sábado, 20 de octubre de 2012

Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.

4 comentarios:

  1. Despeje el 1 y me quedo $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$
    De ahi se divide en 2 casos. Si los 3 factores son iguales a $-1$ o si solo 1 de ellos es igual a $-1$ y los otros 2 a $1$.
    Caso 1: 3 factores $-1$
    Como los 3 factores seran $-1$ tenemos que $a=b=3$
    $x-3=-1$
    $x=3-1$
    $x=2$

    Caso 2: Solo 1 factor es $-1$

    Esto se divide en cuando $x-3=-1$ y en $x-3=1$
    Cuando $x-3=-1$, $x=3-1=2$
    Entonces $x-a$ y $x-b$ deben de ser iguales a $1$
    Por lo tanto $a=b$ y como $x-a=1$ y $x=2$, $a=2-1=1$

    Si $x-3=1$, $x=3+1=4$
    Suponemos que a es mayor o igual a b.
    $x-a=-1$. Entonces $4-a=-1$ y $5=a$
    Como debe de haber otro 1, $b=3$

    Y esas son 2 soluciones: $x=2$ y $x=4

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  2. Se despeja la ecuacion y nos queda.
    $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$
    Debemos tener una cantidad impar de $-1$ en los factores
    a)$x-3=1$ o b)$x-3=-1$

    a)Si $x-3=1\rightarrow x=4$
    $x-a$ o $x-b$ es negativo
    Si $x-a$ es negativo entonces $a=5,b=3$
    si $x-b$ es negativo entonces $a=3,b=5$

    b)Si $x=2$
    Entonces $x-a$ y $x-b$ son del mismo signo
    Si $x-a=1$ $x-b=1$ $\Rightarrow$ $a=b=1$
    Si $x-a=-1$ $x-b=-1$ $\Rightarrow$ $a=b=3$

    $\therefore$
    $x=4 o x=2$

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  3. $(x-a)(x-b)(x-3)+1=0\Rightarrow(x-a)(x-b)(x-3)=-1\Rightarrow(x-a), (x-b), (x-3)=\{-1, 1\}$
    En lo particular $(x-3)=\{1, -1\}\Rightarrow x=\{4, 2\}$
    $\bullet x=4\Rightarrow (4-a)(4-b)(1)=-1$ entonces tenemos 2 casos:
    $4-a=1\Rightarrow 4-b=-1\Rightarrow a=3, b=5$
    $4-a=-1\Rightarrow 4-b=1\Rightarrow a=5, b=3$
    $\bullet x=2\Rightarrow (2-a)(2-b)(-1)=-1$ entonces tenemos 2 casos:
    $2-a=1\Rightarrow 2-b=-1\Rightarrow a=1, b=3$
    $2-a=-1\Rightarrow 2-b=1\Rightarrow a=3, b=1$
    Tenemos entonces que:
    Si $(a, b)=(3, 5)\Rightarrow x=4$
    Si $(a, b)=(1, 3)\Rightarrow x=2$
    Ya que a cada pareja $(a, b)$ le corresponde un valor para $x$, solo existe una solución entera para $x$

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