la cuadricula se divide en cuatro cuadriculas de 16*16 que se recorren entre ellas en el sentido de las manecillas del reloj.
despues cada cuadricula de 16*16 se divide en 4 cuadriculas de 8*8 que se cambian de lugar del mismo modo, a su vez cada una de esas se divide y asi sucesivamente hasta llegar a cuadriculas de 2*2 que se dividen en cuadros de 1*1, los cuales cambian de lugar del mismo modo.
al terminar estas operaciones, que numeros quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadricula de 32*32?
si empezamos de reversa se puede yer un patron. si giramos los cuadros de 1*1 al reves en los cuadros de 2*2 que este en la diagonal, los numeros que pertenecian a la diagonal ahora estan paralelos en gupos de dos que van de la esquina inferior izquierda a la derecha superior de los cuadros de 2*2. si cambianmos esosen los cuadros de 4*4 otravez quedarian alineados en grupos de 4 paralelos, asi se va haciendo porque al ir en contra de las manecillas del reloj es subir la mitad derecha de un cuadro y bajar la mitad izquierda del cuadro, asi alineando los numeros que estaban en la diagonal. si se continua eso, los numeros que pertenecan a la diagonal que va de la esquina superior derecho a la inferior izquierda seran los mismos numeros que estan originalmente en la esquina que va de la esquina inferior izquierda a la superior derecha.
ResponderBorrar___ ___ ___ ___
│_o_│_x_│ => │_x_│_o_│
│_x_│_o_│ │_o_│_x_│
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
│_x_│_o_│_x_│_x_│ │_x_│_x_│_x_│_o_│
│_o_│_x_│_x_│_x_│ => │_x_│_x_│_o_│_x_│
│_x_│_x_│_x_│_o_│ │_x_│_o_│_x_│_x_│
│_x_│_x_│_o_│_x_│ │_o_│_x_│_x_│_x_│
asi es hasta que tenemos los numeros de la dagonal:
32,63,94,125,156,187,218,249,280,311,342,373,404,435,466,497,528,559,590,621,652,683,714,745,776,807,838,869,900,931,962 y 993.
una pregunta, siguen girando los cuadrados de 16*16 al mismo tiempo que los cuadrados mas chicos?
ResponderBorrarPues ya me aventé una cosa bien chida pero sin mi dibujito no la puedo explicar muy bien, asi que por el momento sólo diré que la cuadrícula da un giro de 90° en sentido de las manecillas del reloj, y que en base a esto, los números que buscamos, como están en diagonal,hay uno en cada fila, lo que quiere decir que cada uno tiene diferente congruencia módulo 32, además cada uno está en una columna diferente lo que significa que para toda n siempre va a haber un número que cumpla 32(n-1)<x≤32n. En base a eso, podemos obtener todos los números empezando con el 32, ya que si inicialmente estaba en la esquina superior derecha, en base a mi teoría, ahora estaría en la esquina inferior derecha, y después multiplicando dicho número y restándole el número de veces que se multiplique menos 1, esto es:
ResponderBorrar32(1)-0=32
32(2)-1=63
32(3)-2=94
32(4)-3=125
32(5)-4=156
32(6)-5=187
32(7)-6=218
32(8)-7=249
32(9)-8=280
32(10)-9=311
32(11)-10=342
32(12)-11=373
32(13)-12=404
32(14)-13=435
32(15)-14=466
32(16)-15=497
32(17)-16=528
32(18)-17=559
32(19)-18=590
32(20)-19=621
32(21)-20=652
32(22)-21=683
32(23)-22=714
32(24)-23=745
32(25)-24=776
32(26)-25=807
32(27)-26=838
32(28)-27=869
32(29)-28=900
32(30)-29=931
32(31)-30=962
32(32)-31=993
Mañana con más calma, y medios, subiré la explicación de lo primero.
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ResponderBorrar$\color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho}$
ResponderBorrar$\color{yellow} \text{al inferior izquierdo}$
$\color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de } 2^n \text{.}$
$\color{green} \text{En la de } 2^{n+1} \text{ giramos los cuatro cuadros de } 2^n \text{.}$
$\color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de } 2^n \text{ de arriba a la izquierda y abajo a}$
$\color{blue} \text{la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que}$
$\color{blue} \text{queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente}$
$\color{blue} \text{estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos}$
$\color{blue} \text{hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de } 2^{n+1}$
$\color{red} \text{La base de induccion es cuando } n=1$
$\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$
$\color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para}$
$\color{red} \text{el caso especifico de } n=5 \text{ que pide el problema tambien se cumple}$
$\color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma } 31k+1 \text{ con } 1 \leq k \leq 32$
Ya pude escanear mi dibujo:
ResponderBorrarhttp://i743.photobucket.com/albums/xx73/luiscgarcia/ProblemadeCombinatoria4-10-11.png
Si nos fijamos en que cada subconjunto de números girará en sentido de las manecillas del reloj, al final de los movimientos obtendremos el mismo orden de números pero con una rotación de 90° en sentido de las manecillas del reloj, así que todo lo que hay que hacer es buscar los números de la que originalmente era la diagonal desde la esquina superior derecha hastaq la esquina inferior izquierda.
