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miércoles, 5 de octubre de 2011
Problema del dia. Algebra. (5 de Octubre)
Sean $x,y,z$ números reales mayores que $1$ que satisfacen $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$.
si elevamos al cuadradotenemos P.D. $x+y+z\ge{(x-1)+(y-1)+(z-1)+2(\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)})}$
si lo acomodamos tenemos P.D. $x+y+z\ge{x+y+z-3+2(\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)})}$
y lo comprobamos si esto es cierto P.D. $\frac{3}{2}\ge{\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)}}$
sabemos que esta desigualdad es cierta $\frac{(x-1)+(y-1)}{2}\ge{\sqrt{(x-1)(y-1)}}$
mi idea fue de demostrar que esta parte era menor que 1/2 $\sqrt{(x-1)(y-1)}$ porque si fuera asi entonces seria analogamente para las otras dos raices.
a mi lo primero que se me ocurrio fue elevar al cuadrado pero de ahi en adelante no he podido avanzar nada no se me a acurrido nada pero lo segure intentadno
ahora esto es lo que llevo: primero elvo al cuadrado $x\$$+y\$$+z\$>=$(x-1)\$$+(y-1)\$$+(z-1)\$$+(2)\$\sqrt{(x-1)(y-1)}\$$\sqrt{(x-1)(z-1)}\$$\sqrt{(y-1)(z-1)}\$ y luego si simplificamos algunas cosas $x\$$+y\$$+z\$>=$x\$$+y\$$+z\$$-3\$$+(2)\$\sqrt{(x-1)(y-1)}\$$\sqrt{(x-1)(z-1)}\$$\sqrt{(y-1)(z-1)}\$ y eso es lo unico que llevo asta ahorita lo seguire intentando
Primero me fije que $\sqrt{x-1}=\sqrt{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ y por MA-MG $\frac{(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x}+1)}{2}=\sqrt{x}\geq\sqrt{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ y por tanto $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$ Luego traté de demostrar que $\sqrt{x+y+z}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ saqué por MC-MA que $\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}\geq\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}$ pero no supe como concluirlo.
Hasta ahora no llevo mucho avance pero e sacado que si sacamos los cuadrados nos sale que: P.D. X+Y+Z≥(X-1)+(Y-1)+(Z-1)+2((√X-1*√Y-1)+(√X-1*√Z-1)+(√Y-1*√Z-1)) por lo que P.D. X+Y+Z≥X+Y+Z-3+2((√X-1*√Y-1)+(√X-1*√Z-1)+(√Y-1*√Z-1)) La verdad no e desarrollado mucho, esto es lo que llevo hasta ahora de avance, buscare la forma de juntar esto con la primera expresion que nos da, aunque por esa expresion me da la leve sospecha de que se tiene que usar media armonica o algo asi jeje. Seguire trabajando con esto a ver que sale.
Una disculpa ayer tuve un contratiempo y no pude comentar a tiempo, espero no se tenga problema y mi aportación sea correcta!
Si se eleva al cuadrado en ambos lados la desigualdad se obtiene que: $x+y+z \ge (x-1) + (y-1) + (z-1) + 2\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + 2\sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + 2\sqrt{x-1}\sqrt{z-1}$ Después se obtiene: $\rightarrow$ $0 \ge -3 + 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + \sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$ Llamaremos a la siguiente desigualdad $\alpha$: $3 \ge 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + \sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$ Por Media Aritmética – Media Geométrica: $\frac{(x-1) + (y-1)}{2} \ge \sqrt{x-1}\sqrt{y-1}$ $\rightarrow$ $x + y -2 \ge 2\sqrt{x-1}\sqrt{y-1}$ Análogamente: $y + z -2 \ge 2\sqrt{y-1}\sqrt{z-1}$ $x + z -2 \ge 2\sqrt{x-1}\sqrt{z-1}$ Al sumar estas tres desigualdades: $2(x + y + z -3) \ge 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1}\sqrt{z-1} +\sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$ Y observamos que en la parte derecha de la desigualdad se obtiene el mismo valor que en $\alpha$. Aun no completo el problema, seguiré trabajando.
@Todos: En general hicieron mas o menos lo mismo, la razón por la que no han acabado, o por la que no se han dado cuenta si su aproximación funciona o no, es porque no han utilizado la condición. Siempre es importante usar la condición si te dan alguna.
es la primera vez que uso latex, a ver si sale bien
ResponderBorrarP.D.
$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}$
si elevamos al cuadradotenemos
P.D.
$x+y+z\ge{(x-1)+(y-1)+(z-1)+2(\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)})}$
si lo acomodamos tenemos
P.D.
