Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día. Geometría (31 de Octubre)

miércoles, 31 de octubre de 2012

1.Sea

$ABCD$ un rectángulo. Sobre el lado

$AB$ se toma un punto

$P$
tal que

$AP = AD$ , y sobre el lado

$AD$ se toma un punto

$Q$ tal que

$AQ = AB$ .
Si

$BD = 6$ , ¿cual es el área del cuadrilátero

$APCQ$ ?

2.Sea

$ABC$ un triangulo con

$\angle ACB = 2\angle CAB$ y

$\angle ABC > 90$ .La perpendicular a

$AB$ que pasa por

$A$ intersecta a

$BC$ en

$D$ . Demuestra que:

$\frac{1}{BC} -\frac{1}{DC}=\frac{2}{CA}$

Luis Chacón6 de diciembre de 2012, 6:51 p.m.
$1$
Sea $R$ la intersección de $QP,AC$ . $\triangle DAC\sim\triangle CBD$ . Como $AP=AD$ , $AB=AQ$ y $\angle QAP=\angle DCB=90$ entonces $\triangle QAP\sim \triangle DCB$ , además $PQ=AC=DB=6$ y $\angle AQR +\angle QAR= \angle AQP +\angle DBC=90$ ( $\angle QAR=\angle DAC=\angle DBC$ ), entonces $\angle ARQ=180-90=90$ .
$|APCQ|=\frac{1}{2}\sin (\angle ARQ)(AC)(QP)=\frac{1}{2} (1)(6)(6)=18$
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Unknown11 de noviembre de 2013, 8:46 p.m.
Buena solución:)
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