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martes, 4 de septiembre de 2012
Problema del día. Teoría de Números (4 de Septiembre)
Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p$, $q$, con $p < q$, de tal manera que $p^{2}+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$.
Tenemos que $p^{2}+pq+6q-1\equiv{0}\pmod{pq}$ , si $pq\equiv{0}\pmod{pq}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 +6q-1}\pmod{pq}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 +6q-1}\pmod{q}$, si $6q\equiv{0}\pmod{q}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 -1}\pmod{q}$, tanto $p^2$ como $1$ son cuadrados perfectos, entonces tenemos una diferencia de cuadrados: $p^{2}+pq+6q-1\equiv{(p+1)(p-1)}\pmod{q}$, si $p^{2}+pq+6q-1\equiv{0}\pmod{q}$ $\rightarrow$ $q|(p+1)(p-1)$ , si $p<q$ $\rightarrow$ $q|p+1$ , si $p<q$ $\rightarrow$ $(p+1)\geq{q}$ $\Rightarrow$ $p+1=q$ , $p$ y $q$ son primos y debenm ser consecutivos, esto solo lo cumple la pareja: $(3, 2)$ $\Rightarrow$ $p=2 , q=3$ , al sustituir valores en: $pq|p^{2}+pq+6q-1$ tendremos que $6|27$, lo cual no es cierto, por lo tanto llegamos a una contradicción $\therefore$ tal pareja no existe. Q.E.D.
como $PQ/P^2+PQ+6Q-1$ y como $PQ/PQ$ entonces $PQ/P^2+6Q-1$ entonces $P/6Q-1$ y como $6Q-1$ es impar entonces $P$ deve de ser impar y como $P$ es menor a $Q$ pues entonces $Q$ tambien debe de ser impar. luego nos fijamos que como $Q/PQ$ entonces $Q/P^2+6Q-1$ entonces $Q/P^2-1$ y nos fijamos en que $P^2-1=(P-1)(p+1)$ pero como $P<Q$ entonces $p+1=Q$ entonces de esta manera tenemos que $P$ y $P+1$ son primos pero uno es par ya que son consecutivos y ya habiamos demostrado que los dos eran impares entonces contradiccion
Por demostrar $pq/p^2+pq+6q-1$ Como $pq/pq$ lo eliminamos
Vemos paridad, si ambos $p$ y $q$ son impares, $p^2+6q-1$ será par, y $2$ no divide a $pq$ Por lo tanto, $pq$ no divide a $p^2+6q-1$.
Si uno es par, debe ser p, y debe ser 2, por lo cual $2q/4-1+6q$ Como $2q/6q$ lo eliminamos y nos queda que $2q/3$ lo cual es un absurdo, por lo tanto, no hay una pareja $p$ , $q$ que cumpla lo establecido. Q.E.D.
solo como sugerencia, si pq es impar es obvio que 2 no divide a pq pero eso no significa que pq no divida a $p^2+6q+pq-1$ ya que es posible que pq(k) sea igual a $p^2+6q+pq-1$ donde k es un numero par.un ejemplo es que 2 no divide a 5 pero 5 divide a 10, y 10 es par
Si, volviendo a lo de paridad, como $p$ y $q$ deben de ser impares por la segunda parte de la explicación, vemos que $q$ divide a $pq$ y queremos demostrar que $pq$ divide a $p^2+6q-1$ como $q$ divide a $6q$ lo podemos "eliminar" entonces nos queda que $q/ p^2-1$ Lo cual es una diferencia de cuadrados en donde $q/ (p+1)(p-1)$ como $q$ es primo, $p+1$ o $p-1$ deben ser un factor $q$, entonces como $q>p$ $q=p+1$ y los unicos primos consecutivos son 2 y 3, pero por la segunda parte, llegamos a una contradicción, por lo tanto no hay pareja de primos que cumplen. Q.E.D.
