1.- Sea ABCD un trapecio con AD∥BC. Si se sabe que AB=AD+BC, demuestra que la bisectriz de ∠BAD intersecta a CD en su punto medio.
2.- Dos circunferencias son tangentes externamente en B. Una tangente a una de las circunferencias por A intersecta a la otra circunferencia en C y D. Muestra que A es equidistante a las rectas BC y BD.
3.- Sea I el incentro de △ABC. Sean D, E y F las reflexiones de I sobre los lados BC, AC y AB respectivamente. Si se tiene que DEFB es un cuadrilatero cíclico, encuentra todos los posibles valores de ∠ABC
(Si, 3, aunque ya sean 6 problemas hoy, casi no pidieron publicar problemas de geometría y les hace falta para el nacional)
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar1.-Sea E un punto en el rayo BC tal que CE=AD entonces veo que como AB=AD+BC=CE+BC=BE entonces el triangulo ABCes isoceles entonces ∠BAE=∠BEA pero BE∥AD entonces ∠BEA=∠EAD entonces AE es bisectriz del angulo BAD entonces AE pasa por M luego veo que por AA se cumple que △AMD∼△EMC pero CE=AD entonces estos triangulos son congruentes,entonces CM=MD
ResponderBorrardonde dice triangulo ABC isoceles dee ser triangulo ABE
Borrar1.- Trazamos la bisectriz de ∠BAD hasta cortar a CD por M, prolongamos BC y AM hasta que se cortan en K. AD∥BC⇒∠DAK=∠CKA=α. Por la bisectriz AM tenemos que: ∠DAK=∠KAB=∠CKA=α⇒△ABK es isósceles, entonces: AB=BK=(BC+CK) Sabemos que AB=BC+AD⇒BC+CK=BC+AD⇒AD=CK⇒ por ALA:△ADM≅△KCM⇒DM=MC∴M es punto medio ◼
ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar3.- Trazamos FI,FE,EI,ED,ID,DB,IB,FB. Sean X,Y,Z los puntos medios de DI,EI,FI respectivamente (los cuales a su vez son los puntos de tangencia al incírculo en cuestión): ∠ABI=∠IBC=β,FZ=ZI,BZ⊥FI⇒BF=BI análogamente BI=BD⇒∠FBA=∠CBD=α⇒∠FBD=4α. Por ser inradios: IZ=IE′, por la reflexión: IZ=ZF,IY=YE⇒IF=IE análogamente IE=ID⇒∠IED=∠IDE=β,∠IFE=∠IEF=θ.BF=BD,FI=ID,BI=BI⇒△BFI≅△BDI⇒∠BFI=∠BDI=γ,FEDB es cíclico entonces: 4α+θ+β=2α+θ+γ+β⇒2α=γ. En △BZF:α+γ+90=3α+90=180o⇒3α=90o⇒α=30o⇒∠ABC=2α=60o
ResponderBorrarPor lo que ∠ABC solo tiene un posible valor.
sea ∠ABI=∠CBI=α veo que △BAI≅△BAF entonces ∠FBA=α,analogamente ∠CBD=α entonces \FBD=4α.Luego sea ∠BID=β veo que como ID⊥BC entonces α+β=90 entonces por suma de angulos en triangulo BID para completar los 180 se tiene que ∠BDI=β entonces △BDI es isoceles,analogamente ∠BFI=β y △BFI es isoceles. entonces BF=BI=BD entonces △BFD es isoceles y ∠BFD=∠BDF=β−α como DEFB es ciclico entonces ∠BEF=∠BED=β−α.LUego me fijo que por LAL los triangulos BFE y BDE son congruentes entonces FE=DE entonces △FED es isoceles y por suma de angulos ∠DFE=∠FDE=2α y como DEFB es ciclico ∠FBE=2α entonces B,I,E son colineales ya que ∠FBI=2α entonces como FI=DI=EI= I es el centro de la circunferencia que pasa por DEFB entonces 2∠BFD=∠BID entonces 2β−2α=β de donde β=2α.