los primeros 16 cuadros de la diagonal que nos piden serán cuadros de la cuadricula de 16*16 en la que aparece el numero 32 y a esta cuadricula la voy a llamar A y los otros 16 cuadro de la diagonal estarán en la cuadricula de 16*16 donde aparece el numero 528 y a esta cuadricula le llamare B.
ResponderBorrary lo que pase en cada cuadricula de 16*16 también pasara en las otras 3, lo que pase en cada cuadricula de 8*8 pasara en las otras 16, y así con las demás cuadriculas.
En la cuadricula A si nos fijamos en la diagonal que estaba antes de hacer los cambios, al dividirse la cuadricula A, en 4 de 8*8, quedaran 2 diagonales que contienen 8 numeros cada una de la diagonal inicial, y cuando se vuelvan a hacer los cambios quedaran 4 diagonales con 4 numeros c/u, y al volverse a hacer los cambios quedaran 8 diagonales con 2 numeros c/u y al hacerse el ultimo cambio volverá a unirse la diagonal.
y esta diagonal va a ser la mitad de la diagonal que nos piden porque el 32 esta en la diagonal inicial y si hacemos un poco de talacha el 32 quedara en la esquina inferior izquierda, y en la cuadricula B pasara lo mismo y entonces se volverá a formar la misma diagonal inicial y los numeros de la diagonal que nos piden serán: 32,63,94,125,156,187,218,249,280,311,342,373,404,435,466,497,528,559,590,621,652,683,714,745,776,807,838,869,900,931,962 y 993.porque son los de la diagonal inicial.
bueno pues yo me fije que que cuando dieramos la vuelta seria practicamente un giro de 90° lo que quiere decir que siempre va a ser la misma diagonal porque todos dan un un giro de 90° y si todos dan un giro de 90° pues entonces todos se van a quedar enel mismo lugar
ResponderBorrary luego me fijo en el primer numero de la diagonal que es 32 y luego en el segundo que es 63 y luego en el tercero que es 94 y me figo que 32 = 32(1)-0
63 = 32(2)-1
94 = 32(3)-2
y me fijo que es un patron y como la diagonal va a ser siempre la misma pues entonces los numeros de la diagonal van a ser
32(1)-0=32
32(2)-1=63
32(3)-2=94
32(4)-3=125
32(5)-4=156
32(6)-5=187
32(7)-6=218
32(8)-7=249
32(9)-8=280
32(10)-9=311
32(11)-10=342
32(12)-11=373
32(13)-12=404
32(14)-13=435
32(15)-14=466
32(16)-15=497
32(17)-16=528
32(18)-17=559
32(19)-18=590
32(20)-19=621
32(21)-20=652
32(22)-21=683
32(23)-22=714
32(24)-23=745
32(25)-24=776
32(26)-25=807
32(27)-26=838
32(28)-27=869
32(29)-28=900
32(30)-29=931
32(31)-30=962
32(32)-31=993
Primero hice una cuadricula chica (2x2) y note que con los mismos cambios la cuadricula gira 90° en el sentido de las manecillas del reloj; el cambio seria:
ResponderBorrar1 | 2 -> 3 | 1
3 | 4 -> 4 | 2
Luego en una cuadricula de 4x4, noté que el cambio también sería un giro de 90°: (el primer número es del primer cambio y el segundo número el del segundo cambio)
11 12 | 21 22 -> 33 31 | 13 11
13 14 | 23 24 -> 34 32 | 14 12
31 32 | 41 42 -> 43 41 | 23 21
33 34 | 43 44 -> 44 42 | 24 22
Y esto se aplica para cuadriculas mas grandes, por tanto con todos los cambios en la cuadricula de 32x32, los números en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha son los que al inicio iban de la esquina inferior izquierda a la superior derecha: 993,962,931,900,869,838,807,776,745,714,683,652,621,590,559,528,497,466,435,404,373,342,311,280,249,218,187,156,125,94,63,32.