Ricardo, hay detalles en tu argumentación que me causan ruidito, pero son muy ligeros. Y como es un argumento que la mayoría está dando, entonces daré por hecho que realmente es muy evidente. (Me refiero al hecho de que asumen directamente que $q=p+1$, como te digo, la argumentación es muy sencilla)
Supongo que p^2 +pq +6y -1 es congruente con cero modulo PQ Por lo tanto p^2 +6y-1 congruente 0 mod PQ, P^2-1 congruente con 6y mod PQ y se que 6y es un numero par y para que esto se pueda P no puede ser dos, Pero pq es impar y si es impar entonces la congurenecia debe ser impar pero es par por lo tanto llego a una contradiccion entonces eh demostrado que no existe minguna pareja que cumpla la ya dicho
Supongamos que existe. $(pq)(k)=p^2+pq+6q-1$, entonces $q(pk)=p^2+pq+6q-1$ y q divide a $p^2+pq+6q-1$, además q divide a pq+6q, entonces q divide a la diferencia que es $p^2+pq+6q-1-(pq+6q)=p^2-1=(p-1)(p+1)$. Como q es primo, q|p-1 o q|p+1 entonces $q \le p+1$ pero también $p \lt q$, entonces q=p+1, esto solo es posible si p=2 y q=3. Entonces $pq=(2)(3)=6$ y $p^2+pq+6q-1=2^2+(2)(3)+6(3)-1=27$ pero 6 no divide a 27, contradicción. Por lo tanto no existe.
veo que pasa si p es par, es decir, p=2. 2q divide 4+2q+6q-1,=> 2q divide a 3, pero como q es mayor a 2, entonces 2q es mayor a 4, enotnces 2q no divide a 3, por lo tanto p y q tienen la misma paridad, es decir ambos son impares.Luego veo que si pq divide a $p^2+pq+6q-1$ => q divide a $p^-1=(p+1)(p-1)$ entonces como p es primo, p+1, o p-1 debe tener un factor q, es decir q=(p+1,p-1) pero como q>p => q=p+1 lo cual es una contradiccion, ya que p y q tienen la misma paridad.entonces queda demostrado que no es posible
Podemos usar $p^2 + 6q - 1$ , es decir quitar $pq$ porque $pq \mid pq$ Utilizamos pariedad y vemos que hay dos casos: $p = 2 , q = I$ y $p = I , q = I$ $\bullet$ Caso 1: $2^2 + 6I - 1 = 3 + 6I = I + P = I$ $\Rightarrow$ Tenemos que $pq \mid I$ , sabemos que $pq = 2I = P$. Sabemos que $p$ y $q$ van a dividir a ese Impar, pero sabemos que $2 \nmid I$ . $\therefore$ El caso 1 no cumple. $\bullet$ Caso 2: hice el mismo procedimiento que para el caso 1 pero no me sirvió de nada. Luego me die cuenta de que $q \mid pq$ . $\Rightarrow q \mid p^2 + 6q - 1$ y como $q \mid 6q$ llego a que $q \mid (p^2 - 1) = (p + 1)(p - 1)$ . Vemos que debe haber un factor $q$ en lo último, es decir que $q = (p + 1)$ o $q = p - 1$ . Y como teníamos que $p < q$ , entonces $q = (p + 1)$ . $\Rightarrow p$ y $q$ son consecutivos. Por lo tanto uno de ellos será par y el otro impar. Pero en el caso 1 dije que si hay algún par sería $2$ y que no cumpliría.
$\therefore$ No existe ninguna pareja de primos $p$, $q$, con $p < q$, de tal manera que $p^{2}+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$.
Bueno yo dividí la operación en $p$'s y $q$'s donde me salió $p^2+p$+1 y $q+6q$-1, bueno un numero múltiplo de $pq$ tendría que ser $n(pq)$ que pasa a $np$ y $nq$ que significa que tendrán que haber el mismo numero de $p$ como de $q$ y como se ve en el caso $q$ tenemos $q+6q$ que seria igual a 7$q$ entonces q puede ser cualquier numero primo que no sea 2 entonces nos vamos con $p$ y se termina viendo que no hay ni un numero $p$ que se eleve al cuadrado mas $p$ nos da $7p$ y se acaba el problema
Luis Javier, te seré sincero. Batallé para poder entender gran parte de lo que aquí nos dices. Por fortuna si lo logré (creo).