ResponderBorrarEntonces 3α=90 entonces α=30 de donde ∠ABC solo puede medir 60
1
ResponderBorrarProlongamos AD por D hasta E y BC por C hasta F de forma que AE=BF=AB=AD+BC. Tenemos que AE∥BF,AE=BF, entonces ABFE es un paralelogramo y EF=AB=AE=BF, como todos los lados son iguales es un rombo. BF=AD+BC entonces CF=AD. Trazamos AF, como ABFE es un rombo sabemos que es bisectriz de ∠EFB y ∠BAE (que es el mismo que ∠BAD) por lo tanto ∠DAF=∠CFA. Como AD∥CF, ∠ADC=∠DCF. Si G es la intersección de AF y DC, por ALA △GAD≡△GFC entonces DG=GC que es lo que buscábamos (AF es la bisectriz de ∠BAD e intersecta a DC en G).
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar1Llamemos M a la intersección de la bisectriz de ∠DAB con CD y E de AM con BC
ResponderBorrarYa que AE es bisectriz, ∠DAE=∠BAE=α . Por ángulos entre paralelas, ∠DAE=∠BEA=α⇒△ABE es isósceles. \RigtharrowBA=BE⇒AD=CE
Ahora vemos que △ADM≅△ECM porque ∠DAM=∠CEM (paralelas) , DA=CE , ∠DMA=\anlgeCME (opuestos) . ⇒MD=MC⇒M es punto medio de DC .
2Trazamos el diametro de la circunferencia donde estan C y D desde B hasta E . Por el cíclico CDEB :
∠BEC=∠BDC=α
∠EBD=∠ECD=β
∠CBD=∠CED=θ
⇒α+β+θ=90o
Sea I la intersección de BD y CE . Para completar los 180o del △CIB , ∠CIB=α+β porque ∠BCI=∠BCE=90o (porque abre el diámetro) y ∠CBI=θ .
Llamamas P y Q a las proyecciones de A en BD (extensión) y BC respectivamente. Nos fijamos que AQ⊥BC y EC⊥BC⇒AQ∥EC .
Sea F la intersección de AQ y BD . Por ángulos entre paralelas, ∠CIB=∠AFB=α+β . Para completar los 180o del △APF , ∠PAF=θ .
Trazamos una tangente común a las dos circunferencias por B , la cual intesecta a AD en G . ∠GBE debe ser 90o⇒∠GBC=α . Nos fijamos que ∠BCD=90o+β⇒ su suplemento (∠BCA) es α+θ . Para completar los 180o del △GCB , ∠BGC=2β+θ⇒∠BGA=2α+θ . Nos fijamosGA=GB porque ambas son tangentes a la circunferencia, ⇒△AGB es isósceles . ⇒∠GAB=β+θ2 . Para completar los 180o del △CAQ , ∠CAQ=β⇒∠QAB=θ2 .
⇒AB es bisectriz de ∠PAQ⇒PB=PQ , porque APBQ es cíclico (∠APB=∠AQB=90o) . ⇒△PBQ es isósceles, ⇒∠QPB=∠PQB=γ .
⇒∠APQ=∠AQP=90o−γ⇒△PAQ es isósceles , ⇒AP=AQ .
∴A es equidistante a las rectas BC y BD .
3
ResponderBorrarSean X,Y,Z las intersecciones de ID,IE,IF con BC,CA,AB, respectivamente. Como IX es perpendicular a BC (porque D es la reflexión de I), y además I es el incentro, entonces IX es inradio, de la misma forma IY,IZ son inradios y IX=IY=IZ=r.
Como D es reflexión de I, DI=2IX=2r, también 2r=IY=IZ, entonces I es el circuncentro de △DEF, y como DEFB es cíclico B está en la misma circunferencia y IF=IB porque son radios.
BZ es altura y mediana de △BIF, entonces △BIF es isósceles y FB=IB=IF por lo tanto es equilátero, además BZ es bisectriz y ∠ZBF=∠IBZ=∠IBX porque BI es bisectriz del ∠CBA y entonces ∠CBA=∠IBF=60.