Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día. Geometría (4 de Octubre)

jueves, 4 de octubre de 2012

Problema del Día. Geometría (4 de Octubre)

Sea

$\triangle ABC$ un triángulo donde

$D$ sea el punto medio de

$BC$ , y

$M$ el punto medio de

$AD$ . La línea

$BM$ intersecta al lado

$AC$ en

$N$ . Demuestra que

$AB$ es tangente al circuncírculo del triángulo

$\triangle NBC$ si y solo si se cumple la siguiente igualdadad:

$\frac{BM}{MN}= \frac{BC^2}{BN^2} .$

17 comentarios:

antonio lopez10 de octubre de 2012, 6:36 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
antonio lopez10 de octubre de 2012, 6:46 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
antonio lopez10 de octubre de 2012, 6:48 p.m.
Veo que por el teorema de la bisectriz generalizado,
$\frac{AB}{AC}*\frac{\sin{\angle BAD}}{\sin{\angle CAD}}=\frac {BD}{DC}$ .
Entonces $\frac{AC}{AB}=\frac{\sin{\angle BAD}}{\sin{\angle CAD}}$ .
Luego tambien veo que:
$\frac {BM}{BN}=\frac{AB}{AN}*\frac{\sin{\angle BAD}}{\sin{\angle CAD}}=\frac{AB}{AN}*\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AN}$ .
Luego primero supongo que $AB$ es tangente, entonces por potencia de punto $AB^2=AN*AC$ entonces $\frac{AC}{AN}=\frac{AB^2}{AN^2}$ . Entonces $\frac{BM}{BN}=\frac{AB^2}{AN^2}$ .Luego me fijo que como $AB$ es tangente entonces $\angle ABN=\angle BCN$ entonces por AA el triangulo $ABN$ es semejante al $ACB$ entonces: $\frac {AC}{AB}=\frac {BC}{BN}$ . ENtonces $\frac {AC^2}{AB^2}=\frac {BC^2}{BN^2}$ .luego solo hay que demostrar que $\frac {AC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AN^2}$ lo que equivale a demostrar que $AB^4=AC^2*AN^2$ pero eso es cierto por potencia de punto entonces $\frac{BM}{BN} =\frac {BC^2}{BN^2}$ .
Despues subo la otra parte.
ResponderBorrar
Respuestas
antonio lopez10 de octubre de 2012, 6:55 p.m.
una disculpa todas las fracciones que dicen $\frac{BM}{BN}$ deben de ser $\frac{BM}{MN}$
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown10 de octubre de 2012, 8:04 p.m.
si $AB$ es tangente por potencia de punto sabemos que $AB^{2}=AN\cdot NC$ y digamos que $\angle BDA=\alpha$ y $\angle DAC=\beta$ Por teorema de la bisectriz generalizado sabemos que $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \cdot \frac{sen\alpha } {sen\beta }$ Tambien sabemos que $\frac{AB}{AN}=\frac{BM}{MN}\cdot \frac{sen\alpha } {sen\beta }$ por que $BD=DC$ entonces $\frac{AB}{AC} = \frac{sen\alpha } {sen\beta }$ entonces
$\frac{AB}{AN}=\frac{BM}{MN}\cdot \frac{AB }{AC }$ eso es lo que llevo
ResponderBorrar
Respuestas
Luis Chacón11 de octubre de 2012, 3:12 p.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
Luis Chacón11 de octubre de 2012, 3:13 p.m.
Supongamos que AB es tangente al circuncírculo de NBC.
$\angle ABN=\angle NCB$ porque son semiinscrito y inscrito al mismo arco, entonces como tienen un ángulo igual y comparten $\angle BAC$ , $\triangle ABN \sim \triangle ACB$ , entonces $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{BN}$ .
Por el teorema de la bisectriz generalizado y como D es punto medio de BC,
$1=\frac{CD}{DB}=(\frac{AC}{AB})(\frac{\sin \angle DAC}{\sin \angle DAB})=(\frac{BC}{BN})(\frac{\sin \angle DAC}{\sin \angle DAB})$
Por el teorema de la bisectriz generalizado,
$\frac{BM}{MN}=(\frac{AB}{AN})(\frac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC})(1)=(\frac{BC}{BN})(\frac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC})(\frac{BC}{BN})(\frac{\sin \angle DAC}{\sin \angle DAB})=\frac{BC^2}{BN^2}$