A que te refieres con "separar en $p$'s y $q$'s" ?
Porqué dices que hay el mismo número de $p$'s que $q$'s ?
El último argumento, con el que "concluyes" no le veo fundamento alguno, aparte de que es falso.
Por favor intenta el problema un poco mas de tiempo, trata de ENTENDERLE, si tienes dudas, no titubees a la hora de decidir preguntar. Por favor pregunta, para eso estamos.
Te sugiero también hacer un esfuerzo mayor por exhibir de manera clara tu respuesta.
El menor primo que tenemos es $2$, suponiendo que $p=2$ entonces $q$ debera ser impar ya que $2$ es el único primo par. Entonces por paridades vamos a encontrar que $p^2$ sera par, $pq$ sera par y $6q-1$ sera impar; entonces $P+P+I$ sera $I$ y como $pq$ es par, encontramos que $pq$ no divide $p^2+pq+6q-1$ por tener distinta paridad $\therefore$ $p \nmid 2$ por que no cumple Ahora tenemos que si $p$ no es par entonces $p$ y $q$ deben ser impares, utilizamos sus paridades y encontramos que: - $p^2=Impar$ $pq=Impar$ $6q-1=Impar$, entonces vamos a tener que $I+I+I= Impar$ entonces si puede ser dividido por $pq$. -Trabajaremos con módulos con la propiedad que dice:$a \equiv b$ y $c \equiv d$ entonces $a +c \equiv b + d$, vamos a encontrar que: $pq|p^2$ $pq|pq$ y pq|6q-1, lo primero que nos percatamos es que $pq$ no puede dividir a $p^2$ por que $p^2$ no tiene ningun factor $q$ entonces no cumple con $p^2+pq+6q-1$. Ademas tenemos que $pq > p^2$ ya que $p<q$
Bueno, Paola, que $pq$ no divida a $p^{2}$ no significa que tampoco lo haga con todo $p^{2}+pq+6q-1$. Piensa en este caso: $2$ no divide a $3$ ni a $5$, pero si divide a $3+5=8$.
Tenemos que $p<q$ y suponemos que $pq|p^2+pq+6q-1$. Entonces$pq|p^2+6q-1$. Luego nos queda que $p|6q-1$ y $q|p^2-1$. Factorizamos lo que divide q y nos queda $q|(p+1)(p-1)$ por ser diferencia de cuadrados. Al ser $p$ y $q$ primos y que $p<q$ nos damos cuenta de que para que $q|(p+1)(p-1)$ $q=p+1$. Los unicos primos que cumplen con esto son $p=2$ y $q=3$ pero si lo intentamos nos queda que $6|27$ asi que llegamos a una contradiccion. Por lo tanto queda demostrado que no existe una pareja de primos que cumpla.
Nos damos cuenta que el numero que se quiere sacar no es primo, ahora en la suma ya esta una multiplicación de “pq”, así que lo que resta de la suma que es “p cuadrada + 6q – 1”, debe tener una relación con “pq” del doble, triple, etc.; también se sabe que “p” no es igual a “q”. Si multiplicas un primo por otro primo, el resultado será impar, porque todos los primos son impares, a excepción del 2. Cuando elevas “p” al cuadrado, obtienes un numero impar, cuando multiplicas “6q” obtienes un numero par, e “impar + par” te da como resultado un numero impar, pero todavía falta restarle un uno de la formula, y al restarle “1” obtienes un numero par, porque “impar + par – 1 = par”; Ya no sumamos “pq”, por lo dicho anteriormente. Lo que hace que “pq” no tenga ninguna relación con “p cuadrada + 6q – 1” por diferencia de impar y par. Si usamos el 2, como numero primo, sucede lo mismo: “pq” = par” y “p cuadrada = par”, “6q = par” porque como “q” es mayor a “p”, “q = un primo mayor que obligatoriamente es impar”. Recapitulando la suma: “par + par = par – 1 =impar, lo que lo hace diferente a “pq” que es par. Por lo tanto, no hay ninguna relación de “pq” con “p cuadrada +6q – 1”.
