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miércoles, 24 de octubre de 2012
Problema del día, álgebra (24 de Octubre).
Sea n un número entero positivo mayor que 1. Encuentra todas las parejas de enteros (s,t) tal que las ecuaciones xn+sx−2007=0xn+tx−2008=0 tienen al menos una raíz real en común.
xn+sx−2007=0,xn+tx−2008=0 ⇒xn+sx−2007=xn+tx−2008 ⇒sx−2007=tx−2008 ⇒2008−2007=tx−sx ⇒1=x(t−s) ⇒1x=t−s Como s,t son enteros, s−t también lo es y 1x es entero, entonces x|1 y x=−1 o x=1. Si x=−1, 1=−1(t−s)=−t+s⇒s=t+1. Si x=1, 1=1(t−s)=t−s⇒t=s+1. Entonces para que cumplan deben ser enteros consecutivos Supongamos que s=t+1, entonces las ecuaciones quedan xn+(t+1)x−2007=xn+tx+x−2007=0,xn+tx−2008=0 ⇒xn+tx+x−2007=xn+tx−2008⇒x−2007=−2008⇒x=−1 y −1 es real. Supongamos que t=s+1, entonces las ecuaciones quedan xn+sx−2007=0,xn+(s+1)x−2008=xn+sx+x−2008=0 ⇒xn+sx−2007=xn+sx+x−2008⇒−2007=x−2008⇒x=1 y 1 es real. Por lo tanto todas las parejas de enteros consecutivos cumplen.
Si 1/x es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo x=1/2012 y ahi tienes que 1/x=2012. Lo que si sucede es que x=1/n donde n es un entero.
1=x(t−s)⇒x=1t−s (1t−s)n+s(1t−s)−2007=0 que es un entero. ⇒(1t−s)n−1+s−2007(t−s)=0 como s,2007(t−s) son enteros, (1t−s)n−1=1(t−s)n−1=y también debe serlo, ⇒1=(t−s)n−1y como ambos son enteros t−s|1 (porque como n>1, (t−s)n−1 tiene al menos un factor t−s) y |t−s|=1, y ya estaban los dos casos. Entonces son todos los pares de enteros consecutivos.
Despejamos ambas ecuaciones y nos queda x(xn−1+s)=2007 y x(xn−1+t)=2008
Factorice 2007 y 2008 y me di cuenta de que no tenian ningun factor en comun. Por lo tanto x es igual a 1.
Como las 2 ecuaciones son igual a 0 xn+tx−2008=xn+sx−2007 Restamos xn de ambos lados y dejamos los terminos con x de un solo lado y las unidades del otro. tx−sx=2008−2007 tx−sx=1 Pero ya sabemos que x=1 Entonces t−s=1 Por lo tanto para todas las parejas de enteros consecutivos hay una raiz real, la cual es 1.
Tenemos que: xn+sx−2007=xn+tx−2008=0 Despejamos y tenemos que: sx−2007=tx−2008⇒tx−sx=x(t−s)=1⇒t−s=1x t∈Z,s∈Z⇒t−s∈Z⇒1x∈Z⇒x|1⇒x={−1,1} ∙x=1⇒x(t−s)=t−s=1⇒t=s+1 ∙x=−1⇒x(t−s)=−(t−s)=s−t=1⇒s=t+1 ∙∙t=s+1⇒xn+sx−2007=xn+(s+1)x−2008⇒0=x−1⇒x=1∈R\checkmark ∙∙s=t+1⇒xn+tx−2008=xn+(t+1)x−2007⇒x=−1∈R\checkmark De aquí que todas las parejas de enteros consecutivos (s=t+1, t=s+1) cumplen.
Si 1/x es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo x=1/2012 y ahi tienes que 1/x=2012. Lo que si sucede es que x=1/n donde n es un entero.
Tenemos por despeje que: xn+sx=2007 xn+tx=2008 ⇒ xn+sx+1=2008 xn+sx+1=xn+tx xn+sx−xn−tx=−1 x(s−t)=−1 Pero sabemos que s<t∴s−t=−1 entonces x=1 y s+1=t Tenemos que cualquier pareja de enteros consecutivos cumple
xn+sx−2007=0,xn+tx−2008=0
ResponderBorrar⇒xn+sx−2007=xn+tx−2008
⇒sx−2007=tx−2008
⇒2008−2007=tx−sx
⇒1=x(t−s)
⇒1x=t−s
Como s,t son enteros, s−t también lo es y 1x es entero, entonces x|1 y x=−1 o x=1.
Si x=−1, 1=−1(t−s)=−t+s⇒s=t+1.
Si x=1, 1=1(t−s)=t−s⇒t=s+1.
Entonces para que cumplan deben ser enteros consecutivos
Supongamos que s=t+1, entonces las ecuaciones quedan xn+(t+1)x−2007=xn+tx+x−2007=0,xn+tx−2008=0
⇒xn+tx+x−2007=xn+tx−2008⇒x−2007=−2008⇒x=−1 y −1 es real.
Supongamos que t=s+1, entonces las ecuaciones quedan xn+sx−2007=0,xn+(s+1)x−2008=xn+sx+x−2008=0
⇒xn+sx−2007=xn+sx+x−2008⇒−2007=x−2008⇒x=1 y 1 es real.
Por lo tanto todas las parejas de enteros consecutivos cumplen.
Si 1/x es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo x=1/2012 y ahi tienes que 1/x=2012. Lo que si sucede es que x=1/n donde n es un entero.
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Borrar1=x(t−s)⇒x=1t−s
Borrar(1t−s)n+s(1t−s)−2007=0 que es un entero.
⇒(1t−s)n−1+s−2007(t−s)=0 como s,2007(t−s) son enteros, (1t−s)n−1=1(t−s)n−1=y también debe serlo,
⇒1=(t−s)n−1y como ambos son enteros t−s|1 (porque como n>1, (t−s)n−1 tiene al menos un factor t−s) y |t−s|=1, y ya estaban los dos casos.
Entonces son todos los pares de enteros consecutivos.
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ResponderBorrarDespejamos ambas ecuaciones y nos queda x(xn−1+s)=2007 y x(xn−1+t)=2008
ResponderBorrarFactorice 2007 y 2008 y me di cuenta de que no tenian ningun factor en comun. Por lo tanto x es igual a 1.
Como las 2 ecuaciones son igual a 0
xn+tx−2008=xn+sx−2007
Restamos xn de ambos lados y dejamos los terminos con x de un solo lado y las unidades del otro.
tx−sx=2008−2007
tx−sx=1
Pero ya sabemos que x=1
Entonces t−s=1
Por lo tanto para todas las parejas de enteros consecutivos hay una raiz real, la cual es 1.
¿Sí se puede usar el argumento de que x divide a 2007 y a 2008? Estás buscando raíces reales...
BorrarTenemos que:
ResponderBorrarxn+sx−2007=xn+tx−2008=0
Despejamos y tenemos que:
sx−2007=tx−2008⇒tx−sx=x(t−s)=1⇒t−s=1x
t∈Z,s∈Z⇒t−s∈Z⇒1x∈Z⇒x|1⇒x={−1,1}
∙x=1⇒x(t−s)=t−s=1⇒t=s+1
∙x=−1⇒x(t−s)=−(t−s)=s−t=1⇒s=t+1
∙∙t=s+1⇒xn+sx−2007=xn+(s+1)x−2008⇒0=x−1⇒x=1∈R\checkmark
∙∙s=t+1⇒xn+tx−2008=xn+(t+1)x−2007⇒x=−1∈R\checkmark
De aquí que todas las parejas de enteros consecutivos (s=t+1, t=s+1) cumplen.
Si 1/x es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo x=1/2012 y ahi tienes que 1/x=2012. Lo que si sucede es que x=1/n donde n es un entero.
BorrarTenemos por despeje que:
ResponderBorrarxn+sx=2007
xn+tx=2008
⇒
xn+sx+1=2008
xn+sx+1=xn+tx
xn+sx−xn−tx=−1
x(s−t)=−1
Pero sabemos que s<t∴s−t=−1 entonces x=1 y s+1=t
Tenemos que cualquier pareja de enteros consecutivos cumple