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sábado, 20 de octubre de 2012
Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)
Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.
Despeje el 1 y me quedo $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$ De ahi se divide en 2 casos. Si los 3 factores son iguales a $-1$ o si solo 1 de ellos es igual a $-1$ y los otros 2 a $1$. Caso 1: 3 factores $-1$ Como los 3 factores seran $-1$ tenemos que $a=b=3$ $x-3=-1$ $x=3-1$ $x=2$
Caso 2: Solo 1 factor es $-1$
Esto se divide en cuando $x-3=-1$ y en $x-3=1$ Cuando $x-3=-1$, $x=3-1=2$ Entonces $x-a$ y $x-b$ deben de ser iguales a $1$ Por lo tanto $a=b$ y como $x-a=1$ y $x=2$, $a=2-1=1$
Si $x-3=1$, $x=3+1=4$ Suponemos que a es mayor o igual a b. $x-a=-1$. Entonces $4-a=-1$ y $5=a$ Como debe de haber otro 1, $b=3$
$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0\Rightarrow(x-a)(x-b)(x-3)=-1\Rightarrow(x-a), (x-b), (x-3)=\{-1, 1\}$ En lo particular $(x-3)=\{1, -1\}\Rightarrow x=\{4, 2\}$ $\bullet x=4\Rightarrow (4-a)(4-b)(1)=-1$ entonces tenemos 2 casos: $4-a=1\Rightarrow 4-b=-1\Rightarrow a=3, b=5$ $4-a=-1\Rightarrow 4-b=1\Rightarrow a=5, b=3$ $\bullet x=2\Rightarrow (2-a)(2-b)(-1)=-1$ entonces tenemos 2 casos: $2-a=1\Rightarrow 2-b=-1\Rightarrow a=1, b=3$ $2-a=-1\Rightarrow 2-b=1\Rightarrow a=3, b=1$ Tenemos entonces que: Si $(a, b)=(3, 5)\Rightarrow x=4$ Si $(a, b)=(1, 3)\Rightarrow x=2$ Ya que a cada pareja $(a, b)$ le corresponde un valor para $x$, solo existe una solución entera para $x$
En donde entra la $a$?
ResponderBorrarDespeje el 1 y me quedo $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$
ResponderBorrarDe ahi se divide en 2 casos. Si los 3 factores son iguales a $-1$ o si solo 1 de ellos es igual a $-1$ y los otros 2 a $1$.
Caso 1: 3 factores $-1$
Como los 3 factores seran $-1$ tenemos que $a=b=3$
$x-3=-1$
$x=3-1$
$x=2$
Caso 2: Solo 1 factor es $-1$
Esto se divide en cuando $x-3=-1$ y en $x-3=1$
Cuando $x-3=-1$, $x=3-1=2$
Entonces $x-a$ y $x-b$ deben de ser iguales a $1$
Por lo tanto $a=b$ y como $x-a=1$ y $x=2$, $a=2-1=1$
Si $x-3=1$, $x=3+1=4$
Suponemos que a es mayor o igual a b.
$x-a=-1$. Entonces $4-a=-1$ y $5=a$
Como debe de haber otro 1, $b=3$
Y esas son 2 soluciones: $x=2$ y $x=4
Se despeja la ecuacion y nos queda.
ResponderBorrar$(x-a)(x-b)(x-3)=-1$
Debemos tener una cantidad impar de $-1$ en los factores
a)$x-3=1$ o b)$x-3=-1$
a)Si $x-3=1\rightarrow x=4$
$x-a$ o $x-b$ es negativo
Si $x-a$ es negativo entonces $a=5,b=3$
si $x-b$ es negativo entonces $a=3,b=5$
b)Si $x=2$
Entonces $x-a$ y $x-b$ son del mismo signo
Si $x-a=1$ $x-b=1$ $\Rightarrow$ $a=b=1$
Si $x-a=-1$ $x-b=-1$ $\Rightarrow$ $a=b=3$
$\therefore$
$x=4 o x=2$
$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0\Rightarrow(x-a)(x-b)(x-3)=-1\Rightarrow(x-a), (x-b), (x-3)=\{-1, 1\}$
ResponderBorrarEn lo particular $(x-3)=\{1, -1\}\Rightarrow x=\{4, 2\}$
$\bullet x=4\Rightarrow (4-a)(4-b)(1)=-1$ entonces tenemos 2 casos:
$4-a=1\Rightarrow 4-b=-1\Rightarrow a=3, b=5$
$4-a=-1\Rightarrow 4-b=1\Rightarrow a=5, b=3$
$\bullet x=2\Rightarrow (2-a)(2-b)(-1)=-1$ entonces tenemos 2 casos:
$2-a=1\Rightarrow 2-b=-1\Rightarrow a=1, b=3$
$2-a=-1\Rightarrow 2-b=1\Rightarrow a=3, b=1$
Tenemos entonces que:
Si $(a, b)=(3, 5)\Rightarrow x=4$
Si $(a, b)=(1, 3)\Rightarrow x=2$
Ya que a cada pareja $(a, b)$ le corresponde un valor para $x$, solo existe una solución entera para $x$