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lunes, 10 de octubre de 2011

Problema del día, Teoría de números (10 de Octubre)

Ya que Karina y Daniel andan de viaje yo pondré los problemas de hoy y del miercoles.

Demuestra que (n1)2 divide a nn11 para todo entero n con n2

10 comentarios:

  1. nn11=(n1)(nn2++n+1)

    entonces n1 divide a nn11, si n1 dividiera a (nn2++n+1) entonces ya acabariamos

    nn(n1)1modn1 por ende
    nk1modn1 y por lo tanto
    (nn2++n)+1(n2)+1modn1 ya que hay n2 factores de n,
    (n-2) +1 \equiv n-1 equiv 0 mod n-1

    por ende n1 divide a (nn2++n+1) y por lo tanto (n1)2 divide a nn11

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  2. Sabemos que nn11=(n1)(nn2++1)
    Entonces aqui hay un n1, y queremos que n1 tambien divida a lo demas.

    nn2++n+1(1)n2++(1)+11++1n10(modn1)

    Entonces (n1)2 divide a nn11

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  3. tenemos que nn11=(n1)(nn2+...+n+1) por lo tanto n-1 divide a nn11 y queremos que n divida a lo otro y como nn2,...,n son multiplos de n van a ser congruentes a -1 mod n-1 y esto se sumara n-2 veces, entonces la suma de todo eso va a ser congruente n-2 mod n-1 y 1 es congruente a 1 mod n-1 por lo tanto la suma de rodo esto es congruente a n-1 mod n-1 que es congruente a 0 y por lo tanto (n1)2 divide a nn11

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  4. Se puede decir que
    nn11=(n1)(nn2++1)
    y el demuestra el problema si n1 divide a
    (nn2++n+1)

    Sabemos que cualquer multiplo de n sera congruente a 1 mod n-1 por lo que la suma anterior seria de n-1 unos y eso suman n-1 y es divisible entre n-1 y queda demostrado.


    Entonces (n1)2 divide a nn11

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  5. llo llegue a que nn11$esiguala{n-1}\{n^{n-2} +\cdots +n+}1porlocualyatenemosque{n-1}\dividean^{n-1}-1\yluegotenemosque{n^{n-2} +\cdots +n+1}\$ es multiplo de n
    y eso es todo a lo que he llegado lo seguire intentando

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  6. Primero factorizé (n1)2 y nn11 en (n1)(n1) y (n1)(nn2+nn3+...+n+1) respectivamente. Si a*a*k=a*b entonces a*k=b, aplicando eso al problema, para demostrar que (n1)(n1) divide a (n1)(nn2+nn3+...+n+1) basta con demostrar que n-1 divide a (nn2+nn3+...+n+1). Vemos todo en mod n-1, como en todos son n's elevadas a alguna potencia, se pueden ver como 1's (porque n≡1 mod n-1) que elevados a cualquier potencia es 1, como estamos sumando los 1's con exponente de 0 hasta n-2, tenemos n-1 1's que sumados dan n-1 y por tanto congruencia 0. Para n=1, n-1=0, 02=0 y creo que 0 no divide a ningún número. (No encontré una respuesta distinta a la que ya habían dicho)

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  7. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  9. Problemas con LATEX una disculpa.

    Se expresa n(n1)1 como una Diferencia de Potencias y se obtiene la siguiente igualdad:
    nn1(1)n1=(n1)(nn210+nn311++n11n3+n01n2).
    Se observa claramente que entonces, n1 divide a nn11. Ahora resta demostrar que n1 divide a (nn210+nn311++n11n3+n01n2). Se llama a esta ecuación α.
    En este paso tuve la idea de usar la formula de suma de potencias e intentar utilizar las igualdades obtenidas pero me di cuenta que estaba en algo incorrecto (Solo como comentario).
    De vuelta al problema, entonces es posible decir que:
    (nn210+nn311++n11n3+n01n2)=(nn2+nn3++n1+n0), (1 a k potencia seguirá siendo 1).
    Se tiene una suma de potencias de base n desde n0 hasta nn2.
    Cada base n es congruente a 1(modn1). (De manera que 4 es congruente con 1 mod 3, por dar un ejemplo)
    Entonces se representa la ecuación antes mencionada como:
    nn2+nn3++n1+n0(1)n2+(1)n3++(1)1+(1)0
    Al tener n1 elementos sumándose, el valor de esta operación será n1. Por lo tanto, n1 divide a α.
    De esta queda demostrado lo que se pide.

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  10. @Chuy,Alberto,Antonio,Alberto Ponce,Alex: tienen un detalle tan pequeño que lo voy a pasar por alto :) (ver siguiente comentario)

    @Luis: Muy bien en mencionar al 1 :)

    @Martin: Sigue intentando :P

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