Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

lunes, 15 de octubre de 2012

Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)


Dado ABC isosceles con A=90\degree. El punto D esta en el segmento BC de tal manera que cumple BD=2CD. Sea E el pie de la perpendicular del punto B en la linea AD.
Encontrar CED.

13 comentarios:

  1. tienes que el angulo bed=90 por lo tanto tienes que como bd=2cd entonces el angulo adb=105 entonces tienes que E esta fuera del triangulo por lo tanto tienes que en el triangulo bde el angulo bde=75 y el angulo bed=90 entonces el angulo dbe=15 entonces tienes que el anglo cde mas el angulo dce igual a 75
    hasta ahi llevo

    ResponderBorrar
  2. Veo que ABACsinBADsinCAD=BDDC=2.Entonces como AB=AC y CAD=ABE: 2=sinBADsinCAD=BEABAEAB=BEAE. Entonces BE=2AE.ESO es lo que llevo

    ResponderBorrar
    Respuestas
    1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

      Borrar
    2. Sea F la interseccion de BE con la paralela a ED por C.Veo que BFC=BAC=90 entonces BAFC es ciclico.
      Luego sea P la interseccion de BF con AC.Veo que AEPBEA entonces AEBE=EPEA=APAB=12 ya que BE=2AE entonces por lo ultimo veo que 2AP=AB=AC entonces P es punto medio de AC.Entonces veo que el triangulo AEP es congruente al triangulo CFP ya que sus angulos son iguales y tienen un lado igual el cual es AP=PC entonces si son congruentes se tiene que AE=FC pero ademas AEFC entonces AEFC es un paralelogramo y se tiene que CED=FAD ya que FAEC pero veo que como BAFC es ciclico entonces AFB=ACB=45 entonces para completar los 180 del triangulo AEF el angulo FAE debe medir 45 entonces el angulo CED es igual a 45 que es lo que nos pedian encontrar.

      Borrar
  3. yo lo que ise fue lamar M al punto medio de DB luego por LAL tenemos que AMBADC sea MAB=CADα entonces tenemos que MDA=ADM=α+45 entonces DAM=902α luego por el triangulo DEB tenemos que DBE=45α entonces EBA=α y llame X al punto donde se cortan la lineas AM y BE entoncestenemosqueeltriangulo\triangle AXB$ es isosceles.

















    ResponderBorrar
  4. Como BAC=90 y ABC es isósceles, ACB=ABC=45. Hacemos F al punto medio de BC y G la intersección de BE y AC.
    Hacemos GBC=α, entonces ABG=45α y como EAB+ABE=90, EAB=45+α.
    Como F es el punto medio de BC y ABC es isósceles, AF es bisectriz de CAB y FAB=45, como DAB=45+α, DAF=α y ABFE es cíclico porque EAF=EBF, entonces FEB=FAB=45 y AFE=ABE=45α y como DEF+FEB y EFD+EFA suman 90 entonces EFD=45+α,DEF=45
    Más o menos eso he hecho, no supe cómo usar que BD=2CD.

    ResponderBorrar
  5. Lo que yo hice fue agregar un punto. Este punto sera P y es la proyeccion de C en AD. Despues de hacer esto, note que habia 2 pares de angulos iguales cuya medida no conocia y les puse nombre.
    EAB=ACP=α
    CAP=ABE=β

    Luego, me fijo en que ABACsenαsenβ=BDCD
    Pero sabemos que AB=AC y BD=2CD.
    Entonces senαsenβ=2

    Tambien sabemos que senα=BEAB y senβ=AEAB
    Entonces BEAB/AEAB=2
    Y si lo resolvemos nos queda: BE=2AE

    Luego me fije en que senβ=CPCA=AEAB
    Como CA=AB tenemos que AE=CP

    Despues me fije en que senα=BEAB=APAC
    Ya vimos que CA=AB entonces: BE=AP=2AE
    Como AP=2AE y A, P, y E son colineales, entonces EP=AE
    Ya sabiamos que AE=CP. Entonces CP=EP.
    Por lo tanto CPE es un triangulo rectangulo isosceles con el angulo de 90o en P.
    Por lo tanto PCE=PEC=45o
    Por ser P un punto sobre el rayo ED, CED=45o Q.E.D.

    ResponderBorrar
  6. Intento.-
    Prolongamos EC hasta cortar a AB por G, prolongamos BE hasta cortar a AC por F.
    Tenemos que se cumple Ceva:
    CFFAAGGBBDDC=! Sabemos que 2DC=BDBDDC=2CFFAAGGB=12
    Tenemos tambien 3 Menelaos:
    AGGBBEEFECAC=1
    CFFAAEEDBDBC=1CFFAAEED=32
    AFFCCEEGGBAB=1
    Hasta aquí llevo.

    ResponderBorrar
  7. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001551.jpg

    SI NO SE ENTIENDE DIME Y LO VUELVO A HACER MAS ORGANIZADO:)

    ResponderBorrar
  8. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderBorrar
  9. Este es mi avance:
    Llamamos F a la intersección de BE con AC .
    No puede haber dos ángulos de 90o , entonces AB=AC y ACB=ABC=45o .
    Digamos que BDE=α y EBD=β . Sabemos que DEB=90oα+β=90o .
    Digamos que EBA=θ . Sabemos que ABC=45oβ+θ=45o .
    BAE=α+β+θ,EAC=θ .
    AFE=α+β+θ
    Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado:
    (ABAC)(sinBADsinCAD)=DBDC
    (1)(sinBADsinCAD)=2
    sinBADsinCAD=2
    Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado:
    (ABAF)(sinBADsinCAD)=EBEF
    (ABAF)(2)=EBEF
    EBEFABAF=2
    Por los ángulos que tenía, tenemos algunas semejanzas:
    BEABAFAEF
    BEBA=EAAF=BABF
    BA2=BE×BF
    BEAE=EAEF=BAAF
    AE2=BE×EF
    BAAE=AFEF=BFAF
    AF2=EF×BF
    Llamemos G a la intersección de CE con AB y F a la intersección de BE con AC .
    Por Ceva:
    (AGGB)(BDDC)(CFFA)=1
    (AGGB)(2)(CFFA)=1
    (AGGB)(CFFA)=12
    (GBAG)(FACF)=2

    ResponderBorrar