Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.
Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.
veo que si considero solo la suma de angulos del pentagono,esto seria $3(180)$ grados.
ResponderBorrarLuego cada punto dentro del pentagono puede sumar $360$ entonces la suma de los angulos de los puntos dentro del pentagono es $(360)(995)$.entonces la suma de los angulos de los 1000 puntos es
$3(180)+(995)(360)=(180)(3+995(2))=(180)(1993)$.
De aqui concluyo que se pueden formar 1993 triangulos;entonces como el area del pentagono es 1993 suponiendo que el area de cada triangulo es mayor a uno, se tendria que el area del pentagono es mayor a 1993, de ahi llego a una contradiccion, entonces al menos un triangulo tiene area menor o igual a 1.
¿Que triangulos estas considerando? en realidad se pueden formar muchos triangulos con cada punto asi que debes especificar cuales son los que estas tomando en cuenta. Y explicar porqué no se traslapan.
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ResponderBorrarSupongamos que tenemos el Pentágono, aún sin colocar los $995$ puntos dentro de el. Al colocar el primero, unimos ese punto con cada vértice del pentágono y tendremos $5$ triángulos, al agregar otro punto, lo conectaremos con los $3$ vértices del triángulo que lo contiene, por lo que estaremos creando $3$ triángulos pero desharemos el triángulo que contiene el punto, por lo que por cada punto (después de colocar el primero) tendremos $2$ triángulos más, si al principio se crean $5$ triángulos y con los $994$ puntos restantes se crean $2$ triángulos por cada punto, tendremos en total: $5+2(994)=1993\therefore$ debido a que el área del Pentágono es $1993$, al menos un triángulo será de área menor o igual a $1$ $\blacksquare$
ResponderBorrarOk, pero que pasa cuando el punto que agregamos no esta contenido en algun triangulo, es decir, esta en alguna frontera ?? n_n
BorrarTomaremos en cuenta los $2$ triángulos que comparten tal frontera, al colocar el punto, lo conectaremos con los $2$ vértices que no pertenecen al mismo triángulo, así dejaremos $4$ triángulos, para esto deshicimos los $2$ iniciales, por lo que se mantiene el hecho de que la cantidad de triángulos aumenta $2$ por cada punto no inicial.
BorrarTomamos un vértice del pentágono tal que todas sus diagonales sean internas y las trazamos (no sé como garantizar que se puede...), formando 3 triángulos.
ResponderBorrarPara cada uno de los 995 puntos que hay dentro, hacemos una de las siguientes opciones de uno en uno:
•Si está dentro de un triángulo ya existente, trazamos líneas del punto a los vértices del triángulo, ésto divide al triángulo en 3 y aumenta la cantidad de triángulos en 2.
•Si está en una línea, tomamos los dos triángulos que tienen esa línea en común y trazamos la línea del punto al vértice de cada triángulo que no está en la misma línea que el punto(si el punto P está en AB y el triángulo es ABC trazamos PC), esto divide esos triángulos en 2 y aumenta la cantidad de triángulos en 2 (el único caso en el que esto no se podría sería cuando la línea es un lado del pentágono, pero dice "dentro"...).
Entonces con cada punto aumentamos la cantidad de triángulos en 2. Al hacer esto quedan 3+2(995)=1993 triángulos que cubren exactamente el triángulo.
La suma de las áreas de los 1993 triángulos es el área del pentágono que es 1993, entonces los triángulos no pueden tener todos un área mayor a 1 porque entonces su suma sería mayor 1993.
Por lo tanto algún triángulo tiene área menor o igual a 1.▄
:) ... muy bien, la verdad yo tampoco se como demostrar que se pueden trazar las diagonales internas, casi creo que debí haber puesto que era un pentagono convexo, pero estaria interesante que demostraras si se puede para ambos casos n_n
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ResponderBorrartienes que la suma de los angulos internos de un pentagono es $3(180)$ y que cada punto tiene $360°$ entonces tienes que la suma de todos seria $360(995)=180(2)(995)$ y tienes que la suma de todos en total es $180(2)(995)+3=180(1990)+3=180(1993)$ y tienes que la suma de angulos internos de un triangulo es $180°$ por lo tanto hay $1993$ triangulos tienes que ninguno esta traslapado por lotanto minimo uno tiene area menor o igual a uno p
ResponderBorrarBien, pero como aseguras que no estan traslapados? Como formas los 360°?
