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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
sábado, 20 de octubre de 2012
Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)
Sean a y b enteros. Demostrar que la ecuacion (x−a)(x−b)(x−3)+1=0 admite a lo más una solución entera para x.
Despeje el 1 y me quedo (x−a)(x−b)(x−3)=−1 De ahi se divide en 2 casos. Si los 3 factores son iguales a −1 o si solo 1 de ellos es igual a −1 y los otros 2 a 1. Caso 1: 3 factores −1 Como los 3 factores seran −1 tenemos que a=b=3 x−3=−1 x=3−1 x=2
Caso 2: Solo 1 factor es −1
Esto se divide en cuando x−3=−1 y en x−3=1 Cuando x−3=−1, x=3−1=2 Entonces x−a y x−b deben de ser iguales a 1 Por lo tanto a=b y como x−a=1 y x=2, a=2−1=1
Si x−3=1, x=3+1=4 Suponemos que a es mayor o igual a b. x−a=−1. Entonces 4−a=−1 y 5=a Como debe de haber otro 1, b=3
(x−a)(x−b)(x−3)+1=0⇒(x−a)(x−b)(x−3)=−1⇒(x−a),(x−b),(x−3)={−1,1} En lo particular (x−3)={1,−1}⇒x={4,2} ∙x=4⇒(4−a)(4−b)(1)=−1 entonces tenemos 2 casos: 4−a=1⇒4−b=−1⇒a=3,b=5 4−a=−1⇒4−b=1⇒a=5,b=3 ∙x=2⇒(2−a)(2−b)(−1)=−1 entonces tenemos 2 casos: 2−a=1⇒2−b=−1⇒a=1,b=3 2−a=−1⇒2−b=1⇒a=3,b=1 Tenemos entonces que: Si (a,b)=(3,5)⇒x=4 Si (a,b)=(1,3)⇒x=2 Ya que a cada pareja (a,b) le corresponde un valor para x, solo existe una solución entera para x
En donde entra la a?
ResponderBorrarDespeje el 1 y me quedo (x−a)(x−b)(x−3)=−1
ResponderBorrarDe ahi se divide en 2 casos. Si los 3 factores son iguales a −1 o si solo 1 de ellos es igual a −1 y los otros 2 a 1.
Caso 1: 3 factores −1
Como los 3 factores seran −1 tenemos que a=b=3
x−3=−1
x=3−1
x=2
Caso 2: Solo 1 factor es −1
Esto se divide en cuando x−3=−1 y en x−3=1
Cuando x−3=−1, x=3−1=2
Entonces x−a y x−b deben de ser iguales a 1
Por lo tanto a=b y como x−a=1 y x=2, a=2−1=1
Si x−3=1, x=3+1=4
Suponemos que a es mayor o igual a b.
x−a=−1. Entonces 4−a=−1 y 5=a
Como debe de haber otro 1, b=3
Y esas son 2 soluciones: x=2 y $x=4
Se despeja la ecuacion y nos queda.
ResponderBorrar(x−a)(x−b)(x−3)=−1
Debemos tener una cantidad impar de −1 en los factores
a)x−3=1 o b)x−3=−1
a)Si x−3=1→x=4
x−a o x−b es negativo
Si x−a es negativo entonces a=5,b=3
si x−b es negativo entonces a=3,b=5
b)Si x=2
Entonces x−a y x−b son del mismo signo
Si x−a=1 x−b=1 ⇒ a=b=1
Si x−a=−1 x−b=−1 ⇒ a=b=3
∴
x=4ox=2
(x−a)(x−b)(x−3)+1=0⇒(x−a)(x−b)(x−3)=−1⇒(x−a),(x−b),(x−3)={−1,1}
ResponderBorrarEn lo particular (x−3)={1,−1}⇒x={4,2}
∙x=4⇒(4−a)(4−b)(1)=−1 entonces tenemos 2 casos:
4−a=1⇒4−b=−1⇒a=3,b=5
4−a=−1⇒4−b=1⇒a=5,b=3
∙x=2⇒(2−a)(2−b)(−1)=−1 entonces tenemos 2 casos:
2−a=1⇒2−b=−1⇒a=1,b=3
2−a=−1⇒2−b=1⇒a=3,b=1
Tenemos entonces que:
Si (a,b)=(3,5)⇒x=4
Si (a,b)=(1,3)⇒x=2
Ya que a cada pareja (a,b) le corresponde un valor para x, solo existe una solución entera para x