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miércoles, 24 de octubre de 2012
Problema del día, álgebra (24 de Octubre).
Sea $n$ un número entero positivo mayor que 1. Encuentra todas las parejas de enteros $(s,t)$ tal que las ecuaciones \[x^n+sx-2007=0\]\[x^n+tx-2008=0\] tienen al menos una raíz real en común.
$x^n+sx-2007=0, x^n+tx-2008=0$ $\Rightarrow x^n+sx-2007=x^n+tx-2008$ $\Rightarrow sx-2007=tx-2008$ $\Rightarrow 2008-2007=tx-sx$ $\Rightarrow 1=x(t-s)$ $\Rightarrow \frac{1}{x}=t-s$ Como $s,t$ son enteros, $s-t$ también lo es y $\frac{1}{x}$ es entero, entonces $x|1$ y $x=-1$ o $x=1$. Si $x=-1$, $1=-1(t-s)=-t+s \Rightarrow s=t+1$. Si $x=1$, $1=1(t-s)=t-s \Rightarrow t=s+1$. Entonces para que cumplan deben ser enteros consecutivos Supongamos que $s=t+1$, entonces las ecuaciones quedan $x^n+(t+1)x-2007=x^n+tx+x-2007=0, x^n+tx-2008=0$ $\Rightarrow x^n+tx+x-2007=x^n+tx-2008 \Rightarrow x-2007=-2008 \Rightarrow x=-1$ y $-1$ es real. Supongamos que $t=s+1$, entonces las ecuaciones quedan $x^n+sx-2007=0, x^n+(s+1)x-2008=x^n+sx+x-2008=0$ $\Rightarrow x^n+sx-2007=x^n+sx+x-2008 \Rightarrow -2007=x-2008 \Rightarrow x=1$ y $1$ es real. Por lo tanto todas las parejas de enteros consecutivos cumplen.
Si $1/x$ es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo $x=1/2012$ y ahi tienes que $1/x=2012$. Lo que si sucede es que $x=1/n$ donde $n$ es un entero.
$1=x(t-s) \Rightarrow x=\frac{1}{t-s}$ $(\frac{1}{t-s})^n+s(\frac{1}{t-s})-2007=0$ que es un entero. $\Rightarrow (\frac{1}{t-s})^{n-1}+s-2007(t-s)=0$ como $s,2007(t-s)$ son enteros, $(\frac{1}{t-s})^{n-1}=\frac{1}{(t-s)^{n-1}}=y$ también debe serlo, $\Rightarrow 1=(t-s)^{n-1}y$ como ambos son enteros $t-s|1$ (porque como $n>1$, $(t-s)^{n-1}$ tiene al menos un factor $t-s$) y $|t-s|=1$, y ya estaban los dos casos. Entonces son todos los pares de enteros consecutivos.
Despejamos ambas ecuaciones y nos queda $x(x^{n-1}+s)=2007$ y $x(x^{n-1}+t)=2008$
Factorice $2007$ y $2008$ y me di cuenta de que no tenian ningun factor en comun. Por lo tanto $x$ es igual a $1$.
Como las 2 ecuaciones son igual a 0 $x^n+tx-2008=x^n+sx-2007$ Restamos $x^n$ de ambos lados y dejamos los terminos con $x$ de un solo lado y las unidades del otro. $tx-sx=2008-2007$ $tx-sx=1$ Pero ya sabemos que $x=1$ Entonces $t-s=1$ Por lo tanto para todas las parejas de enteros consecutivos hay una raiz real, la cual es $1$.
Si $1/x$ es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo $x=1/2012$ y ahi tienes que $1/x=2012$. Lo que si sucede es que $x=1/n$ donde $n$ es un entero.
Tenemos por despeje que: $x^n+sx=2007$ $x^n+tx=2008$ $\Rightarrow$ $x^n+sx+1=2008$ $x^n+sx+1=x^n+tx$ $x^n+sx-x^n-tx=-1$ $x(s-t)=-1$ Pero sabemos que $s<t\therefore s-t=-1$ entonces $x=1$ y $s+1=t$ Tenemos que cualquier pareja de enteros consecutivos cumple
$x^n+sx-2007=0, x^n+tx-2008=0$
ResponderBorrar$\Rightarrow x^n+sx-2007=x^n+tx-2008$
$\Rightarrow sx-2007=tx-2008$
$\Rightarrow 2008-2007=tx-sx$
$\Rightarrow 1=x(t-s)$
$\Rightarrow \frac{1}{x}=t-s$
Como $s,t$ son enteros, $s-t$ también lo es y $\frac{1}{x}$ es entero, entonces $x|1$ y $x=-1$ o $x=1$.
Si $x=-1$, $1=-1(t-s)=-t+s \Rightarrow s=t+1$.
