En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los 2 vértices que forman la arista. Sean A la suma de los números en las aristas y V la suma de los números escritos en los vértices.
a) Muestra que:
23A≤V
b) ¿Es posible que A=V
?
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ResponderBorrara) Tenemos que sean A1,A2,A3,⋯A12 las 12 aristas del cubo y V1,V2,V3,⋯V8 los 8 vértices del cubo, digamos que A1 conecta a V1 con V2, A2 conecta a V1 con V7,⋯A12 conecta a A4 con A6.
ResponderBorrar*Cabe mencionar que no necesariamente hay patrones en los subíndices, pero se debe cumplir que luego de en listar todas las conexiones, cada Vértice aparezca exactamente 3 veces (pues es parte de 3 aristas).
Tenemos entonces que por ser las aristas el máximo común divisor de los vértices que conecta:
A1|V1,A1|V2⇒A1≤V1,A1≤V2⇒2A1≤V1+V2
A2|V1,A2|V7⇒A2≤V1,A2≤V7⇒2A2≤V1+V7
⋯
A12|V4,A12|V6⇒A12≤V4,A12≤V6⇒2A12≤V4+V6
Sumamos todo y como cada vértice aparece exactamente 3 veces se tiene que:
2(A1+A2+⋯+A12)≤3(V1+V2+⋯+A8)
Sabemos que:
A1+A2+A3+⋯+A12=A pues A es la suma de las 12 aristas.
V1+V2+V3+⋯+V8=V pues V es la suma de los 8 vértices.
Sustituimos en la desigualdad anterior y tenemos que:
2A≤3V⇒23A≤V Q.E.D.
Inciso a bien, ahora trabaja con el b
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ResponderBorrartenemos que A1,A2,...,A12 son las aristas y V1,V2,...,V8 son los vertices S.P.D.G. A1 tienes que conecta V1,V2yA_2conectaV_1,V_8yasientoncestienesqueV_1/A_1V_1/A_2entoncesV_1menoroigualaA_1ytambienconA_2entonces2V_1menoroigualaA_1+A_2yasisucesivamenteentonces3(A_1+V_2+...+V_8)mayoroiguala2(A_1+A_2+...+A_12)entonces2Amenoroigual3Ventonces\frac{2}{3}AmenoroigualV$ y ya
ResponderBorrarEsto es increiblemente dificil de leer
BorrarSean x,y numeros en dos vertices distintos y z el numero en la arista que la une.Entonces se tiene que mcd(x,y)≤x,y=z entonces
ResponderBorrar2z≤x+y si hago esto con cada arista y lo sumo veo que los vertices apareceran 3 veces, ya que cada vertice es definido por 3 aristas. Entonces se tendra que 2A≤3V ya que A es la suma de los numeros en las aristas y V la suma de los numeros en los vertices entonces despejando el 3 en la ultima desigualdad se tendra que
23A≤V como queriamos demostrar.
Luego para el el segundo inciso intentare demostrar que A es distinto de V. Me fijo que como x es distinto de y, S.P.D.G x<y. entonces z≤x<y entonces 2z≤y entonces 3z≤x+y .Y si sumo esto con cada una de las 12 aristas me queda que A≤V.Ademas por esta desigualdad, para que A=V se debe cumplir que z=x+y3 esto debera ser para cualquier arista.Aun no he podido demostrar que A es distinto de V pero seguire intentando.
