¿Cuántos enteros positivos satisfacen las siguientes $3$ condiciones?
a)Todos los digitos de ese numero pertenecen al conjunto $\{1,2,3,4,5\}$
b)El valor absoluto de la diferencia entre cualesquiera $2$ digitos consecutivos de este numero es $1$
c)El numero tiene $2012$ digitos
Aquí dejo el link para ver una presentación de Power Point con mi solución:
ResponderBorrarhttp://www.slideshare.net/diegoastiazaran/ommch-7-septiembre
Bien, pero hay algunos detalles importantes que no explicaste.
BorrarUno que no genera mucho problema es: Por que las cuentas terminan en diagonales de 2 o 3 cuadritos??
El otro que tambien esta sencillo de explicar pero que me parece muy importante es: Por que se va a seguir cumpliendo el patron de 3 a la algo???
En primer lugar, la cantidad de cuadros es:
Borrar$... 2 , 3 , 2 , 3 ....$
Porque es $2$ cuando puede haber un número par ($2$ , $4$) y $3$ cuando puede haber un número imapr ($1$ , $3$ , $5$).
Sabemos que habrá un $P - I - P - I - ...$ porque todos los números seguidos son consecutivos.
Lo otro lo demostruo en otro comentario...
Demostraré que las formulas que tengo cumplen para cualquier número para que al aplicarlas para 2012, asegure que cumplan:
Borrar$\bullet$ Caso $3$:
Hipótesis: Renglón $2n \rightarrow$ Número $3^{n-1}$
Tenemos que en cualquier renglón par hay dos números iguales $n$ . Para el próximo renglón, el número central va a ser la suma de los números del renglón anterior, es decir $2n$ y el número del extremo se va a quedar igual a los números del renglón pasado, es decir $n$ . Entonces el número del próximo renglón (par) va a ser igual a la suma de los números adyacentes a él; $2n + n = 3n$ .
$\therefore$ Los números de un renglón par van a ser igual a $3$ veces el número del renglón par anterior.
$\bullet$ Caso $2$ y $4$ :
Hipótesis: Renglón $2n + 2 \rightarrow$ Número $3^n$
Tenemos que en cualquier renglón par hay tres números, en el centro tendremos $n$ y los de los extremos son dos números consecutivos que suman $n$ ; $(x , y)$ . Los números en el próximo renglón son las suma de $n$ más un número del extremo y $n$ más el otro número, es decir $n + x$ y $n + y$ . En el próximo renglón (par), el número del centro va a ser la suma de los números en el renglón pasado, es decir: $(n + x) + (n + y) = 2n + n = 3n$ .
$\therefore$ El número central de un renglón par van a ser igual a $3$ veces el número central del renglón par anterior.
$\bullet$ Caso $1$ y $5$ :
Hipótesis: Renglón $2n + 3 \rightarrow$ Número $3^n$
Tenemos que en cualquier renglón impar hay tres números, en el centro tendremos $n$ y los de los extremos son dos números consecutivos que suman $n$ ; $(x , y)$ . Los números en el próximo renglón son las suma de $n$ más un número del extremo y $n$ más el otro número, es decir $n + x$ y $n + y$ . En el próximo renglón (impar), el número del centro va a ser la suma de los números en el renglón pasado, es decir: $(n + x) + (n + y) = 2n + n = 3n$ .
$\therefore$ El número central de un renglón impar van a ser igual a $3$ veces el número central del renglón impar anterior.
$2012$ digitos?
ResponderBorrarSi?? jaja xD
Borrarpues podemos ver k 1=5, 2=4 ya que tiene las misma reglas de numeros consecutivos
ResponderBorrarTu argumento es correcto... xD
BorrarCada dos dígitos tienen la misma paridad (porque si de un dígito al siguiente se suma o resta 1, entre dos dígitos separados por uno se hace la operación +2, -2, +0). Vemos dos dígitos pares consecutivos, se pueden hacer las combinaciones 2,2; 2,4; 4,2; 4,4, y considerando también el impar que tiene que ir en cada combinación tenemos las posibiles secuencias de números 232, 212, 234, 432, 434, 454.
