Processing math: 100%

domingo, 28 de octubre de 2012

Problemas del dia. Geometría (28 de octubre)

1.- Sea ABCD un trapecio con ADBC. Si se sabe que AB=AD+BC, demuestra que la bisectriz de BAD intersecta a CD en su punto medio.

2.- Dos circunferencias son tangentes externamente en B. Una tangente a una de las circunferencias por A intersecta a la otra circunferencia en C y D. Muestra que A es equidistante a las rectas BC y BD.

3.- Sea I el incentro de ABC. Sean D, E y F las reflexiones de I sobre los lados BC, AC y AB respectivamente. Si se tiene que DEFB es un cuadrilatero cíclico, encuentra todos los posibles valores de ABC


(Si, 3, aunque ya sean 6 problemas hoy, casi no pidieron publicar problemas de geometría y les hace falta para el nacional)

11 comentarios:

  1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderBorrar
  2. 1.-Sea E un punto en el rayo BC tal que CE=AD entonces veo que como AB=AD+BC=CE+BC=BE entonces el triangulo ABCes isoceles entonces BAE=BEA pero BEAD entonces BEA=EAD entonces AE es bisectriz del angulo BAD entonces AE pasa por M luego veo que por AA se cumple que AMDEMC pero CE=AD entonces estos triangulos son congruentes,entonces CM=MD

    ResponderBorrar
  3. 1.- Trazamos la bisectriz de BAD hasta cortar a CD por M, prolongamos BC y AM hasta que se cortan en K. ADBCDAK=CKA=α. Por la bisectriz AM tenemos que: DAK=KAB=CKA=αABK es isósceles, entonces: AB=BK=(BC+CK) Sabemos que AB=BC+ADBC+CK=BC+ADAD=CK por ALA:ADMKCMDM=MCM es punto medio

    ResponderBorrar
  4. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderBorrar
  5. 3.- Trazamos FI,FE,EI,ED,ID,DB,IB,FB. Sean X,Y,Z los puntos medios de DI,EI,FI respectivamente (los cuales a su vez son los puntos de tangencia al incírculo en cuestión): ABI=IBC=β,FZ=ZI,BZFIBF=BI análogamente BI=BDFBA=CBD=αFBD=4α. Por ser inradios: IZ=IE, por la reflexión: IZ=ZF,IY=YEIF=IE análogamente IE=IDIED=IDE=β,IFE=IEF=θ.BF=BD,FI=ID,BI=BIBFIBDIBFI=BDI=γ,FEDB es cíclico entonces: 4α+θ+β=2α+θ+γ+β2α=γ. En BZF:α+γ+90=3α+90=180o3α=90oα=30oABC=2α=60o
    Por lo que ABC solo tiene un posible valor.

    ResponderBorrar
  6. sea ABI=CBI=α veo que BAIBAF entonces FBA=α,analogamente CBD=α entonces \FBD=4α.Luego sea BID=β veo que como IDBC entonces α+β=90 entonces por suma de angulos en triangulo BID para completar los 180 se tiene que BDI=β entonces BDI es isoceles,analogamente BFI=β y BFI es isoceles. entonces BF=BI=BD entonces BFD es isoceles y BFD=BDF=βα como DEFB es ciclico entonces BEF=BED=βα.LUego me fijo que por LAL los triangulos BFE y BDE son congruentes entonces FE=DE entonces FED es isoceles y por suma de angulos DFE=FDE=2α y como DEFB es ciclico FBE=2α entonces B,I,E son colineales ya que FBI=2α entonces como FI=DI=EI= I es el centro de la circunferencia que pasa por DEFB entonces 2BFD=BID entonces 2β2α=β de donde β=2α.
    Entonces 3α=90 entonces α=30 de donde ABC solo puede medir 60

    ResponderBorrar
  7. 1
    Prolongamos AD por D hasta E y BC por C hasta F de forma que AE=BF=AB=AD+BC. Tenemos que AEBF,AE=BF, entonces ABFE es un paralelogramo y EF=AB=AE=BF, como todos los lados son iguales es un rombo. BF=AD+BC entonces CF=AD. Trazamos AF, como ABFE es un rombo sabemos que es bisectriz de EFB y BAE (que es el mismo que BAD) por lo tanto DAF=CFA. Como ADCF, ADC=DCF. Si G es la intersección de AF y DC, por ALA GADGFC entonces DG=GC que es lo que buscábamos (AF es la bisectriz de BAD e intersecta a DC en G).

    ResponderBorrar
  8. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderBorrar
  9. 1Llamemos M a la intersección de la bisectriz de DAB con CD y E de AM con BC
    Ya que AE es bisectriz, DAE=BAE=α . Por ángulos entre paralelas, DAE=BEA=αABE es isósceles. \RigtharrowBA=BEAD=CE
    Ahora vemos que ADMECM porque DAM=CEM (paralelas) , DA=CE , DMA=\anlgeCME (opuestos) . MD=MCM es punto medio de DC .

    2Trazamos el diametro de la circunferencia donde estan C y D desde B hasta E . Por el cíclico CDEB :
    BEC=BDC=α
    EBD=ECD=β
    CBD=CED=θ
    α+β+θ=90o
    Sea I la intersección de BD y CE . Para completar los 180o del CIB , CIB=α+β porque BCI=BCE=90o (porque abre el diámetro) y CBI=θ .
    Llamamas P y Q a las proyecciones de A en BD (extensión) y BC respectivamente. Nos fijamos que AQBC y ECBCAQEC .
    Sea F la intersección de AQ y BD . Por ángulos entre paralelas, CIB=AFB=α+β . Para completar los 180o del APF , PAF=θ .
    Trazamos una tangente común a las dos circunferencias por B , la cual intesecta a AD en G . GBE debe ser 90oGBC=α . Nos fijamos que BCD=90o+β su suplemento (BCA) es α+θ . Para completar los 180o del GCB , BGC=2β+θBGA=2α+θ . Nos fijamosGA=GB porque ambas son tangentes a la circunferencia, AGB es isósceles . GAB=β+θ2 . Para completar los 180o del CAQ , CAQ=βQAB=θ2 .
    AB es bisectriz de PAQPB=PQ , porque APBQ es cíclico (APB=AQB=90o) . PBQ es isósceles, QPB=PQB=γ .
    APQ=AQP=90oγPAQ es isósceles , AP=AQ .
    A es equidistante a las rectas BC y BD .

    ResponderBorrar
  10. 3
    Sean X,Y,Z las intersecciones de ID,IE,IF con BC,CA,AB, respectivamente. Como IX es perpendicular a BC (porque D es la reflexión de I), y además I es el incentro, entonces IX es inradio, de la misma forma IY,IZ son inradios y IX=IY=IZ=r.
    Como D es reflexión de I, DI=2IX=2r, también 2r=IY=IZ, entonces I es el circuncentro de DEF, y como DEFB es cíclico B está en la misma circunferencia y IF=IB porque son radios.
    BZ es altura y mediana de BIF, entonces BIF es isósceles y FB=IB=IF por lo tanto es equilátero, además BZ es bisectriz y ZBF=IBZ=IBX porque BI es bisectriz del CBA y entonces CBA=IBF=60.

    ResponderBorrar