Processing math: 100%

lunes, 24 de octubre de 2011

Problema del día, Teoría de números (24 de Octubre)

Encontrar todos los cuadrados que tienen solamente 2 dígitos que no son 0, uno de ellos 3

6 comentarios:

  1. osea que tienen 2 digitos y ninguno de esos son 0 o que tiene muchos digitos de los cuales solo 2 son 0?

    ResponderBorrar
  2. Tienen muchos dígitos, pero 2 de esos dígitos no son 0, puede ser un número de 2 dígitos como 23 (claro esto no cumple) o 3500000

    ResponderBorrar
  3. como son 2 cifras las distintas el numero se puede expresar como a10m+b10n donde n<m y 0<a.b<10 ahora sabemos que en esa exprecion se puede factorizar de la siguiente manera
    10m(amn+b) sabemos de antemano que amn+b no es multiplo de 10, por ende m=2k
    ahora, sabemos que z20,1,4,9,6,5mod10 por ende b no es igual a 3 por lo tanto a=3

    probemos casos
    caso b=5
    si la ultima cifra (b) es igual a 5, y tiene que ser cuadrado entonces tiene que ser multiplo de 25, pero por regla de divicion las ultimas cifras tienen que ser 00,25,50,75 pero las unicas posibles cifras son 05,35 en este caso la exprecion nos seria cuadrado

    caso b=9
    si la ultima cifra es 9, la suma de digitos da 12, por lo tanto es divisible entre 3 pero no entre 9, por ende no es cuadrado

    caso b=6
    36 cumple en esta cuestion al ser cuadrado perfecto, con mn>1 las ultimas dos sifras serian 06 pero al ser par tiene que ser divisible entre 4 lo cual sabemos que no es sierto por ende unos numero que cumplen son de la forma 36102k

    caso b=1
    sabemos que 31 no es cuadrado
    en este caso 310mn+1=(x+y)2 donde mn>1 ahora, y puede ser cualquier valor que yo le de ya que si me paso, la x seria negativa y llegariamos a la igualdad, asi que y=1 por que me combiene, entonces
    310mn+1=x2+2x+1
    310mn=x(2+x)
    ahora sabemos q 310mn es par por ende x tiene que tener un factor 2 por ende lo puedo expresar como 2X(2X+2)
    4X(X+1) por lo tanto 35mn2mn2=X(X+1) entonces, para encontrar X, debemos encontrar 2 divisores consecutivos, por ende deven de ser primos relativos, pero estos no existen ya que 32mn2 nunca sera consecutivo de 5mn

    ResponderBorrar
  4. caso b=4
    34 no es cuadrado, 304=2419 tampoco es cuadrado por ende mn>2
    al terminar el numero en 04, sabemos de antemano que es multiplo de 4, por en de podemos divir todo el numero entre 4, ya que deberia de seguir siendo cuadrado
    310mn+4=4(35mn2mn2+1)
    35mn2mn2+1=x2+2x+1
    35mn2mn2=x(2+x)
    35mn2mn2 es par, para que cumpla la igualdad de arriba mn>3
    35mn2mn2=4X(1+X)
    si 2mn2 es igual a 4, 3 no es consecutivo a 5mn y si 2mn2 es mayor a 4 entonces 32mn4 tampoco sera consecutivo a 5mn
    por ende b no puede ser igual a 4

    y de antemano sabemos que b no puede ser igual a 0

    ResponderBorrar
  5. @Chuyito: Muy bien n_n ... aunque los últimos argumentos de los casos b=1 b=4 no se me hicieron taaan explicados estan deducibles jeje ... pero si podrías escribir al menos un :porque el número x está muchisisisisimo más grande que el y... pero son detalles :)

    ResponderBorrar