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sábado, 13 de octubre de 2012
Problema del dia. Combinatoria (13 Octubre)
Se tienen $1985$ enteros positivos no necesariamente diferentes tales que ninguno tiene un factor primo mayor a $23$, Muestre que hay $4$ de ellos tales que su producto es la $4$º potencia de un numero entero
Si ninguno tiene un factor primo mayor a 23, entonces en los 1985 numeros de la lista existen a lo mas 9 factores primos, luego veo que por casillas existe un factor primo que aparece en al menos 220 numeros.Luego veo que para que exista lo que nos piden deberan aparecer cada factor primo del producto de los 4 numeros exacatamente 4k veces. Para demostrarlo intento yendome por contradiccion,entonces supongo que no es posible. Veo que hay $\binom{1985}{4}$ productos de 4 enteros.Luego me fijo que en el menor deben aparecer al menos 2 factopres primos distintos, para que este no sea una cuarta potencia,entonces el menor producto a lo menos es 24 y sea n la mayor potencia a la que esta elevada un primo en la factorizacion de un numero,el mayor numero es $2^{n-1}(3*5*7*...*23)^n$ no he hecho mucho hasta ahi he llegado, aun no puedo llegar a una contradiccion.
Tenemos que los 1935 numeros solo pueden tener de factores a $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ que son 9 numeros en total. Como son 1935 numeros, por casillas habra al menos 221 numeros que tengan un factor en comun. Para que haya 4 numeros cuyo producto sea un entero al cuadrado necesitaremos que las suma de las potencias de cada primo sea un multiplo de 4 en cada primo.
pido que la multiplicación de 4 números sea un numero a la 4ta, quizá es demasiado complejo resolverlo de un solo jalón, quizá tal vez si ves que pasa cuando multiplicas parejas encuentres algo
Intento.- Primero nos fijamos en que del 1 al 23 son $9$ primos. En realidad, lo que nos interesa del exponente de los primos que conforman cada número es su congruencia módulo 4, así pues tenemos que se pueden tener hasta $4^{9}*3$ números, ya que son 9 primos, cada uno tiene alguna de las 4 congruencias de modulo 4 y cada número se puede repetir hasta 3 veces. Sean $A, B, C$ 3 enteros de los 1985 que se tienen, nos fijamos en la suma de los exponentes de los factores en común (aunque el exponente sea 0) solo hay un exponente determinado para cada primo para que la suma de exponentes de cada factor en comun sea divisible por 4, por lo que, por cada 3 números, prohibimos otro, de aquí reducimos la cantidad de números a: $4^{8}*3^{2}$ hasta aquí llevo
lo unico quellevo es que la cantidad de primos del 1 hasta el 23 son 9 entonces por casillas va a haber un primo que va a aparecer en almenos 220 numeros . y que para que el producto sea la cuarta potencia de un numero me fijo que la suma de los exponentes de cada factor primo que tengan en comun sea multiplo de 4.
Como no tienen factores primos mayores a 23, tienen solo factores entre 2 y 23 (que son 9). Si el producto de 4 es la cuarta potencia de un entero, el exponente de cada factor debe ser múltiplo de 4. Podemos considerar solo la suma de los exponentes de cada factor y verlas módulo 4, entonces los exponentes de cada factor de cada número podemos considerar que son 0,1,2 o 3. No sé cómo seguir...
Este es mi avance... Ya que hay $9$ primos menores o iguales a $23$ , y esos son la posibles factores de los números, por casilla habrá al menos $221$ números con el mismo factor primo. Para que el producto de cuaatro números sea un multiplo de $n^4$ , la suma de los exponentes de factor comun debe ser un multiplo de $4$ .
Lo que llevo en el problema es del $1 al 23$ hay $9$ al menos va a estar cada primo debe estar $221$ veces suponiendo que se repiten. También que para que $4$ números sean $n^4$ necesitamos que al realizar la factorizacion cada factor primo este elevado al menos a la $4ta$ potencia. Pero si todos los números son distintos no se pueden escoger $4$ que sean potencia por que no se alcanzarían los Múltiplos de $4$ en cada exponente,tendra que ver que pasa si dos se repiten y tres terminos se repiten, ya que si se repiten cuatro factores si es posible.
fíjate en las congruencias de las potencias de los números, si una potencia es congruente a $ 0 mod n $ entonces decimos que un numero esta a la n-sima potencia
tienes que del 1 al 23 hay 9 primos y que por casillas almenos 220 tienen el mismo factor y y tienes que para que el producto sea la cuarta potencia de otro entonces tienes que debe de tener factores repetidos y que toda la suma de factores seria congruente a 0 modulo 4 y tienes que eso pasa cuando los tres tienen el mismo exponenta modulo 4 y en cualquier permutacion como que por ejemplo dos sean de la misma congruencia y uno sea esa congruencia mas uno y el otro menos uno o asi y hasta ahi voy
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarSi ninguno tiene un factor primo mayor a 23, entonces en los 1985 numeros de la lista existen a lo mas 9 factores primos, luego veo que por casillas existe un factor primo que aparece en al menos 220 numeros.Luego veo que para que exista lo que nos piden deberan aparecer cada factor primo del producto de los 4 numeros exacatamente 4k veces.
