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miércoles, 12 de octubre de 2011

Problema del día, Algebra (12 de Octubre)

Sean x,y,z reales positivos tales que x+y+z=3. Si S=2x+3+2y+3+2z+3

Pruebe que
6\textlessS35

7 comentarios:

  1. Llevo la mitad. 6<S35 entonces P.D: 36<S245, como
    S=2x+3+2y+3+2z+3 entonces P.D:
    S2=2(x+y+z)+9+2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2x+3)(2z+3))45 como x+y+z=3, 2(x+y+z)=6 y 2(x+y+z)+9=15. Entonces P.D:
    S215=2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2x+3)(2z+3)30
    P.D:
    (2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2x+3)(2z+3)15 con MA-MG,
    (2x+3)(2y+3)2x+3+2y+32=x+y+3 y de igual forma para las otras dos raices, por tanto
    (2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2x+3)(2z+3)x+y+3+y+z+3+x+z+3=2(x+y+z)+9=2(3)+9=15 y con eso se demuestra que S35 porque todos los pasos son reversibles.

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  3. S=2x+3+2y+3+2z+3
    S2=2x+3+2y+3+2z+3+2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2x+3)(2z+3))
    S2=15+2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2z+3)(2x+3))

    Por MAMG:
    15+2((2x+3)+(2y+3)+(2y+3)+(2z+3)+(2z+3)+(2x+3))S2
    15+2(x+y+3+y+z+3+z+x+3)S2
    45S2
    35S

    Ahora volvemos a que
    S2=15+2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2z+3)(2x+3))
    y queremos S>6S2>36
    PD:

    15+2((2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2z+3)(2x+3))>36
    (2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)>212

    Ahora vemos que el promedio de x,y,z es uno, entonces por casillas uno de ellos, spdg x1. Y como son reales, y,z>0
    Entonces:
    (2x+3)(2y+3)+(2y+z)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)>(5)(3)+(3)(3)+(3)(5)
    PD:
    (5)(3)+(3)(3)+(3)(5)/geq212
    15+9+15212
    215+3212
    215152
    15154
    1515216
    15161515
    1615
    Y esto es claramente cierto, entonces terminamos.

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  4. @Luis Vas por buen camino, la S2 te va a ayudar a resolver el otro pedazo del problema.

    @Alberto :)

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  7. Se demuestra por separado la desigualdad:
    6<S
    Se eleva al cuadrado de ambos lados de la desigualdad:
    36<(2x+3)+(2y+3)+(2z+3)+2(2x+3)(2y+3)+2(2y+3)(2z+3)+2(2z+3)(2x+3)=S2
    S2=15+2((2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3))
    La ecuación pasa a ser:
    212<(2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)
    Como x+y+z=3, forzosamente al menos uno de estos valores debe ser mayor o igual a 1.
    S.p.d.g. x1, y y,z>0
    Entonces:
    (5)(3)+(3)(3)+(3)(5)=3+2((3)(5))<(2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)
    P.D.
    2123+2((3)(5))
    154(3)(5)
    1524215
    1516
    Con esto se comprueba la primera parte de la desigualdad. Se continúa con la siguiente:
    S35
    S245
    (2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)15
    Por M.A. – M.G.:
    (2x+3)(2y+3)(2x+3)+(2y+3)2
    (2y+3)(2z+3)(2y+3)+(2z+3)2
    (2z+3)(2x+3)(2z+3)+(2x+3)2
    Al sumar estas tres desigualdades:
    (2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)(2x+3)+(2y+3)2+(2y+3)+(2z+3)2+(2z+3)+(2x+3)2=(y+x+3)+(z+x+3)+(x+y+3)=15
    Entonces,
    (2x+3)(2y+3)+(2y+3)(2z+3)+(2z+3)(2x+3)15
    Con esto quedan comprobadas ambas partes de la desigualdad.

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