Processing math: 100%

domingo, 30 de septiembre de 2012

Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)

Demuestre que si p y q son números primos tales que:
p2+q2p+q

es un entero, entonces p=q.

30 comentarios:

  1. Si p=q, p2+q2p+q=2p22p=p que es entero.
    Supongamos pq.
    Si p2+q2p+q es un entero entonces
    p+q|p2+q2
    (p+q)k=p2+q2 con k positiva (asumiendo que son primos positivos)
    pk+qk=p2+q2
    pk=p2+q2qk,qk=p2+q2pk
    p|p2+q2qk,q|p2+q2pk
    p|q2qk,q|p2pk
    p|q(qk),q|p(pk)
    Como p,q son primos distintos, (p,q)=1
    p|qk,q|pk
    pqk,qpk
    p+qqk+pk
    02k
    2k0
    Pero eso es una contradicción porque k es positiva.
    Por lo tanto p=q.

    ResponderBorrar
  2. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001161.jpg

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. Cuando dices p+q|2 o p+q|pq, hay que recalcar que eso se puede porque 2,p,q son primos. De todos modos tienes tu
      :)

      Borrar
  3. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderBorrar
  4. Veo que es obvio que p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2 pero como pq|p2+q2 emntonces p+q|2pq comop y q son primos entonces los divisores de 2pq son: 2,p,q,2p,2q,pq,2pq.
    Entonces veo cada caso.
    Me fijo que es absurdo que p+q sea 2,p, o q.
    Si p+q=2p entonces p=q
    Si p+q=2q entonces p=q
    Si p+q=pq entonces p=pqq=q(p1) como p es primo y q es distinto de 1 entonces p=q y p1=1.
    Si p+q=2pq entonces p=2pqq=q(2p1) y analogamente p=q y 2p1=1.
    Entonces en todos los casos p=q. Q.E.D.

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

      Borrar
    2. una disculpa donde puse al principio pq|p2+q2 en realidad debe ser p+q|p2+q2

      Borrar
  5. Si el resultado de la fracción es un entero, entonces:
    1(p2+q2,p+q)=((p+q)22pq,p+q)=(2pq,p+q)=(2pq,p+q)
    p+q2pq
    Vemos que 2 , p y q son primos, p+q es un divisor de 2pq .
    Los divisores de 2pq son : 2 , p , q , 2p , 2q , pq y 2pq . Los cuales son los posibles valores de p+q .
    p+q=2X
    p+q=pX
    p+q=qX
    p+q=2pp=q
    p+q=2qp=q
    p+q=pqp=pqqp=(p,pqq)=(p,q)p=q
    p+q=2pqp=2pqqp=(p,2pqq)=(p,q)p=q
    p=q

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. El hecho de que dos números no sean primos relativos, no quiere decir que uno divide al otro. Ejemplo:
      (6,4)=2 pero ni 6|4 ni 4|6

      Borrar
    2. Obviamente p+q(p+q)2 .
      Sabemos que (p+q)2=p2+q2+2pq .
      Sabemos que p+qp2+q2
      p+q2pq

      Borrar
  6. Sabemos que
    p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2
    Por lo tanto p+q|p2+q2p+q|2pq

    Si p=qp2+q2p+q=2p22p=p

    Supongamos que pq
    (p,q)=1 (p+q,p)=1,(p+q,q)=1(p+q,pq)=1
    p+q|2\textsccontradiccionp+q5(2,3)

    p=q

    ResponderBorrar
  7. primero me fijo que p+q/p2+2pq+q2 pero como p+q/q2+p2 entonces p+q/2pq entonces digamos que k(p+q)=2pq=2q+2p entonces como p/2pq entonces p/pk+qk entonces p/qk entonces p/k y pasa analogamente lo mismo con q entonces como k es divisor de 2pq entonces k solo puede ser 2,p,q,pq,2p,2q (no puede ser 2pq porque entonces p+q=1) pero como acavamos de ver que k tiene los factores p,q entonces k=pq entonces p2q+q2p=2pq entonces p+q=1 y savemos que eso no se puede entonces la unnica forma es que p=q entonces 2p/2p2 y savemos que eso es sierto entonces acavamos

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. :)
      Nomas cuidado donde pusiste 2pq=2q+2p, deberia ser 2pq=kq+kp, y luego tambien p2q+q2p=2pq implica que p+q=2

      Borrar
  8. tenemos que p2+2pq+q2p+q y tienes que p+q/p2+q2 entonces p+q/2pq y tienes que p+q(x)=2pq entonces y tienes que q y p tienen que dividir a x porque si p/2pq entonces p/px+qx entonces p/qx entonces como p y q son primos entonces p/x y sucede igual con q entonces los posibles valores de x=pq nadamas y por eso tienes que p2q+pq2=2pq y eso no se puede por lo tanto p=Q

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. Te falta decir porque x no puede ser 2pq, arregla eso y te pongo tu carita feliz

      Borrar
  9. Respuestas
    1. :)
      Nomas una observación. El hecho de a no divida a b y que a no divida a c, no implica que (a,bc)=1. Contrajemplo: a=4,b=6,c=10. En cambio, si (a,b)=1 y (a,c)=1 si es cierto que (a,bc)=1, por eso te lo puse bien.

