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domingo, 28 de octubre de 2012
Problema del día. Combinatoria (28 de Octubre)
Un número triangular es un número de la forma n(n+1)2 para algún entero positivo n. Demuestra que entre cualesquiera 32 números triangulares menores que 2012 hay dos cuya suma es un cuadrado.
Para n=63 el número triangular es 63(64)2=2016>2012, entonces los números triangulares se hacen con números 1≤n≤62. Suponiendo que los 32 números son diferentes... Supongamos que no hay dos n consecutivas entonces hay al menos 31 números del 1 al 62 que no se usan para hacer los números triangulares (debe haber al menos uno entre dos n's) pero para eso se necesitan 31+32=63 números y sólo usamos 62, entonces debe haber 2 números triangulares con n's consecutivas y los sumamos: n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)(n+n+2)2=(n+1)(2(n+1))2=(n+1)2 Por lo tanto hay dos cuya suma es un cuadrado (si todos son distintos, si se repitieran podrían ser todos iguales y no cumpliría).
veo que los numeros triangulares menores a 2012 seran para n≤62.Luego al escoger 32 numeros de entre 1 y 62 va haber 2 de ellos que son consecutivos,entonces si escogemos y sumamos los dos numeros triangulares formados por esos dos numeros consecutivos quedaria asi n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)(n+n+2)2=2n2+4n+22=n2+n+1=(n+1)2.Entonces si hay dos numeros triangulares menores que 2012 cuya suma es un cuadrado.
Para n=63 el número triangular es 63(64)2=2016>2012, entonces los números triangulares se hacen con números 1≤n≤62.
ResponderBorrarSuponiendo que los 32 números son diferentes... Supongamos que no hay dos n consecutivas entonces hay al menos 31 números del 1 al 62 que no se usan para hacer los números triangulares (debe haber al menos uno entre dos n's) pero para eso se necesitan 31+32=63 números y sólo usamos 62, entonces debe haber 2 números triangulares con n's consecutivas y los sumamos:
n(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)(n+n+2)2=(n+1)(2(n+1))2=(n+1)2
Por lo tanto hay dos cuya suma es un cuadrado (si todos son distintos, si se repitieran podrían ser todos iguales y no cumpliría).
Correcto.
Borrarveo que los numeros triangulares menores a 2012 seran para n≤62.Luego al escoger 32 numeros de entre 1 y 62 va haber 2 de ellos que son consecutivos,entonces si escogemos y sumamos los dos numeros triangulares formados por esos dos numeros consecutivos quedaria asi
ResponderBorrarn(n+1)2+(n+1)(n+2)2=(n+1)(n+n+2)2=2n2+4n+22=n2+n+1=(n+1)2.Entonces si hay dos numeros triangulares menores que 2012 cuya suma es un cuadrado.
Correcto.
BorrarAunque falta explicar mejor por qué hay dos consecutivos.