La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
lunes, 15 de octubre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (14 de Octubre)
Sea p un número primo mayor que 2. Si 1+12+13+⋯+1p−1=ab
S.P.D.G.: (a,b)=1, es decir, ab está simplificada. wx+yz=wz+xyxz, entonces en la suma 11+12+13...+1p−1=ab, b sólo es múltiplo de números entre 2 y p−1, y como p es primo entonces (p,b)=1. 11+12+13+...+1p−1=ab ⇔b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3...+(p−1)!p−1)=a(p−1)! Donde (p−1)!k es entero (1≤k≤p−1) porque (p−1)!k=1×2×3×...×(k−1)×(k+1)×...×(p−1) que es entero. Como ((p−1)!,p)=1, si b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3+...+(p−1)!p−1)=a(p−1)! es múltiplo de p entonces p|a. (b((p−1)!k),p)=1. Supongamos que hay dos k,l tales que b((p−1)!k)≡b((p−1)!l)(modp) como (b(p−1)!,p)=1 dividimos, y multiplicamos por kl l≡k(modp) y como k,l≤pk=l. Entonces todos los términos de la suma tienen diferente congruencia mod p y en la suma está cada una de las p−1 congruencias posibles (ninguno es 0 porque ninguno es múltiplo de p). b((p−1)!1)+b((p−1)!2)+b((p−1)!3)+...+(p−1)!p−1≡1+2+3+...+(p−1)(modp) 1+2+3+...+(p−1)=p(p−12), como p es primo mayor a 2, entonces p−1 es par y p−12 entero, entonces 1+2+3+...+(p−1) es múltiplo de p, por lo tanto b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3...+(p−1)!p−1) también y a es múltiplo de p.
S.P.D.G.: (a,b)=1, es decir, ab está simplificada.
ResponderBorrarwx+yz=wz+xyxz, entonces en la suma 11+12+13...+1p−1=ab, b sólo es múltiplo de números entre 2 y p−1, y como p es primo entonces (p,b)=1.
11+12+13+...+1p−1=ab
⇔b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3...+(p−1)!p−1)=a(p−1)!
Donde (p−1)!k es entero (1≤k≤p−1) porque (p−1)!k=1×2×3×...×(k−1)×(k+1)×...×(p−1) que es entero.
Como ((p−1)!,p)=1, si b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3+...+(p−1)!p−1)=a(p−1)! es múltiplo de p entonces p|a.
(b((p−1)!k),p)=1. Supongamos que hay dos k,l tales que b((p−1)!k)≡b((p−1)!l)(modp) como (b(p−1)!,p)=1 dividimos, y multiplicamos por kl
l≡k(modp) y como k,l≤p k=l.
Entonces todos los términos de la suma tienen diferente congruencia mod p y en la suma está cada una de las p−1 congruencias posibles (ninguno es 0 porque ninguno es múltiplo de p). b((p−1)!1)+b((p−1)!2)+b((p−1)!3)+...+(p−1)!p−1≡1+2+3+...+(p−1)(modp)
1+2+3+...+(p−1)=p(p−12), como p es primo mayor a 2, entonces p−1 es par y p−12 entero, entonces 1+2+3+...+(p−1) es múltiplo de p, por lo tanto b((p−1)!1+(p−1)!2+(p−1)!3...+(p−1)!p−1) también y a es múltiplo de p.
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