      Borrar
  10. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4697122870279&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater

    ResponderBorrar
  11. Sabemos que la fraccion nos dara de resultado un entero. Entonces p+q|p2+q2
    Tambien sabemos que p+q|(p+q)2
    Entonces p+q|2pq

    Nos fijamos en todos los posibles valores de p+q y serian: p. q, 2, 2p, 2q, pq y 2pq.

    Notamos que seria muy tonto que p+q=2,p,q ya que en el primer caso p y q serian 1 y 1 no es primo. En los otros 2 implicaria que uno de ellos es 0.

    Nos queda p+q=2qo2p Para que esto sea cierto, p=q

    Otro de los casos era p+q=pq entonces p=pqq=q(p1)
    Entonces alguno de los primos sera par y el unico primo par es 2. Como 1 no es primo, Entonces q=p=2 para que cumpla.
    En p+q=2pq lo despejamos y nos queda que p=2pqq=q(2p1) Entonces p=q y 2p1=1

    Por lo tanto p=q

    ResponderBorrar
  12. Bueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide a p2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en los caso donde p=q si cumplen que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p logiamente p+qq por que tendiran que p tendria que ser igual a 0 y 0 no es primo en los casos donde solo que dan cuando la suma es igual a pq o 2pqcuandoesigualpqtenemosquep+q=pq\rightarrow q=pq-psupongamosquepesparporlotantopqesparentoncestenemosdiferenciasdeparesporlotantoqesparyesosolosepuedesiqesigualp,analogamenteconq,ahorafaltaparaelcasode2pqtenemosquep+q=2pq\rightarrow p=2pq-q\rightarrow q(2p-1)= pysabemosquepyqsonprimosporlotanto2p-1debeseriguala1entoncesp=q$

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. Esto es horriblemente dificil de leer, aunque por lo poco que entiendo esta bien. Acomodalo.

      Borrar
    2. Bueno sabemos esto p2+q2p+q y me fijo que p+q divide a (p+q)2 y ya que divide ap2+q2 tambien divide a 2pq entonces existen varios caso en el caso donde p=q si cumple que serian cuando p+q=2q o cuendo es igual a 2p ,logicamente p+qq por que p tendria que ser igual a 0 ,y el 0 no es primo, ahora solo quedan los casos cuando la suma es igual a pq o 2pq , cuando es igual pq tenemos que p+q=pq entonces q=pqp supongamos que p es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto q es par y eso solo se puede si q es igual a p, analogamente con q, ahora falta para el caso de 2pq tenemos que p+q=2pq entonces p=2pqq entonces (2p1)=p y sabemos que p y q son primos por lo tanto 2p1 debe ser igual a 1 entonces p=q

      Borrar
    3. Y si p no es par en el caso de q=pqp ?

      Borrar
    4. tenemos esto p+q=pq si p es impar entonces hay dos casos cuando q es par y cuando es impar. cuando es par tenemos impar+par=(impar)(par), sabemos que la suma seria impar y la multiplicacion seria par lo cual no se puede y cuando q es impar tenemos que impar+impar=impar(impar) lo cual tendriamos que par=impar lo cual tampoco se puede

      Borrar
  13. Se nos da que:
    p+q|p2+q2
    Se sabe que:
    p+q|(p+q)2=p2+2pq+q2
    Entonces p+q divide la diferencia:
    p+q|2pq
    Por ser p,q primos, los divisores (que también son los posibles valores de p+q) son:
    2,p,q,2p,2q,pq,2pq
    Si la menor suma de primos diferentes es: 2+3=5 entonces p+q=2 queda descartado.
    Si p+q=q o p+q=p alguno termina siendo 0, lo cual no es primo, por lo que quedan descartados.
    Si p+q=2pp=q
    Si p+q=2qp=q
    Si p+q=pqp=pqq=q(p1) debido a que p,q son primos, tendríamos que p1=1p=q
    Si p+q=2pqp=2pqq=q(2p1) análogamente al caso anterior: 2p1=12p=2p=1 lo cual no es cierto, pues 1 no es primo.
    Tenemos que todos los casos son contradicciones o acaban en p=q por lo tanto es cierto. Q.E.D.

    ResponderBorrar
  14. http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559693748164&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559590414841&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. No me queda claro para nada como es que la agrupacion que haces implica que p=q

      Borrar