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lunes, 15 de octubre de 2012
Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)
Dado △ABC isosceles con ∠A=90\degree. El punto D esta en el segmento BC de tal manera que cumple BD=2CD. Sea E el pie de la perpendicular del punto B en la linea AD.
tienes que el angulo bed=90 por lo tanto tienes que como bd=2cd entonces el angulo adb=105 entonces tienes que E esta fuera del triangulo por lo tanto tienes que en el triangulo bde el angulo bde=75 y el angulo bed=90 entonces el angulo dbe=15 entonces tienes que el anglo cde mas el angulo dce igual a 75 hasta ahi llevo
Sea F la interseccion de BE con la paralela a ED por C.Veo que ∠BFC=∠BAC=90 entonces BAFC es ciclico. Luego sea P la interseccion de BF con AC.Veo que △AEP∼△BEA entonces AEBE=EPEA=APAB=12 ya que BE=2AE entonces por lo ultimo veo que 2AP=AB=AC entonces P es punto medio de AC.Entonces veo que el triangulo AEP es congruente al triangulo CFP ya que sus angulos son iguales y tienen un lado igual el cual es AP=PC entonces si son congruentes se tiene que AE=FC pero ademas AE∥FC entonces AEFC es un paralelogramo y se tiene que ∠CED=∠FAD ya que FA∥EC pero veo que como BAFC es ciclico entonces ∠AFB=∠ACB=45 entonces para completar los 180 del triangulo AEF el angulo FAE debe medir 45 entonces el angulo CED es igual a 45 que es lo que nos pedian encontrar.
yo lo que ise fue lamar M al punto medio de DB luego por LAL tenemos que △AMB≅△ADC sea ∠MAB=∠CADα entonces tenemos que ∠MDA=∠ADM=α+45 entonces ∠DAM=90−2α luego por el triangulo DEB tenemos que ∠DBE=45−α entonces ∠EBA=α y llame X al punto donde se cortan la lineas AM y BEentoncestenemosqueeltriangulo\triangle AXB$ es isosceles.
Como ∠BAC=90 y ABC es isósceles, ∠ACB=∠ABC=45. Hacemos F al punto medio de BC y G la intersección de BE y AC. Hacemos ∠GBC=α, entonces ∠ABG=45−α y como ∠EAB+∠ABE=90, ∠EAB=45+α. Como F es el punto medio de BC y ABC es isósceles, AF es bisectriz de ∠CAB y ∠FAB=45, como ∠DAB=45+α, ∠DAF=α y ABFE es cíclico porque ∠EAF=∠EBF, entonces ∠FEB=∠FAB=45 y ∠AFE=∠ABE=45−α y como ∠DEF+∠FEB y ∠EFD+∠EFA suman 90 entonces ∠EFD=45+α,∠DEF=45 Más o menos eso he hecho, no supe cómo usar que BD=2CD.
Lo que yo hice fue agregar un punto. Este punto sera P y es la proyeccion de C en AD. Despues de hacer esto, note que habia 2 pares de angulos iguales cuya medida no conocia y les puse nombre. ∠EAB=∠ACP=α ∠CAP=∠ABE=β
Luego, me fijo en que ABACsenαsenβ=BDCD Pero sabemos que AB=AC y BD=2CD. Entonces senαsenβ=2
Tambien sabemos que senα=BEAB y senβ=AEAB Entonces BEAB/AEAB=2 Y si lo resolvemos nos queda: BE=2AE
Luego me fije en que senβ=CPCA=AEAB Como CA=AB tenemos que AE=CP
Despues me fije en que senα=BEAB=APAC Ya vimos que CA=AB entonces: BE=AP=2AE Como AP=2AE y A, P, y E son colineales, entonces EP=AE Ya sabiamos que AE=CP. Entonces CP=EP. Por lo tanto CPE es un triangulo rectangulo isosceles con el angulo de 90o en P. Por lo tanto ∠PCE=∠PEC=45o Por ser P un punto sobre el rayo ED, ∠CED=45o Q.E.D.