BorrarTenemos el pentagono. Agregamos 1 punto y se hacen 5 triangulos. Luego agregamos otro punto. Este punto estara dentro de uno de los triangulos. Unimos este punto con los vertices del triangulo dentro del cual esta contenido. Al hacer esto, dividimos el triangulo grande en 3 de menor tama;o. Entonces habremos agregado 2 triangulos. Si agregamos otro punto, volvemos a hacer lo mismo y terminamos agregando 2 triangulos. Entonces tenemos 5 triangulos iniciales y nos quedan 994 puntos. $5+2(994)=1993$ Tendremos 1993 triangulos entonces al menos uno de ellos tendra un area menor o igual a 1.
ResponderBorrar¿Por qué tendrá un area menor o igual a 1? ¿Qué pasa si el punto no queda dentro de ningun triangulo, es decir, queda en un lado?
BorrarSi ponemos un punto en un arista, estara entre 2 de los vertices del pentagono. Entonces si hacemos un triangulo con esos 3 puntos, tendra de area 0 porque la altura sera 0. Entonces ya tenemos que el area es menor a 1.
BorrarEs que pense que como decia que dentro del pentagono significaba que no podia estar sobre los aristas.
Borrarprimero me fijo en que si al pentagono original ( a eso me refiero solo a los 5 puntos) si le agregamos un punto nuevo se van a formar 5 triangulos, si le agregamos otro punto $P$ , ese nuevo punto va a quedar dentro de uno de los triangulo, digamos que es el triangulo $ABC$ entonces solamente razamos las lineas $AP,CP,BP$ y se formaran 3 triangulos nuevos pero se quitara el triangulo $ABC$ osea que practicamente se aran 2 triangulos nuevos y podemos aplicar ese arumento para cada punto nueve que se ponga , entonces , tendremos que por el primer punto se agragaran 5 triangulos , y por los siguientes 994 puntos se agregaran 2 triangulos por cada uno, entonces en total se agregaran $5+2(994)=1993$ entonces si cada uno de esos triangulos es mayor a uno , la suma del area va a ser mayor que uno y va a ser contradiccion
ResponderBorrarOk, ¿que pasa si el punto no queda dentro de ningun triangulo?
BorrarSabemos que la suma de ángulos internos de un pentágono es $3(180^o)$ .
ResponderBorrarTenemos otros $995(360^o)$ , originados por cada uno de los puntos interiores, lo cual es igual a $1990(180^o)$ .
$\Rightarrow$ Hay $1993(180^o)$ en total, por lo tanto se pueden formar $1993$ triángulos sin contar más de una vez cada ángulos, osea sin empalmar las áreas.
Entonces el promedio de área de cada triángulo es $1$ , y si algún triángulo tiene área mayor a $1$ , alguno tendría área mayor a $1$ . $\blacksquare$
"si algún triángulo tiene área mayor a 1 , alguno tendría área mayor a 1" o.O!! ... Explica mejor como estas contando esos 360° y porque no se empalman las areas n_n
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ResponderBorrarNos fijamos primero en el caso en el que solo son los $5$ puntos del pentágono, si agregamos un punto y lo unimos con los vértices queda dividido en $5$ triángulos, si agregamos otro punto debe de estar dentro de alguno de los $5$ triángulos, entonces se une el punto con los vértices del triángulo que lo contiene y la figura queda dividida en $7$ traingulos. Observamos la siguiente secuencia:
ResponderBorrar$6 puntos=5 triangulos$
$7 puntos=7triangulos$
$8 puntos=9triangulos$
$.$
$.$
$.$
Nos a partir del punto $7$ por cada punto que aumenta se agregan dos triángulos $\rightarrow$ $1000-6=994$ $\rightarrow$ $(994)(2)+5=1993$ que son los triángulos que se forman con $1000 puntos$
$\rightarrow$ el promedio de área es $\frac{1993}{1993}=1$ $\therefore$ hay al menos un triangulo de área menor o igual que $1$(si hay $(\triangle)>1$ $\rightarrow (\triangle)< 1$)
Bien ... pero, ¿Cómo demuestras que se agregan 2 triangulos? es claro que eso va pasando, pero como demuestras que va a seguir pasando? ... que pasa si el punto qu agregas no esta dentro de ninguno de los triangulos anteriores? que esta en uno de los lados
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ResponderBorrarExplica mejor que triangulos estas tomando cuando dices que agregas un punto y aumentas 360° y explica mejor porque no se traslapan los triangulos y de preferencia tambien porque el promedio resuelve el problema ... las palabras no se cobran, no es un telegrama xD
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