La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
lunes, 15 de octubre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números (14 de Octubre)
Sea $p$ un número primo mayor que $2$. Si
\[ 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{a}{b} \]
Demuestra que $a$ es múltiplo de $p$.
S.P.D.G.: $(a,b)=1$, es decir, $\frac{a}{b}$ está simplificada. $\frac{w}{x}+\frac{y}{z}=\frac{wz+xy}{xz}$, entonces en la suma $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$, $b$ sólo es múltiplo de números entre $2$ y $p-1$, y como $p$ es primo entonces $(p,b)=1$. $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$ $\Leftrightarrow b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}...+\frac{(p-1)!}{p-1})=a(p-1)!$ Donde $\frac{(p-1)!}{k}$ es entero ($1\leq k \leq p-1$) porque $\frac{(p-1)!}{k}=1\times 2\times 3\times ...\times (k-1)\times (k+1)\times ... \times (p-1)$ que es entero. Como $((p-1)!,p)=1$, si $b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}+...+\frac{(p-1)!}{p-1})=a(p-1)!$ es múltiplo de $p$ entonces $p|a$. $(b(\frac{(p-1)!}{k}),p)=1$. Supongamos que hay dos $k,l$ tales que $b(\frac{(p-1)!}{k})\equiv b(\frac{(p-1)!}{l}) \pmod{p}$ como $(b(p-1)!,p)=1$ dividimos, y multiplicamos por $kl$ $l\equiv k \pmod{p}$ y como $k,l\leq p$ $k=l$. Entonces todos los términos de la suma tienen diferente congruencia mod p y en la suma está cada una de las $p-1$ congruencias posibles (ninguno es $0$ porque ninguno es múltiplo de $p$). $b(\frac{(p-1)!}{1})+b(\frac{(p-1)!}{2})+b(\frac{(p-1)!}{3})+...+\frac{(p-1)!}{p-1}\equiv 1+2+3+...+(p-1)\pmod{p}$ $1+2+3+...+(p-1)=p(\frac{p-1}{2})$, como $p$ es primo mayor a $2$, entonces $p-1$ es par y $\frac{p-1}{2}$ entero, entonces $1+2+3+...+(p-1)$ es múltiplo de $p$, por lo tanto $b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}...+\frac{(p-1)!}{p-1})$ también y $a$ es múltiplo de $p$.
S.P.D.G.: $(a,b)=1$, es decir, $\frac{a}{b}$ está simplificada.
ResponderBorrar$\frac{w}{x}+\frac{y}{z}=\frac{wz+xy}{xz}$, entonces en la suma $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$, $b$ sólo es múltiplo de números entre $2$ y $p-1$, y como $p$ es primo entonces $(p,b)=1$.
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$
$\Leftrightarrow b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}...+\frac{(p-1)!}{p-1})=a(p-1)!$
Donde $\frac{(p-1)!}{k}$ es entero ($1\leq k \leq p-1$) porque $\frac{(p-1)!}{k}=1\times 2\times 3\times ...\times (k-1)\times (k+1)\times ... \times (p-1)$ que es entero.
Como $((p-1)!,p)=1$, si $b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}+...+\frac{(p-1)!}{p-1})=a(p-1)!$ es múltiplo de $p$ entonces $p|a$.
$(b(\frac{(p-1)!}{k}),p)=1$. Supongamos que hay dos $k,l$ tales que $b(\frac{(p-1)!}{k})\equiv b(\frac{(p-1)!}{l}) \pmod{p}$ como $(b(p-1)!,p)=1$ dividimos, y multiplicamos por $kl$
$l\equiv k \pmod{p}$ y como $k,l\leq p$ $k=l$.
Entonces todos los términos de la suma tienen diferente congruencia mod p y en la suma está cada una de las $p-1$ congruencias posibles (ninguno es $0$ porque ninguno es múltiplo de $p$). $b(\frac{(p-1)!}{1})+b(\frac{(p-1)!}{2})+b(\frac{(p-1)!}{3})+...+\frac{(p-1)!}{p-1}\equiv 1+2+3+...+(p-1)\pmod{p}$
$1+2+3+...+(p-1)=p(\frac{p-1}{2})$, como $p$ es primo mayor a $2$, entonces $p-1$ es par y $\frac{p-1}{2}$ entero, entonces $1+2+3+...+(p-1)$ es múltiplo de $p$, por lo tanto $b(\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}...+\frac{(p-1)!}{p-1})$ también y $a$ es múltiplo de $p$.
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