Intento.- Prolongamos EC hasta cortar a AB por G, prolongamos BE hasta cortar a AC por F. Tenemos que se cumple Ceva: CFFA∗AGGB∗BDDC=! Sabemos que 2DC=BD⇒BDDC=2⇒CFFA∗AGGB=12 Tenemos tambien 3 Menelaos: AGGB∗BEEF∗ECAC=1 CFFA∗AEED∗BDBC=1⇒CFFA∗AEED=32 AFFC∗CEEG∗GBAB=1 Hasta aquí llevo.
Este es mi avance: Llamamos F a la intersección de BE con AC . No puede haber dos ángulos de 90o , entonces AB=AC y ∠ACB=∠ABC=45o . Digamos que ∠BDE=α y ∠EBD=β . Sabemos que ∠DEB=90o⇒α+β=90o . Digamos que ∠EBA=θ . Sabemos que ∠ABC=45o⇒β+θ=45o . ⇒∠BAE=α+β+θ,⇒EAC=θ . ⇒∠AFE=α+β+θ Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado: (ABAC)(sin∠BADsin∠CAD)=DBDC ⇒(1)(sin∠BADsin∠CAD)=2 ⇒sin∠BADsin∠CAD=2 Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado: (ABAF)(sin∠BADsin∠CAD)=EBEF ⇒(ABAF)(2)=EBEF ⇒EBEFABAF=2 Por los ángulos que tenía, tenemos algunas semejanzas: △BEA∼△BAF∼△AEF BEBA=EAAF=BABF ⇒BA2=BE×BF BEAE=EAEF=BAAF ⇒AE2=BE×EF BAAE=AFEF=BFAF ⇒AF2=EF×BF Llamemos G a la intersección de CE con AB y F a la intersección de BE con AC . Por Ceva: (AGGB)(BDDC)(CFFA)=1 ⇒(AGGB)(2)(CFFA)=1 ⇒(AGGB)(CFFA)=12 ⇒(GBAG)(FACF)=2
tienes que el angulo bed=90 por lo tanto tienes que como bd=2cd entonces el angulo adb=105 entonces tienes que E esta fuera del triangulo por lo tanto tienes que en el triangulo bde el angulo bde=75 y el angulo bed=90 entonces el angulo dbe=15 entonces tienes que el anglo cde mas el angulo dce igual a 75
ResponderBorrarhasta ahi llevo
Porque ADB=105?
BorrarVeo que ABAC∗sin∠BADsin∠CAD=BDDC=2.Entonces como AB=AC y ∠CAD=∠ABE: 2=sin∠BADsin∠CAD=BEABAEAB=BEAE. Entonces BE=2AE.ESO es lo que llevo
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BorrarSea F la interseccion de BE con la paralela a ED por C.Veo que ∠BFC=∠BAC=90 entonces BAFC es ciclico.
BorrarLuego sea P la interseccion de BF con AC.Veo que △AEP∼△BEA entonces AEBE=EPEA=APAB=12 ya que BE=2AE entonces por lo ultimo veo que 2AP=AB=AC entonces P es punto medio de AC.Entonces veo que el triangulo AEP es congruente al triangulo CFP ya que sus angulos son iguales y tienen un lado igual el cual es AP=PC entonces si son congruentes se tiene que AE=FC pero ademas AE∥FC entonces AEFC es un paralelogramo y se tiene que ∠CED=∠FAD ya que FA∥EC pero veo que como BAFC es ciclico entonces ∠AFB=∠ACB=45 entonces para completar los 180 del triangulo AEF el angulo FAE debe medir 45 entonces el angulo CED es igual a 45 que es lo que nos pedian encontrar.
yo lo que ise fue lamar M al punto medio de DB luego por LAL tenemos que △AMB≅△ADC sea ∠MAB=∠CADα entonces tenemos que ∠MDA=∠ADM=α+45 entonces ∠DAM=90−2α luego por el triangulo DEB tenemos que ∠DBE=45−α entonces ∠EBA=α y llame X al punto donde se cortan la lineas AM y BE entoncestenemosqueeltriangulo\triangle AXB$ es isosceles.
ResponderBorrarComo ∠BAC=90 y ABC es isósceles, ∠ACB=∠ABC=45. Hacemos F al punto medio de BC y G la intersección de BE y AC.
