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domingo, 30 de septiembre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)
Demuestre que si $p$ y $q$ son números primos tales que:
\[ \frac{p^2+q^2}{p+q}\]
es un entero, entonces $p=q$.
Si $p=q$, $\frac{p^2+q^2}{p+q}=\frac{2p^2}{2p}=p$ que es entero. Supongamos $p\not= q$. Si $\frac{p^2+q^2}{p+q}$ es un entero entonces $p+q|p^2+q^2$ $\Rightarrow (p+q)k=p^2+q^2$ con $k$ positiva (asumiendo que son primos positivos) $\Rightarrow pk+qk=p^2+q^2$ $\Rightarrow pk=p^2+q^2-qk, qk=p^2+q^2-pk$ $\Rightarrow p|p^2+q^2-qk, q|p^2+q^2-pk$ $\Rightarrow p|q^2-qk, q|p^2-pk$ $\Rightarrow p|q(q-k), q|p(p-k)$ Como $p,q$ son primos distintos, $(p,q)=1$ $\Rightarrow p|q-k, q|p-k$ $\Rightarrow p\le q-k, q\le p-k$ $\Rightarrow p+q\le q-k+p-k$ $\Rightarrow 0\le -2k$ $\Rightarrow 2k\le 0$ Pero eso es una contradicción porque $k$ es positiva. Por lo tanto $p=q$.
Veo que es obvio que $p+q|(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ pero como $pq|p^2+q^2$ emntonces $p+q|2pq$ como$p$ y $q$ son primos entonces los divisores de $2pq$ son: $2,p,q,2p,2q,pq,2pq$. Entonces veo cada caso. Me fijo que es absurdo que $p+q$ sea $2,p,$ o $q$. Si $p+q=2p$ entonces $p=q$ Si $p+q=2q$ entonces $p=q$ Si $p+q=pq$ entonces $p=pq-q=q(p-1)$ como $p$ es primo y $q$ es distinto de $1$ entonces $p=q$ y $p-1=1$. Si $p+q=2pq$ entonces $p=2pq-q=q(2p-1)$ y analogamente $p=q$ y $2p-1=1$. Entonces en todos los casos $p=q$. Q.E.D.
Si el resultado de la fracción es un entero, entonces: $1 \neq (p^2+q^2,p+q) = ((p+q)^2-2pq,p+q) = (-2pq,p+q) = (2pq,p+q)$ $\Rightarrow p+q \mid 2pq$ Vemos que $2$ , $p$ y $q$ son primos, $\Rightarrow p+q$ es un divisor de $2pq$ . Los divisores de $2pq$ son : $2$ , $p$ , $q$ , $2p$ , $2q$ , $pq$ y $2pq$ . Los cuales son los posibles valores de $p+q$ . $p+q=2\quad\color{red}X$ $p+q=p\quad\color{red}X$ $p+q=q\quad\color{red}X$ $p+q=2p\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$ $p+q=2q\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$ $p+q=pq\Rightarrow p=pq-q\Rightarrow p=(p,pq-q)=(p,q)\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$ $p+q=2pq\Rightarrow p=2pq-q\Rightarrow p=(p,2pq-q)=(p,q)\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$ $\therefore p=q$
primero me fijo que $p+q/p^2+2pq+q^2$ pero como $p+q/q^2+p^2$ entonces $p+q/2pq$ entonces digamos que $k(p+q)=2pq=2q+2p$ entonces como $p/2pq$ entonces $p/pk+qk$ entonces $p/qk$ entonces $p/k$ y pasa analogamente lo mismo con $q$ entonces como $k$ es divisor de $2pq$ entonces $k$ solo puede ser $2,p,q,pq,2p,2q$ (no puede ser $2pq$ porque entonces $p+q=1$) pero como acavamos de ver que $k$ tiene los factores $p,q$ entonces $k=pq$ entonces $p^2q+q^2p=2pq$ entonces $p+q=1$ y savemos que eso no se puede entonces la unnica forma es que $p=q$ entonces $2p/2p^2$ y savemos que eso es sierto entonces acavamos
tenemos que $\frac{p^2+2pq+q^2}{p+q}$ y tienes que $p+q/p^2+q^2$ entonces $p+q/2pq$ y tienes que $p+q(x)=2pq$ entonces y tienes que $q$ y $p$ tienen que dividir a $x$ porque si $p/2pq$ entonces $p/px+qx$ entonces $p/qx$ entonces como $p$ y $q$ son primos entonces $p/x$ y sucede igual con $q$ entonces los posibles valores de $x=pq$ nadamas y por eso tienes que $p^2q+pq^2=2pq$ y eso no se puede por lo tanto $p=Q$
:) Nomas una observación. El hecho de $a$ no divida a $b$ y que $a$ no divida a $c$, no implica que $(a,bc)=1$. Contrajemplo: $a=4,b=6,c=10$. En cambio, si $(a,b)=1$ y $(a,c)=1$ si es cierto que $(a,bc)=1$, por eso te lo puse bien.
Sabemos que la fraccion nos dara de resultado un entero. Entonces $p+q|p^2+q^2$ Tambien sabemos que $p+q|(p+q)^2$ Entonces $p+q|2pq$
Nos fijamos en todos los posibles valores de $p+q$ y serian: $p$. $q$, $2$, $2p$, $2q$, $pq$ y $2pq$.
Notamos que seria muy tonto que $p+q=2,p,q$ ya que en el primer caso p y q serian 1 y 1 no es primo. En los otros 2 implicaria que uno de ellos es 0.
Nos queda $p+q=2q o 2p$ Para que esto sea cierto, $p=q$
Otro de los casos era $p+q=pq$ entonces $p=pq-q=q(p-1)$ Entonces alguno de los primos sera par y el unico primo par es 2. Como 1 no es primo, Entonces $q=p=2$ para que cumpla. En $p+q=2pq$ lo despejamos y nos queda que $p=2pq-q=q(2p-1)$ Entonces $p=q$ y $2p-1=1$
Bueno sabemos esto $\frac{p^{2}+q^{2}}{p+q}$ y me fijo que $p+q$ divide a $\left ( p+q \right)^{2}$ y ya que divide a $p^{2}+q^{2}$ tambien divide a $2pq$ entonces existen varios caso en los caso donde $p=q$ si cumplen que serian cuando $p+q=2q$ o cuendo es igual a $2p$ logiamente $p+q\neq q $ por que tendiran que $p$ tendria que ser igual a $0$ y 0 no es primo en los casos donde solo que dan cuando la suma es igual a $pq$ o $2pq cuando es igual pq tenemos que $p+q=pq\rightarrow q=pq-p$ supongamos que p es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto q es par y eso solo se puede si q es igual p, analogamente con q, ahora falta para el caso de 2pq tenemos que $p+q=2pq\rightarrow p=2pq-q\rightarrow q(2p-1)= p$ y sabemos que p y q son primos por lo tanto $2p-1$ debe ser igual a 1 entonces $p=q$
Bueno sabemos esto $\frac{p^{2 }+q^{2}}{p+q}$ y me fijo que $p+q$ divide a $(p+q)^{2}$ y ya que divide a$p^{2}+q^{2}$ tambien divide a $2pq$ entonces existen varios caso en el caso donde $p=q$ si cumple que serian cuando $p+q=2q$ o cuendo es igual a $2p$ ,logicamente $p+q\neq q$ por que $p$ tendria que ser igual a $0$ ,y el $0$ no es primo, ahora solo quedan los casos cuando la suma es igual a $pq$ o $2pq$ , cuando es igual $pq$ tenemos que $p+q=pq$ entonces $q=pq-p$ supongamos que $p$ es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto $q$ es par y eso solo se puede si $q$ es igual a $p$, analogamente con $q$, ahora falta para el caso de $2pq$ tenemos que $p+q=2pq$ entonces $p=2pq-q$ entonces $(2p-1)=p$ y sabemos que $p$ y $q$ son primos por lo tanto $2p-1$ debe ser igual a $1$ entonces $p=q$
tenemos esto $p+q=pq$ si p es impar entonces hay dos casos cuando q es par y cuando es impar. cuando es par tenemos impar+par=(impar)(par), sabemos que la suma seria impar y la multiplicacion seria par lo cual no se puede y cuando q es impar tenemos que impar+impar=impar(impar) lo cual tendriamos que par=impar lo cual tampoco se puede
Se nos da que: $p+q|p^{2}+q^{2}$ Se sabe que: $p+q|(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$ Entonces $p+q$ divide la diferencia: $p+q|2pq$ Por ser $p, q$ primos, los divisores (que también son los posibles valores de $p+q$) son: $2, p, q, 2p, 2q, pq, 2pq$ Si la menor suma de primos diferentes es: $2+3=5$ entonces $p+q=2$ queda descartado. Si $p+q=q$ o $p+q=p$ alguno termina siendo 0, lo cual no es primo, por lo que quedan descartados. Si $p+q=2p\Rightarrow p=q$ Si $p+q=2q\Rightarrow p=q$ Si $p+q=pq\Rightarrow p=pq-q=q(p-1)$ debido a que $p, q$ son primos, tendríamos que $p-1=1\Rightarrow p=q$ Si $p+q=2pq\Rightarrow p=2pq-q=q(2p-1)$ análogamente al caso anterior: $2p-1=1\Rightarrow 2p=2\Rightarrow p=1$ lo cual no es cierto, pues 1 no es primo. Tenemos que todos los casos son contradicciones o acaban en $p=q$ por lo tanto es cierto. Q.E.D.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559693748164&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559590414841&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
Si $p=q$, $\frac{p^2+q^2}{p+q}=\frac{2p^2}{2p}=p$ que es entero.
ResponderBorrarSupongamos $p\not= q$.
Si $\frac{p^2+q^2}{p+q}$ es un entero entonces
$p+q|p^2+q^2$
$\Rightarrow (p+q)k=p^2+q^2$ con $k$ positiva (asumiendo que son primos positivos)
$\Rightarrow pk+qk=p^2+q^2$
$\Rightarrow pk=p^2+q^2-qk, qk=p^2+q^2-pk$
$\Rightarrow p|p^2+q^2-qk, q|p^2+q^2-pk$
$\Rightarrow p|q^2-qk, q|p^2-pk$
$\Rightarrow p|q(q-k), q|p(p-k)$
Como $p,q$ son primos distintos, $(p,q)=1$
$\Rightarrow p|q-k, q|p-k$
$\Rightarrow p\le q-k, q\le p-k$
$\Rightarrow p+q\le q-k+p-k$
$\Rightarrow 0\le -2k$
$\Rightarrow 2k\le 0$
Pero eso es una contradicción porque $k$ es positiva.
Por lo tanto $p=q$.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001161.jpg
ResponderBorrarCuando dices $p+q|2$ o $p+q|pq$, hay que recalcar que eso se puede porque 2,p,q son primos. De todos modos tienes tu
Borrar:)
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ResponderBorrarVeo que es obvio que $p+q|(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ pero como $pq|p^2+q^2$ emntonces $p+q|2pq$ como$p$ y $q$ son primos entonces los divisores de $2pq$ son: $2,p,q,2p,2q,pq,2pq$.
ResponderBorrarEntonces veo cada caso.
Me fijo que es absurdo que $p+q$ sea $2,p,$ o $q$.
Si $p+q=2p$ entonces $p=q$
Si $p+q=2q$ entonces $p=q$
Si $p+q=pq$ entonces $p=pq-q=q(p-1)$ como $p$ es primo y $q$ es distinto de $1$ entonces $p=q$ y $p-1=1$.
Si $p+q=2pq$ entonces $p=2pq-q=q(2p-1)$ y analogamente $p=q$ y $2p-1=1$.
Entonces en todos los casos $p=q$. Q.E.D.
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Borraruna disculpa donde puse al principio $pq|p^2+q^2$ en realidad debe ser $p+q|p^2+q^2$
BorrarSi el resultado de la fracción es un entero, entonces:
ResponderBorrar$1 \neq (p^2+q^2,p+q) = ((p+q)^2-2pq,p+q) = (-2pq,p+q) = (2pq,p+q)$
$\Rightarrow p+q \mid 2pq$
Vemos que $2$ , $p$ y $q$ son primos, $\Rightarrow p+q$ es un divisor de $2pq$ .
Los divisores de $2pq$ son : $2$ , $p$ , $q$ , $2p$ , $2q$ , $pq$ y $2pq$ . Los cuales son los posibles valores de $p+q$ .
$p+q=2\quad\color{red}X$
$p+q=p\quad\color{red}X$
$p+q=q\quad\color{red}X$
$p+q=2p\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$
$p+q=2q\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$
$p+q=pq\Rightarrow p=pq-q\Rightarrow p=(p,pq-q)=(p,q)\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$
$p+q=2pq\Rightarrow p=2pq-q\Rightarrow p=(p,2pq-q)=(p,q)\Rightarrow p=q \quad\color{red}\checkmark$
$\therefore p=q$
El hecho de que dos números no sean primos relativos, no quiere decir que uno divide al otro. Ejemplo:
Borrar$(6,4)=2$ pero ni $6|4$ ni $4|6$
Donde puse eso?
BorrarEn tu primer renglon usas eso
BorrarObviamente $p+q \mid (p+q)^2$ .
BorrarSabemos que $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ .
Sabemos que $p+q \mid p^2+q^2$
$\Rightarrow p+q \mid 2pq$
$\text{Sabemos que}$
ResponderBorrar$p+q|(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$
$\text{Por lo tanto }p+q|p^2+q^2\Leftrightarrow p+q|2pq$
$\text{Si }p=q\Rightarrow \frac{p^2+q^2}{p+q}=\frac{2p^2}{2p}=p$
$\text{Supongamos que }p\ne q$
$\Rightarrow (p,q)=1$ $\Rightarrow (p+q,p)=1,(p+q,q)=1\Rightarrow (p+q,pq)=1$
$\Rightarrow p+q|2 \textsc{ contradiccion }p+q\ge 5\; (2,3)$
$\therefore\boxed{p=q}$
primero me fijo que $p+q/p^2+2pq+q^2$ pero como $p+q/q^2+p^2$ entonces $p+q/2pq$ entonces digamos que $k(p+q)=2pq=2q+2p$ entonces como $p/2pq$ entonces $p/pk+qk$ entonces $p/qk$ entonces $p/k$ y pasa analogamente lo mismo con $q$ entonces como $k$ es divisor de $2pq$ entonces $k$ solo puede ser $2,p,q,pq,2p,2q$ (no puede ser $2pq$ porque entonces $p+q=1$) pero como acavamos de ver que $k$ tiene los factores $p,q$ entonces $k=pq$ entonces $p^2q+q^2p=2pq$ entonces $p+q=1$ y savemos que eso no se puede entonces la unnica forma es que $p=q$ entonces $2p/2p^2$ y savemos que eso es sierto entonces acavamos
ResponderBorrar:)
BorrarNomas cuidado donde pusiste $2pq=2q+2p$, deberia ser $2pq=kq+kp$, y luego tambien $p^2q+q^2p=2pq$ implica que $p+q=2$
tenemos que $\frac{p^2+2pq+q^2}{p+q}$ y tienes que $p+q/p^2+q^2$ entonces $p+q/2pq$ y tienes que $p+q(x)=2pq$ entonces y tienes que $q$ y $p$ tienen que dividir a $x$ porque si $p/2pq$ entonces $p/px+qx$ entonces $p/qx$ entonces como $p$ y $q$ son primos entonces $p/x$ y sucede igual con $q$ entonces los posibles valores de $x=pq$ nadamas y por eso tienes que $p^2q+pq^2=2pq$ y eso no se puede por lo tanto $p=Q$
ResponderBorrarTe falta decir porque $x$ no puede ser $2pq$, arregla eso y te pongo tu carita feliz
Borrarrumbo al nacional
ResponderBorrar:)
BorrarNomas una observación. El hecho de $a$ no divida a $b$ y que $a$ no divida a $c$, no implica que $(a,bc)=1$. Contrajemplo: $a=4,b=6,c=10$. En cambio, si $(a,b)=1$ y $(a,c)=1$ si es cierto que $(a,bc)=1$, por eso te lo puse bien.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4697122870279&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarSabemos que la fraccion nos dara de resultado un entero. Entonces $p+q|p^2+q^2$
ResponderBorrarTambien sabemos que $p+q|(p+q)^2$
Entonces $p+q|2pq$
Nos fijamos en todos los posibles valores de $p+q$ y serian: $p$. $q$, $2$, $2p$, $2q$, $pq$ y $2pq$.
Notamos que seria muy tonto que $p+q=2,p,q$ ya que en el primer caso p y q serian 1 y 1 no es primo. En los otros 2 implicaria que uno de ellos es 0.
Nos queda $p+q=2q o 2p$ Para que esto sea cierto, $p=q$
Otro de los casos era $p+q=pq$ entonces $p=pq-q=q(p-1)$
Entonces alguno de los primos sera par y el unico primo par es 2. Como 1 no es primo, Entonces $q=p=2$ para que cumpla.
En $p+q=2pq$ lo despejamos y nos queda que $p=2pq-q=q(2p-1)$ Entonces $p=q$ y $2p-1=1$
Por lo tanto $p=q$
Bueno sabemos esto $\frac{p^{2}+q^{2}}{p+q}$ y me fijo que $p+q$ divide a $\left ( p+q \right)^{2}$ y ya que divide a $p^{2}+q^{2}$ tambien divide a $2pq$ entonces existen varios caso en los caso donde $p=q$ si cumplen que serian cuando $p+q=2q$ o cuendo es igual a $2p$ logiamente $p+q\neq q $ por que tendiran que $p$ tendria que ser igual a $0$ y 0 no es primo en los casos donde solo que dan cuando la suma es igual a $pq$ o $2pq cuando es igual pq tenemos que $p+q=pq\rightarrow q=pq-p$ supongamos que p es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto q es par y eso solo se puede si q es igual p, analogamente con q, ahora falta para el caso de 2pq tenemos que $p+q=2pq\rightarrow p=2pq-q\rightarrow q(2p-1)= p$ y sabemos que p y q son primos por lo tanto $2p-1$ debe ser igual a 1 entonces $p=q$
ResponderBorrarEsto es horriblemente dificil de leer, aunque por lo poco que entiendo esta bien. Acomodalo.
Borrarok
BorrarBueno sabemos esto $\frac{p^{2 }+q^{2}}{p+q}$ y me fijo que $p+q$ divide a $(p+q)^{2}$ y ya que divide a$p^{2}+q^{2}$ tambien divide a $2pq$ entonces existen varios caso en el caso donde $p=q$ si cumple que serian cuando $p+q=2q$ o cuendo es igual a $2p$ ,logicamente $p+q\neq q$ por que $p$ tendria que ser igual a $0$ ,y el $0$ no es primo, ahora solo quedan los casos cuando la suma es igual a $pq$ o $2pq$ , cuando es igual $pq$ tenemos que $p+q=pq$ entonces $q=pq-p$ supongamos que $p$ es par por lo tanto pq es par entonces tenemos diferencias de pares por lo tanto $q$ es par y eso solo se puede si $q$ es igual a $p$, analogamente con $q$, ahora falta para el caso de $2pq$ tenemos que $p+q=2pq$ entonces $p=2pq-q$ entonces $(2p-1)=p$ y sabemos que $p$ y $q$ son primos por lo tanto $2p-1$ debe ser igual a $1$ entonces $p=q$
BorrarY si $p$ no es par en el caso de $q=pq-p$ ?
Borrartenemos esto $p+q=pq$ si p es impar entonces hay dos casos cuando q es par y cuando es impar. cuando es par tenemos impar+par=(impar)(par), sabemos que la suma seria impar y la multiplicacion seria par lo cual no se puede y cuando q es impar tenemos que impar+impar=impar(impar) lo cual tendriamos que par=impar lo cual tampoco se puede
BorrarSe nos da que:
ResponderBorrar$p+q|p^{2}+q^{2}$
Se sabe que:
$p+q|(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$
Entonces $p+q$ divide la diferencia:
$p+q|2pq$
Por ser $p, q$ primos, los divisores (que también son los posibles valores de $p+q$) son:
$2, p, q, 2p, 2q, pq, 2pq$
Si la menor suma de primos diferentes es: $2+3=5$ entonces $p+q=2$ queda descartado.
Si $p+q=q$ o $p+q=p$ alguno termina siendo 0, lo cual no es primo, por lo que quedan descartados.
Si $p+q=2p\Rightarrow p=q$
Si $p+q=2q\Rightarrow p=q$
Si $p+q=pq\Rightarrow p=pq-q=q(p-1)$ debido a que $p, q$ son primos, tendríamos que $p-1=1\Rightarrow p=q$
Si $p+q=2pq\Rightarrow p=2pq-q=q(2p-1)$ análogamente al caso anterior: $2p-1=1\Rightarrow 2p=2\Rightarrow p=1$ lo cual no es cierto, pues 1 no es primo.
Tenemos que todos los casos son contradicciones o acaban en $p=q$ por lo tanto es cierto. Q.E.D.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559693748164&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN http://www.facebook.com/photo.php?fbid=396559590414841&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrarNo me queda claro para nada como es que la agrupacion que haces implica que $p=q$
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