ResponderBorrarPara demostrarlo intento yendome por contradiccion,entonces supongo que no es posible.
Veo que hay $\binom{1985}{4}$ productos de 4 enteros.Luego me fijo que en el menor deben aparecer al menos 2 factopres primos distintos, para que este no sea una cuarta potencia,entonces el menor producto a lo menos es 24 y sea n la mayor potencia a la que esta elevada un primo en la factorizacion de un numero,el mayor numero es $2^{n-1}(3*5*7*...*23)^n$ no he hecho mucho hasta ahi he llegado, aun no puedo llegar a una contradiccion.
y si buscas primero parejas de números que formen productos?
BorrarTenemos que los 1935 numeros solo pueden tener de factores a $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ que son 9 numeros en total. Como son 1935 numeros, por casillas habra al menos 221 numeros que tengan un factor en comun. Para que haya 4 numeros cuyo producto sea un entero al cuadrado necesitaremos que las suma de las potencias de cada primo sea un multiplo de 4 en cada primo.
ResponderBorrarHasta aqui es a donde he llegado
cuando dije que fuera un entero al cuadrado me referia a un entero a la cuarta
Borrarpido que la multiplicación de 4 números sea un numero a la 4ta, quizá es demasiado complejo resolverlo de un solo jalón, quizá tal vez si ves que pasa cuando multiplicas parejas encuentres algo
BorrarIntento.-
ResponderBorrarPrimero nos fijamos en que del 1 al 23 son $9$ primos.
En realidad, lo que nos interesa del exponente de los primos que conforman cada número es su congruencia módulo 4, así pues tenemos que se pueden tener hasta $4^{9}*3$ números, ya que son 9 primos, cada uno tiene alguna de las 4 congruencias de modulo 4 y cada número se puede repetir hasta 3 veces.
Sean $A, B, C$ 3 enteros de los 1985 que se tienen, nos fijamos en la suma de los exponentes de los factores en común (aunque el exponente sea 0) solo hay un exponente determinado para cada primo para que la suma de exponentes de cada factor en comun sea divisible por 4, por lo que, por cada 3 números, prohibimos otro, de aquí reducimos la cantidad de números a: $4^{8}*3^{2}$
hasta aquí llevo
trata de descomponer el problema en algo mas manejable, quizá todo el problema no se resuelva de un jalón
Borrarlo unico quellevo es que la cantidad de primos del 1 hasta el 23 son 9 entonces por casillas va a haber un primo que va a aparecer en almenos 220 numeros . y que para que el producto sea la cuarta potencia de un numero me fijo que la suma de los exponentes de cada factor primo que tengan en comun sea multiplo de 4.
ResponderBorrarlos factores a la cuarta en particular son cuadrados ¿no? quizá esta pista te ayude
BorrarComo no tienen factores primos mayores a 23, tienen solo factores entre 2 y 23 (que son 9). Si el producto de 4 es la cuarta potencia de un entero, el exponente de cada factor debe ser múltiplo de 4.
ResponderBorrarPodemos considerar solo la suma de los exponentes de cada factor y verlas módulo 4, entonces los exponentes de cada factor de cada número podemos considerar que son 0,1,2 o 3. No sé cómo seguir...
los cuatro números debe de ser factores del numero a la 4ta no necesariamente con potencias modulo 4, pero, que pasa si te enfocas en parejas?
BorrarEste es mi avance...
ResponderBorrarYa que hay $9$ primos menores o iguales a $23$ , y esos son la posibles factores de los números, por casilla habrá al menos $221$ números con el mismo factor primo.
Para que el producto de cuaatro números sea un multiplo de $n^4$ , la suma de los exponentes de factor comun debe ser un multiplo de $4$ .
Lee lo que le puse a Martín
BorrarLo que llevo en el problema es
ResponderBorrardel $1 al 23$ hay $9$ al menos va a estar cada primo debe estar $221$ veces suponiendo que se repiten. También que para que $4$ números sean $n^4$ necesitamos que al realizar la factorizacion cada factor primo este elevado al menos a la $4ta$ potencia. Pero si todos los números son distintos no se pueden escoger $4$ que sean potencia por que no se alcanzarían los Múltiplos de $4$ en cada exponente,tendra que ver que pasa si dos se repiten y tres terminos se repiten, ya que si se repiten cuatro factores si es posible.
fíjate en las congruencias de las potencias de los números, si una potencia es congruente a $ 0 mod n $ entonces decimos que un numero esta a la n-sima potencia
Borrartienes que del 1 al 23 hay 9 primos y que por casillas almenos 220 tienen el mismo factor y y tienes que para que el producto sea la cuarta potencia de otro entonces tienes que debe de tener factores repetidos y que toda la suma de factores seria congruente a 0 modulo 4 y tienes que eso pasa cuando los tres tienen el mismo exponenta modulo 4 y en cualquier permutacion como que por ejemplo dos sean de la misma congruencia y uno sea esa congruencia mas uno y el otro menos uno o asi
ResponderBorrary hasta ahi voy
lee el comentario que le puse a Diego
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