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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
domingo, 21 de octubre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (21 de Octubre)
Demuestra que no existen enteros $p,q,k$ con $p,q$ primos, tales que $p-q=2$ y $pq+10^k$ sea un número primo.
tenemos que todos los numeros primos son congruentes a 1 o 5 mod 6 ya que si son congruentes a 2,4,0 van a ser pares y si son congruentes a 3 van a ser multiplos de 3 ( lo que dije es para primos mayorres a 6) entonces S.P.D. digamos que $p \equiv 1 mod 6$ y que $q \equiv 5 mod 6$ entonces savemos que siguiendo el patron de congruencias $10^k \equiv 4 mod 6 $ y pq es congruente a 5 mod 6 entonces $pq+10^k \equiv 9 \equiv 3 mod 6$ entonces es multiplo de 3 y no se cumple . entonces ya los demostra,os para primos mayores a 6 , y como los menores a 6 son 5,3,2 tendriamos que utilizar 5 y 3 y 10^k es multiplo de 5 entonces pq+10^k tambien lo seria y seguiria sin cumplirse.
Supongamos $p,q\geq 5$, entonces $p,q \equiv 1,-1 \pmod{6}$, uno tiene cada congruencia, si tuvieran la misma entonces la diferencia sería múltiplo de 6 pero debe ser 2. $pq\equiv (1)(-1)=-1\pmod{6}$ $10\equiv 4\pmod{6}$ $(4)(4)=16\equiv 4 \pmod{6}$ entonces $10^k\equiv 4^k\equiv 4 \pmod{6}$ $pq+10^k\equiv -1+4=3\pmod{6}$ pero un primo sólo puede ser $1,-1$ entonces para $p,q\geq 5$ no se puede. $p>q$ porque $p-q=2>0$, y ambos deben ser impares porque su diferencia es 2, entonces el único caso en el que alguno de p,q no es mayor o igual a 6 es q=3, entonces p=3+2=5 pero $5|3(5)+10^k$ por lo que no es primo. Por lo tanto no existen.
Sabemos que $p-q=2$ Entonces $p$ y $q$ son impares. $p,q\equiv 1,5 (mod6)$ porque todos los primos cumplen con esto. Suponemos S.P.D.G. $p>q$ Entonces $p,\equiv 1 (mod6)$ $p-2\equiv 1-2 (mod6)$ $q\equiv -1 (mod6)$ $q\equiv 5 (mod6)$
Buscamos la congruencia de $10^k$ $(mod6)$ $10^k\equiv 4^k (mod6)$ $4^k$ siempre es congruente a 4 $(mod6)$
Suponemos que $pq+10^k$ es primo. Entonces tenemos que $pq+10^k\equiv 1 (mod6)$ o $pq+10^k\equiv -1 (mod6)$ para que esto sea primo. $1(-1)+4^k\equiv 1 (mod6)$ o $1(-1)+4^k\equiv -1 (mod6)$ $-1+4^k\equiv 1 (mod6)$ o $-1+4^k\equiv -1 (mod6)$ $4^k\equiv 2 (mod6)$ o $4^k\equiv 0 (mod6)$ Pero nosotros ya sabiamos que $4^k\equiv 4 (mod6)$ Entonces llegamos a una contradiccion y por lo tanto $pq+10^k$ no es primo.
El unico primo que no es congruente ni a $1$ ni a $5$ $(mod6)$ es 3. Entonces $q=3$ y $p=5$. $pq+10^k=15+10^k$ Nos fijamos en que lo podemos dividir entre $5$ porque $15$ es multiplo de $5$ y $10^k=2^k*5^k$. Por lo tanto $pq+10^k$ nunca sera primo.
tenemos que todos los numeros primos son congruentes a 1 o 5 mod 6 ya que si son congruentes a 2,4,0 van a ser pares y si son congruentes a 3 van a ser multiplos de 3 ( lo que dije es para primos mayorres a 6) entonces S.P.D. digamos que $p \equiv 1 mod 6$ y que $q \equiv 5 mod 6$ entonces savemos que siguiendo el patron de congruencias $10^k \equiv 4 mod 6 $ y pq es congruente a 5 mod 6 entonces $pq+10^k \equiv 9 \equiv 3 mod 6$ entonces es multiplo de 3 y no se cumple . entonces ya los demostra,os para primos mayores a 6 , y como los menores a 6 son 5,3,2 tendriamos que utilizar 5 y 3 y 10^k es multiplo de 5 entonces pq+10^k tambien lo seria y seguiria sin cumplirse.
ResponderBorrarSupongamos $p,q\geq 5$, entonces $p,q \equiv 1,-1 \pmod{6}$, uno tiene cada congruencia, si tuvieran la misma entonces la diferencia sería múltiplo de 6 pero debe ser 2.
ResponderBorrar$pq\equiv (1)(-1)=-1\pmod{6}$
$10\equiv 4\pmod{6}$
$(4)(4)=16\equiv 4 \pmod{6}$ entonces $10^k\equiv 4^k\equiv 4 \pmod{6}$
$pq+10^k\equiv -1+4=3\pmod{6}$ pero un primo sólo puede ser $1,-1$ entonces para $p,q\geq 5$ no se puede.
$p>q$ porque $p-q=2>0$, y ambos deben ser impares porque su diferencia es 2, entonces el único caso en el que alguno de p,q no es mayor o igual a 6 es q=3, entonces p=3+2=5 pero $5|3(5)+10^k$ por lo que no es primo.
Por lo tanto no existen.
Sabemos que $p-q=2$ Entonces $p$ y $q$ son impares. $p,q\equiv 1,5 (mod6)$ porque todos los primos cumplen con esto. Suponemos S.P.D.G. $p>q$ Entonces $p,\equiv 1 (mod6)$
ResponderBorrar$p-2\equiv 1-2 (mod6)$
$q\equiv -1 (mod6)$
$q\equiv 5 (mod6)$
Buscamos la congruencia de $10^k$ $(mod6)$
$10^k\equiv 4^k (mod6)$
$4^k$ siempre es congruente a 4 $(mod6)$
Suponemos que $pq+10^k$ es primo. Entonces tenemos que $pq+10^k\equiv 1 (mod6)$ o $pq+10^k\equiv -1 (mod6)$ para que esto sea primo.
$1(-1)+4^k\equiv 1 (mod6)$ o $1(-1)+4^k\equiv -1 (mod6)$
$-1+4^k\equiv 1 (mod6)$ o $-1+4^k\equiv -1 (mod6)$
$4^k\equiv 2 (mod6)$ o $4^k\equiv 0 (mod6)$
Pero nosotros ya sabiamos que $4^k\equiv 4 (mod6)$
Entonces llegamos a una contradiccion y por lo tanto $pq+10^k$ no es primo.
El unico primo que no es congruente ni a $1$ ni a $5$ $(mod6)$ es 3.
Entonces $q=3$ y $p=5$. $pq+10^k=15+10^k$
Nos fijamos en que lo podemos dividir entre $5$ porque $15$ es multiplo de $5$ y $10^k=2^k*5^k$. Por lo tanto $pq+10^k$ nunca sera primo.