Observe con cuadriculas más pequeñas ( 2*2, 4*4, 8*8, …) lo que pasa realizando la instrucción dada.
ResponderBorrarCada vez que partamos una cuadricula en otras 4 más pequeñas, llamaremos a estas $a, b, c, d$ que serán las cuadriculas superior izquierda, s. derecha, inferior izquierda e i. derecha respectivamente.
Vemos que cada vez que partamos una cuadricula en otras cuatro cuadriculas más pequeñas y al realizar el movimiento indicado, $a, d$ no serán de importancia porque es claro que quedan fuera de la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la línea inferior derecha.
Entonces, en la cuadricula de 32*32, solo nos enfocamos en las cuadriculas $b, c$, y seguiremos realizando esto mismo con las demás cuadriculas, (partimos las cuadriculas $b, c$ en 4 y nos enfocamos en las nuevas cuadriculas $b, c$, que como ya se había mencionado son las cuadriculas s. derecha e i. izquierda) al terminarse la opción de continuar, es decir, al tener cuadriculas de 1*1 se observa que las cuadriculas en las que nos enfocamos son las que van desde la esquina s. derecha hasta la esquina i. izquierda de la cuadricula de 32*32 inicial.
Por lo tanto, después de realizar la instrucción dada, los números que quedan en la diagonal que va desde la esquina s. izquierda hasta la esquina i. derecha, son los que van desde la esquina s. derecha hasta la i. izquierda de la cuadricula de 32*32 inicial.
Tenemos que al dividir la cuadricula en cuadriculas de 16x16, todos los numeros dentro de cada cuadricula de 16x16 se cambiaran al de la cuadricula siguiente con respecto a las manecillas del reloj, nos dijamos en una cuadricula ya que en las demas pasara lo mismo ya que estan cambiando de lado al mismo tiempo y en la misma forma, ahora tenemos que dividir esta cuadricula de 16x16 en otras 4 de 8x8 por lo que pasara lo mismo que con la de 16x16, la orientacion de cada cuadricula cambiara al de la siguiente conforme a las manecillas del reloj, y si seguimos este procedimiento seguira pasando el mismo efecto ya que siempre se estaran moviendo las cuadriculas en sentido de las manecillas del reloj y se estaran dividiendo en 4, por lo que terminaremos en que en las cuadriculas de 2x2 pasara el mismo efecto asi que como todas las cuadriculas se fueron moviendo en sentido de las manecillas del reloj entonces tenemos que cada cuadricula terminara en la siguiente cuadricula de 16x6, en la siguiente de 8x8,4x4,2x2 y en el siguiente cuadro por lo que tenemos que cada numero se cambiara de lado en una forma de 90 grados, por lo que la diagonal final de esquina superior izquierda a inferior derecha sera igual a la inicial de la esquina inferior izquierda a la superior derecha, ahora solo para sacar los numeros de la diagonal inicial de la esquina sueperior derecha a la inferior izquierda entonces tenemos que en la primer fila la esquina sera el numero 32, en la segunda el 63, nos podemos fijar que la primer fila se puede expresar como 32(1)-0, por lo que se puede expresar como 32(n)-(n-1) siendo n el numero de fila, el 32 ya que en cada fila hay 32 numeros, el n porque queremos sacar con que numero termina esa fila y n-1 ya que lo que queremos sacar es el numero que pasa por la diagonal restandole 1 a la n ya que n seria estar restando tambien ese numero, por lo que con esta regla saque el orden de lo que seria en la diagonal final de la esquina inferior derecha a la superior izquierda, ya solo lo cambiamos de orden a la inversa ya que nos pide de la superior izquierda a la inferior derecha por lo que me quedaron los numeros: 993,962,931,900,869,838,807,776,745,714,683,652,621,590,559,528,497,466,435,404,373,342,311,280,249,218,187,156,125,94,63,32.
ResponderBorrarAlberto Ponce. :)
ResponderBorrarLuis Carlos Garcis. Necesitas demostrar que tu argumento esta bien
Alberto. :)
Antonio Lopez. Solo te falta demostrarlo graficamente
Martin Contreras. No puedes asegurar eso sin demostrarlo
Luis Chacon. Si cumple para los primeros no puedes asegurar que para los demas necesitarias hacer alguna orueba como induccion
Alejandro Reyes. Bien solo te faltaria demostrarlo graficamente
Padilla. Bien solo faltaria demostrarlo graficamente.