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domingo, 21 de octubre de 2012

Problema del Día. Teoría de Números (21 de Octubre)

Demuestra que no existen enteros p,q,k con p,q primos, tales que pq=2 y pq+10k sea un número primo.

3 comentarios:

  1. tenemos que todos los numeros primos son congruentes a 1 o 5 mod 6 ya que si son congruentes a 2,4,0 van a ser pares y si son congruentes a 3 van a ser multiplos de 3 ( lo que dije es para primos mayorres a 6) entonces S.P.D. digamos que p1mod6 y que q5mod6 entonces savemos que siguiendo el patron de congruencias 10k4mod6 y pq es congruente a 5 mod 6 entonces pq+10k93mod6 entonces es multiplo de 3 y no se cumple . entonces ya los demostra,os para primos mayores a 6 , y como los menores a 6 son 5,3,2 tendriamos que utilizar 5 y 3 y 10^k es multiplo de 5 entonces pq+10^k tambien lo seria y seguiria sin cumplirse.

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  2. Supongamos p,q5, entonces p,q1,1(mod6), uno tiene cada congruencia, si tuvieran la misma entonces la diferencia sería múltiplo de 6 pero debe ser 2.
    pq(1)(1)=1(mod6)
    104(mod6)
    (4)(4)=164(mod6) entonces 10k4k4(mod6)
    pq+10k1+4=3(mod6) pero un primo sólo puede ser 1,1 entonces para p,q5 no se puede.
    p>q porque pq=2>0, y ambos deben ser impares porque su diferencia es 2, entonces el único caso en el que alguno de p,q no es mayor o igual a 6 es q=3, entonces p=3+2=5 pero 5|3(5)+10k por lo que no es primo.
    Por lo tanto no existen.

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  3. Sabemos que pq=2 Entonces p y q son impares. p,q1,5(mod6) porque todos los primos cumplen con esto. Suponemos S.P.D.G. p>q Entonces p,1(mod6)
    p212(mod6)
    q1(mod6)
    q5(mod6)

    Buscamos la congruencia de 10k (mod6)
    10k4k(mod6)
    4k siempre es congruente a 4 (mod6)

    Suponemos que pq+10k es primo. Entonces tenemos que pq+10k1(mod6) o pq+10k1(mod6) para que esto sea primo.
    1(1)+4k1(mod6) o 1(1)+4k1(mod6)
    1+4k1(mod6) o 1+4k1(mod6)
    4k2(mod6) o 4k0(mod6)
    Pero nosotros ya sabiamos que 4k4(mod6)
    Entonces llegamos a una contradiccion y por lo tanto pq+10k no es primo.

    El unico primo que no es congruente ni a 1 ni a 5 (mod6) es 3.
    Entonces q=3 y p=5. pq+10k=15+10k
    Nos fijamos en que lo podemos dividir entre 5 porque 15 es multiplo de 5 y 10k=2k5k. Por lo tanto pq+10k nunca sera primo.

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