lunes, 1 de octubre de 2012
Problema del día. Geometría (1 de Octubre)
(Cambie el problema de hoy, perdon si alguien ya lo había empezado a intentar.)
Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC \neq BC$ y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Muestra que $Q$ es el ortocentro de $\triangle ABC$.
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Nos fijamos en que AO=OB porque ambos son circunradios. Luego por el paralelogramo AOBP, OB=AP y AO=PB => AP=PB=OB=AO => AOBP es rombo => AB y OP son perpendiculares, además OAB=BAP=OBA=ABP=alfa y AOP=POB=APO=OPB=beta.
ResponderBorrarAhora, nos fijamos en que CO=OB por ser circunradios y CB=PQ => PQ=OB => AP=PB=OB=AO=CO=PQ.
Tambien podemos ver que como OP parte a la mitad a AB, y es perpendicular a la misma, OP es la mediatriz de AB.
Es lo que llevo, mañana la termino.
$AO=BO=CO$ ; por ser radios.
ResponderBorrar$AO=PB$ y $AP=OB$ ; por el paralelogramo $BOAP$ .
Llamemos $I$ a la intersección de las diagonales. Y como sabemos que $AO=BO \Rightarrow$ Todos los lados son iguales, y sus diagonales son perpendiculares entre si; $\angle AIO=90^o$
$PO=QC$ y $PQ=OC$ ; por el paralelogramo $COPQ$ .
$\Rightarrow AO=BO=CO=AP=BP=QP$
Por los $3$ circunradios del $\triangle ABC$ se forman $3$ triángulos isósceles:
$\angle OBC = \angle OCB = \alpha$
$\angle OCA = \angle OAC = \beta$
$\angle OAB = \angle OBA = \theta$
$\Rightarrow 2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^o$ y $\alpha + \beta + \theta = 90^o$
Ahora encontramos los valores de los ángulos en $O$ :
$\angle BOC = 2\beta + 2\theta$
$\angle COA = 2\alpha + 2\theta$
$\angle AOB = 2\alpha + 2\beta$
Por el paralelogramo $BOAP$ , tenemos $\angle AOB = \angle APB = 2\alpha + 2\beta$
$\Rightarrow \angle PAB = \angle PBA = \theta$ ; por el $\triangle APB$ isósceles.
Sabemos que $PO \parallel QC$ . Extendemos $CQ$ hasta $AB$ en un punto $H \Rightarrow PO \parallel HC$ , $AB$ pasa por ambas paralelas y había dicho que $\angle AIO=90^o \Rightarrow$ su ángulo correspondiente $\angle IHC=90^o$ .
$\Rightarrow CH$ es altura que pasa por $Q$ .
Sumamos los ángulos del $\triangle AIO$ :
$\angle AIO + \angle IAO + \angle IOA = 180^o$
$90^o + \theta + \angle IOA = 180^o$
$\theta + \angle IOA = 90^o$
Teniamos que $\alpha + \beta + \theta = 90^o \Rightarrow \angle IOA = \alpha + \beta$
$\Rightarrow \angle IOB = \alpha + \beta$
Y por ángulos entre paralelas:
$\angle AOP = \angle BOP = \angle APO = \angle BPO = \alpha + \beta$
Sumamos los ángulos del $\triangle HBC$ :
$\angle BHC + \angle HBC + \angle HCB = 180^o$
$90^o + \alpha + \theta + \angle HCB = 180^o$
$\alpha + \theta + \angle HCB = 90^o$
Teníamos que $\alpha + \beta + \theta = 90^o \Rightarrow \angle HCB = \beta$
Teníamos que $\angle BCA = \alpha + \beta \Rightarrow \angle HCA = \alpha \Rightarrow \angle HCO = \alpha - \beta$
Vemos el paralelogramo $COPQ$ , sabemos que los ángulos opuestos son iguales $\Rightarrow \angle HCO = \angle HPO = \alpha - \beta$
Teníamos que $\angle OPB = \alpha + \beta \Rightarrow \angle BPQ = 2\beta$
Ahora trazamos un segmento desde $B$ hasta un punto $J$ en $AC$ que pase por $Q$ .
Sabemos que $PB=PH \Rightarrow \triangle BPH$ es isósceles.
$\Rightarros \angle PBQ = \angle PQB = \alpha + \theta$
Sabemos que $\angle PBQ = \angle PBI + \angle IBQ = \theta + \angle IBQ = \alpha + \theta$
$\Rightarrow \angle IBQ = \alpha$
Sumamos los ángulos del $\triangle IBJ$ :
$\angle BAJ + \angle ABJ + \angle AJB = 180^o$
$\beta +\theta + \alpha + \angle AJB = 180^o$
$\Rightarrow \angle AJB = 90^o$
$\Rightarrow BJ$ es altura que pasa por $Q$ .
