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domingo, 30 de septiembre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)
Demuestre que si p y q son números primos tales que: p2+q2p+q
es un entero, entonces p=q.
Si p=q, p2+q2p+q=2p22p=p que es entero. Supongamos p≠q. Si p2+q2p+q es un entero entonces p+q|p2+q2 ⇒(p+q)k=p2+q2 con k positiva (asumiendo que son primos positivos) ⇒pk+qk=p2+q2 ⇒pk=p2+q2−qk,qk=p2+q2−pk ⇒p|p2+q2−qk,q|p2+q2−pk ⇒p|q2−qk,q|p2−pk ⇒p|q(q−k),q|p(p−k) Como p,q son primos distintos, (p,q)=1 ⇒p|q−k,q|p−k ⇒p≤q−k,q≤p−k ⇒p+q≤q−k+p−k ⇒0≤−2k ⇒2k≤0 Pero eso es una contradicción porque k es positiva. Por lo tanto p=q.
Veo que es obvio que p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2 pero como pq|p2+q2 emntonces p+q|2pq comop y q son primos entonces los divisores de 2pq son: 2,p,q,2p,2q,pq,2pq. Entonces veo cada caso. Me fijo que es absurdo que p+q sea 2,p, o q. Si p+q=2p entonces p=q Si p+q=2q entonces p=q Si p+q=pq entonces p=pq−q=q(p−1) como p es primo y q es distinto de 1 entonces p=q y p−1=1. Si p+q=2pq entonces p=2pq−q=q(2p−1) y analogamente p=q y 2p−1=1. Entonces en todos los casos p=q. Q.E.D.
Si el resultado de la fracción es un entero, entonces: 1≠(p2+q2,p+q)=((p+q)2−2pq,p+q)=(−2pq,p+q)=(2pq,p+q) ⇒p+q∣2pq Vemos que 2 , p y q son primos, ⇒p+q es un divisor de 2pq . Los divisores de 2pq son : 2 , p , q , 2p , 2q , pq y 2pq . Los cuales son los posibles valores de p+q . p+q=2X p+q=pX p+q=qX p+q=2p⇒p=q✓ p+q=2q⇒p=q✓ p+q=pq⇒p=pq−q⇒p=(p,pq−q)=(p,q)⇒p=q✓ p+q=2pq⇒p=2pq−q⇒p=(p,2pq−q)=(p,q)⇒p=q✓ ∴p=q
primero me fijo que p+q/p2+2pq+q2 pero como p+q/q2+p2 entonces p+q/2pq entonces digamos que k(p+q)=2pq=2q+2p entonces como p/2pq entonces p/pk+qk entonces p/qk entonces p/k y pasa analogamente lo mismo con q entonces como k es divisor de 2pq entonces k solo puede ser 2,p,q,pq,2p,2q (no puede ser 2pq porque entonces p+q=1) pero como acavamos de ver que k tiene los factores p,q entonces k=pq entonces p2q+q2p=2pq entonces p+q=1 y savemos que eso no se puede entonces la unnica forma es que p=q entonces 2p/2p2 y savemos que eso es sierto entonces acavamos
tenemos que p2+2pq+q2p+q y tienes que p+q/p2+q2 entonces p+q/2pq y tienes que p+q(x)=2pq entonces y tienes que q y p tienen que dividir a x porque si p/2pq entonces p/px+qx entonces p/qx entonces como p y q son primos entonces p/x y sucede igual con q entonces los posibles valores de x=pq nadamas y por eso tienes que p2q+pq2=2pq y eso no se puede por lo tanto p=Q
:) Nomas una observación. El hecho de a no divida a b y que a no divida a c, no implica que (a,bc)=1. Contrajemplo: a=4,b=6,c=10. En cambio, si (a,b)=1 y (a,c)=1 si es cierto que (a,bc)=1, por eso te lo puse bien.
Sabemos que la fraccion nos dara de resultado un entero. Entonces p+q|p2+q2 Tambien sabemos que p+q|(p+q)2 Entonces p+q|2pq
Nos fijamos en todos los posibles valores de p+q y serian: p. q, 2, 2p, 2q, pq y 2pq.
