Se tiene un tablero de n x n pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero: Escoger un rectángulo en la cuadrícula tal que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo (es decir, los cuadritos del rectángulo que eran negros se convierten en blancos y los que eran blancos, se convierten en negros).
Encuentra para que n's es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario.
Se puede para todas las n mayores a 2; no estoy seguro del caso n=1.
ResponderBorrarSi n=2, el único rectángulo que se puede tomar es de 2*2 (no se puede tomar de 1*2 porque tienen diferente paridad ni 1*1 porque lo dice el problema) y esa operación no cambia la cantidad de blancos y negros.
Si n es impar es posible, se toman rectángulos de 1*n, y se invierten los colores columna por columna salteando una y van a quedar todas las filas de un solo color alternando entre blanco y negro, que se pueden dejar todos iguales invirtiendo los colores con un rectángulo de 1*n.
Si n=4 también se puede (lo comprobé encontrando una forma pero no se como explicarla, tal vez mañana).
Si es posible para n, entonces es posible también para nk (solo se hace el mismo procedimiento en k^2 cuadriculas), como se puede para todo impar y para 4, se puede para todo número que tenga almenos dos factores 2 o almenos uno impar, y el único número que no cumple ninguna de estas dos condiciones es el 2 que ya habia dicho que no es posible.
SPDG podemos decir que queremos que todos los cuadros sean blancos
ResponderBorrarcaso $n = 1$
es trivial, ya todos los cuadritos (el unico) son del mismo color
caso $ n = 2k + 1 $ donde $k > 0$
entonces puedo seleccionar rectángulos de de $1*n$, si se seleccionan una fila si y una no de rectángulos del tamaño antes mencionado, sin importar con cual si se empieza con una si o con una no, se forman columnas de un mismo color, estas seran de $n*1$ como se esta permitido formar rectangulos de esas dimenciones, cada columna negra se la podremos convertir en blanca, por lo tanto cumplen
caso $ n = 2^x\cdot(2k + 1)^y $
en este caso el cuadrado puede ser dividido en $2^{2x}$
cuadrados de (2k + 1)^y por lado, como cada cuadrito de esos cumple con el caso de arriva entonces tambien cumple para este caso
caso $ n = 2 $
en este caso los unicos rectangulos que caben son los de $2*2$ pero como esos son del mismos tamaño que el cuadrado entonces no pueden cambiar nada, por ende este cuadrado en particular no puede ser cambiado todos los cuadrados a un solo color
caso $ n = 2^x $ donde $ x > 1$
en este caso sabemos que $4|n$ entonces podemos dividir el cuadrado en rectangulos de $4*n$, ahora de las 4 filas, seleccionamos el rectangulo $2*n$ para las filas 2 y 3, de tal manera que al cambiar los negros de la fila 2 coinsidiran con la de la 1 y los de la fila 3 con la 4, se vuelve a seleccionar un rectangulo de las mismas dimenciones pero ahora para la fila 3 y 4, de tal manera que quedan columnas blancas y negras intercaladas,
a su ves dividimos el rectangulo en cuadrados de $4*4$, si se puede con esos cuadrados cambiar el color tambien con los rectangulos y por ende con los cuadrados en general, si se seleccionan las columnas 1 y 2 con un rectangulo de 4*2, se conseguira que en las columnas 3 y 2 sean del mismo color, si se seleccionan estas columnas, el cuadrado queda del mismo color, analogamente se podra con el resto del cuadrado y por ende de esta forma cumple tabien
Todos los naturales excepto 2.
ResponderBorrarn=1, solo hay un cuadro, asi que todos seran del mismo color.
Para n impar, tomamos las columnas impares y las cambiamos completamente, que si podemos porque 1 y n son impares. Ahora cambiamos los renglones pares, y nos quede todo del mismo color.
Si n es multiplo de algun impar k que no sea 1, podemos separar el tablero en $(\frac{n}{k})^2$ tableros mas pequeños de k x k. Cada uno por separado se pueden hacer del mismo color, asi todos seran del mismo.
Vemos n=4
$ \begin{pmatrix}O&X&O&X\\X&O&X&O\\O&X&O&X\\X&O&X&O\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}O&O&X&X\\X&X&O&O\\O&O&X&X\\X&X&O&O\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}O&O&X&X\\X&X&O&O\\X&X&O&O\\O&O&X&X\end{pmatrix} \rightarrow$
$ \begin{pmatrix}O&O&X&X\\O&O&X&X\\O&O&X&X\\O&O&X&X\end{pmatrix} \rightarrow
\begin{pmatrix}O&O&O&O\\O&O&O&O\\O&O&O&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}$
Y para todas las potencias de 2 las dividimos en cuadrados de 4x4, que si se pueden poner todos del mismo color.
Esto nos da todos los naturales excepto el 2, que no se puede porque la unica operacion posible es cambiar todo el cuadrado, y nos deja con la misma cantidad de blancos y negros.