Aplicar un desliz a un entero n≥2 significa tomar cualquier primo p que divida a n y reemplazar n por n+p2p
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que 5 y se le aplica un desliz. Al número así obtenido de le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5
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ResponderBorrarSi n=p es primo queda p+p2p=p+1 (sólo se puede usar n porque es el único primo que lo divide).
ResponderBorrarPrimero voy a demostrar que al hacer un desliz (o dos si n=p) a un número mayor o igual a 10 el número siempre disminuye en al menos 2.
n+p2p=np+p. Sea m=np,(m)(p)=n
*m=2. 2+p≤2p−3⇔5≤p que es cierto porque n≥10.
*p=2. n2+2≤n−3⇔n+4≤2n−6⇔10≤n que es cierto.
*m,p≥3. SPDG: m≤p (el otro caso es igual). m+p≤2p=3p−p≤3p−3≤mp−3=n−3
Vemos 5≤n≤9:
*n=5: 55+5=6. 5→6→5
*n=6: 62+2=5 o 63+3=5. 6→5
*n=7: 77+7=8. 7→8→6→5
*n=8: 82+2=6. 8→6→5
*n=9: 93+3=6. 9→6→5
Como siempre decrece, eventualmente llegará a uno de estos 5 números que sabemos que llega a 5; sólo hay que demostrar que no llega a 2,3,4. m≤1,p≤2, entonces no llega a 2 y para 3 deben ser esos valores específicos entonces p=2,n=p=2 (porque n2=1), pero a 2 no se puede llegar. Para llegar a 4, p=2,3, p=2→n2+2=4→n=2, p=3→n3+3=4→n=3 pero ni a 2 ni a 3 se puede llegar.
Por lo tanto siempre se llega a 5.