Notamos que seria muy tonto que p+q=2,p,q ya que en el primer caso p y q serian 1 y 1 no es primo. En los otros 2 implicaria que uno de ellos es 0.
Nos queda p+q=2qo2p Para que esto sea cierto, p=q
Otro de los casos era p+q=pq entonces p=pq−q=q(p−1) Entonces alguno de los primos sera par y el unico primo par es 2. Como 1 no es primo, Entonces q=p=2 para que cumpla. En p+q=2pq lo despejamos y nos queda que p=2pq−q=q(2p−1) Entonces p=q y 2p−1=1
Bueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide a p2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en los caso donde p=q si cumplen que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p logiamente p+q≠q por que tendiran que p tendria que ser igual a 0 y 0 no es primo en los casos donde solo que dan cuando la suma es igual a pq o 2pqcuandoesigualpqtenemosquep+q=pq\rightarrow q=pq-psupongamosquepesparporlotantopqesparentoncestenemosdiferenciasdeparesporlotantoqesparyesosolosepuedesiqesigualp,analogamenteconq,ahorafaltaparaelcasode2pqtenemosquep+q=2pq\rightarrow p=2pq-q\rightarrow q(2p-1)= pysabemosquepyqsonprimosporlotanto2p-1debeseriguala1entoncesp=q$
Bueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide ap2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en el caso donde p=q si cumple que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p ,logicamente p+q≠q por que p tendria que ser igual a 0 ,y el 0 no es primo, ahora solo quedan los casos cuando la suma es igual a pq o 2pq , cuando es igual pq tenemos que p+q=pq entonces q=pq−p supongamos que p es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto q es par y eso solo se puede si q es igual a p, analogamente con q, ahora falta para el caso de 2pq tenemos que p+q=2pq entonces p=2pq−q entonces (2p−1)=p y sabemos que p y q son primos por lo tanto 2p−1 debe ser igual a 1 entonces p=q
tenemos esto p+q=pq si p es impar entonces hay dos casos cuando q es par y cuando es impar. cuando es par tenemos impar+par=(impar)(par), sabemos que la suma seria impar y la multiplicacion seria par lo cual no se puede y cuando q es impar tenemos que impar+impar=impar(impar) lo cual tendriamos que par=impar lo cual tampoco se puede
Se nos da que: p+q|p2+q2 Se sabe que: p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2 Entonces p+q divide la diferencia: p+q|2pq Por ser p,q primos, los divisores (que también son los posibles valores de p+q) son: 2,p,q,2p,2q,pq,2pq Si la menor suma de primos diferentes es: 2+3=5 entonces p+q=2 queda descartado. Si p+q=q o p+q=p alguno termina siendo 0, lo cual no es primo, por lo que quedan descartados. Si p+q=2p⇒p=q Si p+q=2q⇒p=q Si p+q=pq⇒p=pq−q=q(p−1) debido a que p,q son primos, tendríamos que p−1=1⇒p=q Si p+q=2pq⇒p=2pq−q=q(2p−1) análogamente al caso anterior: 2p−1=1⇒2p=2⇒p=1 lo cual no es cierto, pues 1 no es primo. Tenemos que todos los casos son contradicciones o acaban en p=q por lo tanto es cierto. Q.E.D.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559693748164&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559590414841&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
Si p=q, p2+q2p+q=2p22p=p que es entero.
ResponderBorrarSupongamos p≠q.
Si p2+q2p+q es un entero entonces
p+q|p2+q2
⇒(p+q)k=p2+q2 con k positiva (asumiendo que son primos positivos)
⇒pk+qk=p2+q2
⇒pk=p2+q2−qk,qk=p2+q2−pk
⇒p|p2+q2−qk,q|p2+q2−pk
⇒p|q2−qk,q|p2−pk
⇒p|q(q−k),q|p(p−k)
Como p,q son primos distintos, (p,q)=1
⇒p|q−k,q|p−k
⇒p≤q−k,q≤p−k
⇒p+q≤q−k+p−k
⇒0≤−2k
⇒2k≤0
Pero eso es una contradicción porque k es positiva.
