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lunes, 1 de octubre de 2012
Problema del día. Geometría (1 de Octubre)
(Cambie el problema de hoy, perdon si alguien ya lo había empezado a intentar.)
Sea △ABC un triángulo acutángulo, con AC≠BC y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos. Muestra que Q es el ortocentro de △ABC.
Nos fijamos en que AO=OB porque ambos son circunradios. Luego por el paralelogramo AOBP, OB=AP y AO=PB => AP=PB=OB=AO => AOBP es rombo => AB y OP son perpendiculares, además OAB=BAP=OBA=ABP=alfa y AOP=POB=APO=OPB=beta. Ahora, nos fijamos en que CO=OB por ser circunradios y CB=PQ => PQ=OB => AP=PB=OB=AO=CO=PQ. Tambien podemos ver que como OP parte a la mitad a AB, y es perpendicular a la misma, OP es la mediatriz de AB. Es lo que llevo, mañana la termino.
AO=BO=CO ; por ser radios. AO=PB y AP=OB ; por el paralelogramo BOAP . Llamemos I a la intersección de las diagonales. Y como sabemos que AO=BO⇒ Todos los lados son iguales, y sus diagonales son perpendiculares entre si; ∠AIO=90o PO=QC y PQ=OC ; por el paralelogramo COPQ . ⇒AO=BO=CO=AP=BP=QP Por los 3 circunradios del △ABC se forman 3 triángulos isósceles: ∠OBC=∠OCB=α ∠OCA=∠OAC=β ∠OAB=∠OBA=θ ⇒2α+2β+2θ=180o y α+β+θ=90o Ahora encontramos los valores de los ángulos en O : ∠BOC=2β+2θ ∠COA=2α+2θ ∠AOB=2α+2β Por el paralelogramo BOAP , tenemos ∠AOB=∠APB=2α+2β ⇒∠PAB=∠PBA=θ ; por el △APB isósceles. Sabemos que PO∥QC . Extendemos CQ hasta AB en un punto H⇒PO∥HC , AB pasa por ambas paralelas y había dicho que ∠AIO=90o⇒ su ángulo correspondiente ∠IHC=90o . ⇒CH es altura que pasa por Q . Sumamos los ángulos del △AIO : ∠AIO+∠IAO+∠IOA=180o 90o+θ+∠IOA=180o θ+∠IOA=90o Teniamos que α+β+θ=90o⇒∠IOA=α+β ⇒∠IOB=α+β Y por ángulos entre paralelas: ∠AOP=∠BOP=∠APO=∠BPO=α+β Sumamos los ángulos del △HBC : ∠BHC+∠HBC+∠HCB=180o 90o+α+θ+∠HCB=180o α+θ+∠HCB=90o Teníamos que α+β+θ=90o⇒∠HCB=β Teníamos que ∠BCA=α+β⇒∠HCA=α⇒∠HCO=α−β Vemos el paralelogramo COPQ , sabemos que los ángulos opuestos son iguales ⇒∠HCO=∠HPO=α−β Teníamos que ∠OPB=α+β⇒∠BPQ=2β Ahora trazamos un segmento desde B hasta un punto J en AC que pase por Q . Sabemos que PB=PH⇒△BPH es isósceles. \Rightarros∠PBQ=∠PQB=α+θ Sabemos que ∠PBQ=∠PBI+∠IBQ=θ+∠IBQ=α+θ ⇒∠IBQ=α Sumamos los ángulos del △IBJ : ∠BAJ+∠ABJ+∠AJB=180o β+θ+α+∠AJB=180o ⇒∠AJB=90o ⇒BJ es altura que pasa por Q . Como ya había dicho, CH y BJ son alturas que pasan por Q . ∴Q es ortocentro de △ABC .
