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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
domingo, 21 de octubre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (21 de Octubre)
Demuestra que no existen enteros p,q,k con p,q primos, tales que p−q=2 y pq+10k sea un número primo.
tenemos que todos los numeros primos son congruentes a 1 o 5 mod 6 ya que si son congruentes a 2,4,0 van a ser pares y si son congruentes a 3 van a ser multiplos de 3 ( lo que dije es para primos mayorres a 6) entonces S.P.D. digamos que p≡1mod6 y que q≡5mod6 entonces savemos que siguiendo el patron de congruencias 10k≡4mod6 y pq es congruente a 5 mod 6 entonces pq+10k≡9≡3mod6 entonces es multiplo de 3 y no se cumple . entonces ya los demostra,os para primos mayores a 6 , y como los menores a 6 son 5,3,2 tendriamos que utilizar 5 y 3 y 10^k es multiplo de 5 entonces pq+10^k tambien lo seria y seguiria sin cumplirse.
Supongamos p,q≥5, entonces p,q≡1,−1(mod6), uno tiene cada congruencia, si tuvieran la misma entonces la diferencia sería múltiplo de 6 pero debe ser 2. pq≡(1)(−1)=−1(mod6) 10≡4(mod6) (4)(4)=16≡4(mod6) entonces 10k≡4k≡4(mod6) pq+10k≡−1+4=3(mod6) pero un primo sólo puede ser 1,−1 entonces para p,q≥5 no se puede. p>q porque p−q=2>0, y ambos deben ser impares porque su diferencia es 2, entonces el único caso en el que alguno de p,q no es mayor o igual a 6 es q=3, entonces p=3+2=5 pero 5|3(5)+10k por lo que no es primo. Por lo tanto no existen.
Sabemos que p−q=2 Entonces p y q son impares. p,q≡1,5(mod6) porque todos los primos cumplen con esto. Suponemos S.P.D.G. p>q Entonces p,≡1(mod6) p−2≡1−2(mod6) q≡−1(mod6) q≡5(mod6)
Buscamos la congruencia de 10k(mod6) 10k≡4k(mod6) 4k siempre es congruente a 4 (mod6)
Suponemos que pq+10k es primo. Entonces tenemos que pq+10k≡1(mod6) o pq+10k≡−1(mod6) para que esto sea primo. 1(−1)+4k≡1(mod6) o 1(−1)+4k≡−1(mod6) −1+4k≡1(mod6) o −1+4k≡−1(mod6) 4k≡2(mod6) o 4k≡0(mod6) Pero nosotros ya sabiamos que 4k≡4(mod6) Entonces llegamos a una contradiccion y por lo tanto pq+10k no es primo.
El unico primo que no es congruente ni a 1 ni a 5(mod6) es 3. Entonces q=3 y p=5. pq+10k=15+10k Nos fijamos en que lo podemos dividir entre 5 porque 15 es multiplo de 5 y 10k=2k∗5k. Por lo tanto pq+10k nunca sera primo.
tenemos que todos los numeros primos son congruentes a 1 o 5 mod 6 ya que si son congruentes a 2,4,0 van a ser pares y si son congruentes a 3 van a ser multiplos de 3 ( lo que dije es para primos mayorres a 6) entonces S.P.D. digamos que p≡1mod6 y que q≡5mod6 entonces savemos que siguiendo el patron de congruencias 10k≡4mod6 y pq es congruente a 5 mod 6 entonces pq+10k≡9≡3mod6 entonces es multiplo de 3 y no se cumple . entonces ya los demostra,os para primos mayores a 6 , y como los menores a 6 son 5,3,2 tendriamos que utilizar 5 y 3 y 10^k es multiplo de 5 entonces pq+10^k tambien lo seria y seguiria sin cumplirse.
ResponderBorrarSupongamos p,q≥5, entonces p,q≡1,−1(mod6), uno tiene cada congruencia, si tuvieran la misma entonces la diferencia sería múltiplo de 6 pero debe ser 2.
ResponderBorrarpq≡(1)(−1)=−1(mod6)
10≡4(mod6)
(4)(4)=16≡4(mod6) entonces 10k≡4k≡4(mod6)
pq+10k≡−1+4=3(mod6) pero un primo sólo puede ser 1,−1 entonces para p,q≥5 no se puede.
p>q porque p−q=2>0, y ambos deben ser impares porque su diferencia es 2, entonces el único caso en el que alguno de p,q no es mayor o igual a 6 es q=3, entonces p=3+2=5 pero 5|3(5)+10k por lo que no es primo.
Por lo tanto no existen.
Sabemos que p−q=2 Entonces p y q son impares. p,q≡1,5(mod6) porque todos los primos cumplen con esto. Suponemos S.P.D.G. p>q Entonces p,≡1(mod6)
ResponderBorrarp−2≡1−2(mod6)
q≡−1(mod6)
q≡5(mod6)
Buscamos la congruencia de 10k (mod6)
10k≡4k(mod6)
4k siempre es congruente a 4 (mod6)
Suponemos que pq+10k es primo. Entonces tenemos que pq+10k≡1(mod6) o pq+10k≡−1(mod6) para que esto sea primo.
1(−1)+4k≡1(mod6) o 1(−1)+4k≡−1(mod6)
−1+4k≡1(mod6) o −1+4k≡−1(mod6)
4k≡2(mod6) o 4k≡0(mod6)
Pero nosotros ya sabiamos que 4k≡4(mod6)
Entonces llegamos a una contradiccion y por lo tanto pq+10k no es primo.
El unico primo que no es congruente ni a 1 ni a 5 (mod6) es 3.
Entonces q=3 y p=5. pq+10k=15+10k
Nos fijamos en que lo podemos dividir entre 5 porque 15 es multiplo de 5 y 10k=2k∗5k. Por lo tanto pq+10k nunca sera primo.