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miércoles, 12 de octubre de 2011
Problema del día, Algebra (12 de Octubre)
Sean x,y,z reales positivos tales que x+y+z=3. Si S=√2x+3+√2y+3+√2z+3
Llevo la mitad. 6<S≤3√5 entonces P.D: 36<S2≤45, como S=√2x+3+√2y+3+√2z+3 entonces P.D: S2=2(x+y+z)+9+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3))≤45 como x+y+z=3, 2(x+y+z)=6 y 2(x+y+z)+9=15. Entonces P.D: S2−15=2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤30 P.D: √(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤15 con MA-MG, √(2x+3)(2y+3)≤2x+3+2y+32=x+y+3 y de igual forma para las otras dos raices, por tanto √(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤x+y+3+y+z+3+x+z+3=2(x+y+z)+9=2(3)+9=15 y con eso se demuestra que S≤3√5 porque todos los pasos son reversibles.
Ahora vemos que el promedio de x,y,z es uno, entonces por casillas uno de ellos, spdg x≥1. Y como son reales, y,z>0 Entonces: √(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)>√(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5) PD: √(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5)/geq212 √15+√9+√15≥212 2√15+3≥212 2√15≥152 √15≥154 15≥15216 15⋅16≥15⋅15 16≥15 Y esto es claramente cierto, entonces terminamos.
Se demuestra por separado la desigualdad: 6<S Se eleva al cuadrado de ambos lados de la desigualdad: 36<(2x+3)+(2y+3)+(2z+3)+2√(2x+3)(2y+3)+2√(2y+3)(2z+3)+2√(2z+3)(2x+3)=S2 S2=15+2∗(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)) La ecuación pasa a ser: 212<√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3) Como x+y+z=3, forzosamente al menos uno de estos valores debe ser mayor o igual a 1. S.p.d.g. x≥1, y y,z>0 Entonces: √(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5)=3+2(√(3)(5))<√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3) P.D. 212≤3+2(√(3)(5)) 154≤√(3)(5) 15242≤15 15≤16 Con esto se comprueba la primera parte de la desigualdad. Se continúa con la siguiente: S≤3√5 S2≤45 √(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤15 Por M.A. – M.G.: √(2x+3)(2y+3)≤(2x+3)+(2y+3)2 √(2y+3)(2z+3)≤(2y+3)+(2z+3)2 √(2z+3)(2x+3)≤(2z+3)+(2x+3)2 Al sumar estas tres desigualdades: √(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤(2x+3)+(2y+3)2+(2y+3)+(2z+3)2+(2z+3)+(2x+3)2=(y+x+3)+(z+x+3)+(x+y+3)=15 Entonces, √(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤15 Con esto quedan comprobadas ambas partes de la desigualdad.
Llevo la mitad. 6<S≤3√5 entonces P.D: 36<S2≤45, como
ResponderBorrarS=√2x+3+√2y+3+√2z+3 entonces P.D:
S2=2(x+y+z)+9+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3))≤45 como x+y+z=3, 2(x+y+z)=6 y 2(x+y+z)+9=15. Entonces P.D:
S2−15=2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤30
P.D:
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤15 con MA-MG,
√(2x+3)(2y+3)≤2x+3+2y+32=x+y+3 y de igual forma para las otras dos raices, por tanto
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3)≤x+y+3+y+z+3+x+z+3=2(x+y+z)+9=2(3)+9=15 y con eso se demuestra que S≤3√5 porque todos los pasos son reversibles.
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ResponderBorrarS=√2x+3+√2y+3+√2z+3
ResponderBorrarS2=2x+3+2y+3+2z+3+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2x+3)(2z+3))
S2=15+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3))
Por MA≥MG:
15+2((2x+3)+(2y+3)+(2y+3)+(2z+3)+(2z+3)+(2x+3))≥S2
15+2(x+y+3+y+z+3+z+x+3)≥S2
45≥S2
3√5≥S
Ahora volvemos a que
S2=15+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3))
y queremos S>6⟺S2>36
PD:
15+2(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3))>36
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)>212
Ahora vemos que el promedio de x,y,z es uno, entonces por casillas uno de ellos, spdg x≥1. Y como son reales, y,z>0
Entonces:
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+z)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)>√(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5)
PD:
√(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5)/geq212
√15+√9+√15≥212
2√15+3≥212
2√15≥152
√15≥154
15≥15216
15⋅16≥15⋅15
16≥15
Y esto es claramente cierto, entonces terminamos.
@Luis Vas por buen camino, la S2 te va a ayudar a resolver el otro pedazo del problema.
ResponderBorrar@Alberto :)
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ResponderBorrarSe demuestra por separado la desigualdad:
ResponderBorrar6<S
Se eleva al cuadrado de ambos lados de la desigualdad:
36<(2x+3)+(2y+3)+(2z+3)+2√(2x+3)(2y+3)+2√(2y+3)(2z+3)+2√(2z+3)(2x+3)=S2
S2=15+2∗(√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3))
La ecuación pasa a ser:
212<√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)
Como x+y+z=3, forzosamente al menos uno de estos valores debe ser mayor o igual a 1.
S.p.d.g. x≥1, y y,z>0
Entonces:
√(5)(3)+√(3)(3)+√(3)(5)=3+2(√(3)(5))<√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)
P.D.
212≤3+2(√(3)(5))
154≤√(3)(5)
15242≤15
15≤16
Con esto se comprueba la primera parte de la desigualdad. Se continúa con la siguiente:
S≤3√5
S2≤45
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤15
Por M.A. – M.G.:
√(2x+3)(2y+3)≤(2x+3)+(2y+3)2
√(2y+3)(2z+3)≤(2y+3)+(2z+3)2
√(2z+3)(2x+3)≤(2z+3)+(2x+3)2
Al sumar estas tres desigualdades:
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤(2x+3)+(2y+3)2+(2y+3)+(2z+3)2+(2z+3)+(2x+3)2=(y+x+3)+(z+x+3)+(x+y+3)=15
Entonces,
√(2x+3)(2y+3)+√(2y+3)(2z+3)+√(2z+3)(2x+3)≤15
Con esto quedan comprobadas ambas partes de la desigualdad.