Hasta aquí llevo.- Intento.- Sea O el circuncentro de △ABC , sabemos que estará dentro de △ABC ya que éste es acutángulo. Trazamos las mediatrices MO con M sobre AB (se sabe que las mediatrices concurren en el circuncentro). Si BOAP es un paralelogramo, AB,PO son sus diagonales, sabemos que estas se cortan en sus puntos medios, si ya tenemos que M es punto medio de AB⇒M,P,O son colineales y PO⊥AB. Sean AH1,BH2,CH3 las alturas en △ABC, se cortan en el octocentro H. CH⊥AB,OM⊥AB⇒CH3∥OM⇒HC∥PO
Hacemos M y N los puntos medios de AB y AC, respectivamente. Como BOAP es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en su punto medio, entonces PO pasa por M. Como PO pasa por M y O es mediatriz de AB y es perpendicular, como COPQ es un paralelogramo, PO y QC son paralelas y QC es perpendicular a BA, entonces una altura de ABC pasa por Q, si otra altura también lo hace Q es el ortocentro. Prolongamos CQ hasta intersectar a BA en R. Como OA,OB,OC son radios del circuncírculo de ABC miden lo mismo y BOA, BOC, AOC son isósceles, hacemos ∠ABO=∠BAO=α,∠BCO=∠CBO=β, ∠ACO=∠CAO=θ, entonces α+β+θ=90. ON es mediatriz de AC, entonces ∠ONC=90, entonces ∠NOC=α+β, como también ∠RBC=α+β y ∠BRC=90, entonces BRC y ONC son semejantes y ∠RCB=∠OCN=θ. Hacemos ∠OCQ=γ, como COPQ es paralelogramo, ∠OPQ=∠OCQ=γ. MPB es un triángulo rectángulo y ∠PBM=∠MAO=α porque PB y AO son paralelas, entonces ∠BPO=2θ+γ, como ∠OPQ=γ entonces ∠BPQ=2θ. Como BOAP,COPQ son paralelogramos y AO,BO,CO son circunradios, PA=BO=AO=PB=PQ=OC, trazamos una circunferencia con centro en P que pase por A,Q,B, entonces como es inscrito al arco 2θ, ∠BAQ=θ. Prolongamos AQ hasta intersectar a BC en S, como comparten ∠ABC y ∠BAS=θ=∠BCR entonces BAS y BCR son semejantes y ∠BSA=90, entonces AS es altura. Como por Q pasan dos alturas, es el ortocentro.
me doy cuenta que OA=PBPA=B0OC=PQ ya que o es el circuncentro tenemos que AO=OC=OB por lo tanto tenemos PQ=PB=PA entonces el paralelogramo BOAP es un rombo al y igual que COPQ despues subo mas
Me fije en que AO=BO=CO porque son circunradios. Entonces el cuadrilatero BOAP es un rombo porque 2 de los lados que no son opuestos son iguales. POr lo tanto los otros 2 tambien deben serlo. PO es la mediatriz de AB. Tambien note que PQ=OC porque es un paralelogramo. Entonces las igualdades que llevo hasta el momento son: AO=BO=CO=PB=PQ=PA
Luego, me fije en que como QC es paralela a PO, entonces tambien es perpendicular a AB
Nos fijamos en que AO=OB porque ambos son circunradios. Luego por el paralelogramo AOBP, OB=AP y AO=PB => AP=PB=OB=AO => AOBP es rombo => AB y OP son perpendiculares, además OAB=BAP=OBA=ABP=alfa y AOP=POB=APO=OPB=beta.
ResponderBorrarAhora, nos fijamos en que CO=OB por ser circunradios y CB=PQ => PQ=OB => AP=PB=OB=AO=CO=PQ.
Tambien podemos ver que como OP parte a la mitad a AB, y es perpendicular a la misma, OP es la mediatriz de AB.
Es lo que llevo, mañana la termino.
AO=BO=CO ; por ser radios.
ResponderBorrarAO=PB y AP=OB ; por el paralelogramo BOAP .
Llamemos I a la intersección de las diagonales. Y como sabemos que AO=BO⇒ Todos los lados son iguales, y sus diagonales son perpendiculares entre si; ∠AIO=90o
PO=QC y PQ=OC ; por el paralelogramo COPQ .
⇒AO=BO=CO=AP=BP=QP
Por los 3 circunradios del △ABC se forman 3 triángulos isósceles:
∠OBC=∠OCB=α
∠OCA=∠OAC=β
∠OAB=∠OBA=θ
⇒2α+2β+2θ=180o y α+β+θ=90o
Ahora encontramos los valores de los ángulos en O :
∠BOC=2β+2θ
∠COA=2α+2θ
∠AOB=2α+2β
Por el paralelogramo BOAP , tenemos ∠AOB=∠APB=2α+2β
⇒∠PAB=∠PBA=θ ; por el △APB isósceles.
Sabemos que PO∥QC . Extendemos CQ hasta AB en un punto H⇒PO∥HC , AB pasa por ambas paralelas y había dicho que ∠AIO=90o⇒ su ángulo correspondiente ∠IHC=90o .
⇒CH es altura que pasa por Q .
Sumamos los ángulos del △AIO :
∠AIO+∠IAO+∠IOA=180o
90o+θ+∠IOA=180o
θ+∠IOA=90o
Teniamos que α+β+θ=90o⇒∠IOA=α+β
⇒∠IOB=α+β
Y por ángulos entre paralelas:
∠AOP=∠BOP=∠APO=∠BPO=α+β
Sumamos los ángulos del △HBC :
∠BHC+∠HBC+∠HCB=180o
90o+α+θ+∠HCB=180o
α+θ+∠HCB=90o
Teníamos que α+β+θ=90o⇒∠HCB=β
Teníamos que ∠BCA=α+β⇒∠HCA=α⇒∠HCO=α−β
Vemos el paralelogramo COPQ , sabemos que los ángulos opuestos son iguales ⇒∠HCO=∠HPO=α−β
Teníamos que ∠OPB=α+β⇒∠BPQ=2β
Ahora trazamos un segmento desde B hasta un punto J en AC que pase por Q .
