viernes, 19 de octubre de 2012

Problema del dia. Combinatoria (19 de Octubre)

Hay seis maneras en las que una persona se puede poner los zapatos y calcetines, por ejemplo, calcetín
izquierdo, calcetín derecho, zapato izquierdo, zapato derecho. ¿De cuántas maneras puede un ciempiés ponerse sus zapatos y calcetines? Suponiendo que el ciempiés tiene efectivamente 100 pies y diferentes nombres para todos ellos.

3 comentarios:

  1. Tenemos 200 pasos ordenados (Paso 1, paso 2, paso 3, ..., paso 200), 100 para calcetines y 100 para zapatos y los 100 pies ordenados (pie 1, pie 2, ..., pie 100). Sabemos que el calcetín debe ponerse primero que el zapato entonces, vemos que para elegir los números de los pasos en los que el ciempiés se pone el calcetin y el zapato del primer pie, se puede de $\binom{200}{2}$ formas, basta con elegir los 2 pasos pues para cada par de pasos elegidos, el calcetin siempre va primero, por ello es que no importa el orden. Para el siguiente pie tendremos 2 pasos menos, por lo que se puede elegir de $\binom{198}{2}$ formas, el tercer pie de $\binom{196}{2}$ formas, ..., el 100-ésimo pie de $\binom{2}{2}$ formas, por lo tanto el ciempiés se puede poner sus zapatos y calcetines de: $\binom{200}{2}\binom{198}{2}\binom{196}{2}\cdots\binom{2}{2}=\frac{200*199}{2}*\frac{198*197}{2}*\cdots*\frac{2*1}{2}=\boxed{\frac{200!}{2^{100}}}$

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  2. Ponemos 200 espacios y a cada uno le asginamos un calcetin o un zapato, el orden en el que aparezcan en los espacios es en el que se los pone. Son 200 espacios porque para cada uno de los 100 pies se tiene que poner un calcetín y un zapato.
    Podemos elegir simplemente los dos espacios en los que se pondrá algo en cada pie porque ya hay un orden (se tiene que poner siempre primero el calcetín y luego el zapato).
    Elegimos los dos espacios del primer pie, hay $\binom{200}{2}$ formas de hacerlo, para el siguiente pie hay $\binom{198}{2}$ formas (ya están ocupados dos espacios), y hacemos eso hasta terminar.
    Entonces tiene
    $\binom{200}{2}\times\binom{198}{2}\times\binom{196}{2}\times ...\times\binom{4}{2}\times\binom{2}{2}=(\frac{(200)(199)}{2})(\frac{(198)(197)}{2})(\frac{(196)(195)}{2})...(\frac{(4)(3)}{2})(\frac{(2)(1)}{2})=\frac{200!}{2^{100}}$
    maneras de ponérselos.

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  3. Como se va a poner 2 cosas en cada pie, se va a poner 200 cosas en total. Sabemos que te tienes que poner un calcetin antes de poderte poner el zapato de ese pie. Tenemos 200 pasos para escoger. Primero escogemos cuales van a ser los pasos del primer pie. Los podemos escoger de $\binom{200}{2}$ formas.
    Luego escogemos los pasos del 2do pie. Esos se escogen de $\binom{198}{2}$ formas distintas. Seguimos haciendo esto con cada pie y lo multiplicamos. Entonces nos queda:
    $\binom{200}{2} \binom{198}{2} \binom{196}{2}... \binom{4}{2} \binom{2}{2}$
    Si lo expandimos nos queda:
    $\frac{200(199)}{2} \frac{198(197)}{2}...\frac{4(3)}{2} \frac{2(1)}{2}$
    Esto es igual a $\frac{200!}{2^1^0^0}$

    Y esa es la cantidad de formas en las que se puede poner los zapatos y calcetines.

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