ResponderBorrarSupongamos que los números que buscamos empiezan con un par, entonces hay 2 posibilidades (4 y 2) para el primer dígito, sin importar el que escojamos tenemos otras 3 posibilidades para los siguientes dos dígitos (hay tres secuencias que empiezan en 2 y tres que empiezan en 4), va a terminar en 2 o 4 otra vez y van a estar otra vez 3 posibilidades,... hacemos esto 1005 veces (escogimos el primer dígito y luego fuimos de 2 en 2, ya escogimos 1+2(1005)=2011 de los 2012 dígitos del número), para el último dígito hay dos posibilidades (si el penúltimo es 2 son 1 y 3, si es 4 son 3 y 5), entonces hay $(2)(3^{1005})(2)=4(3^{1005})$ formas de hacer un número que cumpla las condiciones y que empieze con un par.
Si hacemos un número que empiece con un impar, son la misma cantidad de formas (se hace lo mismo pero en sentido contrario, del último al primer dígito), entonces hay $2(4(3^{1005}))=8(3^{1005})$ números que satisfacen las condiciones.
Primero nos fijamos en que cada a cada digito le sigue un digito que sea menor o mayor a $1$ por lo que la paridad de los digitos es $IPIP...P$ o $PIPI...I$
ResponderBorrarNos fijamos en que al lado inmediato de $1$ sólo podemos tener un $2$, pues $0$ no pertenece al conjunto dado de posibles digitos, y con $5$ el siguiente o anterior debe ser $4$ pues $6$ no puede ser.
Si empezamos con $1$ tenemos que el siguiente número debe ser $2$ de ahi tenemos 2 posibilidades, que sea $123$ o $121$ y de ahi podemos tener 3 posibles numeros: $1212$, $1234$ $1232$
Si empezamos con $5$ tenemos que el inmediato siguiente debe ser $4$, de ahi tenemos 2 posibilidades: $543$ o $545$, de ahi hay 3 posibilidades: $5432$, $5432$ y $5454$
En general podemos ver en esos casos que sin importar que par tengamos, el siguiente par de digitos tendrá 3 opciones, y volveremos a tener lo mismo tomando ahora nuestro ultimo digito como el primero de la siguiente tercia que empieza en pares, de esta forma, por conveniencia empezaremos con un número par:
Tenemos $2$ posibilidades, 2 o 4, luego tomamos tercias y tenemos tres posibilidades hasta el tercer digito, tomamos el tercero como el primero de la tercia y volvemos a tener 3 posibilidades para los siguientes 2 numeros...tenemos que podemos formar $1005$ parejas y la última tercia terminará en par, por lo cual si termina en 2 tenemos 2 posibilidades para el ultimo numero o si termina en 4 igualmente tendremos 2 posibilidades para el ultimo digito. Por lo cual, tenemos que hay $2 * 3 ^ 1005 * 2 = 4(3^1005)$
Ahora, si empezamos por un número impar, vemos que estos son "reflejados" por cada una de las posibilidades de empezar en par, pues solo bastaria "voltearlos" y cada una de las posibilidades es unica, ya que a lo menos hay dos digitos diferentes, por lo tanto tenemos el doble de posibilidades.
En donde tenemos un total de $8(3^1005)$ números posibles que satisfacen las condiciones planteadas. Q.E.D.
Poquito reborujado pero :)
Borrarprimero veo que numeros pueden estar en seguida del 1,2,3,4,5:
ResponderBorrarPara el 1 se puede: 212
Para el 2 se puede: 321,123,121,323
Para el 3 se puede: 434,232,234,432
Para el 4 se puede: 345,543,343,545
Para el 5 se puede: 454.
luego primero veo cuando el primer digito es impar:
Caso 1: El primer digito es 3.
