domingo, 7 de octubre de 2012
Problema del Día. Teoría de Números? (7 de Octubre)
En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman la arista. Sean $A$ la suma de los números en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
a) Muestra que:
\[\frac{2}{3} A \leq V \]
b) ¿Es posible que $$A=V$$?
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ResponderBorrara) Tenemos que sean $A_1, A_2, A_3, \cdots A_{12}$ las $12$ aristas del cubo y $V_1, V_2, V_3, \cdots V_8$ los $8$ vértices del cubo, digamos que $A_1$ conecta a $V_1$ con $V_2$, $A_2$ conecta a $V_1$ con $V_7, \cdots A_{12}$ conecta a $A_4$ con $A_6$.
ResponderBorrar*Cabe mencionar que no necesariamente hay patrones en los subíndices, pero se debe cumplir que luego de en listar todas las conexiones, cada Vértice aparezca exactamente 3 veces (pues es parte de 3 aristas).
Tenemos entonces que por ser las aristas el máximo común divisor de los vértices que conecta:
$A_1|V_1, A_1|V_2 \Rightarrow A_1\leq{V_1}, A_1\leq{V_2} \Rightarrow 2A_1\leq{V_1+V_2}$
$A_2|V_1, A_2|V_7 \Rightarrow A_2\leq{V_1}, A_2\leq{V_7} \Rightarrow 2A_2\leq{V_1+V_7}$
$\cdots$
$A_{12}|V_4, A_{12}|V_6 \Rightarrow A_{12}\leq{V_4}, A_{12}\leq{V_6} \Rightarrow 2A_{12}\leq{V_4+V_6}$
Sumamos todo y como cada vértice aparece exactamente $3$ veces se tiene que:
$2(A_1+A_2+\cdots+A_{12})\leq 3(V_1+V_2+\cdots+A_8)$
Sabemos que:
$A_1+A_2+A_3+\cdots+A_{12}=A$ pues $A$ es la suma de las $12$ aristas.
$V_1+V_2+V_3+\cdots+V_8=V$ pues $V$ es la suma de los $8$ vértices.
Sustituimos en la desigualdad anterior y tenemos que:
$2A\leq{3V}\Rightarrow \frac{2}{3}A\leq{V}$ Q.E.D.
Inciso $a$ bien, ahora trabaja con el $b$
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ResponderBorrartenemos que $A_1,A_2,...,A_12$ son las aristas y $V_1,V_2,...,V_8$ son los vertices S.P.D.G. $A_1$ tienes que conecta $V_1,V_2 y $A_2$ conecta $V_1,V_8$ y asi entonces tienes que $V_1/A_1$ $V_1/A_2$ entonces $V_1$ menor o igual a $A_1$ y tambien con $A_2$ entonces $2V_1$ menor o igual a $A_1+A_2$ y asi sucesivamente entonces $3(A_1+V_2+...+V_8)$ mayor o igual a $2(A_1+A_2+...+A_12)$ entonces $2A$ menor o igual $3V$ entonces $\frac{2}{3}A$ menor o igual$V$ y ya
ResponderBorrarEsto es increiblemente dificil de leer
BorrarSean x,y numeros en dos vertices distintos y z el numero en la arista que la une.Entonces se tiene que $mcd(x,y)\leq x,y=z$ entonces
ResponderBorrar$2z\leq x+y$ si hago esto con cada arista y lo sumo veo que los vertices apareceran 3 veces, ya que cada vertice es definido por 3 aristas. Entonces se tendra que $2A\leq 3V$ ya que A es la suma de los numeros en las aristas y V la suma de los numeros en los vertices entonces despejando el 3 en la ultima desigualdad se tendra que
$\frac {2}{3} A \leq V$ como queriamos demostrar.
Luego para el el segundo inciso intentare demostrar que A es distinto de V. Me fijo que como x es distinto de y, S.P.D.G x<y. entonces $z\leq x<y$ entonces $2z\leq y$ entonces $3z\leq x+y$ .Y si sumo esto con cada una de las 12 aristas me queda que $A\leq V$.Ademas por esta desigualdad, para que A=V se debe cumplir que $z=\frac {x+y}{3}$ esto debera ser para cualquier arista.Aun no he podido demostrar que A es distinto de V pero seguire intentando.
Inciso $a$ bien. Muy buen avance del inciso b, sigue intentando
BorrarS.P.D.G $x$ es el menor numero escrito en los vertices. Luego en lo escrito anterior del inciso b veo que $y$ es como minimo $2z$ y que $x$ es como minimo $z$ entonces para que $3z=x+y$ se debe cumplir que $x=z$ y $y=2z$.Analogamente si hago lo mismo si hago lo mismo con otra arista $w$ a la cual pertenece $x$ y otro vertice $v$ llegare a que $x=w$.Entonces $3z=3w$ entonces $x+y=x+v$ entonces $y=v$. Contradiccion ya que todos los vertices son distintos.Entonces no es posible que $A=V$
BorrarMuy bien!, este fue el problema $5$ de mi nacional jeje, tienes tu:)
BorrarNomas si me gustaría que explicaras mejor la parte donde $y$ es al menos $2z$
Borrarsea A el arista de los vertices C y B entonces podemos asegurar que $A\le C$ y que $A\le B$ entonces $2A\le C+B$ entonces si hacemos esto con cada arista nos daremos cuenta que cada arista va a a aparecer exactamente 2 veces y que cada vertice va a aparecer extactamente 3 veses ya que cada vertce tiene 3 aristas entonces la desigualdad al final nos quedaria asi:
ResponderBorrar$2A\le 3V$ (ahora la A es de la suma de las aristas)
y despejanod facilmente sale que $\frac{2}{3}A \le V$
Creo que es importante mencionar porque podemos asegurar la desigualdad inicial ($A \leqC$ y $A \leq B$), estoy seguro que si sabes, pero hay que mencionarlo. Explicando eso ya tienes el inciso $a$ bien, y te falta el inciso $b$.