Inciso a bien. Muy buen avance del inciso b, sigue intentando
BorrarS.P.D.G x es el menor numero escrito en los vertices. Luego en lo escrito anterior del inciso b veo que y es como minimo 2z y que x es como minimo z entonces para que 3z=x+y se debe cumplir que x=z y y=2z.Analogamente si hago lo mismo si hago lo mismo con otra arista w a la cual pertenece x y otro vertice v llegare a que x=w.Entonces 3z=3w entonces x+y=x+v entonces y=v. Contradiccion ya que todos los vertices son distintos.Entonces no es posible que A=V
BorrarMuy bien!, este fue el problema 5 de mi nacional jeje, tienes tu:)
BorrarNomas si me gustaría que explicaras mejor la parte donde y es al menos 2z
Borrarsea A el arista de los vertices C y B entonces podemos asegurar que A≤C y que A≤B entonces 2A≤C+B entonces si hacemos esto con cada arista nos daremos cuenta que cada arista va a a aparecer exactamente 2 veces y que cada vertice va a aparecer extactamente 3 veses ya que cada vertce tiene 3 aristas entonces la desigualdad al final nos quedaria asi:
ResponderBorrar2A≤3V (ahora la A es de la suma de las aristas)
y despejanod facilmente sale que 23A≤V
Creo que es importante mencionar porque podemos asegurar la desigualdad inicial (A\leqC y A≤B), estoy seguro que si sabes, pero hay que mencionarlo. Explicando eso ya tienes el inciso a bien, y te falta el inciso b.
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ResponderBorrarS.P.D.G.
ResponderBorrar∙V1←A1→V2∙
∙V1←A2→V3∙
∙V1←A3→V4∙
∙V2←A4→V3∙
∙V2←A5→V4∙
∙V3←A6→V4∙
∙V5←A7→V6∙
∙V5←A8→V7∙
∙V5←A9→V8∙
∙V6←A10→V7∙
∙V6←A11→V8∙
∙V7←A12→V8∙
⇒
A1∣V1,A1∣V2
A2∣V1,A2∣V3
\vdtos
A11∣V6,A11∣V8
A12∣V7,A12∣V8
⇒
A1≤V1,A1≤V2⇒2A1≤V1+V2
A2≤V1,A2≤V3⇒2A2≤V1+V3
\vdtos
A11≤V6,A11≤V8⇒2A11≤V6+V8
A12≤V7,A12≤V8⇒2A12≤V7+V8
⇒
2(A1+A2+⋯+A11+A12)≤3(V1+V2+⋯+V7+V8)
2(A)≤3(V)
⇒23A≤V◼
Inciso a bien, ahora trabaja con el b
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001471.jpg
ResponderBorrarInciso a bien. Ahora trabaja con el b
BorrarHacemos los vértices v1,v2,...,v8 y los aritas a1,a2,...,a12
ResponderBorrarA=a1+a2+...+a12,V=v1+v2+...+v8
Vemos que si ai tiene un vértice vj, como ai|vj, ai≤vj.
Eso pasa en cada vértice.
Si sumamos todas las desigualdades tenemos
2a1+2a2+2a3+...+2a8≤3a1+3a2+3a3+...+3a8 porque cada arista aparece con 2 vértices y cada vértice tiene 3 aristas. Entonces
⇒2(a1+a2+...+a12)≤3(v1+v2+...v8)
⇒2A≤3V
⇒23A≤V
Inciso a bien. Ahora trabaja con el b
BorrarS.P.D.G Sabemos que para toda tercia Vértice, Arista, Vértice con x,z vertices y y arista 2y≤x+z. Cada vertice tiene 3 aristas
ResponderBorrarSumamos todas las aristas y vertices que las componen y nos queda:
2A1≤V1+V2
2A2≤V1+V4
2A3≤V1+V5
2A4≤V2+V3
2A5≤V2+V6
2A6≤V3+V4
2A7≤V3+V7
2A8≤V4+V8
2A9≤V5+V6
2A10≤V5+V8
2A11≤V6+V7
2A12≤V7+V8
Sumamos lo anterior y nos queda:
2(A1+A2+A3+...+A12)≤3(V1+V2+V3+...+V8)
\Rigtharrow 23(A1+A2+A3+...+A12)≤(V1+V2+V3+...+V8) Q.E.D
Inciso a bien. Ahora trabaja con el b
BorrarHey que pues, veo puros incisos a, algun avance del inciso b?
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