Si $x=1$, $1=1(t-s)=t-s \Rightarrow t=s+1$.
Entonces para que cumplan deben ser enteros consecutivos
Supongamos que $s=t+1$, entonces las ecuaciones quedan $x^n+(t+1)x-2007=x^n+tx+x-2007=0, x^n+tx-2008=0$
$\Rightarrow x^n+tx+x-2007=x^n+tx-2008 \Rightarrow x-2007=-2008 \Rightarrow x=-1$ y $-1$ es real.
Supongamos que $t=s+1$, entonces las ecuaciones quedan $x^n+sx-2007=0, x^n+(s+1)x-2008=x^n+sx+x-2008=0$
$\Rightarrow x^n+sx-2007=x^n+sx+x-2008 \Rightarrow -2007=x-2008 \Rightarrow x=1$ y $1$ es real.
Por lo tanto todas las parejas de enteros consecutivos cumplen.
Si $1/x$ es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo $x=1/2012$ y ahi tienes que $1/x=2012$. Lo que si sucede es que $x=1/n$ donde $n$ es un entero.
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Borrar$1=x(t-s) \Rightarrow x=\frac{1}{t-s}$
Borrar$(\frac{1}{t-s})^n+s(\frac{1}{t-s})-2007=0$ que es un entero.
$\Rightarrow (\frac{1}{t-s})^{n-1}+s-2007(t-s)=0$ como $s,2007(t-s)$ son enteros, $(\frac{1}{t-s})^{n-1}=\frac{1}{(t-s)^{n-1}}=y$ también debe serlo,
$\Rightarrow 1=(t-s)^{n-1}y$ como ambos son enteros $t-s|1$ (porque como $n>1$, $(t-s)^{n-1}$ tiene al menos un factor $t-s$) y $|t-s|=1$, y ya estaban los dos casos.
Entonces son todos los pares de enteros consecutivos.
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ResponderBorrarDespejamos ambas ecuaciones y nos queda $x(x^{n-1}+s)=2007$ y $x(x^{n-1}+t)=2008$
ResponderBorrarFactorice $2007$ y $2008$ y me di cuenta de que no tenian ningun factor en comun. Por lo tanto $x$ es igual a $1$.
Como las 2 ecuaciones son igual a 0
$x^n+tx-2008=x^n+sx-2007$
Restamos $x^n$ de ambos lados y dejamos los terminos con $x$ de un solo lado y las unidades del otro.
$tx-sx=2008-2007$
$tx-sx=1$
Pero ya sabemos que $x=1$
Entonces $t-s=1$
Por lo tanto para todas las parejas de enteros consecutivos hay una raiz real, la cual es $1$.
¿Sí se puede usar el argumento de que x divide a 2007 y a 2008? Estás buscando raíces reales...
BorrarTenemos que:
ResponderBorrar$x^{n}+sx-2007=x^{n}+tx-2008=0$
Despejamos y tenemos que:
$sx-2007=tx-2008\Rightarrow tx-sx=x(t-s)=1\Rightarrow t-s=\frac{1}{x}$
$t \in \mathbb{Z}, s \in \mathbb{Z} \Rightarrow t-s \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{1}{x} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x|1 \Rightarrow x=\{-1, 1\}$
$\bullet x=1\Rightarrow x(t-s)=t-s=1\Rightarrow t=s+1$
$\bullet x=-1\Rightarrow x(t-s)=-(t-s)=s-t=1\Rightarrow s=t+1$
$\bullet \bullet t=s+1\Rightarrow x^{n}+sx-2007=x^{n}+(s+1)x-2008\Rightarrow 0=x-1\Rightarrow x=1 \in \mathbb{R} \text{\checkmark}$
$\bullet \bullet s=t+1\Rightarrow x^{n}+tx-2008=x^{n}+(t+1)x-2007\Rightarrow x=-1 \in \mathbb{R} \text{\checkmark}$
De aquí que todas las parejas de enteros consecutivos (s=t+1, t=s+1) cumplen.
Si $1/x$ es entero, no necesariamente implica que x es entero, por ejemplo $x=1/2012$ y ahi tienes que $1/x=2012$. Lo que si sucede es que $x=1/n$ donde $n$ es un entero.
BorrarTenemos por despeje que:
ResponderBorrar$x^n+sx=2007$
$x^n+tx=2008$
$\Rightarrow$
$x^n+sx+1=2008$
$x^n+sx+1=x^n+tx$
$x^n+sx-x^n-tx=-1$
$x(s-t)=-1$
Pero sabemos que $s<t\therefore s-t=-1$ entonces $x=1$ y $s+1=t$
Tenemos que cualquier pareja de enteros consecutivos cumple