Por lo tanto p=q.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001161.jpg
ResponderBorrarCuando dices p+q|2 o p+q|pq, hay que recalcar que eso se puede porque 2,p,q son primos. De todos modos tienes tu
Borrar:)
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarVeo que es obvio que p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2 pero como pq|p2+q2 emntonces p+q|2pq comop y q son primos entonces los divisores de 2pq son: 2,p,q,2p,2q,pq,2pq.
ResponderBorrarEntonces veo cada caso.
Me fijo que es absurdo que p+q sea 2,p, o q.
Si p+q=2p entonces p=q
Si p+q=2q entonces p=q
Si p+q=pq entonces p=pq−q=q(p−1) como p es primo y q es distinto de 1 entonces p=q y p−1=1.
Si p+q=2pq entonces p=2pq−q=q(2p−1) y analogamente p=q y 2p−1=1.
Entonces en todos los casos p=q. Q.E.D.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Borraruna disculpa donde puse al principio pq|p2+q2 en realidad debe ser p+q|p2+q2
BorrarSi el resultado de la fracción es un entero, entonces:
ResponderBorrar1≠(p2+q2,p+q)=((p+q)2−2pq,p+q)=(−2pq,p+q)=(2pq,p+q)
⇒p+q∣2pq
Vemos que 2 , p y q son primos, ⇒p+q es un divisor de 2pq .
Los divisores de 2pq son : 2 , p , q , 2p , 2q , pq y 2pq . Los cuales son los posibles valores de p+q .
p+q=2X
p+q=pX
p+q=qX
p+q=2p⇒p=q✓
p+q=2q⇒p=q✓
p+q=pq⇒p=pq−q⇒p=(p,pq−q)=(p,q)⇒p=q✓
p+q=2pq⇒p=2pq−q⇒p=(p,2pq−q)=(p,q)⇒p=q✓
∴p=q
El hecho de que dos números no sean primos relativos, no quiere decir que uno divide al otro. Ejemplo:
Borrar(6,4)=2 pero ni 6|4 ni 4|6
Donde puse eso?
BorrarEn tu primer renglon usas eso
BorrarObviamente p+q∣(p+q)2 .
BorrarSabemos que (p+q)2=p2+q2+2pq .
Sabemos que p+q∣p2+q2
⇒p+q∣2pq
Sabemos que
ResponderBorrarp+q|(p+q)2=p2+2pq+q2
Por lo tanto p+q|p2+q2⇔p+q|2pq
Si p=q⇒p2+q2p+q=2p22p=p
Supongamos que p≠q
⇒(p,q)=1 ⇒(p+q,p)=1,(p+q,q)=1⇒(p+q,pq)=1
⇒p+q|2\textsccontradiccionp+q≥5(2,3)
∴p=q
primero me fijo que p+q/p2+2pq+q2 pero como p+q/q2+p2 entonces p+q/2pq entonces digamos que k(p+q)=2pq=2q+2p entonces como p/2pq entonces p/pk+qk entonces p/qk entonces p/k y pasa analogamente lo mismo con q entonces como k es divisor de 2pq entonces k solo puede ser 2,p,q,pq,2p,2q (no puede ser 2pq porque entonces p+q=1) pero como acavamos de ver que k tiene los factores p,q entonces k=pq entonces p2q+q2p=2pq entonces p+q=1 y savemos que eso no se puede entonces la unnica forma es que p=q entonces 2p/2p2 y savemos que eso es sierto entonces acavamos
ResponderBorrar:)
BorrarNomas cuidado donde pusiste 2pq=2q+2p, deberia ser 2pq=kq+kp, y luego tambien p2q+q2p=2pq implica que p+q=2
tenemos que p2+2pq+q2p+q y tienes que p+q/p2+q2 entonces p+q/2pq y tienes que p+q(x)=2pq entonces y tienes que q y p tienen que dividir a x porque si p/2pq entonces p/px+qx entonces p/qx entonces como p y q son primos entonces p/x y sucede igual con q entonces los posibles valores de x=pq nadamas y por eso tienes que p2q+pq2=2pq y eso no se puede por lo tanto p=Q
ResponderBorrarTe falta decir porque x no puede ser 2pq, arregla eso y te pongo tu carita feliz
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrar:)
BorrarNomas una observación. El hecho de a no divida a b y que a no divida a c, no implica que (a,bc)=1. Contrajemplo: a=4,b=6,c=10. En cambio, si (a,b)=1 y (a,c)=1 si es cierto que (a,bc)=1, por eso te lo puse bien.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4697122870279&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarSabemos que la fraccion nos dara de resultado un entero. Entonces p+q|p2+q2
ResponderBorrarTambien sabemos que p+q|(p+q)2
Entonces p+q|2pq
Nos fijamos en todos los posibles valores de p+q y serian: p. q, 2, 2p, 2q, pq y 2pq.