Si el primer digito es 3 para el segundo digito hay 2 posibilidades, y fijandome en los numeros escritos arriba veo que hay 3 de ellos que empiezan en 2 y hay 3 de ellos que empiezan en 4, entonces para los siguientes dos digitos hay 3 posibiliddes, y como el 4 digito es par para los siguinetes dos digitos tambien hay 3 posibles, y asi sucesivamente hasta llegar al ultimo digito.Por lo cual este caso seria 2(3^1005).
Caso2: el primer digito es 1.
Para el segundo digito solo habra una posibilidad: el 2, para los demas es igual al caso 1 es decir este caso es 3^1005.
Caso 3: el primer digito es 5.
Es facil ver que este caso es igual al caso para cuando el primer digito es 1. Entonces concluyo que si el primer digito es impar habra 2(3^1005)+3^1005+3^1005=4(3^1005).
Si el primer digito es par usando el argumento anterior para cada siguientes dos digitos hay tres posibilidades, pero aqui solo se llega hasta el digito 2011, y me fijo que sin importar si el digito 2011 es 2 o 4 el ultimo digito tendra 2 posibilidades. Entonces para este caso son: 4(3^1005).
Por lo tanto hay 4(3^1005)+4(3^1005)=8(3^1005)
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Vemos que para el primer dígito se tienen $5$ opciones: $(1, 2, 3, 4, 5)$, para los casos en que el primer dígito es: $(2, 3, 4)$, se tienen $2$ opciones, si empieza con: $(1, 5)$ se tiene $1$ opción, entonces tenemos $(3*2)+(2*1)=8$ opciones para los primeros $2$ dígitos.
ResponderBorrarPara el tercero, tenemos que de los $8$ números, $2$ terminan en $(1, 5)$, entonces tenemos $(8-2)2+(2*1)=14$ opciones para los primeros $3$ dígitos.
Para el cuarto, comienza un patrón: de los 14 números, $4$ tienen $1$ opcion para el cuarto dígito, para el quinto dígito, de los números anteriores, $6$ tienen $1$ opcion para el quinto dígito, para el sexto dígito, de los números anteriores, $8$ tienen $1$ opcion para el sexto dígito, de aquí sacamos la fórmula: para el $n-ésimo$ dígito, de los números anteriores, $2(n-2)$ tienen $1$ opción para el $n-ésimo$ dígito, para el dígito $2012$, de los números anteriores, $2(2012-2)=2(2010)=4020$ tienen $1$ opción, solo falta saber cuantos tienen $2$ opciones.
Descubrimos otro patrón:
Para el tercer dígito, tenemos que de los $8$ números, $6$ terminan en $(2, 3, 4)$, entonces tenemos $(8-2)2+(2*1)=14$ opciones para los primeros $3$ dígitos.
Para el cuarto, comienza el patrón: de los $14$ números, $(6+2^{2})$ tienen $2$ opciones para el cuarto dígito, para el quinto dígito, de los números anteriores, $(6+2^{3})$ tienen $2$ opciones para el quinto dígito, para el sexto dígito, de los números anteriores, $6+2^{4}$ tienen $1$ opcion para el sexto dígito, de aquí sacamos la fórmula: para el $n-ésimo$ dígito, de los números anteriores, $6+2^{n-2}$ tienen $1$ opción para el $n-ésimo$ dígito, para el dígito $2012$, de los números anteriores, $6+2^{2010}$ tienen $2$ opciónes $\Rightarrow$ tenemos otros: $2(6+2^{2010})$ números, sumamos los números que tenemos:
$2(6+2^{2010})+4020=12+2^{2011}+4020$
No me queda claro
Borrar*donde aparece: $n-ésimo$ es n-ésimo
ResponderBorrarPrimero nos damos cuenta de que cada 3er numero es par. Si es $2$ el 1ro, tendremos 3 posibilidades para continuar. $12$, $32$ y $34$. Si es $4$ tambien tendremos 3 posibilidades. $54$, $34$ y $32$. Luego lo separamos por casos.