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ResponderBorrarS.P.D.G.
ResponderBorrar$\bullet V_1 \leftarrow A_1 \rightarrow V_2 \bullet$
$\bullet V_1 \leftarrow A_2 \rightarrow V_3 \bullet$
$\bullet V_1 \leftarrow A_3 \rightarrow V_4 \bullet$
$\bullet V_2 \leftarrow A_4 \rightarrow V_3 \bullet$
$\bullet V_2 \leftarrow A_5 \rightarrow V_4 \bullet$
$\bullet V_3 \leftarrow A_6 \rightarrow V_4 \bullet$
$\bullet V_5 \leftarrow A_7 \rightarrow V_6 \bullet$
$\bullet V_5 \leftarrow A_8 \rightarrow V_7 \bullet$
$\bullet V_5 \leftarrow A_9 \rightarrow V_8 \bullet$
$\bullet V_6 \leftarrow A_{10} \rightarrow V_7 \bullet$
$\bullet V_6 \leftarrow A_{11} \rightarrow V_8 \bullet$
$\bullet V_7 \leftarrow A_{12} \rightarrow V_8 \bullet$
$\Rightarrow$
$A_1 \mid V_1 , A_1 \mid V_2$
$A_2 \mid V_1 , A_2 \mid V_3$
$\vdtos$
$A_11 \mid V_6 , A_{11} \mid V_8$
$A_12 \mid V_7 , A_{12} \mid V_8$
$\Rightarrow$
$A_1 \leq V_1 , A_1 \leq V_2 \Rightarrow 2A_1 \leq V_1+V_2$
$A_2 \leq V_1 , A_2 \leq V_3 \Rightarrow 2A_2 \leq V_1+V_3$
$\vdtos$
$A_{11} \leq V_6 , A_{11} \leq V_8 \Rightarrow 2A_{11} \leq V_6+V_8$
$A_{12} \leq V_7 , A_{12} \leq V_8 \Rightarrow 2A_{12} \leq V_7+V_8$
$\Rightarrow$
$2(A_1+A_2+ \cdots +A_{11}+A_{12}) \leq 3(V_1+V_2+ \cdots + V_7+V_8)$
$2(A) \leq 3(V)$
$\Rightarrow \frac{2}{3}A \leq V \blacksquare$
Inciso $a$ bien, ahora trabaja con el $b$
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001471.jpg
ResponderBorrarInciso $a$ bien. Ahora trabaja con el $b$
BorrarHacemos los vértices $v_1,v_2,...,v_8$ y los aritas $a_1,a_2,...,a_{12}$
ResponderBorrar$A=a_1+a_2+...+a_{12},V=v_1+v_2+...+v_8$
Vemos que si $a_i$ tiene un vértice $v_j$, como $a_i|v_j$, $a_i\leq v_j$.
Eso pasa en cada vértice.
Si sumamos todas las desigualdades tenemos
$2a_1+2a_2+2a_3+...+2a_8\leq 3a_1+3a_2+3a_3+...+3a_8$ porque cada arista aparece con 2 vértices y cada vértice tiene 3 aristas. Entonces
$\Rightarrow 2(a_1+a_2+...+a_{12})\leq 3(v_1+v_2+...v_8)$
$\Rightarrow 2A \leq 3V$
$\Rightarrow \frac{2}{3}A\leq V$
Inciso $a$ bien. Ahora trabaja con el $b$
Borrar$S.P.D.G$ Sabemos que para toda tercia Vértice, Arista, Vértice con $x,z$ vertices y $y$ arista $2y\leq x+z$. Cada vertice tiene 3 aristas
ResponderBorrarSumamos todas las aristas y vertices que las componen y nos queda:
$2A_1\leq V_1+V_2$
$2A_2\leq V_1+V_4$
$2A_3\leq V_1+V_5$
$2A_4\leq V_2+V_3$
$2A_5\leq V_2+V_6$
$2A_6\leq V_3+V_4$
$2A_7\leq V_3+V_7$
$2A_8\leq V_4+V_8$
$2A_9\leq V_5+V_6$
$2A_10\leq V_5+V_8$
$2A_11\leq V_6+V_7$
$2A_12\leq V_7+_V8$
Sumamos lo anterior y nos queda:
$2(A_1+A_2+A_3+...+A_12) \leq 3(V_1+V_2+V_3+...+V_8)$
$\Rigtharrow$ $\frac{2}{3}(A_1+A_2+A_3+...+A_12) \leq (V_1+V_2+V_3+...+V_8)$ $Q.E.D$
Inciso $a$ bien. Ahora trabaja con el $b$
BorrarHey que pues, veo puros incisos a, algun avance del inciso b?
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