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domingo, 30 de octubre de 2011
Problema del día, Teoría de números (31 de Octubre)
apenas he resuelto el primero: si a ambos lados le sumamos un xy tenemos $x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy$ y es igual a $(x+y)^2=xy(xy+1)$ podemos ver aqui que el los numeros del miembro derecho son primos relativos y el miembro izquierdo es un cuadrado perfecto, por lo que al no tener factores primos en comun xy y xy+1, entonces ambos numeros deben ser cuadrados perfectos o los dos negativos de un cuadrado como -4. para cumplir esto dos cuadrados seguidos serian -1 y 0 ó 0 y 1 para los numeros del miembro derecho. para el primer caso xy=-1 entonces uno es -1 y el otro 1. con esto se cunple toda la ecuacion pues (1-1)^2=(-1)(1)((-1)(1)+1)=0 para el segundo caso es xy=0 entonces uno debe ser 0, pero para que se cumpla la igualdad en el miembro izquierdo, el otro debe ser 0 tambien. (0+0)^2=(0)(0)((0)(0)+1)=0 dando que otra pareja seria 0,0. entonces (-1,1),(1,-1) y (0,0) cumplen ya no hay mas porque no hay mas cuadrados seguidos.
apenas he resuelto el primero:
ResponderBorrarsi a ambos lados le sumamos un xy tenemos
$x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy$
y es igual a
$(x+y)^2=xy(xy+1)$
podemos ver aqui que el los numeros del miembro derecho son primos relativos y el miembro izquierdo es un cuadrado perfecto, por lo que al no tener factores primos en comun xy y xy+1, entonces ambos numeros deben ser cuadrados perfectos o los dos negativos de un cuadrado como -4. para cumplir esto dos cuadrados seguidos serian -1 y 0 ó 0 y 1 para los numeros del miembro derecho.
para el primer caso xy=-1 entonces uno es -1 y el otro 1. con esto se cunple toda la ecuacion pues
(1-1)^2=(-1)(1)((-1)(1)+1)=0
para el segundo caso es xy=0 entonces uno debe ser 0, pero para que se cumpla la igualdad en el miembro izquierdo, el otro debe ser 0 tambien.
(0+0)^2=(0)(0)((0)(0)+1)=0
dando que otra pareja seria 0,0.
entonces (-1,1),(1,-1) y (0,0) cumplen
ya no hay mas porque no hay mas cuadrados seguidos.