$x+y+z\ge{x+y+z-3+2(\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)})}$
y lo comprobamos si esto es cierto
P.D.
$\frac{3}{2}\ge{\sqrt{(x-1)(y-1)}+\sqrt{(x-1)(z-1)}+\sqrt{(y-1)(z-1)}}$
sabemos que esta desigualdad es cierta
$\frac{(x-1)+(y-1)}{2}\ge{\sqrt{(x-1)(y-1)}}$
mi idea fue de demostrar que esta parte era menor que 1/2
$\sqrt{(x-1)(y-1)}$
porque si fuera asi entonces seria analogamente para las otras dos raices.
eso es lo que llevo hasta ahora
a mi lo primero que se me ocurrio fue elevar al cuadrado pero de ahi en adelante no he podido avanzar nada no se me a acurrido nada pero lo segure intentadno
ResponderBorrarahora esto es lo que llevo:
ResponderBorrarprimero elvo al cuadrado
$x\$$+y\$$+z\$>=$(x-1)\$$+(y-1)\$$+(z-1)\$$+(2)\$\sqrt{(x-1)(y-1)}\$$\sqrt{(x-1)(z-1)}\$$\sqrt{(y-1)(z-1)}\$
y luego si simplificamos algunas cosas
$x\$$+y\$$+z\$>=$x\$$+y\$$+z\$$-3\$$+(2)\$\sqrt{(x-1)(y-1)}\$$\sqrt{(x-1)(z-1)}\$$\sqrt{(y-1)(z-1)}\$
y eso es lo unico que llevo asta ahorita lo seguire intentando
no me quedo muy bien el latex jejejeje
ResponderBorrarPrimero me fije que
ResponderBorrar$\sqrt{x-1}=\sqrt{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
y por MA-MG
$\frac{(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x}+1)}{2}=\sqrt{x}\geq\sqrt{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
y por tanto
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$
Luego traté de demostrar que $\sqrt{x+y+z}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$
saqué por MC-MA que
$\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}\geq\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}$
pero no supe como concluirlo.
Hasta ahora no llevo mucho avance pero e sacado que si sacamos los cuadrados nos sale que:
ResponderBorrarP.D. X+Y+Z≥(X-1)+(Y-1)+(Z-1)+2((√X-1*√Y-1)+(√X-1*√Z-1)+(√Y-1*√Z-1))
por lo que
P.D.
X+Y+Z≥X+Y+Z-3+2((√X-1*√Y-1)+(√X-1*√Z-1)+(√Y-1*√Z-1))
La verdad no e desarrollado mucho, esto es lo que llevo hasta ahora de avance, buscare la forma de juntar esto con la primera expresion que nos da, aunque por esa expresion me da la leve sospecha de que se tiene que usar media armonica o algo asi jeje. Seguire trabajando con esto a ver que sale.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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ResponderBorrarUna disculpa ayer tuve un contratiempo y no pude comentar a tiempo, espero no se tenga problema y mi aportación sea correcta!
ResponderBorrarSi se eleva al cuadrado en ambos lados la desigualdad se obtiene que:
$x+y+z \ge (x-1) + (y-1) + (z-1) + 2\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + 2\sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + 2\sqrt{x-1}\sqrt{z-1}$
Después se obtiene:
$\rightarrow$ $0 \ge -3 + 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + \sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$
Llamaremos a la siguiente desigualdad $\alpha$:
$3 \ge 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1} \sqrt{z-1} + \sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$
Por Media Aritmética – Media Geométrica:
$\frac{(x-1) + (y-1)}{2} \ge \sqrt{x-1}\sqrt{y-1}$
$\rightarrow$ $x + y -2 \ge 2\sqrt{x-1}\sqrt{y-1}$
Análogamente:
$y + z -2 \ge 2\sqrt{y-1}\sqrt{z-1}$
$x + z -2 \ge 2\sqrt{x-1}\sqrt{z-1}$
Al sumar estas tres desigualdades:
$2(x + y + z -3) \ge 2(\sqrt{x-1}\sqrt{y-1} + \sqrt{y-1}\sqrt{z-1} +\sqrt{x-1}\sqrt{z-1})$
Y observamos que en la parte derecha de la desigualdad se obtiene el mismo valor que en $\alpha$.
Aun no completo el problema, seguiré trabajando.
@Todos: En general hicieron mas o menos lo mismo, la razón por la que no han acabado, o por la que no se han dado cuenta si su aproximación funciona o no, es porque no han utilizado la condición. Siempre es importante usar la condición si te dan alguna.
ResponderBorrar@isai: :) (gracias)
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