ResponderBorrarEl caso en que empieza con $2$ es igual a cuando empieza con $4$ asi que solo hare 1 y lo multiplicare por 2. Empezamos con alguno de ellos. Luego tenemos 3 combinaciones de 2 numeros que pueden seguir. Terminaremos en $2$ o en $4$ asi que volveremos a tener 3 combinaciones. Como ya habiamos gastado el 1er digito en un $2$ o en un $4$ nos quedan 2011 digitos. $2011/2=1005$ y sobra 1 que tendra 2 opciones porque terminamos en par. Entonces nos queda que por haber podido empezar con los pares, tener 3 combinaciones de 2 1005 veces y tener al final 2 opciones el resultado sera $2*2*3^1005=4*3^1005$
El 2do caso es cuando empezamos con $1$ o $5$ y como son iguales porque despues de ellos solo tenemos 1 opcion para el proximo digito. Llevaremos 2 digitos gastados asi que nos faltan 2010. Como estaremos en un par (4 si empezamos con 5 y 2 si empezamos con 1) tendremos 3 opciones para poner los siguientes 2 digitos y asi sucesivamente 1005 veces. Por eso nos queda que tenemos $3^1005$ pero como solo estamos contando el caso en que empieza en $1$ se multiplica por 2 para contar el del $5$ tambien. Por lo tanto nos queda $2*3^1005$
El 3er y ultimo caso es cuando empieza con $3$. Tenemos 2 opciones. Que el siguiente numero sea $2$ o sea $4$. Despues de eso nos quedan 2010 digitos asi que tenemos 1005 veces 3 opciones para grupos de 2 digitos. Por lo tanto es $2*3^1005$
Si sumamos todo nos queda $4*3^1005+2*3^1005+2*3^1005=8*3^1005$
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=388483554555778&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarlo que dices es correcto
Borrar1era parte
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4597388016970&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
2da parte
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4597394937143&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
Si empieza en par no termina en par... pero bueno el resto si esta bien... supondré que fue error de dedo o de algo ...
Borrar:)
(La nota final me hizo reir mucho jaja xD)
Nos fijamos en que cada tercer digito va a aparecer un par, el cual solo puede ser 2 o 4. Luego, el siguiente par uede ser tambien 2 o 4, independientemente de cual sea el anterior. Si pasa de 2 a 2, tenemos dos posibilidades: 2,1,2 y 2,3,2. Si pasa de 2 a 4 la unica posibilidad es 2,3,4. Si pasa de 4 a 2, la unica posibilidad es 4,3,2. Y si pasa de 4 a 4, tenemos dos posibilidades: 4,3,4 y 4,5,4.
ResponderBorrarLuego, dividimos en dos casos> que empiece con par, o que empiece con impar.
Si empieza con par, para el primer digito tenemos dos posibilidades (que sea 2 o que sea 4). Luego, para los siguientes dos digitos tenemos tres posibilidades (hay tres "series" que empiezan con 2 y tres que empiezan con 4). Luego tendremos un 2 o un 4. Independientemente, para los siguientes dos digitos, tambien tendremos tres posibilidades. Este paso lo podemos ejecutar a lo mas 1005 veces, despues del cual llegaremos al digito 2011. Luego, para el digito 2012 tendremos 2 posibilidades (si el 2011 es 2: 1,3; si el 2011 es 4: 3,5). Luego, tendremos (2)(3^1005)(2)=4(3^1005) numeros que empiezan en par.
Para el segundo caso, solo nos fijamos que son los mismo numeros pero "volteados", por lo tanto tenemos otros 4(3^1005) y en total 8(3^1005).
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000371.jpg
ResponderBorrarprimero me gijo en cuales son las posibles combinaciones de numeros de tres digitos y serian:121,123,232,234,212,345,343,323,321,454,434,432.
