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miércoles, 12 de octubre de 2011
Problema del día, Algebra (12 de Octubre)
Sean $x,y,z$ reales positivos tales que $x+y+z=3$. Si \[ S=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3} \]
Pruebe que
\[6 \textless S \leq 3\sqrt{5} \]
Llevo la mitad. $6<S\leq 3\sqrt{5}$ entonces P.D: $36<S^2\leq 45$, como $S=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}$ entonces P.D: $S^{2}=2(x+y+z)+9+2(\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)})\leq 45$ como x+y+z=3, 2(x+y+z)=6 y 2(x+y+z)+9=15. Entonces P.D: $S^{2}-15=2(\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq 30$ P.D: $\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq 15$ con MA-MG, $\sqrt{(2x+3)(2y+3)}\leq \frac{2x+3+2y+3}{2}=x+y+3$ y de igual forma para las otras dos raices, por tanto $\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+3)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq x+y+3+y+z+3+x+z+3=2(x+y+z)+9=2(3)+9=15$ y con eso se demuestra que $S\leq 3\sqrt{5}$ porque todos los pasos son reversibles.
Ahora vemos que el promedio de $x,y,z$ es uno, entonces por casillas uno de ellos, spdg $x \geq 1$. Y como son reales, $y,z > 0$ Entonces: $\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)} > \sqrt{(5)(3)}+\sqrt{(3)(3)}+\sqrt{(3)(5)}$ PD: $\sqrt{(5)(3)}+\sqrt{(3)(3)}+\sqrt{(3)(5)} /geq \frac{21}{2}$ $\sqrt{15}+\sqrt{9}+\sqrt{15} \geq \frac{21}{2}$ $2\sqrt{15}+3 \geq \frac{21}{2}$ $2\sqrt{15} \geq \frac{15}{2}$ $\sqrt{15} \geq \frac{15}{4}$ $15 \geq \frac{15^2}{16}$ $15 \cdot 16 \geq 15 \cdot 15$ $16\geq 15$ Y esto es claramente cierto, entonces terminamos.
Llevo la mitad. $6<S\leq 3\sqrt{5}$ entonces P.D: $36<S^2\leq 45$, como
ResponderBorrar$S=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}$ entonces P.D:
$S^{2}=2(x+y+z)+9+2(\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)})\leq 45$ como x+y+z=3, 2(x+y+z)=6 y 2(x+y+z)+9=15. Entonces P.D:
$S^{2}-15=2(\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq 30$
P.D:
$\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq 15$ con MA-MG,
$\sqrt{(2x+3)(2y+3)}\leq \frac{2x+3+2y+3}{2}=x+y+3$ y de igual forma para las otras dos raices, por tanto
$\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+3)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)}\leq x+y+3+y+z+3+x+z+3=2(x+y+z)+9=2(3)+9=15$ y con eso se demuestra que $S\leq 3\sqrt{5}$ porque todos los pasos son reversibles.
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ResponderBorrar$S=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}$
ResponderBorrar$S^2=2x+3+2y+3+2z+3 +2 (\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2x+3)(2z+3)})$
$S^2=15+2 (\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)})$
Por $\text{MA}\geq\text{MG}$:
$15 + 2( \frac{(2x+3)+(2y+3)} + \frac{(2y+3)+(2z+3)} + \frac{(2z+3)+(2x+3)}) \geq S^2$
$15+2(x+y+3+y+z+3+z+x+3)\geq S^2$
$45 \geq S^2$
$3 \sqrt{5} \geq S$
Ahora volvemos a que
$S^2=15+2 (\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)})$
y queremos $S>6 \iff S^2 > 36$
PD:
$15+2 (\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)}) > 36$
$\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)} >\frac{21}{2}$
Ahora vemos que el promedio de $x,y,z$ es uno, entonces por casillas uno de ellos, spdg $x \geq 1$. Y como son reales, $y,z > 0$
Entonces:
$\sqrt{(2x+3)(2y+3)}+\sqrt{(2y+z)(2z+3)}+\sqrt{(2z+3)(2x+3)} > \sqrt{(5)(3)}+\sqrt{(3)(3)}+\sqrt{(3)(5)}$
PD:
$\sqrt{(5)(3)}+\sqrt{(3)(3)}+\sqrt{(3)(5)} /geq \frac{21}{2}$
$\sqrt{15}+\sqrt{9}+\sqrt{15} \geq \frac{21}{2}$
$2\sqrt{15}+3 \geq \frac{21}{2}$
$2\sqrt{15} \geq \frac{15}{2}$
$\sqrt{15} \geq \frac{15}{4}$
$15 \geq \frac{15^2}{16}$
$15 \cdot 16 \geq 15 \cdot 15$
$16\geq 15$
Y esto es claramente cierto, entonces terminamos.
@Luis Vas por buen camino, la $S^2$ te va a ayudar a resolver el otro pedazo del problema.
ResponderBorrar@Alberto :)
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ResponderBorrarSe demuestra por separado la desigualdad:
ResponderBorrar$6 < S$
Se eleva al cuadrado de ambos lados de la desigualdad:
$36<(2x+3) + (2y + 3) + (2z + 3) + 2 \sqrt{(2x + 3)(2y+3)} + 2\sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + 2\sqrt{(2z+3)(2x+3)} = S^2$
$S^2 = 15 + 2*(\sqrt{(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt{(2z+3)(2x+3)})$
La ecuación pasa a ser:
$\frac{21}{2} < \sqrt{(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt{(2z+3)(2x+3)}$
Como $ x+y+z = 3$, forzosamente al menos uno de estos valores debe ser mayor o igual a $1$.
S.p.d.g. $x \ge 1$, y $y, z > 0$
Entonces:
$ \sqrt{(5)(3)} + \sqrt{(3)(3)} + \sqrt{(3)(5)} = 3+ 2(\sqrt{(3)(5)}) < \sqrt{(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt{(2z+3)(2x+3)}$
P.D.
$\frac{21}{2} \le 3+ 2(\sqrt{(3)(5)})$
$\frac{15}{4} \le \sqrt{(3)(5)}$
$\frac{15^2}{4^2} \le 15$
$15 \le 16$
Con esto se comprueba la primera parte de la desigualdad. Se continúa con la siguiente:
$S \le 3\sqrt{5}$
$S^2 \le 45$
$\sqrt {(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt{(2z+3)(2x+3)} \le 15$
Por M.A. – M.G.:
$\sqrt {(2x + 3)(2y+3)} \le \frac{(2x+3)+(2y+3)}{2}$
$\sqrt {(2y + 3)(2z+3)} \le \frac{(2y+3)+(2z+3)}{2}$
$\sqrt {(2z + 3)(2x+3)} \le \frac{(2z+3)+(2x+3)}{2}$
Al sumar estas tres desigualdades:
$\sqrt {(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt {(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt {(2z + 3)(2x+3)}\le \frac{(2x+3)+(2y+3)}{2} + \frac{(2y+3)+(2z+3)}{2} + \frac{(2z+3)+(2x+3)}{2} = (y+x+3)+(z+x+3)+(x+y+3) = 15$
Entonces,
$\sqrt {(2x + 3)(2y+3)} + \sqrt{(2y + 3)(2z+3)} + \sqrt{(2z+3)(2x+3)} \le 15$
Con esto quedan comprobadas ambas partes de la desigualdad.