Tenemos 2 casos en el que p es 2(par) y q cualquier otro primo(impar) sabemos que todo impar por par o al menos por dos va a ser par p↑2 va a ser 4, pq va a ser par, 6q va a ser par y -1 al restarle 1 toda la operacion seria par asi que como los multiplos de pq siempre van a ser pares no cumple.
Y el otro caso es en el que p y q son impares asi los multiplos de pq van a ser par, impar, par, impar............... cualquier impar al cuadrado es igual a impar Realizaremos la operacion p↑2= impar+ pq, impar por impar simpre va a ser impar, entonces pq= impar, 6q va a ser par y si a eso le restamos 1, el resultado seria impar
Tenemos que $p^{2}+pq+6q-1\equiv{0}\pmod{pq}$ , si $pq\equiv{0}\pmod{pq}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 +6q-1}\pmod{pq}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 +6q-1}\pmod{q}$, si $6q\equiv{0}\pmod{q}$ $\rightarrow$ $p^{2}+pq+6q-1\equiv{p^2 -1}\pmod{q}$, tanto $p^2$ como $1$ son cuadrados perfectos, entonces tenemos una diferencia de cuadrados:
ResponderBorrar$p^{2}+pq+6q-1\equiv{(p+1)(p-1)}\pmod{q}$, si $p^{2}+pq+6q-1\equiv{0}\pmod{q}$ $\rightarrow$ $q|(p+1)(p-1)$ , si $p<q$ $\rightarrow$ $q|p+1$ , si $p<q$ $\rightarrow$ $(p+1)\geq{q}$ $\Rightarrow$ $p+1=q$ , $p$ y $q$ son primos y debenm ser consecutivos, esto solo lo cumple la pareja: $(3, 2)$ $\Rightarrow$ $p=2 , q=3$ , al sustituir valores en: $pq|p^{2}+pq+6q-1$ tendremos que $6|27$, lo cual no es cierto, por lo tanto llegamos a una contradicción $\therefore$ tal pareja no existe. Q.E.D.
donde puse que $(p+1)\geq{q}$ en realidad es: $(p+1)\leq{q}$
Borrarcomo $PQ/P^2+PQ+6Q-1$ y como $PQ/PQ$ entonces $PQ/P^2+6Q-1$ entonces $P/6Q-1$ y como $6Q-1$ es impar entonces $P$ deve de ser impar
ResponderBorrary como $P$ es menor a $Q$ pues entonces $Q$ tambien debe de ser impar. luego nos fijamos que como $Q/PQ$ entonces $Q/P^2+6Q-1$ entonces $Q/P^2-1$ y nos fijamos en que $P^2-1=(P-1)(p+1)$ pero como $P<Q$ entonces $p+1=Q$ entonces de esta manera tenemos que $P$ y $P+1$ son primos pero uno es par ya que son consecutivos y ya habiamos demostrado que los dos eran impares entonces contradiccion
Por demostrar $pq/p^2+pq+6q-1$
ResponderBorrarComo $pq/pq$ lo eliminamos
Vemos paridad, si ambos $p$ y $q$ son impares, $p^2+6q-1$ será par, y $2$ no divide a $pq$ Por lo tanto, $pq$ no divide a $p^2+6q-1$.
Si uno es par, debe ser p, y debe ser 2, por lo cual $2q/4-1+6q$
Como $2q/6q$ lo eliminamos y nos queda que $2q/3$ lo cual es un absurdo, por lo tanto, no hay una pareja $p$ , $q$ que cumpla lo establecido. Q.E.D.
solo como sugerencia, si pq es impar es obvio que 2 no divide a pq pero eso no significa que pq no divida a $p^2+6q+pq-1$ ya que es posible que pq(k) sea igual a $p^2+6q+pq-1$ donde k es un numero par.un ejemplo es que 2 no divide a 5 pero 5 divide a 10, y 10 es par
BorrarSi, volviendo a lo de paridad, como $p$ y $q$ deben de ser impares por la segunda parte de la explicación, vemos que $q$ divide a $pq$ y queremos demostrar que $pq$ divide a $p^2+6q-1$ como $q$ divide a $6q$ lo podemos "eliminar" entonces nos queda que $q/ p^2-1$ Lo cual es una diferencia de cuadrados en donde $q/ (p+1)(p-1)$ como $q$ es primo, $p+1$ o $p-1$ deben ser un factor $q$, entonces como $q>p$ $q=p+1$ y los unicos primos consecutivos son 2 y 3, pero por la segunda parte, llegamos a una contradicción, por lo tanto no hay pareja de primos que cumplen. Q.E.D.