ResponderBorrary luego nos fijamos por los numero escritos que cuandop empiezan en par termina en par y lo mismo con el impar, osea seria algo asi como par luego te salteas uno y otr ves par y asi
entonces veamos que pasa si el numero es par
para el primer digito tenemos 2 opciones para el que sigue despues de saltearnos dos tiene tres opciones y asi nos vamos. pero en el ultimo solo tenemos dos opciones porque el penultimo solo puede ser 2 o 4 y cada uno solo tiene dos opciones para el que le sigue por lo tanto para los pares la cantidad de numeros es: $2*2(3^1005)$
y si nos fijamos cuando el primero es impar pasa lo mismo pero es como si empezramos al reves ya que el ultimo empieza en impar entonces la cantidad de numeros que cumplen con las condiciones es :$2*2(3^1005)+2*2(3^1005)=8(3^1005)$
:)
BorrarPero si empieza en par termina en impar porque es una cantidad par de digitos xD
Para empezar se sabe que de un numero a otro, el digito será $1$ mayor, o $1$ menor, y que no puede ir el mismo numero de forma consecutiva, porque no cumple con la regla de la diferencia; también se sabe que según la paridad de los números, a fuerzas ira un impar después de un par, y viceversa.
ResponderBorrarEntonces si empezamos con el 1, tendremos menos posibilidades, que si empezamos con el 3, porque al empezar con el 1, a fuerzas el siguiente numero tendría que ser el 2, pero si empezamos con el 3, podrían estar los números 32 o 34.
Vamos a empezar mejor con el $2$, los números que siguen pueden ser: 21 o 23, después la tercera posición pueden ser: 212, o 232 234, después para el cuarto numero: 2121 2123 o 2321 2323 2343 2345, para el quinto: 21212 21232 21234 o 23212 23232 23234 23432 23434 23454, y hasta ahora nos damos cuenta de un patrón que era obvio, es decir que, como los números van de impar, par, impar, par,etc.
Hay las siguientes combinaciones de 2 números:
$212$ $232$ $234$ $432$ $434$ $454$
Esto quiere decir, que todas estas combinaciones son posibles y por lo tanto, cuando escogemos una, se pueden escoger las demás, también dependiendo en que numero terminen las secuencias, es decir que la que termina en 4, podrían desprenderse las secuencias que terminan en 4, cosa que las secuencias $212$ y $231$, no pueden, lo mismo aplica para la secuencia que empieza en 4 y termina en 2.
Así, como escogemos un numero par cada 2 números, lo hacemos esto $1005$ veces que son apenas la mitad de 2011, pero como son 2012 dígitos, para el digito 2012 hay las posibilidades, de que si el numero 2011 termina en 2, entonces se puede el 1 o 3, si el digito 2011 es el 4 se puede como ultimo digito el 3 o 5.
Si ya teníamos “3 a la 1005”, eso se multiplica por 4, por las ultimas 4 posibilidades para el digito 2012, entonces el resultado es “(3 a la 1005) (4)”
Al usar el numero impar, ocurre exactamente lo mismo de “3 a la 1005”, usando el mismo criterio, así que además de ser el mismo resultado será el doble, porque al empezar con un numero impar, se puede decir que se se empieza de atras para adelante, por lo tanto el resultado es: “(3 a la 1005) (8)”
El 4 segun yo es de 2 opciones del primer digito y 2 opciones del digito 2012 ... el primer digito puede ser 2 o 4 ... el ultimo cada caso tiene 2 opciones 45 43 23 21, pero el 4 y el 2 ya los contaste en tu 3^1005 ... el resto esta bien :)
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM000361.jpg#!oZZ2QQcurrentZZhttp%3A%2F%2Fs739.photobucket.com%2Falbums%2Fxx34%2Fleo0_9506%2FOmmch%2F%3Faction%3Dview%26current%3DCAM000371.jpg
ResponderBorrarLO HABIA PUESTO DESDE ANTES PERO NO SE POR QUE NO SALE