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lunes, 15 de octubre de 2012

Problema del Día. Teoría de Números (14 de Octubre)

Sea p un número primo mayor que 2. Si
1+12+13++1p1=ab
Demuestra que a es múltiplo de p.

2 comentarios:

  1. S.P.D.G.: (a,b)=1, es decir, ab está simplificada.
    wx+yz=wz+xyxz, entonces en la suma 11+12+13...+1p1=ab, b sólo es múltiplo de números entre 2 y p1, y como p es primo entonces (p,b)=1.
    11+12+13+...+1p1=ab
    b((p1)!1+(p1)!2+(p1)!3...+(p1)!p1)=a(p1)!
    Donde (p1)!k es entero (1kp1) porque (p1)!k=1×2×3×...×(k1)×(k+1)×...×(p1) que es entero.
    Como ((p1)!,p)=1, si b((p1)!1+(p1)!2+(p1)!3+...+(p1)!p1)=a(p1)! es múltiplo de p entonces p|a.
    (b((p1)!k),p)=1. Supongamos que hay dos k,l tales que b((p1)!k)b((p1)!l)(modp) como (b(p1)!,p)=1 dividimos, y multiplicamos por kl
    lk(modp) y como k,lp k=l.
    Entonces todos los términos de la suma tienen diferente congruencia mod p y en la suma está cada una de las p1 congruencias posibles (ninguno es 0 porque ninguno es múltiplo de p). b((p1)!1)+b((p1)!2)+b((p1)!3)+...+(p1)!p11+2+3+...+(p1)(modp)
    1+2+3+...+(p1)=p(p12), como p es primo mayor a 2, entonces p1 es par y p12 entero, entonces 1+2+3+...+(p1) es múltiplo de p, por lo tanto b((p1)!1+(p1)!2+(p1)!3...+(p1)!p1) también y a es múltiplo de p.

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  2. http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001561.jpg
    INTENTO

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