BorrarGracias, Antonio, por tu acertada observación.
BorrarRicardo, hay detalles en tu argumentación que me causan ruidito, pero son muy ligeros. Y como es un argumento que la mayoría está dando, entonces daré por hecho que realmente es muy evidente. (Me refiero al hecho de que asumen directamente que $q=p+1$, como te digo, la argumentación es muy sencilla)
Entonces sólo me resta decirte: :)
Supongo que p^2 +pq +6y -1 es congruente con cero modulo PQ
ResponderBorrarPor lo tanto p^2 +6y-1 congruente 0 mod PQ, P^2-1 congruente con 6y mod PQ y se que 6y es un numero par y para que esto se pueda P no puede ser dos, Pero pq es impar y si es impar entonces la congurenecia debe ser impar pero es par por lo tanto llego a una contradiccion entonces eh demostrado que no existe minguna pareja que cumpla la ya dicho
Alonso, creo que tomaste un camino muy raro.
BorrarPrimero: $p^{2}\equiv-6q \mod pq$, nota el signo $-$ antes de $6q$.
Segundo: De dónde concluyes que $pq$ es par o impar?
Tercero: te recomendaría bastante que practiques utilizando LaTex en tus respuestas.
Si tienes dudas, no vaciles en preguntarme.
$p^{2}-1\equiv-6q\mod pq$, perdón.
Borrarerror de dedo no es y es una Q
ResponderBorrarSupongamos que existe. $(pq)(k)=p^2+pq+6q-1$, entonces $q(pk)=p^2+pq+6q-1$ y q divide a $p^2+pq+6q-1$, además q divide a pq+6q, entonces q divide a la diferencia que es $p^2+pq+6q-1-(pq+6q)=p^2-1=(p-1)(p+1)$. Como q es primo, q|p-1 o q|p+1 entonces $q \le p+1$ pero también $p \lt q$, entonces q=p+1, esto solo es posible si p=2 y q=3. Entonces $pq=(2)(3)=6$ y $p^2+pq+6q-1=2^2+(2)(3)+6(3)-1=27$ pero 6 no divide a 27, contradicción. Por lo tanto no existe.
ResponderBorrarveo que pasa si p es par, es decir, p=2.
ResponderBorrar2q divide 4+2q+6q-1,=> 2q divide a 3, pero como q es mayor a 2, entonces 2q es mayor a 4, enotnces 2q no divide a 3, por lo tanto p y q tienen la misma paridad, es decir ambos son impares.Luego veo que si pq divide a $p^2+pq+6q-1$ => q divide a $p^-1=(p+1)(p-1)$ entonces como p es primo, p+1, o p-1 debe tener un factor q, es decir q=(p+1,p-1) pero como q>p => q=p+1 lo cual es una contradiccion, ya que p y q tienen la misma paridad.entonces queda demostrado que no es posible
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=IMG_0081.jpg
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ResponderBorrar$\text{Como }p|p^2+pq\Rightarrow$
ResponderBorrar$p|p^2+pq+6q-1\Leftrightarrow p|6q-1$
$\Rightarrow p\not| 6q\Rightarrow p\not| 6$
$\Rightarrow p\ne 2,3$
$\text{Luego, como }q|pq+6q\Rightarrow$
$q|p^2+pq+6q-1\Leftrightarrow q|p^2-1$
$\Rightarrow q|(p+1)(p-1)$
$\text{Ahora nos fijamos en que }p<q\Rightarrow p+1\le q,\: p-1<q$
$\Rightarrow q=p+1$
$\Rightarrow\text{p y q son primos a diferencia 1}$
$\Rightarrow\text{la unica posibilidad es } p=2,q=3\text{ CONTRADICCION}$
$p\ne 2,3$
$\therefore\boxed{\text{No existen primos p,q que satisfagan las condiciones del problema.}}$
:)
Borrar(Muy buen manejo de LaTex (y) )
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ResponderBorrarPodemos usar $p^2 + 6q - 1$ , es decir quitar $pq$ porque $pq \mid pq$
ResponderBorrarUtilizamos pariedad y vemos que hay dos casos:
$p = 2 , q = I$ y $p = I , q = I$
$\bullet$ Caso 1:
$2^2 + 6I - 1 = 3 + 6I = I + P = I$
$\Rightarrow$ Tenemos que $pq \mid I$ , sabemos que $pq = 2I = P$. Sabemos que $p$ y $q$ van a dividir a ese Impar, pero sabemos que $2 \nmid I$ .