Como ya había dicho, $CH$ y $BJ$ son alturas que pasan por $Q$ .
$\therefore Q$ es ortocentro de $\triangle ABC$ .
:)
BorrarHiciste algunas explicaciones un poco mas largas de lo que podían ser, y en una linea confundiste H con Q, pero eso no importa. Muy bien!:D
Hasta aquí llevo.-
ResponderBorrarIntento.-
Sea $O$ el circuncentro de $\triangle{ABC}$ , sabemos que estará dentro de $\triangle{ABC}$ ya que éste es acutángulo.
Trazamos las mediatrices $MO$ con $M$ sobre $AB$ (se sabe que las mediatrices concurren en el circuncentro).
Si $BOAP$ es un paralelogramo, $AB, PO$ son sus diagonales, sabemos que estas se cortan en sus puntos medios, si ya tenemos que $M$ es punto medio de $AB\Rightarrow M, P, O$ son colineales y $PO\perp{AB}$. Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas en $\triangle{ABC}$, se cortan en el octocentro $H$.
$CH\perp{AB}, OM\perp{AB}\Rightarrow CH_3\parallel{OM}\Rightarrow HC\parallel{PO}$
Hacemos $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Como $BOAP$ es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en su punto medio, entonces $PO$ pasa por $M$. Como $PO$ pasa por $M$ y $O$ es mediatriz de $AB$ y es perpendicular, como $COPQ$ es un paralelogramo, $PO$ y $QC$ son paralelas y $QC$ es perpendicular a $BA$, entonces una altura de $ABC$ pasa por $Q$, si otra altura también lo hace $Q$ es el ortocentro.
ResponderBorrarProlongamos $CQ$ hasta intersectar a $BA$ en $R$.
Como $OA,OB,OC$ son radios del circuncírculo de $ABC$ miden lo mismo y $BOA$, $BOC$, $AOC$ son isósceles, hacemos $\angle ABO=\angle BAO=\alpha$,$\angle BCO=\angle CBO=\beta$, $\angle ACO=\angle CAO=\theta$, entonces $\alpha +\beta +\theta=90$.
$ON$ es mediatriz de $AC$, entonces $\angle ONC=90$, entonces $\angle NOC=\alpha +\beta$, como también $\angle RBC=\alpha +\beta$ y $\angle BRC=90$, entonces $BRC$ y $ONC$ son semejantes y $\angle RCB=\angle OCN=\theta$.
Hacemos $\angle OCQ=\gamma$, como $COPQ$ es paralelogramo, $\angle OPQ=\angle OCQ=\gamma$.
$MPB$ es un triángulo rectángulo y $\angle PBM=\angle MAO=\alpha$ porque $PB$ y $AO$ son paralelas, entonces $\angle BPO=2\theta+\gamma$, como $\angle OPQ=\gamma$ entonces $\angle BPQ=2\theta$.
Como $BOAP,COPQ$ son paralelogramos y $AO,BO,CO$ son circunradios, $PA=BO=AO=PB=PQ=OC$, trazamos una circunferencia con centro en $P$ que pase por $A,Q,B$, entonces como es inscrito al arco $2\theta$, $\angle BAQ=\theta$.
Prolongamos $AQ$ hasta intersectar a $BC$ en $S$, como comparten $\angle ABC$ y $\angle BAS=\theta =\angle BCR$ entonces $BAS$ y $BCR$ son semejantes y $\angle BSA=90$, entonces $AS$ es altura.
Como por $Q$ pasan dos alturas, es el ortocentro.
:)
BorrarAlgo dificil de seguir tu solución jeje, pero lo que importa es que es correcta. Muy bien.
me doy cuenta que $OA=PB$ $PA=B0$ $OC=PQ$ ya que o es el circuncentro tenemos que $AO=OC=OB$ por lo tanto tenemos $PQ=PB=PA$ entonces el paralelogramo $BOAP$ es un rombo al y igual que $COPQ$
ResponderBorrardespues subo mas
Me fije en que $AO=BO=CO$ porque son circunradios. Entonces el cuadrilatero $BOAP$ es un rombo porque 2 de los lados que no son opuestos son iguales. POr lo tanto los otros 2 tambien deben serlo. $PO$ es la mediatriz de $AB$. Tambien note que $PQ=OC$ porque es un paralelogramo. Entonces las igualdades que llevo hasta el momento son: $AO=BO=CO=PB=PQ=PA$
ResponderBorrarLuego, me fije en que como $QC$ es paralela a $PO$, entonces tambien es perpendicular a $AB$
Hasta ahi es a donde llegue
hasta aqui llegue mañana le sigo
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4705527400387&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater