Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.

Problema del día. Teoría de números. (9 de octubre)

Si se tiene que $a^n\equiv a \pmod n$ para toda $a$ entera, se dice que $n$ es un número de Carmichael cuando $n$ es compuesto. Muestre que $1,105$ es de Carmichael.

Problema del día. Teoría de números. (2 de octubre)

Muestra que si $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ entonces $n$ es primo.

Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)

Demuestre que si $p$ y $q$ son números primos tales que:
$$\frac{p^2+q^2}{p+q}$$
es un entero, entonces $p=q$.

Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)

¿Para qué naturales $n$ la suma de los divisores de $10^{n}$ es múltiplo de 9?

Problema del Día. Teoría de Números (23 de Septiembre)

Sea $n$ un entero positivo tal que $2^n+2$ es múltiplo de $n$ y $2^n+1$ es múltiplo de $n-1$. Pruebe que $2^{2^n+2}+2$ es múltiplo de $2^n+2$ y que $2^{2^n+2}+1$ es múltiplo de $2^n+1$.

Aviso, hubo un error en la redaccion original, apenas me di cuenta hoy (27 de septiembre), se reinicia el conteo de los tres dias.

Problema del día. Teoría de Números (18 de septiembre).

En una fila para comprar boletos de cine se encuentran formadas $10,240$ personas. El caprichoso vendedor dice que va a atender uno no, uno sí, uno no, uno sí, etc. Los que no atienda deberán irse al final de la fila (uno por uno, en orden). ¿En qué lugar está formado al principio el último que va a poder comprar su boleto?

Problema del día. Teoría de números. (11 de septiembre)

Se sabe que en todo triángulo rectángulo con lados enteros $x,y,z$, éstos son de la forma $x=2st$, $y=s^{2}-t^{2}$ y $z=s^{2}+t^{2}$, (con $x,y$ catetos y $z$ la hipotenusa), con $s,t$ enteros. Se dice entonces que $(x,y,z)$ es una terna pitagórica.
Muestra que si $(x,y,z)$ es una terna pitagórica, entonces se satisface que el producto $xyz$ es múltiplo de 30.

Problema del día, Teoría de números (10 de Octubre)

Ya que Karina y Daniel andan de viaje yo pondré los problemas de hoy y del miercoles.

Demuestra que $(n-1)^2$ divide a $n^{n-1}-1$ para todo entero $n$ con $n \geq 2$