Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día. Algebra (29 de Octubre)

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lunes, 29 de octubre de 2012

Problema del Día. Algebra (29 de Octubre)

Sean

$a,b,c$ números reales positivos tales que

$a^2+b^2+c^2=3$ . Muestre que

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2}$

2 comentarios:

Unknown30 de octubre de 2012, 12:27 a.m.
Aplicando la desigualdad útil tenemos que:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{3+\sigma_{2}}$
Por reacomodo:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\geq\sigma_{2}$
$\Rightarrow 6\geq\sigma_{2}+3$
Ambos lados los dejaré como denominadores y les pondré el mismo numerador, por lo que la desigualdad se invierte:
$\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3^{2}}{6}=\frac{3}{2}$
$\therefore\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3}{2}\blacksquare$

*Definimos $\sigma_{2}=ab+bc+ac$
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Luis Chacón31 de octubre de 2012, 3:48 p.m.
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}=\frac{1^2}{1+ab}+\frac{1^2}{1+bc}+\frac{1^2}{1+ca}\geq \frac{3^2}{3+ab+bc+ac}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$ (la desigualdad es por útil, y para la última igualdad sustituí dos veces el 3) si esto es mayor o igual a $\frac{3}{2}$ acabamos.
$\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ que es cierto.
Entonces $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{3+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$
y en particular $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{3}{2}$
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