Sabemos que PB=PH⇒△BPH es isósceles.
\Rightarros∠PBQ=∠PQB=α+θ
Sabemos que ∠PBQ=∠PBI+∠IBQ=θ+∠IBQ=α+θ
⇒∠IBQ=α
Sumamos los ángulos del △IBJ :
∠BAJ+∠ABJ+∠AJB=180o
β+θ+α+∠AJB=180o
⇒∠AJB=90o
⇒BJ es altura que pasa por Q .
Como ya había dicho, CH y BJ son alturas que pasan por Q .
∴Q es ortocentro de △ABC .
:)
BorrarHiciste algunas explicaciones un poco mas largas de lo que podían ser, y en una linea confundiste H con Q, pero eso no importa. Muy bien!:D
Hasta aquí llevo.-
ResponderBorrarIntento.-
Sea O el circuncentro de △ABC , sabemos que estará dentro de △ABC ya que éste es acutángulo.
Trazamos las mediatrices MO con M sobre AB (se sabe que las mediatrices concurren en el circuncentro).
Si BOAP es un paralelogramo, AB,PO son sus diagonales, sabemos que estas se cortan en sus puntos medios, si ya tenemos que M es punto medio de AB⇒M,P,O son colineales y PO⊥AB. Sean AH1,BH2,CH3 las alturas en △ABC, se cortan en el octocentro H.
CH⊥AB,OM⊥AB⇒CH3∥OM⇒HC∥PO
Hacemos M y N los puntos medios de AB y AC, respectivamente. Como BOAP es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en su punto medio, entonces PO pasa por M. Como PO pasa por M y O es mediatriz de AB y es perpendicular, como COPQ es un paralelogramo, PO y QC son paralelas y QC es perpendicular a BA, entonces una altura de ABC pasa por Q, si otra altura también lo hace Q es el ortocentro.
ResponderBorrarProlongamos CQ hasta intersectar a BA en R.
Como OA,OB,OC son radios del circuncírculo de ABC miden lo mismo y BOA, BOC, AOC son isósceles, hacemos ∠ABO=∠BAO=α,∠BCO=∠CBO=β, ∠ACO=∠CAO=θ, entonces α+β+θ=90.
ON es mediatriz de AC, entonces ∠ONC=90, entonces ∠NOC=α+β, como también ∠RBC=α+β y ∠BRC=90, entonces BRC y ONC son semejantes y ∠RCB=∠OCN=θ.
Hacemos ∠OCQ=γ, como COPQ es paralelogramo, ∠OPQ=∠OCQ=γ.
MPB es un triángulo rectángulo y ∠PBM=∠MAO=α porque PB y AO son paralelas, entonces ∠BPO=2θ+γ, como ∠OPQ=γ entonces ∠BPQ=2θ.
Como BOAP,COPQ son paralelogramos y AO,BO,CO son circunradios, PA=BO=AO=PB=PQ=OC, trazamos una circunferencia con centro en P que pase por A,Q,B, entonces como es inscrito al arco 2θ, ∠BAQ=θ.
Prolongamos AQ hasta intersectar a BC en S, como comparten ∠ABC y ∠BAS=θ=∠BCR entonces BAS y BCR son semejantes y ∠BSA=90, entonces AS es altura.
Como por Q pasan dos alturas, es el ortocentro.
:)
BorrarAlgo dificil de seguir tu solución jeje, pero lo que importa es que es correcta. Muy bien.
me doy cuenta que OA=PB PA=B0 OC=PQ ya que o es el circuncentro tenemos que AO=OC=OB por lo tanto tenemos PQ=PB=PA entonces el paralelogramo BOAP es un rombo al y igual que COPQ
ResponderBorrardespues subo mas
Me fije en que AO=BO=CO porque son circunradios. Entonces el cuadrilatero BOAP es un rombo porque 2 de los lados que no son opuestos son iguales. POr lo tanto los otros 2 tambien deben serlo. PO es la mediatriz de AB. Tambien note que PQ=OC porque es un paralelogramo. Entonces las igualdades que llevo hasta el momento son: AO=BO=CO=PB=PQ=PA
ResponderBorrarLuego, me fije en que como QC es paralela a PO, entonces tambien es perpendicular a AB
Hasta ahi es a donde llegue
hasta aqui llegue mañana le sigo
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4705527400387&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater