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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
lunes, 29 de octubre de 2012
Problema del Día. Algebra (29 de Octubre)
Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3$. Muestre que
\[\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2} \]
Aplicando la desigualdad útil tenemos que: $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{3+\sigma_{2}}$ Por reacomodo: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\geq\sigma_{2}$ $\Rightarrow 6\geq\sigma_{2}+3$ Ambos lados los dejaré como denominadores y les pondré el mismo numerador, por lo que la desigualdad se invierte: $\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3^{2}}{6}=\frac{3}{2}$ $\therefore\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3}{2}\blacksquare$
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}=\frac{1^2}{1+ab}+\frac{1^2}{1+bc}+\frac{1^2}{1+ca}\geq \frac{3^2}{3+ab+bc+ac}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$ (la desigualdad es por útil, y para la última igualdad sustituí dos veces el 3) si esto es mayor o igual a $\frac{3}{2}$ acabamos. $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac$ $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ que es cierto. Entonces $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{3+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$ y en particular $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{3}{2}$
Aplicando la desigualdad útil tenemos que:
ResponderBorrar$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{3+\sigma_{2}}$
Por reacomodo:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\geq\sigma_{2}$
$\Rightarrow 6\geq\sigma_{2}+3$
Ambos lados los dejaré como denominadores y les pondré el mismo numerador, por lo que la desigualdad se invierte:
$\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3^{2}}{6}=\frac{3}{2}$
$\therefore\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq\frac{3^{2}}{\sigma_{2}+3}\geq\frac{3}{2}\blacksquare$
*Definimos $\sigma_{2}=ab+bc+ac$
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}=\frac{1^2}{1+ab}+\frac{1^2}{1+bc}+\frac{1^2}{1+ca}\geq \frac{3^2}{3+ab+bc+ac}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$ (la desigualdad es por útil, y para la última igualdad sustituí dos veces el 3) si esto es mayor o igual a $\frac{3}{2}$ acabamos.
ResponderBorrar$\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\geq\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ que es cierto.
Entonces $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{3+ab+bc+ac}\geq\frac{3}{2}$
y en particular $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{3}{2}$