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lunes, 24 de octubre de 2011
Problema del día, Teoría de números (24 de Octubre)
Encontrar todos los cuadrados que tienen solamente 2 dígitos que no son 0, uno de ellos 3
como son 2 cifras las distintas el numero se puede expresar como a⋅10m+b⋅10n donde n<m y 0<a.b<10 ahora sabemos que en esa exprecion se puede factorizar de la siguiente manera 10m(am−n+b) sabemos de antemano que am−n+b no es multiplo de 10, por ende m=2k ahora, sabemos que z2≡0,1,4,9,6,5mod10 por ende b no es igual a 3 por lo tanto a=3
probemos casos caso b=5 si la ultima cifra (b) es igual a 5, y tiene que ser cuadrado entonces tiene que ser multiplo de 25, pero por regla de divicion las ultimas cifras tienen que ser 00,25,50,75 pero las unicas posibles cifras son 05,35 en este caso la exprecion nos seria cuadrado
caso b=9 si la ultima cifra es 9, la suma de digitos da 12, por lo tanto es divisible entre 3 pero no entre 9, por ende no es cuadrado
caso b=6 36 cumple en esta cuestion al ser cuadrado perfecto, con m−n>1 las ultimas dos sifras serian 06 pero al ser par tiene que ser divisible entre 4 lo cual sabemos que no es sierto por ende unos numero que cumplen son de la forma 36⋅102k
caso b=1 sabemos que 31 no es cuadrado en este caso 3∗10m−n+1=(x+y)2 donde m−n>1 ahora, y puede ser cualquier valor que yo le de ya que si me paso, la x seria negativa y llegariamos a la igualdad, asi que y=1 por que me combiene, entonces 3∗10m−n+1=x2+2x+1 3∗10m−n=x(2+x) ahora sabemos q 3∗10m−n es par por ende x tiene que tener un factor 2 por ende lo puedo expresar como 2X(2X+2) 4X(X+1) por lo tanto 3⋅5m−n⋅2m−n−2=X(X+1) entonces, para encontrar X, debemos encontrar 2 divisores consecutivos, por ende deven de ser primos relativos, pero estos no existen ya que 3⋅2m−n−2 nunca sera consecutivo de 5m−n
caso b=4 34 no es cuadrado, 304=24∗19 tampoco es cuadrado por ende m−n>2 al terminar el numero en 04, sabemos de antemano que es multiplo de 4, por en de podemos divir todo el numero entre 4, ya que deberia de seguir siendo cuadrado 3∗10m−n+4=4(3∗5m−n∗2m−n−2+1) 3∗5m−n∗2m−n−2+1=x2+2x+1 3∗5m−n∗2m−n−2=x(2+x) 3∗5m−n∗2m−n−2 es par, para que cumpla la igualdad de arriba m−n>3 3∗5m−n∗2m−n−2=4X(1+X) si 2m−n−2 es igual a 4, 3 no es consecutivo a 5m−n y si 2m−n−2 es mayor a 4 entonces 3∗2m−n−4 tampoco sera consecutivo a 5m−n por ende b no puede ser igual a 4
y de antemano sabemos que b no puede ser igual a 0
@Chuyito: Muy bien n_n ... aunque los últimos argumentos de los casos b=1 b=4 no se me hicieron taaan explicados estan deducibles jeje ... pero si podrías escribir al menos un :porque el número x está muchisisisisimo más grande que el y... pero son detalles :)
osea que tienen 2 digitos y ninguno de esos son 0 o que tiene muchos digitos de los cuales solo 2 son 0?
ResponderBorrarTienen muchos dígitos, pero 2 de esos dígitos no son 0, puede ser un número de 2 dígitos como 23 (claro esto no cumple) o 3500000
ResponderBorrarmuchas gracias karina!
ResponderBorrarcomo son 2 cifras las distintas el numero se puede expresar como a⋅10m+b⋅10n donde n<m y 0<a.b<10 ahora sabemos que en esa exprecion se puede factorizar de la siguiente manera
ResponderBorrar10m(am−n+b) sabemos de antemano que am−n+b no es multiplo de 10, por ende m=2k
ahora, sabemos que z2≡0,1,4,9,6,5mod10 por ende b no es igual a 3 por lo tanto a=3
probemos casos
caso b=5
si la ultima cifra (b) es igual a 5, y tiene que ser cuadrado entonces tiene que ser multiplo de 25, pero por regla de divicion las ultimas cifras tienen que ser 00,25,50,75 pero las unicas posibles cifras son 05,35 en este caso la exprecion nos seria cuadrado
caso b=9
si la ultima cifra es 9, la suma de digitos da 12, por lo tanto es divisible entre 3 pero no entre 9, por ende no es cuadrado
caso b=6
36 cumple en esta cuestion al ser cuadrado perfecto, con m−n>1 las ultimas dos sifras serian 06 pero al ser par tiene que ser divisible entre 4 lo cual sabemos que no es sierto por ende unos numero que cumplen son de la forma 36⋅102k
caso b=1
sabemos que 31 no es cuadrado
en este caso 3∗10m−n+1=(x+y)2 donde m−n>1 ahora, y puede ser cualquier valor que yo le de ya que si me paso, la x seria negativa y llegariamos a la igualdad, asi que y=1 por que me combiene, entonces
3∗10m−n+1=x2+2x+1
3∗10m−n=x(2+x)
ahora sabemos q 3∗10m−n es par por ende x tiene que tener un factor 2 por ende lo puedo expresar como 2X(2X+2)
4X(X+1) por lo tanto 3⋅5m−n⋅2m−n−2=X(X+1) entonces, para encontrar X, debemos encontrar 2 divisores consecutivos, por ende deven de ser primos relativos, pero estos no existen ya que 3⋅2m−n−2 nunca sera consecutivo de 5m−n
caso b=4
ResponderBorrar34 no es cuadrado, 304=24∗19 tampoco es cuadrado por ende m−n>2
al terminar el numero en 04, sabemos de antemano que es multiplo de 4, por en de podemos divir todo el numero entre 4, ya que deberia de seguir siendo cuadrado
3∗10m−n+4=4(3∗5m−n∗2m−n−2+1)
3∗5m−n∗2m−n−2+1=x2+2x+1
3∗5m−n∗2m−n−2=x(2+x)
3∗5m−n∗2m−n−2 es par, para que cumpla la igualdad de arriba m−n>3
3∗5m−n∗2m−n−2=4X(1+X)
si 2m−n−2 es igual a 4, 3 no es consecutivo a 5m−n y si 2m−n−2 es mayor a 4 entonces 3∗2m−n−4 tampoco sera consecutivo a 5m−n
por ende b no puede ser igual a 4
y de antemano sabemos que b no puede ser igual a 0
@Chuyito: Muy bien n_n ... aunque los últimos argumentos de los casos b=1 b=4 no se me hicieron taaan explicados estan deducibles jeje ... pero si podrías escribir al menos un :porque el número x está muchisisisisimo más grande que el y... pero son detalles :)
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