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lunes, 24 de octubre de 2011
Problema del día, Teoría de números (24 de Octubre)
Encontrar todos los cuadrados que tienen solamente 2 dígitos que no son 0, uno de ellos 3
como son 2 cifras las distintas el numero se puede expresar como $ a \cdot 10^m + b \cdot 10^n $ donde $ n < m $ y $ 0 < a.b < 10 $ ahora sabemos que en esa exprecion se puede factorizar de la siguiente manera $ 10^m( a^{m-n} + b) $ sabemos de antemano que $a^{m-n} + b$ no es multiplo de 10, por ende $ m = 2k $ ahora, sabemos que $ z^2 \equiv 0,1,4,9,6,5 mod 10 $ por ende $b$ no es igual a $3$ por lo tanto $ a = 3 $
probemos casos caso $b = 5$ si la ultima cifra ($b$) es igual a 5, y tiene que ser cuadrado entonces tiene que ser multiplo de 25, pero por regla de divicion las ultimas cifras tienen que ser $00, 25, 50, 75$ pero las unicas posibles cifras son $05, 35$ en este caso la exprecion nos seria cuadrado
caso $b = 9$ si la ultima cifra es 9, la suma de digitos da 12, por lo tanto es divisible entre 3 pero no entre 9, por ende no es cuadrado
caso $b = 6$ 36 cumple en esta cuestion al ser cuadrado perfecto, con $ m-n>1 $ las ultimas dos sifras serian $06$ pero al ser par tiene que ser divisible entre $4$ lo cual sabemos que no es sierto por ende unos numero que cumplen son de la forma $36 \cdot 10^{2k}$
caso $b = 1$ sabemos que 31 no es cuadrado en este caso $3*10^{m-n} + 1 = (x + y)^2$ donde $m-n > 1$ ahora, $y$ puede ser cualquier valor que yo le de ya que si me paso, la $x$ seria negativa y llegariamos a la igualdad, asi que $ y = 1$ por que me combiene, entonces $ 3*10^{m-n} + 1 = x^2 + 2x +1$ $ 3*10^{m-n} = x(2 + x)$ ahora sabemos q $3*10^{m-n}$ es par por ende $x$ tiene que tener un factor 2 por ende lo puedo expresar como $2X(2X+2)$ $4X(X+1)$ por lo tanto $ 3 \cdot 5^{m-n} \cdot 2^{m-n-2} = X(X+1)$ entonces, para encontrar X, debemos encontrar 2 divisores consecutivos, por ende deven de ser primos relativos, pero estos no existen ya que $3 \cdot 2^{m-n-2}$ nunca sera consecutivo de $5^{m-n}$
caso $b = 4$ $34$ no es cuadrado, $304 = 2^4 * 19$ tampoco es cuadrado por ende $m-n > 2$ al terminar el numero en 04, sabemos de antemano que es multiplo de 4, por en de podemos divir todo el numero entre 4, ya que deberia de seguir siendo cuadrado $ 3*10^{m-n} + 4 = 4(3*5^{m-n}*2{m-n-2} +1)$ $ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} +1 = x^2 + 2x + 1 $ $ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} = x(2 + x)$ $ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2}$ es par, para que cumpla la igualdad de arriba $m-n >3$ $ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} = 4X(1 + X)$ si $2^{m-n-2}$ es igual a $4$, $3$ no es consecutivo a $5^{m-n}$ y si $2^{m-n-2}$ es mayor a $4$ entonces $3*2^{m-n-4}$ tampoco sera consecutivo a $5^{m-n}$ por ende b no puede ser igual a 4
y de antemano sabemos que b no puede ser igual a 0
@Chuyito: Muy bien n_n ... aunque los últimos argumentos de los casos b=1 b=4 no se me hicieron taaan explicados estan deducibles jeje ... pero si podrías escribir al menos un :porque el número x está muchisisisisimo más grande que el y... pero son detalles :)
osea que tienen 2 digitos y ninguno de esos son 0 o que tiene muchos digitos de los cuales solo 2 son 0?