Notamos que seria muy tonto que p+q=2,p,q ya que en el primer caso p y q serian 1 y 1 no es primo. En los otros 2 implicaria que uno de ellos es 0.
Nos queda p+q=2qo2p Para que esto sea cierto, p=q
Otro de los casos era p+q=pq entonces p=pq−q=q(p−1)
Entonces alguno de los primos sera par y el unico primo par es 2. Como 1 no es primo, Entonces q=p=2 para que cumpla.
En p+q=2pq lo despejamos y nos queda que p=2pq−q=q(2p−1) Entonces p=q y 2p−1=1
Por lo tanto p=q
Bueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide a p2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en los caso donde p=q si cumplen que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p logiamente p+q≠q por que tendiran que p tendria que ser igual a 0 y 0 no es primo en los casos donde solo que dan cuando la suma es igual a pq o 2pqcuandoesigualpqtenemosquep+q=pq\rightarrow q=pq-psupongamosquepesparporlotantopqesparentoncestenemosdiferenciasdeparesporlotantoqesparyesosolosepuedesiqesigualp,analogamenteconq,ahorafaltaparaelcasode2pqtenemosquep+q=2pq\rightarrow p=2pq-q\rightarrow q(2p-1)= pysabemosquepyqsonprimosporlotanto2p-1debeseriguala1entoncesp=q$
ResponderBorrarEsto es horriblemente dificil de leer, aunque por lo poco que entiendo esta bien. Acomodalo.
Borrarok
BorrarBueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide ap2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en el caso donde p=q si cumple que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p ,logicamente p+q≠q por que p tendria que ser igual a 0 ,y el 0 no es primo, ahora solo quedan los casos cuando la suma es igual a pq o 2pq , cuando es igual pq tenemos que p+q=pq entonces q=pq−p supongamos que p es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto q es par y eso solo se puede si q es igual a p, analogamente con q, ahora falta para el caso de 2pq tenemos que p+q=2pq entonces p=2pq−q entonces (2p−1)=p y sabemos que p y q son primos por lo tanto 2p−1 debe ser igual a 1 entonces p=q
BorrarY si p no es par en el caso de q=pq−p ?
Borrartenemos esto p+q=pq si p es impar entonces hay dos casos cuando q es par y cuando es impar. cuando es par tenemos impar+par=(impar)(par), sabemos que la suma seria impar y la multiplicacion seria par lo cual no se puede y cuando q es impar tenemos que impar+impar=impar(impar) lo cual tendriamos que par=impar lo cual tampoco se puede
BorrarSe nos da que:
ResponderBorrarp+q|p2+q2
Se sabe que:
p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2
Entonces p+q divide la diferencia:
p+q|2pq
Por ser p,q primos, los divisores (que también son los posibles valores de p+q) son:
2,p,q,2p,2q,pq,2pq
Si la menor suma de primos diferentes es: 2+3=5 entonces p+q=2 queda descartado.
Si p+q=q o p+q=p alguno termina siendo 0, lo cual no es primo, por lo que quedan descartados.
Si p+q=2p⇒p=q
Si p+q=2q⇒p=q
Si p+q=pq⇒p=pq−q=q(p−1) debido a que p,q son primos, tendríamos que p−1=1⇒p=q
Si p+q=2pq⇒p=2pq−q=q(2p−1) análogamente al caso anterior: 2p−1=1⇒2p=2⇒p=1 lo cual no es cierto, pues 1 no es primo.
Tenemos que todos los casos son contradicciones o acaban en p=q por lo tanto es cierto. Q.E.D.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559693748164&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559590414841&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrarNo me queda claro para nada como es que la agrupacion que haces implica que p=q
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