Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día. Teoría de números (29 de octubre)

lunes, 29 de octubre de 2012

Problema del día. Teoría de números (29 de octubre)

Encuentra todos los enteros positivos

$n$ tales que:

$2(10^n)+25$ sea un cuadrado perfecto

2 comentarios:

Unknown30 de octubre de 2012, 5:55 p.m.
$2(10^{n})+25=2^{n+1}*5^{n}+5^{2}=5^{2}(2^{n+1}+5^{n-2}+1)$
Es un cuadrado perfecto, $5^{2}$ ya lo es, por lo que $2^{n+1}+5^{n-2}+1$ también lo es.
$2^{n+1}+5^{n-2}+1=10^{n-2}*2^{3}+1=x^{2}\Rightarrow 8(10^{n-2})=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ .
$8(10^{n-2})$ es par, entonces $(x-1)(x+1)$ también lo es, debido a que el producto es par, ambos deben ser de la misma paridad (pues su diferencia es 2), por lo que los expresaré de la forma:
$x-1=2k\Rightarrow x+1=2k+2\Rightarrow (x-1)(x+1)=2k(2k+2)=4k^{2}+4k=4k(k+1)=8(10^{n-2})\Rightarrow k(k+1)=2(10^{n-2})=2^{n-1}*5^{n-2}$ .
Por ser $k, k+1$ consecutivos, tenemos que $mcd(k, k+1)=1$ entonces alguno de los $2$ tiene los $n-1$ factores $2$ y el otro, los $n-2$ factores $5$ .
Veamos los casos chicos, comenzando en $n-2=0\Rightarrow n=2$ , pues para $n-2\textless 0$ el producto no es entero.
$\rightarrow n=2\rightarrow k+1=2, k=1 \text{\checkmark}$
$\rightarrow n=3\rightarrow k=4, k+1=5 \text{\checkmark}$
$\rightarrow n=4\rightarrow k=8, k+1=25 !$ es contradicción, pues no son consecutivos
$\rightarrow n=5\rightarrow k=16, k+1=125 !$ es contradicción, pues no son consecutivos
$\cdots$
Vemos que para $n\geq 4$ la diferencia de ambos factores va aumentando, por lo que solo los casos: $\boxed{n=(2, 3)}$ cumplen
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