pmod 4$ . Sabemos que $n^2$ tiene unicamente dos factores $2$ , $\Rightarrow \frac{1}{2}n^2 \equiv 2 \pmod 4$ .
Si ponemos igual cantidad de ambos tipos de tetraminos, nos sobran $2$ negros y $2$ blancos. $\text{NO SE PUEDE}$
$\bullet n \equiv 0 \pmod 4$
Facilmente podemos contruir un cuadrado con tetraminos $\text{T}$ de $4\times4$ , lo cual es con $n=4$ , para los demás seria simplemente repetir ese cuadrado.
$\therefore \boxed{n \equiv 0 \pmod 4}$
no me queda muy claro tu argumento de cuando $ n \equiv 0 \pmod 4 $
Borrarpero el resto esta correcto
Aqui esta un cuadro de $4 \times 4$ :
Borrarhttps://www.dropbox.com/s/wa0ymg4m2p6vbwm/4X4.jpg
Y para $n = 4k$ tal que $k > 1$ , solo seria poner más de los cuadros de $4 \times 4$ .
lo siento Diego, me equivoque, lo que no me quedaba claro era cuando
Borrar$ n \equiv 2 \pmod 4 $
Si dividimos la cantidad de cuadros entre $4$ , nos queda Impar, que es la cantidad de tetraminos que debemos poner.
BorrarPero debemos poner la misma cantidad de los dos tipos de Tetraminos. $\text{NO SE PUEDE}$
Coloreamos el cuadrado como tablero de ajedrez. Nos fijamos en que un tetramino T siempre usará tres cuadritos negros y uno blanco, o viceversa, por lo tanto siempre ocuparemos un número par de tetraminos, o sea que siempre será múltiplo de 8. Luego vemos que n=4 sí es posible (ya alguien publicó el acomodo). Luego, como 16 es el primer cuadrado múltiplo de 8, todos las demás n serán congruentes a 0 mod4. Ya sólo es cuestión de armar cuadrados de 4k*4k juntando los cuadrados de 4*4.
ResponderBorrarPor lo tanto, los valores para los cuales es posible construir un cuadrado con las condiciones del problema son todos los múltiplos de 4.
=)
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