ResponderBorrarTienen muchos dígitos, pero 2 de esos dígitos no son 0, puede ser un número de 2 dígitos como 23 (claro esto no cumple) o 3500000
ResponderBorrarmuchas gracias karina!
ResponderBorrarcomo son 2 cifras las distintas el numero se puede expresar como $ a \cdot 10^m + b \cdot 10^n $ donde $ n < m $ y $ 0 < a.b < 10 $ ahora sabemos que en esa exprecion se puede factorizar de la siguiente manera
ResponderBorrar$ 10^m( a^{m-n} + b) $ sabemos de antemano que $a^{m-n} + b$ no es multiplo de 10, por ende $ m = 2k $
ahora, sabemos que $ z^2 \equiv 0,1,4,9,6,5 mod 10 $ por ende $b$ no es igual a $3$ por lo tanto $ a = 3 $
probemos casos
caso $b = 5$
si la ultima cifra ($b$) es igual a 5, y tiene que ser cuadrado entonces tiene que ser multiplo de 25, pero por regla de divicion las ultimas cifras tienen que ser $00, 25, 50, 75$ pero las unicas posibles cifras son $05, 35$ en este caso la exprecion nos seria cuadrado
caso $b = 9$
si la ultima cifra es 9, la suma de digitos da 12, por lo tanto es divisible entre 3 pero no entre 9, por ende no es cuadrado
caso $b = 6$
36 cumple en esta cuestion al ser cuadrado perfecto, con $ m-n>1 $ las ultimas dos sifras serian $06$ pero al ser par tiene que ser divisible entre $4$ lo cual sabemos que no es sierto por ende unos numero que cumplen son de la forma $36 \cdot 10^{2k}$
caso $b = 1$
sabemos que 31 no es cuadrado
en este caso $3*10^{m-n} + 1 = (x + y)^2$ donde $m-n > 1$ ahora, $y$ puede ser cualquier valor que yo le de ya que si me paso, la $x$ seria negativa y llegariamos a la igualdad, asi que $ y = 1$ por que me combiene, entonces
$ 3*10^{m-n} + 1 = x^2 + 2x +1$
$ 3*10^{m-n} = x(2 + x)$
ahora sabemos q $3*10^{m-n}$ es par por ende $x$ tiene que tener un factor 2 por ende lo puedo expresar como $2X(2X+2)$
$4X(X+1)$ por lo tanto $ 3 \cdot 5^{m-n} \cdot 2^{m-n-2} = X(X+1)$ entonces, para encontrar X, debemos encontrar 2 divisores consecutivos, por ende deven de ser primos relativos, pero estos no existen ya que $3 \cdot 2^{m-n-2}$ nunca sera consecutivo de $5^{m-n}$
caso $b = 4$
ResponderBorrar$34$ no es cuadrado, $304 = 2^4 * 19$ tampoco es cuadrado por ende $m-n > 2$
al terminar el numero en 04, sabemos de antemano que es multiplo de 4, por en de podemos divir todo el numero entre 4, ya que deberia de seguir siendo cuadrado
$ 3*10^{m-n} + 4 = 4(3*5^{m-n}*2{m-n-2} +1)$
$ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} +1 = x^2 + 2x + 1 $
$ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} = x(2 + x)$
$ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2}$ es par, para que cumpla la igualdad de arriba $m-n >3$
$ 3*5^{m-n}*2^{m-n-2} = 4X(1 + X)$
si $2^{m-n-2}$ es igual a $4$, $3$ no es consecutivo a $5^{m-n}$ y si $2^{m-n-2}$ es mayor a $4$ entonces $3*2^{m-n-4}$ tampoco sera consecutivo a $5^{m-n}$
por ende b no puede ser igual a 4
y de antemano sabemos que b no puede ser igual a 0
@Chuyito: Muy bien n_n ... aunque los últimos argumentos de los casos b=1 b=4 no se me hicieron taaan explicados estan deducibles jeje ... pero si podrías escribir al menos un :porque el número x está muchisisisisimo más grande que el y... pero son detalles :)
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