ResponderBorrarHacemos ∠GBC=α, entonces ∠ABG=45−α y como ∠EAB+∠ABE=90, ∠EAB=45+α.
Como F es el punto medio de BC y ABC es isósceles, AF es bisectriz de ∠CAB y ∠FAB=45, como ∠DAB=45+α, ∠DAF=α y ABFE es cíclico porque ∠EAF=∠EBF, entonces ∠FEB=∠FAB=45 y ∠AFE=∠ABE=45−α y como ∠DEF+∠FEB y ∠EFD+∠EFA suman 90 entonces ∠EFD=45+α,∠DEF=45
Más o menos eso he hecho, no supe cómo usar que BD=2CD.
Lo que yo hice fue agregar un punto. Este punto sera P y es la proyeccion de C en AD. Despues de hacer esto, note que habia 2 pares de angulos iguales cuya medida no conocia y les puse nombre.
ResponderBorrar∠EAB=∠ACP=α
∠CAP=∠ABE=β
Luego, me fijo en que ABACsenαsenβ=BDCD
Pero sabemos que AB=AC y BD=2CD.
Entonces senαsenβ=2
Tambien sabemos que senα=BEAB y senβ=AEAB
Entonces BEAB/AEAB=2
Y si lo resolvemos nos queda: BE=2AE
Luego me fije en que senβ=CPCA=AEAB
Como CA=AB tenemos que AE=CP
Despues me fije en que senα=BEAB=APAC
Ya vimos que CA=AB entonces: BE=AP=2AE
Como AP=2AE y A, P, y E son colineales, entonces EP=AE
Ya sabiamos que AE=CP. Entonces CP=EP.
Por lo tanto CPE es un triangulo rectangulo isosceles con el angulo de 90o en P.
Por lo tanto ∠PCE=∠PEC=45o
Por ser P un punto sobre el rayo ED, ∠CED=45o Q.E.D.
Intento.-
ResponderBorrarProlongamos EC hasta cortar a AB por G, prolongamos BE hasta cortar a AC por F.
Tenemos que se cumple Ceva:
CFFA∗AGGB∗BDDC=! Sabemos que 2DC=BD⇒BDDC=2⇒CFFA∗AGGB=12
Tenemos tambien 3 Menelaos:
AGGB∗BEEF∗ECAC=1
CFFA∗AEED∗BDBC=1⇒CFFA∗AEED=32
AFFC∗CEEG∗GBAB=1
Hasta aquí llevo.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001551.jpg
ResponderBorrarSI NO SE ENTIENDE DIME Y LO VUELVO A HACER MAS ORGANIZADO:)
Se ve bien
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ResponderBorrarEste es mi avance:
ResponderBorrarLlamamos F a la intersección de BE con AC .
No puede haber dos ángulos de 90o , entonces AB=AC y ∠ACB=∠ABC=45o .
Digamos que ∠BDE=α y ∠EBD=β . Sabemos que ∠DEB=90o⇒α+β=90o .
Digamos que ∠EBA=θ . Sabemos que ∠ABC=45o⇒β+θ=45o .
⇒∠BAE=α+β+θ,⇒EAC=θ .
⇒∠AFE=α+β+θ
Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado:
(ABAC)(sin∠BADsin∠CAD)=DBDC
⇒(1)(sin∠BADsin∠CAD)=2
⇒sin∠BADsin∠CAD=2
Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado:
(ABAF)(sin∠BADsin∠CAD)=EBEF
⇒(ABAF)(2)=EBEF
⇒EBEFABAF=2
Por los ángulos que tenía, tenemos algunas semejanzas:
△BEA∼△BAF∼△AEF
BEBA=EAAF=BABF
⇒BA2=BE×BF
BEAE=EAEF=BAAF
⇒AE2=BE×EF
BAAE=AFEF=BFAF
⇒AF2=EF×BF
Llamemos G a la intersección de CE con AB y F a la intersección de BE con AC .
Por Ceva:
(AGGB)(BDDC)(CFFA)=1
⇒(AGGB)(2)(CFFA)=1
⇒(AGGB)(CFFA)=12
⇒(GBAG)(FACF)=2