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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
lunes, 29 de octubre de 2012
Problema del día. Teoría de números (29 de octubre)
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que: $2(10^n)+25$ sea un cuadrado perfecto
$2(10^{n})+25=2^{n+1}*5^{n}+5^{2}=5^{2}(2^{n+1}+5^{n-2}+1)$ Es un cuadrado perfecto, $5^{2}$ ya lo es, por lo que $2^{n+1}+5^{n-2}+1$ también lo es. $2^{n+1}+5^{n-2}+1=10^{n-2}*2^{3}+1=x^{2}\Rightarrow 8(10^{n-2})=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$. $8(10^{n-2})$ es par, entonces $(x-1)(x+1)$ también lo es, debido a que el producto es par, ambos deben ser de la misma paridad (pues su diferencia es 2), por lo que los expresaré de la forma: $x-1=2k\Rightarrow x+1=2k+2\Rightarrow (x-1)(x+1)=2k(2k+2)=4k^{2}+4k=4k(k+1)=8(10^{n-2})\Rightarrow k(k+1)=2(10^{n-2})=2^{n-1}*5^{n-2}$. Por ser $k, k+1$ consecutivos, tenemos que $mcd(k, k+1)=1$ entonces alguno de los $2$ tiene los $n-1$ factores $2$ y el otro, los $n-2$ factores $5$. Veamos los casos chicos, comenzando en $n-2=0\Rightarrow n=2$ , pues para $n-2\textless 0$ el producto no es entero. $\rightarrow n=2\rightarrow k+1=2, k=1 \text{\checkmark}$ $\rightarrow n=3\rightarrow k=4, k+1=5 \text{\checkmark}$ $\rightarrow n=4\rightarrow k=8, k+1=25 !$ es contradicción, pues no son consecutivos $\rightarrow n=5\rightarrow k=16, k+1=125 !$ es contradicción, pues no son consecutivos $\cdots$ Vemos que para $n\geq 4$ la diferencia de ambos factores va aumentando, por lo que solo los casos: $\boxed{n=(2, 3)}$ cumplen
$2(10^{n})+25=2^{n+1}*5^{n}+5^{2}=5^{2}(2^{n+1}+5^{n-2}+1)$
ResponderBorrarEs un cuadrado perfecto, $5^{2}$ ya lo es, por lo que $2^{n+1}+5^{n-2}+1$ también lo es.
$2^{n+1}+5^{n-2}+1=10^{n-2}*2^{3}+1=x^{2}\Rightarrow 8(10^{n-2})=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$.
$8(10^{n-2})$ es par, entonces $(x-1)(x+1)$ también lo es, debido a que el producto es par, ambos deben ser de la misma paridad (pues su diferencia es 2), por lo que los expresaré de la forma:
$x-1=2k\Rightarrow x+1=2k+2\Rightarrow (x-1)(x+1)=2k(2k+2)=4k^{2}+4k=4k(k+1)=8(10^{n-2})\Rightarrow k(k+1)=2(10^{n-2})=2^{n-1}*5^{n-2}$.
Por ser $k, k+1$ consecutivos, tenemos que $mcd(k, k+1)=1$ entonces alguno de los $2$ tiene los $n-1$ factores $2$ y el otro, los $n-2$ factores $5$.
Veamos los casos chicos, comenzando en $n-2=0\Rightarrow n=2$ , pues para $n-2\textless 0$ el producto no es entero.
$\rightarrow n=2\rightarrow k+1=2, k=1 \text{\checkmark}$
$\rightarrow n=3\rightarrow k=4, k+1=5 \text{\checkmark}$
$\rightarrow n=4\rightarrow k=8, k+1=25 !$ es contradicción, pues no son consecutivos
$\rightarrow n=5\rightarrow k=16, k+1=125 !$ es contradicción, pues no son consecutivos
$\cdots$
Vemos que para $n\geq 4$ la diferencia de ambos factores va aumentando, por lo que solo los casos: $\boxed{n=(2, 3)}$ cumplen
Muy bien :), solo que al principio donde factorizaste $5^2$ tienes un error de dedo,en vez del signo $+$ debe ser un signo de por.
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