$\therefore$ El caso 1 no cumple.
$\bullet$ Caso 2: hice el mismo procedimiento que para el caso 1 pero no me sirvió de nada.
Luego me die cuenta de que $q \mid pq$ .
$\Rightarrow q \mid p^2 + 6q - 1$ y como $q \mid 6q$ llego a que $q \mid (p^2 - 1) = (p + 1)(p - 1)$ . Vemos que debe haber un factor $q$ en lo último, es decir que $q = (p + 1)$ o $q = p - 1$ . Y como teníamos que $p < q$ , entonces $q = (p + 1)$ .
$\Rightarrow p$ y $q$ son consecutivos. Por lo tanto uno de ellos será par y el otro impar. Pero en el caso 1 dije que si hay algún par sería $2$ y que no cumpliría.
$\therefore$ No existe ninguna pareja de primos $p$, $q$, con $p < q$, de tal manera que $p^{2}+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$.
Bueno yo dividí la operación en $p$'s y $q$'s donde me salió $p^2+p$+1 y $q+6q$-1, bueno un numero múltiplo de $pq$ tendría que ser $n(pq)$ que pasa a $np$ y $nq$ que significa que tendrán que haber el mismo numero de $p$ como de $q$ y como se ve en el caso $q$ tenemos $q+6q$ que seria igual a 7$q$ entonces q puede ser cualquier numero primo que no sea 2 entonces nos vamos con $p$ y se termina viendo que no hay ni un numero $p$ que se eleve al cuadrado mas $p$ nos da $7p$ y se acaba el problema
ResponderBorrarLuis Javier, te seré sincero. Batallé para poder entender gran parte de lo que aquí nos dices. Por fortuna si lo logré (creo).
ResponderBorrarA que te refieres con "separar en $p$'s y $q$'s" ?
Porqué dices que hay el mismo número de $p$'s que $q$'s ?
El último argumento, con el que "concluyes" no le veo fundamento alguno, aparte de que es falso.
Por favor intenta el problema un poco mas de tiempo, trata de ENTENDERLE, si tienes dudas, no titubees a la hora de decidir preguntar.
Por favor pregunta, para eso estamos.
Te sugiero también hacer un esfuerzo mayor por exhibir de manera clara tu respuesta.
Saludos!
Yo trataba de decir que tenía que haber mismo números de p como de q como 8 veces p y 8 veces q
BorrarY si no pasaba que había mismos números de p y q no seria múltiplo
BorrarMismo número de $p$ y $q$ dónde? .... ¿8 veces?
BorrarEl menor primo que tenemos es $2$, suponiendo que $p=2$ entonces $q$ debera ser impar ya que $2$ es el único primo par. Entonces por paridades vamos a encontrar que $p^2$ sera par, $pq$ sera par y $6q-1$ sera impar; entonces $P+P+I$ sera $I$ y como $pq$ es par, encontramos que $pq$ no divide $p^2+pq+6q-1$ por tener distinta paridad $\therefore$ $p \nmid 2$ por que no cumple
ResponderBorrarAhora tenemos que si $p$ no es par entonces $p$ y $q$ deben ser impares, utilizamos sus paridades y encontramos que:
- $p^2=Impar$ $pq=Impar$ $6q-1=Impar$, entonces vamos a tener que $I+I+I= Impar$ entonces si puede ser dividido por $pq$.
