Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y reemplazar $n$ por $\frac{n+p^{2}}{p}$
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido de le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número $5$
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarSi $n=p$ es primo queda $\frac{p+p^2}{p}=p+1$ (sólo se puede usar $n$ porque es el único primo que lo divide).
ResponderBorrarPrimero voy a demostrar que al hacer un desliz (o dos si $n=p$) a un número mayor o igual a 10 el número siempre disminuye en al menos 2.
$\frac{n+p^2}{p}=\frac{n}{p}+p$. Sea $m=\frac{n}{p}, (m)(p)=n$
*$m=2$. $2+p\leq 2p-3 \Leftrightarrow 5\leq p$ que es cierto porque $n\geq 10$.
*$p=2$. $\frac{n}{2}+2\leq n-3 \Leftrightarrow n+4\leq 2n-6 \Leftrightarrow 10\leq n$ que es cierto.
*$m,p\geq 3$. SPDG: $m\leq p$ (el otro caso es igual). $m+p\leq 2p=3p-p\leq 3p-3\leq mp-3=n-3$
Vemos $5\leq n \leq 9$:
*$n=5$: $\frac{5}{5}+5=6$. $5\rightarrow 6\rightarrow 5$
*$n=6$: $\frac{6}{2}+2=5$ o $\frac{6}{3}+3=5$. $6\rightarrow 5$
*$n=7$: $\frac{7}{7}+7=8$. $7\rightarrow 8\rightarrow 6\rightarrow 5$
*$n=8$: $\frac{8}{2}+2=6$. $8\rightarrow 6\rightarrow 5$
*$n=9$: $\frac{9}{3}+3=6$. $9\rightarrow 6\rightarrow 5$
Como siempre decrece, eventualmente llegará a uno de estos 5 números que sabemos que llega a 5; sólo hay que demostrar que no llega a 2,3,4. $m\leq 1, p\leq 2$, entonces no llega a 2 y para 3 deben ser esos valores específicos entonces $p=2, n=p=2$ (porque $\frac{n}{2}=1$), pero a 2 no se puede llegar. Para llegar a 4, $p=2,3$, $p=2 \rightarrow \frac{n}{2}+2=4 \rightarrow n=2$, $p=3 \rightarrow \frac{n}{3}+3=4 \rightarrow n=3$ pero ni a 2 ni a 3 se puede llegar.
Por lo tanto siempre se llega a 5.