La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
domingo, 28 de octubre de 2012
Problema del día. Combinatoria (28 de Octubre)
Un número triangular es un número de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$ para algún entero positivo $n$. Demuestra que entre cualesquiera 32 números triangulares menores que 2012 hay dos cuya suma es un cuadrado.
Para $n=63$ el número triangular es $\frac{63(64)}{2}=2016>2012$, entonces los números triangulares se hacen con números $1\leq n \leq 62$. Suponiendo que los 32 números son diferentes... Supongamos que no hay dos n consecutivas entonces hay al menos 31 números del 1 al 62 que no se usan para hacer los números triangulares (debe haber al menos uno entre dos n's) pero para eso se necesitan 31+32=63 números y sólo usamos 62, entonces debe haber 2 números triangulares con n's consecutivas y los sumamos: $\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2(n+1))}{2}=(n+1)^2$ Por lo tanto hay dos cuya suma es un cuadrado (si todos son distintos, si se repitieran podrían ser todos iguales y no cumpliría).
veo que los numeros triangulares menores a 2012 seran para $n\leq 62$.Luego al escoger 32 numeros de entre 1 y 62 va haber 2 de ellos que son consecutivos,entonces si escogemos y sumamos los dos numeros triangulares formados por esos dos numeros consecutivos quedaria asi $\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{2n^2+4n+2}{2}=n^2+n+1=(n+1)^2$.Entonces si hay dos numeros triangulares menores que 2012 cuya suma es un cuadrado.
Para $n=63$ el número triangular es $\frac{63(64)}{2}=2016>2012$, entonces los números triangulares se hacen con números $1\leq n \leq 62$.
ResponderBorrarSuponiendo que los 32 números son diferentes... Supongamos que no hay dos n consecutivas entonces hay al menos 31 números del 1 al 62 que no se usan para hacer los números triangulares (debe haber al menos uno entre dos n's) pero para eso se necesitan 31+32=63 números y sólo usamos 62, entonces debe haber 2 números triangulares con n's consecutivas y los sumamos:
$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2(n+1))}{2}=(n+1)^2$
Por lo tanto hay dos cuya suma es un cuadrado (si todos son distintos, si se repitieran podrían ser todos iguales y no cumpliría).
Correcto.
Borrarveo que los numeros triangulares menores a 2012 seran para $n\leq 62$.Luego al escoger 32 numeros de entre 1 y 62 va haber 2 de ellos que son consecutivos,entonces si escogemos y sumamos los dos numeros triangulares formados por esos dos numeros consecutivos quedaria asi
ResponderBorrar$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{2n^2+4n+2}{2}=n^2+n+1=(n+1)^2$.Entonces si hay dos numeros triangulares menores que 2012 cuya suma es un cuadrado.
Correcto.
BorrarAunque falta explicar mejor por qué hay dos consecutivos.