-Trabajaremos con módulos con la propiedad que dice:$a \equiv b$ y $c \equiv d$ entonces $a +c \equiv b + d$, vamos a encontrar que:
$pq|p^2$ $pq|pq$ y pq|6q-1, lo primero que nos percatamos es que $pq$ no puede dividir a $p^2$ por que $p^2$ no tiene ningun factor $q$ entonces no cumple con $p^2+pq+6q-1$.
Ademas tenemos que $pq > p^2$ ya que $p<q$
Por lo tanto no existe una pareja de primos $p, q$ con $p<q$ que cumplan con: $p,q$ múltiplo de $p^2+pq+6q-1$
ResponderBorrarBueno, Paola, que $pq$ no divida a $p^{2}$ no significa que tampoco lo haga con todo $p^{2}+pq+6q-1$. Piensa en este caso: $2$ no divide a $3$ ni a $5$, pero si divide a $3+5=8$.
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ResponderBorrarCorrecto
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ResponderBorrarCorrecto!
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarTenemos que $p<q$ y suponemos que $pq|p^2+pq+6q-1$. Entonces$pq|p^2+6q-1$.
ResponderBorrarLuego nos queda que $p|6q-1$ y $q|p^2-1$. Factorizamos lo que divide q y nos queda $q|(p+1)(p-1)$ por ser diferencia de cuadrados. Al ser $p$ y $q$ primos y que $p<q$ nos damos cuenta de que para que $q|(p+1)(p-1)$ $q=p+1$. Los unicos primos que cumplen con esto son $p=2$ y $q=3$ pero si lo intentamos nos queda que $6|27$ asi que llegamos a una contradiccion. Por lo tanto queda demostrado que no existe una pareja de primos que cumpla.
Correcto
BorrarNos damos cuenta que el numero que se quiere sacar no es primo, ahora en la suma ya esta una multiplicación de “pq”, así que lo que resta de la suma que es “p cuadrada + 6q – 1”, debe tener una relación con “pq” del doble, triple, etc.; también se sabe que “p” no es igual a “q”.
ResponderBorrarSi multiplicas un primo por otro primo, el resultado será impar, porque todos los primos son impares, a excepción del 2.
Cuando elevas “p” al cuadrado, obtienes un numero impar, cuando multiplicas “6q” obtienes un numero par, e “impar + par” te da como resultado un numero impar, pero todavía falta restarle un uno de la formula, y al restarle “1” obtienes un numero par, porque “impar + par – 1 = par”; Ya no sumamos “pq”, por lo dicho anteriormente. Lo que hace que “pq” no tenga ninguna relación con “p cuadrada + 6q – 1” por diferencia de impar y par.
Si usamos el 2, como numero primo, sucede lo mismo: “pq” = par” y “p cuadrada = par”, “6q = par” porque como “q” es mayor a “p”, “q = un primo mayor que obligatoriamente es impar”. Recapitulando la suma: “par + par = par – 1 =impar, lo que lo hace diferente a “pq” que es par.
Por lo tanto, no hay ninguna relación de “pq” con “p cuadrada +6q – 1”.
Tenemos 2 casos en el que p es 2(par) y q cualquier otro primo(impar) sabemos que todo impar por par o al menos por dos va a ser par p↑2 va a ser 4, pq va a ser par, 6q va a ser par y -1 al restarle 1 toda la operacion seria par asi que como los multiplos de pq siempre van a ser pares no cumple.
ResponderBorrarY el otro caso es en el que p y q son impares asi los multiplos de pq van a ser par, impar, par, impar...............
cualquier impar al cuadrado es igual a impar
Realizaremos la operacion
p↑2= impar+ pq, impar por impar simpre va a ser impar, entonces pq= impar, 6q va a ser par y si a eso le restamos 1, el resultado seria impar