Por lo tanto, AB es tangente al circuncírculo de NBC $\Rightarrow \frac{BM}{MN}=\frac{BC^2}{BN^2}$ .
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown11 de octubre de 2012, 11:59 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001451.jpg
ResponderBorrar
Respuestas
Diego Astiazarán12 de octubre de 2012, 12:28 a.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
Diego Astiazarán12 de octubre de 2012, 12:29 a.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
Diego Astiazarán12 de octubre de 2012, 12:31 a.m.
Primero intentare demostrar que si $AB$ es tangente $\Rightarrow \frac{BM}{MN}=\frac{BC^2}{BN^2}$
Aplicamos Menelao en el $\triangle ABD$ junto con el segmneto $DC$ :
$1=(\frac{BP}{PA})(\frac{AM}{MD})(\frac{DC}{BC})=(\frac{BP}{PA})(1)(\frac{1}{2})$
$\Rightarrow \frac{BP}{PA}=2 \Rightarrow BP=2PA$
Ya que $AB$ es tangente, $AB^2=AN \times AC$
Por el teorema de la bisectriz generalizado:
$(\frac{AB}{AC})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BD}{DC})=1$
Por el teorema de la bisectriz generalizado:
$(\frac{AB}{AN})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BM}{MN})$
Por ángulo inscrito y semiincrito, $\angle ABN = \angle BCN$ .
$\Rightarrow \triangle ACB \sim \triangle ABN$ , porque tienen ángulo igual y el $\angle BAC$ en común.
$\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{CB}{BN}=\frac{BA}{NA}$
Esos son los avances que llevo, luego veré que hacer para concluir esa parte.
ResponderBorrar
Respuestas
Diego Astiazarán12 de octubre de 2012, 12:49 a.m.
Teniamos $(\frac{AB}{AC})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BD}{DC})=1$
$\Rightarrow (\frac{BN}{CB})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BD}{DC})=1$
Teniamos $(\frac{AB}{AN})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BM}{MN})$
$\Rightarrow (\frac{CB}{BN})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})=(\frac{BM}{MN})$
Multiplicamos por $1$ en lo último que obtuvimos:
$(\frac{BM}{MN})=(\frac{CB}{BN})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})(1)=(\frac{CB}{BN})(\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD})(\frac{CB}{BN})(\frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle BAD}))=\frac{BC^2}{BN^2} \quad \blacksquare$
$\text{No supe como usar lo de Menelao!}$
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown12 de octubre de 2012, 7:03 a.m.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar
Respuestas
Unknown14 de octubre de 2012, 5:57 p.m.
Intento.-
Si AB es tangente entonces:
$\angle{ABN}=\widehat{NB}=\angle{NCB}\Rightarrow \triangle{ABN}\simeq\triangle{ACB}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{BN}{CB}$
Por Teorema de la Bisectriz Generalizado:
$\frac{AC}{AB}=\frac{sen(\angle{CAD})}{sen(\angle{BAD})}$
$\frac{AB}{AN}=\frac{BM*sen(\angle{BAD})}{MN*sen(\angle{CAD})}$
$\frac{AB}{BD}=\frac{sen(\alpha)}{sen(\alpha-\beta)}$
$\frac{AB}{BC}=\frac{AN*sen(\angle{ABN})}{NC*sen(\angle{NBC})}$
Por Menelao:
$\frac{CN}{NA}*\frac{AM}{MD}*\frac{BD}{BC}=1$
$AM=MD, 2BD=BC\Rightarrow 2NA=CN$
$\frac{CD}{DB}*\frac{MB}{MN}*\frac{NA}{AC}=1$
$CD=DB, 3NA=AC\Rightarrow 3MB=MN$
Hasta aquí llevo

ResponderBorrar
Respuestas

Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua

jueves, 4 de octubre de 2012

Problema del Día. Geometría (4 de Octubre)

17 comentarios:

SC

Google Analytics